第06講 函數(shù)與方程（教師版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第06講函數(shù)與方程（5類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2024年新I卷，第7題,5分求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)正弦函數(shù)圖象的應用2024年新Ⅱ卷，第6題,5分根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍函數(shù)奇偶性的定義與判斷函數(shù)奇偶性的應用求余弦(型)函數(shù)的奇偶性2024年新Ⅱ卷，第9題,6分求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值求正弦(型)函數(shù)的對稱軸及對稱中心求正弦(型)函數(shù)的最小正周期2024年新Ⅱ卷，第11題,6分判斷零點所在的區(qū)間函數(shù)對稱性的應用函數(shù)單調性、極值與最值的綜合應用利用導數(shù)研究函數(shù)的零點2023年新I卷，第15題,5分根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍余弦函數(shù)圖象的應用2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的命題載體內容，通常會結合其他知識點考查，需要掌握函數(shù)零點的定義，難度不定，分值為5-6分【備考策略】1.結合學過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)的零點與方程解的關系，會判斷函數(shù)零點所在區(qū)間及零點個數(shù)2.結合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點，了解函數(shù)零點存在定理3.了解用二分法求方程的近似解，能借助計算工具用二分法求方程近似解【命題預測】本節(jié)內容通常以函數(shù)為載體，考查函數(shù)零點，是新高考復習的重要內容知識講解函數(shù)的零點一般的，對于函數(shù)，我們把方程的實數(shù)根叫作函數(shù)的零點。零點存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內必有零點，即，使得注：零點存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù)，如果是分段的，那么零點不一定存在函數(shù)單調性對零點個數(shù)的影響如果一個連續(xù)函數(shù)是單調函數(shù)，那么它的零點至多有一個。因此分析一個函數(shù)零點的個數(shù)前，可嘗試判斷函數(shù)是否單調4、幾個“不一定”與“一定”（假設在區(qū)間連續(xù)）（1）若，則“一定”存在零點，但“不一定”只有一個零點。要分析的性質與圖象，如果單調，則“一定”只有一個零點（2）若，則“不一定”存在零點，也“不一定”沒有零點。如果單調，那么“一定”沒有零點（3）如果在區(qū)間中存在零點，則的符號是“不確定”的，受函數(shù)性質與圖象影響。如果單調，則一定小于05、零點與單調性配合可確定函數(shù)的符號是一個在單增連續(xù)函數(shù)，是的零點，且，則時，；時，6、判斷函數(shù)單調性的方法（1）可直接判斷的幾個結論：①若為增（減）函數(shù)，則也為增（減）函數(shù)②若為增函數(shù)，則為減函數(shù)；同樣，若為減函數(shù)，則為增函數(shù)③若為增函數(shù)，且，則為增函數(shù)（2）復合函數(shù)單調性：判斷的單調性可分別判斷與的單調性（注意要利用的范圍求出的范圍），若，均為增函數(shù)或均為減函數(shù)，則單調遞增；若，一增一減，則單調遞減（此規(guī)律可簡記為“同增異減”）（3）利用導數(shù)進行判斷——求出單調區(qū)間從而也可作出圖象7、證明零點存在的步驟（1）將所證等式中的所有項移至等號一側，以便于構造函數(shù)（2）判斷是否要對表達式進行合理變形，然后將表達式設為函數(shù)（3）分析函數(shù)的性質，并考慮在已知范圍內尋找端點函數(shù)值異號的區(qū)間（4）利用零點存在性定理證明零點存在考點一、求函數(shù)的零點及零點個數(shù)1．（2024·山東青島·二模）函數(shù)的零點為（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】令，解出即可.【詳解】因為，令，解得，即函數(shù)的零點為1.故選：B.2．（2024·江蘇·一模）函數(shù)在區(qū)間內的零點個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】利用三角函數(shù)的性質求解即可.【詳解】令，得，則；故，，所以在共有4個零點，故選：C.3．（23-24高三下·重慶·階段練習）（多選）已知函數(shù)的零點為，的零點為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】將零點問題轉化為交點問題，根據(jù)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的性質逐一判斷即可.【詳解】∵函數(shù)的零點為，的零點為，∴函數(shù)與函數(shù)圖象的交點的橫坐標為，函數(shù)與函數(shù)圖象的交點的橫坐標為，作函數(shù)、函數(shù)、函數(shù)的圖象如圖6，點A的橫坐標為，點B的橫坐標為，∵函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線對稱，函數(shù)的圖象關于直線對稱，∴點A、B關于直線對稱，又∵點A、B在直線上，∴點A、B關于原點對稱，對于A：∴，故選項A錯誤；對于B：易知，故選項B正確；對于C：∵，，，∴，即選項C正確；對于D：由零點存在定理易知，，∴，即，，故選項D正確，故選:BCD．