第01講 函數(shù)及其性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性）（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第01講函數(shù)及其性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性）（12類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第6題,5分根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性2024年新I卷，第8題,5分求函數(shù)值抽象函數(shù)的關(guān)系比較函數(shù)值的大小關(guān)系2024年新Ⅱ卷，第6題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷函數(shù)奇偶性的應(yīng)用根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍求余弦(型)函數(shù)的奇偶性2024年新Ⅱ卷，第11題,6分函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間2023年新I卷，第4題,5分復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值2023年新I卷，第11題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷函數(shù)極值點(diǎn)的辨析2023年新Ⅱ卷，第4題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用奇偶性求參數(shù)2022年新I卷，第12題,5分抽象函數(shù)的奇偶性函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系2022年新Ⅱ卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用抽象函數(shù)的周期性求函數(shù)值2021年新I卷，第13題,5分由奇偶性求參數(shù)無(wú)2021年新Ⅱ卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)的周期性的定義與求解2021年新Ⅱ卷，第14題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2020年新I卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解不等式2020年新Ⅱ卷，第7題,5分復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性2020年新Ⅱ卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解不等式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等偏難，分值為5-6分【備考策略】1.會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性,掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法2.理解函數(shù)最大值、最小值的概念、作用和實(shí)際意義，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的最值3.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問(wèn)題4.了解奇偶性的概念和意義，會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性5.了解周期性的概念和意義.會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性解決問(wèn)題6.能綜合運(yùn)用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等解決相關(guān)問(wèn)題.【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會(huì)以抽象函數(shù)作為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性及對(duì)稱性，是新高考一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容.知識(shí)講解函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．(3)函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值單調(diào)性的常見(jiàn)運(yùn)算單調(diào)性的運(yùn)算①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘③為↗，則為↘，為↘④增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）增函數(shù)↗⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘⑥增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知（導(dǎo)數(shù)）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性奇偶性①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（大前提）②奇偶性的定義：奇函數(shù)：，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)：，圖象關(guān)于軸對(duì)稱③奇偶性的運(yùn)算周期性（差為常數(shù)有周期）①若，則的周期為：②若，則的周期為：③若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問(wèn)題）④若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問(wèn)題）對(duì)稱性（和為常數(shù)有對(duì)稱軸）軸對(duì)稱①若，則的對(duì)稱軸為②若，則的對(duì)稱軸為點(diǎn)對(duì)稱①若，則的對(duì)稱中心為②若，則的對(duì)稱中心為周期性對(duì)稱性綜合問(wèn)題①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：奇偶性對(duì)稱性綜合問(wèn)題①已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的周期為：②已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的周期為：考點(diǎn)一、根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)單調(diào)性1．（2021·全國(guó)·高考真題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于B，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于C，在為減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于D，為上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.2．（2024·山西晉中·三模）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)和單調(diào)性的定義，結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A：函數(shù)的定義域?yàn)镽，又，所以是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由冪函數(shù)的圖象可知，在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以是奇函?shù)，又冪函數(shù)都在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：C.1．（2024·全國(guó)·一模）下列函數(shù)中在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合常見(jiàn)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭侵芷诤瘮?shù)，在上不單調(diào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在上是，單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，是二次函數(shù)，圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為軸，所以它在上為增函數(shù)，故D錯(cuò)誤；對(duì)于C，只有這個(gè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C正確.故選：C2．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用奇函數(shù)的定義，即可判斷四個(gè)選項(xiàng)的奇偶性，只有是奇函數(shù)，又正切函數(shù)在上不是單調(diào)遞增函數(shù)，而函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恒大于零，所以只有C正確.【詳解】對(duì)于A，，為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，為奇函數(shù)，又在不滿足單調(diào)遞增定義，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，為奇函數(shù)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，是非奇非偶函數(shù)，所以D錯(cuò)誤.故選：C.考點(diǎn)二、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性（含分段函數(shù)）求參數(shù)值1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D2．（2024·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.1．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則t的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得的單調(diào)性，從而可求得t的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得.故選：A2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（且）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用分段函數(shù)單調(diào)性的判定方法，列出不等式組，即可求解.【詳解】由函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C．考點(diǎn)三、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式1．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】由，可得，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故不等式的解集為．故選：D2．（2020·山東·高考真題）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)的乘積大于等于零，分類(lèi)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)自變量不等式，最后求并集得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，考查分類(lèi)討論思想方法，屬中檔題.3．（2024·四川南充·二模）設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，說(shuō)明其單調(diào)性和奇偶性,轉(zhuǎn)化為解不等式即可求解.【詳解】，設(shè)，又易知，為上的奇函數(shù)，又，在上單調(diào)遞增，又，，，，又為上的奇函數(shù)，，又在上單調(diào)遞增，，，故滿足的的取值范圍是．故選：C．1．（2024·湖北武漢·二模）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】消去絕對(duì)值可得函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可得.【詳解】由，故在上單調(diào)遞增，由，有，即.故選：A.2．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】判斷的奇偶性和單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解不等式即可.【詳解】，定義域?yàn)?，又，故為偶函?shù)；又當(dāng)時(shí)，均為單調(diào)增函數(shù)，故為上的單調(diào)增函數(shù)；又，故當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)為上的單調(diào)增函數(shù)，故時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)；，即，則，即，，也即，解得.故選：A.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，即可判斷為奇函數(shù)，又，可得圖象的對(duì)稱中心為，則，再判斷的單調(diào)性，不等式，即，結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】設(shè)，，則，所以為奇函數(shù)．又，則的圖象是由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，所以圖象的對(duì)稱中心為，所以．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以，解得，故滿足的的取值范圍為．故選：B考點(diǎn)四、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小關(guān)系1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】代入得到，再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，又因?yàn)?，則，，，，，則依次下去可知，則B正確；且無(wú)證據(jù)表明ACD一定正確.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用，再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)，代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令，則開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，因?yàn)?，而，所以，即由二次函?shù)性質(zhì)知，因?yàn)?，而，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即.故選：A.3．（2024·寧夏銀川·二模）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件先得到函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性比較大小.【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，即，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以因?yàn)?，所以所以，所以，即，故選：D.1．（2024·遼寧丹東·二模）已知函數(shù)，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)而求得的大小關(guān)系，得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在和上遞增，在上遞減，因?yàn)椋傻?，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，即，所?故選：D.2．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)，記，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意得是上的偶函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知關(guān)于在上單調(diào)遞減，進(jìn)一步比較對(duì)數(shù)、指數(shù)冪的大小即可求解.【詳解】注意到定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，且，所以是上的偶函數(shù)，從而，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以關(guān)于在上單調(diào)遞減，而，所以.故選：B.3．（2024·寧夏石嘴山·三模）若定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)數(shù)運(yùn)算判斷處，再結(jié)合的奇偶性以及單調(diào)性，即可得答案.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上偶函數(shù)，所以，因?yàn)?，則，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，故選：A．考點(diǎn)五、根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，則，即，解得.故選：D.2．（2023·全國(guó)·高考真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出值，再檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，，解得或，則其定義域?yàn)榛?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.，故此時(shí)為偶函數(shù).故選：B.3．（2023·全國(guó)·高考真題）若為偶函數(shù)，則．【答案】2【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗(yàn)即可得解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)椋?，即，則，故，此時(shí)，所以，又定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，所以.故答案為：2.1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．【答案】C【分析】由奇函數(shù)的定義可得，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以，即，整理得，解得.故選：C2．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】利用偶函數(shù)可得，可求的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以，所以，即，故A正確.故選：A.3．（2024·上海奉賢·三模）若函數(shù)為奇函數(shù)，則．【答案】【分析】利用函數(shù)是奇函數(shù)得到，然后利用方程求解，即可得解．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，則，則，即，所以，解得，所以.故答案為：.考點(diǎn)六、抽象函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用1．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過(guò)是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進(jìn)而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案．【詳解】[方法一]：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因?yàn)?，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因?yàn)?，所以，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．【點(diǎn)睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類(lèi)問(wèn)題的時(shí)候，我們通常可以借助一些二級(jí)結(jié)論，求出其周期性進(jìn)而達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)算的效果．2．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知為奇函數(shù)，則（

