一種基于偏微分方程的柔性機械臂干擾觀測器設(shè)計方法

(19)中華人民共和國國家知識產(chǎn)權(quán)局(12)發(fā)明專利說明書(10)申請公布號CN104020664A

(43)申請公布日2014.09.03(21)申請?zhí)朇N201410261987.2(22)申請日2014.06.12(71)申請人國電科學技術(shù)研究院地址210031江蘇省南京市浦口區(qū)浦東路10號(72)發(fā)明人陳彥橋姜婷婷劉金琨(74)專利代理機構(gòu)北京慧泉知識產(chǎn)權(quán)代理有限公司代理人王順榮(51)Int.CI G05B13/00權(quán)利要求說明書說明書幅圖(54)發(fā)明名稱 一種基于偏微分方程的柔性機械臂干擾觀測器設(shè)計方法(57)摘要 本發(fā)明是一種基于偏微分方程的柔性機械臂干擾觀測器設(shè)計方法，它有四大步驟：步驟1：柔性機械臂的動力學建模；步驟2：干擾觀測器的設(shè)計；步驟3：觀測器穩(wěn)定性的驗證；步驟4：設(shè)計結(jié)束。本發(fā)明首先利用哈密爾頓原理，求出整個系統(tǒng)的PDE模型；然后基于該模型，設(shè)計合理的干擾觀測器以估計外界的未知干擾；最后，通過設(shè)計合適的李雅普諾夫函數(shù)，對所設(shè)計的觀測器進行分析，進而驗證其穩(wěn)定性。法律狀態(tài)法律狀態(tài)公告日法律狀態(tài)信息法律狀態(tài)

權(quán)利要求說明書1.一種基于偏微分方程的柔性機械臂干擾觀測器設(shè)計方法，其特征在于：該方法包括以 下步驟：

步驟1：柔性機械臂動力學建模

柔性機械臂的動力學建模采用哈密爾頓原理的方法，建模時用到的狀態(tài)變量θ(t)、 y(x,t)分別表示在t時刻機械臂的關(guān)節(jié)角度和x點處的彈性變形；為了表示方便，以下分析中 θ(t)、y(x,t)分別簡寫為θ、y(x)；

柔性機械臂的自然邊界條件為

y(0)＝y(tǒng)_x(0)＝0

(1)

其中，y_x(*)表示y(*)對x的一階偏導數(shù)，

定義

z(x)＝xθ+y(x)

(2)

其中，z(x)為z(x,t)的簡寫，z_x(*)表示z(*)對x的一階偏導數(shù)；

由式(1)和式(2)得z(0)＝y(tǒng)(0)，從而

<maths><math><mrow><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><msub><mi>z</mi><mi>x</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mfrac><mrow><msup><mo>∂</mo><mi>n</mi></msup><mi>z</mi></mrow><msup><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow><mi>n</mi></msup></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mo>∂</mo><mi>n</mi></msup><mi>y</mi></mrow><msup><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow><mi>n</mi></msup></mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

由得z_xx(0)＝y(tǒng)_xx(0)，z_xx(L)＝y(tǒng)_xx(L)，z_xxx(L)＝y(tǒng)_xxx(L)；

系統(tǒng)的動能、勢能以及非保守力做功的表達式如下

<maths><math><mrow><msub><mi>E</mi><mi>k</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><msup><mover><mi>θ</mi><mo>·</mo></mover><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mi>L</mi></msubsup><mi>ρ</mi><msup><mover><mi>z</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mi>dx</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>m</mi><msup><mover><mi>z</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msup><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><msub><mi>E</mi><mi>p</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mi>L</mi></msubsup><msubsup><mi>EIz</mi><mi>xx</mi><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mi>dx</mi></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><msub><mi>W</mi><mi>nc</mi></msub><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mi>τ</mi><mo>+</mo><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mi>F</mi><mo>+</mo><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mi>L</mi></msubsup><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mi>dx</mi></mrow></math></maths>

其中，EI為均勻梁的彎曲剛度，L為機械臂的長度，m為機械臂末端負載的質(zhì)量，I_h為中 心轉(zhuǎn)動慣量，ρ為機械臂單位長度上的質(zhì)量，τ為首端控制力矩輸入，F(xiàn)為末端控制力矩輸 入，d₁為首端控制輸入慢時變干擾，d₂為末端控制輸入慢時變干擾；

由哈密爾頓原理得柔性機械臂的PDE模型如下

<maths><math><mrow><mi>ρ</mi><mover><mi>z</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xxxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>4</mn><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><mi>τ</mi><mo>+</mo><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><mover><mi>θ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>4</mn><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><mi>F</mi><mo>+</mo><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mi>m</mi><mover><mi>z</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>4</mn><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

y(0)＝y(tǒng)_x(0)＝y(tǒng)_xx(L)＝0

(4d)

步驟2：干擾觀測器設(shè)計

設(shè)計觀測器的基本思想就是用估計輸出與實際輸出的差值對估計值進行修正，因此，取 <maths><math><mrow><msub><mover><mi>d</mi><mover><mo>∩</mo><mo>.</mo></mover></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><msub><mover><mi>d</mi><mover><mo>∩</mo><mo>.</mo></mover></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mrow></math></maths>其中，L₁>0，L₂>0，為對d₁的估計，為對d₂的估計；

定義輔助參數(shù)向量<maths><math><mrow><msub><mi>w</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>·</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><msub><mi>w</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mover><mi>z</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>;</mo></mrow></math></maths>其中，<maths><math><mrow><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>,</mo></mrow></math></maths><maths><math><mrow><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mover><mi>z</mi><mo>·</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mi>m</mi><mover><mi>z</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mrow></math></maths>則<maths><math><mrow><msub><mover><mi>P</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><mover><mi>θ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mo>,</mo><msub><mover><mi>P</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mover><mi>z</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mi>m</mi><mover><mi>z</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>;</mo></mrow></math></maths>