1．（2023·上海徐匯·一模）函數(shù)的零點是．【答案】/0.5【分析】利用對數(shù)運算及零點含義可得答案.【詳解】由題意可得函數(shù)的定義域為.，令可得，解得或（舍），故答案為：.2．（2024·河北·模擬預測）函數(shù)在區(qū)間內所有零點的和為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】利用和角的余弦公式及二倍角公式化簡函數(shù)，由零點意義求得或，再借助正余弦函數(shù)圖象性質求解即得.【詳解】依題意，，由，得或或（不符合題意，舍去），函數(shù)是偶函數(shù)，在上的所有零點關于數(shù)0對稱，它們的和為0，正弦函數(shù)的周期為，方程在的兩根和為，在上的兩根和為，因此在上的兩根和構成首項為，末項為的等差數(shù)列，共有項，所有根的和為.故選：B3．（2024·河北·模擬預測）（多選）已知函數(shù)的零點分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對于A，由題意得，進而得即可求解判斷；對于B，先明確零點取值范圍，由取值范圍再結合即即可求解判斷；對于C，由即以及零點的取值范圍即可求解判斷；對于D，結合AB以及將轉化成即可判斷.【詳解】對于A，由題，，所以即，所以，故，故A正確；對于B，由得，故函數(shù)與圖象交點橫坐標和與圖象交點的橫坐標即為函數(shù)和的零點，如圖，由圖象性質可知，又由A得，故，所以，故B錯；對于C，由上即，以及得：，故C對；對于D，由AB得，，，所以，故D對.故選：ACD.【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵一是由和得即，二是數(shù)形結合明確零點的取值范圍為且，接著對所判式子進行變形放縮等即可判斷.考點二、求方程的根及根的個數(shù)1．（2024·浙江金華·三模）若函數(shù)，則方程的實數(shù)根個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】求導得到函數(shù)單調性，畫出函數(shù)圖象，令，則，且，當時，結合圖象可知，只有1個解，當時，結合圖象可知，只有1個解，當時，結合圖象可知，由3個解，從而得到答案.【詳解】，當時，，則，此時在上單調遞減，當時，，則，故當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，畫出函數(shù)和的圖象如下：令得，故，令，則，且，當時，結合圖象可知，只有1個解，當時，結合圖象可知，只有1個解，當時，結合圖象可知，由3個解，綜上，方程的實數(shù)根的個數(shù)為5.故選：D2．（2024·浙江溫州·三模）已知函數(shù)，則關于方程的根個數(shù)不可能是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】將原問題轉化為直線與函數(shù)的圖象交點的個數(shù)，作出的圖象，分、、三種情況，結合圖象求解即可．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

將原問題轉化為直線（過定點）與函數(shù)的圖象交點的個數(shù)，由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點；當時，直線與函數(shù)的圖象沒有交點；當時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點；所以直線與函數(shù)的圖象不可能有兩個交點．故選：C．1．（23-24高三下·遼寧·階段練習）已知函數(shù)，則方程在區(qū)間上的所有實根之和為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】首先確定的圖象關于對稱，然后分和兩種情況進行討論，利用數(shù)形結合的方法，在同一直角坐標系中畫出、，通過判斷兩函數(shù)在上的交點個數(shù)即可求出函數(shù)的實根和.【詳解】因為，則，所以的圖象關于對稱，因為，此時不成立，當時，由，即，則，，，，在同一平面直角坐標系中畫出與，的圖象如下所示：由圖可得與在上有且僅有個交點，圖象都關于，所以所有的實根之和為.故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是判斷出關于對稱，再將方程的解轉化為函數(shù)與函數(shù)的交點橫坐標，根據(jù)對稱性計算.2．（22-23高一上·上?！て谀┮阎瑒t方程的實數(shù)根個數(shù)不可能為（

）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】A【分析】作出的圖象，令，由對勾函數(shù)的性質作出的圖象，再對分類討論，將問題轉化為關于的方程（具體到每種類型時為常數(shù)）的解的個數(shù)問題.【詳解】因為，當時，則在上單調遞增，在上單調遞減，又，，，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，且，，，，，作出的圖象，如圖所示：令，由對勾函數(shù)的性質可知在，上單調遞減，在，上單調遞增，且，，則的圖象如下所示：①當時，令或，則關于的方程有兩個實數(shù)解，關于的方程的方程也有兩個實數(shù)解，即此時對應的個數(shù)為，（以下處理方法類似）；②當時，令或或，此時對應的個數(shù)為6；③當時，令或或或，此時對應的個數(shù)為；④當時，或或或，此時對應的個數(shù)為；⑤當時，或或，此時對應的個數(shù)為；⑥當時，或，此時對應的個數(shù)為3；⑦當時，，此時對應的個數(shù)為2.