）A． B．14 C． D．7【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義和性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故，，，，故.故選：C.3．（2024·河南·三模）（多選）定義在上的函數(shù)滿足，則（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．單調(diào)遞增【答案】BCD【分析】利用賦值法可求及，故可判斷各項(xiàng)的正誤，也可以由題意得，結(jié)合條件推出的解析式，進(jìn)而即可求解判斷ABCD四個(gè)選項(xiàng).【詳解】法1：令，則，令，則，若或，若，則即，由的任意性可得不恒成立，故不成立，故，故A錯(cuò)誤，B正確.令，則，故為奇函數(shù)，且，它為上的增函數(shù)，故CD正確.法2：由條件，得，由的任意性得為常數(shù)，故代回去得：，所以由的任意性只能，即，為增函數(shù)，所以，為奇函數(shù)，故A錯(cuò)，BCD對(duì).故選：BCD.1．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，，則（

）A． B．函數(shù)是奇函數(shù)C． D．的一個(gè)周期為3【答案】AC【分析】根據(jù)條件等式，利用賦值法，求特殊函數(shù)值，以及判斷函數(shù)的奇偶性和周期性.【詳解】令，則，所以，A選項(xiàng)正確；令，則，即，所以是偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，令，則，令，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，，C選項(xiàng)正確；令，則，所以，，所以，的一個(gè)周期為6，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC．2．（2024·湖南邵陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，且對(duì)任意的，，都有，則（