由(4b)得則由上述各式求得

<maths><math><mrow><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><mover><mi>θ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>1</mn></msub></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><mfenced><mtable><mtr><mtd><msub><mover><mi>w</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mi>P</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><mover><mi>θ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mo>-</mo><msub><mi>EIZ</mi><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><mover><mi>θ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mo>-</mo><mi>EIz</mi></mrow><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>1</mn></msub></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

同理，由(4c)可得<maths><math><mrow><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mi>m</mi><mover><mi>z</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>F</mi><mo>,</mo></mrow></math></maths>則

<maths><math><mrow><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>m</mi><mover><mi>zθ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>Fτ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>2</mn></msub></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><mfenced><mtable><mtr><mtd><msub><mover><mi>w</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mi>P</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>zθ</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>m</mi><mover><mi>zθ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>EIZ</mi><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>Fτ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mo>,</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mi>m</mi><mover><mi>z</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mo>-</mo><mi>EIz</mi></mrow><mi>xxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>Fτ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>2</mn></msub></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>6</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

故干擾觀測器設(shè)計為

<maths><math><mrow><mfenced><mtable><mtr><mtd><msub><mover><mi>w</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>1</mn></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>w</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>7</mn><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><mfenced><mtable><mtr><mtd><msub><mover><mi>w</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>Fτ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>2</mn></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>w</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>7</mn><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

由式(7a)和(7b)得

<maths><math><mrow><mfenced><mtable><mtr><mtd><msub><mover><mi>w</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mo>-</mo><mi>EIz</mi></mrow><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>w</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mo>-</mo><mi>EIz</mi></mrow><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>-</mo><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>w</mi><mn>1</mn></msub></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>8</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><mfenced><mtable><mtr><mtd><msub><mover><mi>w</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mo>-</mo><mi>EIz</mi></mrow><mi>xxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>Fτ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>w</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mo>-</mo><mi>EIz</mi></mrow><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>Fτ</mi><mo>-</mo><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>zθ</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>w</mi><mn>2</mn></msub></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

定義干擾誤差由于干擾均為慢時變干擾，認為<maths><math><mrow><msub><mover><mi>d</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mrow></math></maths>則得

<maths><math><mrow><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>10</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>11</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

所以，由式(7a)至(11)以及和的表達式，得觀測誤差方程為

<maths><math><mrow><mfenced><mtable><mtr><mtd><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mover><mi>w</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mi>P</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>-</mo><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>w</mi><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>L</mi><mi>h</mi></msub><mover><mi>θ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>w</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><mover><mi>θ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>1</mn></msub></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>12</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><mfenced><mtable><mtr><mtd><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mover><mi>w</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mi>P</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>zθ</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>Fτ</mi><mo>-</mo><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>zθ</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>w</mi><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mi>m</mi><mover><mi>zθ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>w</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>zθ</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>m</mi><mover><mi>zθ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>Fτ</mi><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>2</mn></msub></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>13</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

即通過設(shè)計L₁、L₂，使估計值按指數(shù)逼近干擾 d₁、d₂；

針對定義<maths><math><mrow><msub><mover><mi>P</mi><mo>·</mo></mover><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><mover><mi>θ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mo>,</mo><msub><mover><mi>P</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mover><mi>z</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mi>m</mi><mover><mi>z</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mrow></math></maths>分別取<maths><math><mrow><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>c</mi><mn>1</mn></msub><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>,</mo></mrow></math></maths>c₁>0， <maths><math><mrow><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mover><mi>z</mi><mo>·</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>c</mi><mn>2</mn></msub><mover><mi>z</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mrow></math></maths>c₂>0，則得

<maths><math><mrow><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><msub><mi>c</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub></mfrac><mo>,</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><msub><mi>c</mi><mn>2</mn></msub><mi>m</mi></mfrac><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>14</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

在仿真過程中，觀測器的參數(shù)選為c₁＝5，c₂＝5；因為干擾是慢時變的，所以選取 d₁(t)＝10+0.1sin(t)(N·m)，d₂(t)＝10+0.1sin(t)(N·m)；控制輸入力矩選取 τ＝sin(t)(N·m)，F(xiàn)＝sin(t)(N·m)；參數(shù)估計的初始值均為0.5(N·m)， 系統(tǒng)其他物理參數(shù)如表1所示；

表1柔性機械臂物理參數(shù)的數(shù)值

步驟3：觀測器穩(wěn)定性的驗證

設(shè)計系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為

V_o(t)＝V₁(t)+V₂(t)

其中，<maths><math><mrow><msub><mi>V</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><msup><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup><mo>,</mo><msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>m</mi><msup><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup><mo>;</mo></mrow></math></maths>則

<maths><math><mrow><msub><mover><mi>V</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>1</mn></msub><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><msup><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>c</mi><mn>1</mn></msub><msup><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><msub><mover><mi>V</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>m</mi><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>2</mn></msub><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mi>m</mi><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mi>m</mi><msup><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>c</mi><mn>2</mn></msub><msup><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup></mrow></math></maths>

則

<maths><math><mrow><msub><mover><mi>V</mi><mo>.</mo></mover><mi>o</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mover><mi>V</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msub><mover><mi>V</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>c</mi><mn>1</mn></msub><msup><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msub><mi>c</mi><mn>2</mn></msub><msup><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup><mo>≤</mo><mo>-</mo><msub><mi>λ</mi><mn>0</mn></msub><msub><mi>V</mi><mi>o</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

其中<math