）A．是奇函數(shù) B．C．的圖象關(guān)于對(duì)稱 D．【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和題設(shè)條件，推得是周期為4的周期函數(shù)，結(jié)合周期函數(shù)的性質(zhì)求值，利用單調(diào)性比較大小，逐項(xiàng)判定即可求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以,即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，C正確;由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱可知,又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則,所以,即,所以,所以是周期為4的周期函數(shù)，所以,又,所以,所以,所以,B正確;是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤;對(duì)任意的,且,都有,不妨設(shè),則,由單調(diào)性的定義可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞增又,,所以,得，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查抽象函數(shù)，解題關(guān)鍵是合理利用抽象函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性周期性分析題意，然后逐個(gè)選項(xiàng)分析即可．考點(diǎn)七、函數(shù)周期性的綜合應(yīng)用1．（2021·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.故選：B.2．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)對(duì)任意的，，都有，且，，則（

）A． B．是奇函數(shù) C．的周期為4 D．，【答案】ACD【分析】令，即可判斷A；令，即可判斷B；令，求出，再令，即可判斷C；根據(jù)C選項(xiàng)可求出，再根據(jù)函數(shù)的周期性即可判斷D.【詳解】由，令，則，又，所以，故A正確；令，則，所以，所以是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；令，則，所以，令，則，所以，即，所以，所以的周期為4，故C正確；由，得，所以，故D正確.故選：ACD.3．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知可導(dǎo)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若是奇函數(shù)，，且對(duì)任意，恒有，則一定有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】先根據(jù)題意，利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶函數(shù)的定義得出：是上的奇函數(shù)，周期為，是上的偶函數(shù)，周期為；再逐項(xiàng)分析即可解答.【詳解】因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，則，即是上的偶函數(shù).令，由得：，①令取，得，結(jié)合是上的奇函數(shù)，是上的偶函數(shù)，得，②結(jié)合，由①②可得：，即.所以，又因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，則，所以函數(shù)，是周期為的函數(shù).對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，所以令，得，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，周期為，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，周期為，所以.令，，由得：，解得：，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的奇偶性、周期性及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.解題關(guān)鍵在于熟練地應(yīng)用函數(shù)奇偶性、周期性的定義及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用賦值法推導(dǎo)出函數(shù)，的性質(zhì).1．（2024·重慶·三模）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)且滿足，則（）A． B．0 C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，推得，得到是周期為2的周期函數(shù)，結(jié)合，即可求解.【詳解】由是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，且，又由滿足，即，則有，可得，即函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，故.故選：B.2．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，且，則.【答案】【分析】通過(guò)賦值法解出，由解出；進(jìn)而求出，再證明函數(shù)為偶函數(shù)，進(jìn)而證出，結(jié)合偶函數(shù)得出函數(shù)周期，求出最后求解即可.【詳解】令，得，再令，得，所以，因?yàn)?，所以，令，得，所以，即，若，則代入中，，由，所以，即，且，令，得，由，，所以，所以為偶函數(shù)，所以，，令，得，所以，即，因?yàn)?，所以，所以為周期函?shù)，周期為4，所以，，所以故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題剛開(kāi)始的關(guān)鍵是通過(guò)賦值法求得的值，這也是抽象函數(shù)求函數(shù)值的常用方法，另一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是從所求出發(fā)：求多個(gè)函數(shù)值和，聯(lián)想到這種類(lèi)型的求和大概兩種：一種轉(zhuǎn)化成某個(gè)數(shù)列求和，另一種利用周期性求和，所以接下來(lái)的關(guān)鍵就是借助奇偶性求函數(shù)的周期.3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，若是奇函數(shù)，，且對(duì)任意，，則（

）A． B．C．是周期為3的函數(shù) D．【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合賦值法可得相關(guān)結(jié)論.【詳解】對(duì)于A：令，得，因?yàn)椋?，A正確；對(duì)于B：令，得①，所以，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，，所以，即是偶函數(shù)，所以②，由①②，得，即，所以，所以，是周期為3的函數(shù)，所以，所以B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋冖僦辛畹?，，所以，，所以D正確．故選：ACD．考點(diǎn)八、函數(shù)對(duì)稱性的綜合應(yīng)用1．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳解】因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，代入得，即，所以?因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)椋?，又因?yàn)?，?lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以因?yàn)?，所?所以.故選：D【點(diǎn)睛】含有對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心的問(wèn)題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.2．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在存在最大值與最小值分別為和，則函數(shù)，函數(shù)圖像的對(duì)稱中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過(guò)分析函數(shù)，得出最大值與最小值的和，得出函數(shù)的表達(dá)式，利用對(duì)勾函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)即可得出函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn).【詳解】由題意，在中，，∴，∵最大值與最小值分別為和，∴在對(duì)勾函數(shù)中，對(duì)稱軸為，對(duì)稱點(diǎn)為，在中，，∴即，對(duì)稱軸為，函數(shù)為對(duì)勾函數(shù)向下平移1個(gè)單位得到，∴函數(shù)對(duì)稱點(diǎn)為，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查.函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)稱中心，函數(shù)的最值（和），考查學(xué)生的分析和處理問(wèn)題的能力，計(jì)算能力，具有一定的綜合性.1．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．函數(shù)單調(diào)遞增 B．函數(shù)值域?yàn)镃．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱 D．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱【答案】C【分析】分離常數(shù)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B；根據(jù)對(duì)稱性的定義，與的關(guān)系，即可判斷CD.【詳解】，函數(shù)，，則，又內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，外層函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)椋?，則，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故B正確；，，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：C.2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知的定義域?yàn)?，函?shù)滿足，圖象的交點(diǎn)分別是，，則可能值為（

）A．2 B．14 C．18 D．25【答案】C【分析】可以分別說(shuō)明的對(duì)稱中心為，從而兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，即應(yīng)為6的倍數(shù)，由此即可逐一判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以的對(duì)稱中心為，注意到，所以的對(duì)稱中心也是，故兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，故應(yīng)為6的倍數(shù)，對(duì)比選項(xiàng)可知C選項(xiàng)符合題意.故選：C.考點(diǎn)九、周期性對(duì)稱性的綜合應(yīng)用2．（2022·全國(guó)·高考真題）（多選）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對(duì)稱性和周期性的關(guān)系研究對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，則，故C正確；對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，，所以關(guān)于對(duì)稱，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽，所以，結(jié)合關(guān)于對(duì)稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關(guān)于對(duì)稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯(cuò)誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因?yàn)?，均為偶函?shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對(duì)稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．3．（2024·河南·一模）（多選）已知定義在上的函數(shù)，，其導(dǎo)函數(shù)分別為，，，，且，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 B．C． D．【答案】BCD【分析】先根據(jù)條件分析出的周期性和對(duì)稱性，再得到的周期性，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得，兩式相減可得①，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；由②，②式兩邊對(duì)求導(dǎo)可得，可知是偶函數(shù)，以替換①中的可得，可得，所以是周期為4的周期函數(shù)，故B正確；因?yàn)?，可知也是周期?的周期函數(shù)，即，兩邊求導(dǎo)可得，所以，故C正確；因?yàn)?，令，則，即，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，又因?yàn)槭侵芷跒?的周期函數(shù)，則，由可得，所以，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決這類(lèi)題的關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)稱與周期的關(guān)系，若關(guān)于兩點(diǎn)（縱坐標(biāo)相同）或者兩條直線（平行于軸）對(duì)稱，則周期為這兩點(diǎn)或者這兩條直線的距離的兩倍，若關(guān)于一點(diǎn)和一直線（平行于軸）對(duì)稱，則周期為這點(diǎn)和這條直線的距離的四倍.1．（2024·陜西榆林·一模）定義在R上的函數(shù)，滿足，，，，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸B．2是的一個(gè)周期C．函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為D．若且，，則n的最小值為2【答案】D【分析】由已知可推得關(guān)于直線對(duì)稱，.又有.進(jìn)而得出，即有，即可得出B項(xiàng)；根據(jù)的周期可得出的周期為4，結(jié)合的對(duì)稱性，即可得出A項(xiàng)；由的對(duì)稱中心，即可得出關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合的性質(zhì)，即可得出C項(xiàng)；根據(jù)的周期性以及對(duì)稱性可得，，然后分討論求解，即可判斷D項(xiàng).【詳解】由可得，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以關(guān)于直線對(duì)稱，即關(guān)于直線對(duì)稱，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以有，所以有，所以.又由可得，，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以.對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，，所以，所以，的周期為，故B項(xiàng)正確；對(duì)于A項(xiàng)，由已知周期為2，所以的周期為4.因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱，所以是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故A項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以.又關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，所以有，所以函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由C知，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，，，所以.又的周期為4，所以對(duì)，.因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，有.因?yàn)?，所以，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意.故n的最小值為3，D錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)已知關(guān)系式可得出的對(duì)稱軸，進(jìn)而根據(jù)的關(guān)系，即可推得的對(duì)稱軸，結(jié)合的對(duì)稱中心，即可得出的周期.2．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，若，則（

）A． B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．是周期函數(shù) D．【答案】BCD【分析】根據(jù)給定的等式，結(jié)合賦值法推導(dǎo)出函數(shù)及對(duì)稱軸，再逐項(xiàng)分析計(jì)算得解.【詳解】由，得，則，即，因此是周期為4的周期函數(shù)，C正確；令，得，則，因此，A錯(cuò)誤；由，得，則，因此的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；由，得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因此直線及均為圖象的對(duì)稱軸，從而，令，得，即，則，故，D正確.故答案為：BCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.3．（2024·河北邢臺(tái)·二模）（多選）已知函數(shù)，的定義域均為，且，，若，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是的對(duì)稱中心C．2是的周期 D．【答案】BD【分析】利用已知恒等式證明，從而得到B正確；再推知及，從而計(jì)算出D的結(jié)果；利用反證法即可說(shuō)明A和C錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，由已知有，所以是偶函數(shù).假設(shè)是奇函數(shù)，那么必有，故，矛盾.所以不是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由已知有，故.所以，故是的對(duì)稱中心，B正確；對(duì)于C，由已知有.所以.假設(shè)2是的周期，那么，從而.但，故，矛盾.所以不以2為周期，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，，故.所以，即.再由可得，即.這就得到，故D正確.故選：BD.考點(diǎn)十、周期性奇偶性的綜合應(yīng)用1．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C．2 D．-1【答案】A【分析】根據(jù)條件得到函數(shù)是周期為的函數(shù)，再根據(jù)條件得出，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，所以，即，所以，則函數(shù)的一個(gè)周期為4，令，則，所以，令，，又，所以，，所以.故選：A2．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)的定義域均為R，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，，則（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】利用題設(shè)得到①和②，又由，結(jié)合①式，推得的周期為12，利用求得和，最后利用的周期性即可求得.【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，即，即①，由函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得②，由可得，又得，兩式相加，，將①式代入，得，則得，將②式代入得，，則，于是，即的周期為12.又，由①可得，得，又由可得，即得.因，可得，，于是，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查抽象函數(shù)的對(duì)稱性應(yīng)用，屬于難題.解題關(guān)鍵在于根據(jù)中心對(duì)稱和軸對(duì)稱得出函數(shù)關(guān)系式：①和②，再由利用消元思想，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的關(guān)系式是最關(guān)鍵之處，其次是利用的關(guān)系式求得的周期是第二關(guān)鍵，之后賦值求得即可得解.1．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在R上的函數(shù)，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】先根據(jù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，求出函數(shù)的周期，再根據(jù)函數(shù)的周期求解即可.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，所以，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，即，所以，所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，所以，又，所以，即.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會(huì)單獨(dú)命題，而是常將它們綜合在一起考查，其中單調(diào)性與奇偶性結(jié)合、周期性與抽象函數(shù)相結(jié)合，并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，且主要有以下幾種命題角度；（1）函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合，注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性．（2）周期性與奇偶性相結(jié)合，此類(lèi)問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解；（3）周期性、奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合，解決此類(lèi)問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.2．（2024·江蘇南通·三模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)．若，則（

）A．23 B．24 C．25 D．26【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性推出函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則得到其周期，再計(jì)算其一個(gè)周期內(nèi)的和，最后代入計(jì)算即可.【詳解】為偶函數(shù)，則則關(guān)于對(duì)稱，為奇函數(shù)，則，即，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則由其關(guān)于對(duì)稱有，則，則，作差有，為周期函數(shù)，且周期為4，因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，，則，，則，，，故選：C.3．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，，則.【答案】4048【分析】根據(jù)題中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，從而可得出為周期為4的函數(shù)，從而可求解.【詳解】由題意得為奇函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，由為偶函數(shù)，所以可得為偶函數(shù)，則，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，從而得，所以函數(shù)為周期為4的函數(shù)，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱，所以，又因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，又因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，所?故答案為：4048.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的周期，再求出一個(gè)周期內(nèi)的值，最后求和即可.考點(diǎn)十一、奇偶性對(duì)稱性的綜合應(yīng)用1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知為奇函數(shù)，則（

）A．6 B．5 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)對(duì)函數(shù)依次賦值即可求解.【詳解】由題為奇函數(shù)，則，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，所以，故選：D.2．（2024·黑龍江·三模）已知函數(shù)在上的最大值和最小值分別為，，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，證明為奇函數(shù)，從而得到，即可求出的值.【詳解】令，定義域?yàn)?，因?yàn)樵谏系淖畲笾岛妥钚≈捣謩e為，，所以在上的最大值和最小值分別為，，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以的最大值和最小值互為相反數(shù)，即，所以，故選：A.1．（2024·河北·二模）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】C【分析】由函數(shù)的平移變化即可求得出答案.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱，將函數(shù)向左平移一個(gè)單位可得函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱.故選：C.2．（2024·江西南昌·三模）（多選）已知函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于中心對(duì)稱C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，，由此分析可得由此分析選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，所以或，當(dāng)時(shí)，，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，此時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，,∴，∴，又∵是一個(gè)定值，而隨的不同而不同，∴此等式不成立，即不成立,∴，即，所以的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，B正確；∴，，即，C正確.與關(guān)于對(duì)稱，∴，即，即，∴，D正確，又，則，即，，而，若A選項(xiàng)成立，則時(shí)，，所以但此時(shí)，，所以由可得，但這與已知矛盾，所以的圖象不可能關(guān)于直線對(duì)稱，A錯(cuò)誤.故選：BCD.考點(diǎn)十二、函數(shù)性質(zhì)的全部綜合應(yīng)用1．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，，且為奇函數(shù)，則（

）A． B．函數(shù)的一個(gè)周期為4C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，利用賦值法判斷A，令，結(jié)合，即可得到為偶函數(shù)，推出的周期，即可判斷B、C，再由利用并項(xiàng)求和判斷D.【詳解】因?yàn)闉槎x域?yàn)镽上奇函數(shù)，所以，即，在，令，可得，故A錯(cuò)誤；令，因?yàn)?，所以，即，所以為偶函?shù)，又為奇函數(shù)，所以，即，所以，所以，即，所以，則，所以，所以是以為周期的周期函數(shù)，所以，則，故B、C正確；由與得，所以，所以，，，，，，，，，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是令，利用賦值法及所給條件一一計(jì)算.2．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足，的導(dǎo)函數(shù)為，則（

）A． B．是單調(diào)函數(shù)C． D．為偶函數(shù)【答案】ACD【分析】對(duì)于A：利用賦值法分析可得，；對(duì)于B：根據(jù)結(jié)合單調(diào)性的定義分析判斷；對(duì)于C：分析可得，即可得結(jié)果；對(duì)于D：對(duì)求導(dǎo)，結(jié)合偶函數(shù)的定義分析判斷.【詳解】因?yàn)?，且的定義域?yàn)?，?duì)于選項(xiàng)A：令，則，可得；令，則，可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A可知，所以不是單調(diào)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：令，可得，即，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)C可知，對(duì)兩邊求導(dǎo)得，即，所以為偶函數(shù)，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱性，在解題中根據(jù)問(wèn)題的條件通過(guò)變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)，及導(dǎo)函數(shù)，的定義域均為.若是奇函數(shù)，且，，則（

）A． B．是偶函數(shù)C． D．【答案】CD【分析】由可知，.結(jié)合,可得，且是奇函數(shù)就可以判斷A項(xiàng).根據(jù),可知是周期為4的函數(shù)，以及和圖象得對(duì)稱點(diǎn)，可以判斷B選項(xiàng)不正確.利用賦值法，找到規(guī)律，即可判斷C項(xiàng)正確.根據(jù)，及周期性可以知道，，即可判斷D項(xiàng)正確.【詳解】因?yàn)?，所以（，?又因?yàn)?，所以?則，所以.于是可得，令，則，所以.所以，所以，又因?yàn)?，所以，即①因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以②，，，所以A錯(cuò)誤.由①②得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).因?yàn)?，因此函?shù)也是周期為4的函數(shù).又的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以B選項(xiàng)不正確.因?yàn)?，令，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C選項(xiàng)正確.因?yàn)?，所以，，，，則有，可得，所以D選項(xiàng)正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于通過(guò)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系和奇函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)函數(shù)間的關(guān)系.采用賦值法，找到周期函數(shù)的周期，再借助圖象關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱推出另一個(gè)函數(shù)的對(duì)此點(diǎn)再根據(jù)平移變換進(jìn)行解答.1．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，有，，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．4為函數(shù)的一個(gè)周期【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件進(jìn)行賦值，以及利用變量替換推出函數(shù)性質(zhì)，逐一判斷選項(xiàng)即可求解.【詳解】根據(jù)題意，，取，得，因?yàn)?，所以，A正確;取，得，所以，B錯(cuò)誤;取，得，即，所以為偶函數(shù)，C正確;取，得，所以，即4為函數(shù)的一個(gè)周期，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答抽象函數(shù)問(wèn)題，常用的方法是賦值法，求函數(shù)值時(shí)，通常令等式中的變量取等特殊值；判斷函數(shù)奇偶性時(shí)，通常通過(guò)賦值使等式中出現(xiàn)；當(dāng)然要結(jié)合所求靈活賦值，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.2．（2024·河南鄭州·二模）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，為偶函?shù)，則（

）A． B．為偶函數(shù)C． D．【答案】ACD【分析】令，可判斷A；令，可判斷B；由函數(shù)圖象的變換可得的圖象關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合奇偶性可得周期性，即可判斷C；根據(jù)周期性和賦值法求得，然后可判斷D.【詳解】令，得，即，A正確；令，得，又，所以對(duì)任意恒成立，因?yàn)?，所以不恒?，所以，即，B錯(cuò)誤；將的圖象向左平移1個(gè)單位后，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象，因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，又為奇函數(shù)，所以，所以，所以4為的周期.由可得，C正確；因?yàn)?，，，所以，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)在于合理賦值，利用對(duì)稱性求得周期，然后即可求解.3．（2024·山東臨沂·二模）（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足，，且，則（

）A．的最小正周期為4 B．C．函數(shù)是奇函數(shù) D．【答案】AB【分析】據(jù)題意，通過(guò)賦值得到，，即可判斷A；令，可求出，由周期性可判斷B；令，得到，由周期性，可證明是奇函數(shù)，假設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，推出矛盾，判斷C；由周期性及對(duì)稱性可計(jì)算D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，，所以，故的最小正周期?，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，令，則，所以，由A可知，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋倭?，則，所以，所以，②由①②，所以，即，故為奇函數(shù)，若函數(shù)是奇函數(shù)，則，所以，即，所以，所以的最小正周期為2，與選項(xiàng)A矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且，所以，又因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，因?yàn)樗裕?，所以，，以此?lèi)推，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題以抽象函數(shù)為載體綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷出的周期.以下是抽象函數(shù)周期性質(zhì)的一些總結(jié)，可以適當(dāng)總結(jié)記憶：設(shè)函數(shù)，（1）若，則函數(shù)的周期為；（2）若，則函數(shù)的周期為；（3）若，則函數(shù)的周期為；（4）若，則函數(shù)的周期為；（5）若，則函數(shù)的周期為.一、單選題1．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】由題意可得，化簡(jiǎn)整理即可求得m的值．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋墒桥己瘮?shù)，得，即，整理得，所以.故選：A2．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，則的值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】由已知可得，進(jìn)而求得，計(jì)算即可.【詳解】由條件得，故，所以，解得.故選：B.3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)任意都有，當(dāng)時(shí)，則等于（

）A．2 B． C．0 D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性推得函數(shù)的周期為4，利用周期性和奇函數(shù)特征即可求得的值.【詳解】定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，且對(duì)任意都有，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，∴，故，∴，∴是周期為4的周期函數(shù)．則．故選：A．4．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，，均滿足．若，則（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】先賦值求出，接著賦值，求出，再賦值求出，最后賦值，即可求解.【詳解】令，得，所以；令，，得，又，所以；令，得；令，，得.故選：D.5．（2024·四川·三模）定義在R上的函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)條件得到的對(duì)稱中心，再根據(jù)對(duì)稱得到的對(duì)稱中心.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，故的對(duì)稱中心為，即，由于函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，故的對(duì)稱中心為.故選：D6．（2024·山西·三模）設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，不等式，即，等價(jià)于，解得或，所以不等式的解集為.故選：C7．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】首先得到的周期性，再結(jié)合奇偶性與所給函數(shù)解析式計(jì)算可得.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足，則，即是周期為的周期函數(shù)，所以，，又由函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則，，當(dāng)時(shí)，，則，則，所以；故選：B．8．（2024·陜西銅川·三模）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，解得.故選：C.二、多選題9．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）定義在上的函數(shù)滿足，則（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．單調(diào)遞增【答案】BCD【分析】A和B項(xiàng)，令后進(jìn)行分類(lèi)討論即可得出結(jié)論；C項(xiàng)，令即可得出的表達(dá)式，進(jìn)而得出奇偶性；D項(xiàng)，由C項(xiàng)得出表達(dá)式，即可得出單調(diào)性.【詳解】由題意，在中，A和B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，解得：或，當(dāng)時(shí)，則，由于具有任意性，故不成立，∴，A錯(cuò)誤，B正確；C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，∵，∴為奇函數(shù)，且，C正確；D項(xiàng)，由C項(xiàng)可知，故為增函數(shù)，D正確.故選：BCD.10．（2024·廣西來(lái)賓·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且，則（

）A． B．為奇函數(shù)C．不存在零點(diǎn) D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合抽象函數(shù)的賦值法，列出方程，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由，令，可得，因?yàn)?，所以，所以A正確；對(duì)于B中，函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，由，顯然不符合，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，所以B不正確；對(duì)于C中，由，令，可得，即，解得或，所以函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，所以C正確；對(duì)于D中，由，令，可得，所以，即，所以D正確.故選：ACD．一、單選題1．（2024·江西·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】依題意可得的奇偶性、對(duì)稱性與周期性，即可得到的圖象，即可得到，，解得即可.【詳解】因?yàn)?，所以為奇函?shù)；又因?yàn)?，所以關(guān)于直線對(duì)稱；由知的一個(gè)周期為.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知，若，則，，解得，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，.故選：D．2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于的不等式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，可得在上遞增，要使得函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則滿足，且，解可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.二、多選題3．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．是偶函數(shù)C． D．的圖象關(guān)于對(duì)稱【答案】BCD【分析】根據(jù)所給關(guān)系式，利用賦值法一一計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，令可得，解得或，又?dāng)時(shí)，恒成立，所以，故A錯(cuò)誤；令，，則，即，所以為偶函數(shù)，故B正確；令，，則，所以，令，，則，所以，故C正確；令可得，令，可得，又，所以，即，所以，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，故D正確.故選：BCD4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)，且為的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．C． D．【答案】BCD【分析】對(duì)于A：令，可判斷A；對(duì)于B：令，進(jìn)而計(jì)算可判斷B；對(duì)于C：為奇函數(shù)，可得為偶函數(shù)；進(jìn)而可得關(guān)于對(duì)稱，可判斷C；對(duì)于D：令，可得，令，則，兩式相加可判斷D.【詳解】對(duì)于A：令，則，為奇函數(shù)，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：令，則，令，則為奇函數(shù)，，的周期為4，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：為奇函數(shù)，為偶函數(shù)；的周期為4，為偶函數(shù)，，關(guān)于對(duì)稱，所以，令，可得，令，可得，所以，故，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：令，則，即①，令，則②，由①+②得，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)的奇偶性、周期性以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，解答的關(guān)鍵是根據(jù)題意采用變量代換推出函數(shù)為周期為4的周期函數(shù)，進(jìn)而求得一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值，即可求解.5．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的函數(shù)，且滿足：①；②，則（

）A． B．為奇函數(shù)C．在上單調(diào)遞增 D．在處取得極小值【答案】AB【分析】對(duì)于A：令，即可得結(jié)果；對(duì)于B：令，可得，結(jié)合奇函數(shù)的定義分析判斷；對(duì)于CD：舉反例，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，A：令，可得，故A正確；B：令，可得，則，即，若，可得；若，則，滿足；綜上所述：，所以為奇函數(shù)，故B正確；C、D：例如，顯然不恒為0，且，，即，所以符合題意，但在上單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)，故C、D錯(cuò)誤；故選：AB.6．（2024·湖北荊州·三模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則（

）A． B．關(guān)于中心對(duì)稱C．是周期函數(shù) D．的解析式可能為【答案】ACD【分析】對(duì)于A：根據(jù)題意賦值即可；對(duì)于C：根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)以及周期性的定義分析判斷；對(duì)于B：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于D：將代入題意關(guān)系式檢驗(yàn)即可.【詳解】由，且函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于選項(xiàng)A：令，，可得，且，可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)C：令，則，則，即，可知為偶函數(shù)，令，則，可知，，可得，則，所以，可知周期為6，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)橛捎跒榕己瘮?shù)且周期為6，則，不滿足，所以不關(guān)于中心對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，即符合題意，所以的解析式可能為，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱性，在解題中根據(jù)問(wèn)題的條件通過(guò)變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．7．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由為偶函數(shù)，得，兩邊求導(dǎo)化簡(jiǎn)后可得為奇函數(shù)，然后逐個(gè)賦值分析判斷即可.【詳解】對(duì)于，∵為偶函數(shù)，則兩邊求導(dǎo)得:,∴，為奇函數(shù)，,令，則，，所以不正確對(duì)于，令，可得，則,

所以正確;

對(duì)于，，可得，，兩式相加的令，即可得，所以正確;對(duì)于，∵，則，又，可得，所以是以為周期的函數(shù)，所以，所以正確.故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷為奇函數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于較難題.8．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．為偶函數(shù) B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)所給條件，利用賦值法和遞推法進(jìn)行推導(dǎo)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，令，則，故，則，令，則，又令,結(jié)合得，所以不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，令，則．而，，所以，故B正確．對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知，，令，則，所以．又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，故C正確．對(duì)于D，由選項(xiàng)B以及，可得，所以，，令得,結(jié)合遞推可得，．因?yàn)?，故，故D錯(cuò)誤．故選：BC【點(diǎn)睛】抽象函數(shù)問(wèn)題，常常要取恰當(dāng)?shù)奶厥庵挡⒔Y(jié)合遞推關(guān)系得到進(jìn)一步的結(jié)論.9．（2024·河南三門(mén)峽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，且，若，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用抽象函數(shù)的關(guān)系式，采用賦值，賦變量的方法，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，即可判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.令，得，故A項(xiàng)正確；因?yàn)?所以，即，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，則的一個(gè)周期為4.因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，所以是的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，所以，則.故B項(xiàng)錯(cuò)誤；由，得，即.所以，故C項(xiàng)正確；設(shè)為常數(shù)），定義域?yàn)?，則，又，所以，顯然也滿足題設(shè)，即上?下平移均滿足題設(shè)，顯然的值不確定，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)抽象函數(shù)進(jìn)行賦值，以及抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，，即可正確得到.三、填空題10．（2024·山