綜上可知，實數(shù)根個數(shù)不可能為5個.故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是作出的圖象，再對分類討論，將問題轉化為關于的方程（具體到每種類型時為常數(shù)）的根的問題.考點三、求圖象的交點及交點個數(shù)1．（2024·全國·高考真題）當時，曲線與的交點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】畫出兩函數(shù)在上的圖象，根據(jù)圖象即可求解【詳解】因為函數(shù)的的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個周期的圖象，在坐標系中結合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個交點.故選：C2．（2023·全國·高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點處與的大小關系，從而精確圖像，由此得解.【詳解】因為向左平移個單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點，作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關系，當時，，；當時，，；當時，，；所以由圖可知，與的交點個數(shù)為.故選：C.1．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】在同一坐標系中，作出兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點個數(shù).【詳解】函數(shù)與都是偶函數(shù)，其中，，在同一坐標系中，作出函數(shù)與的圖象，如下圖，由圖可知，兩函數(shù)的交點個數(shù)為6.故選：D2．（2021·全國·模擬預測）已知函數(shù)的零點為軸上的所有整數(shù)，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意明確函數(shù)的表達式，數(shù)形結合求出二者的交點個數(shù).【詳解】因為函數(shù)的零點為軸上的所有整數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期，所以，且，結合，可得，所以．作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如下圖所示，可知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有個交點，故選：D．

【點睛】方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷(1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點；(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．考點四、用零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間1．（2022高三·全國·專題練習）函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先判斷函數(shù)的單調性，再根據(jù)零點存在性定理判斷即可.【詳解】的定義域為，又與在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，，所以，根據(jù)函數(shù)零點存在性定理可得函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間為，故選：B.2．（23-24高三上·浙江寧波·期末）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)零點存在性定理進行求解.【詳解】由已知，可知為增函數(shù)，且，，根據(jù)零點存在定理，函數(shù)在有零點，且零點是唯一的.故選：B1．（23-24高三下·北京·階段練習）函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷的單調性，結合零點存在性定理分析判斷.【詳解】因為的定義域為，且在內單調遞增，可知在內單調遞增，且，所以函數(shù)的唯一一個零點所在的區(qū)間是.故選：B.2．（2024·陜西安康·模擬預測）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由零點存在性定理可得答案.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，又，易知函數(shù)在上單調遞增，又，所以在內存在一個零點，使.故選：C.考點五、根據(jù)零點、方程的根及圖象交點求參數(shù)范圍1．（2024·全國·高考真題）設函數(shù)，，當時，曲線與恰有一個交點，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】解法一：令，分析可知曲線與恰有一個交點，結合偶函數(shù)的對稱性可知該交點只能在y軸上，即可得，并代入檢驗即可；解法二：令，可知為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點只能為0，即可得，并代入檢驗即可.【詳解】解法一：令，即，可得，令，原題意等價于當時，曲線與恰有一個交點，注意到均為偶函數(shù)，可知該交點只能在y軸上，可得，即，解得，若，令，可得因為，則，當且僅當時，等號成立，可得，當且僅當時，等號成立，則方程有且僅有一個實根0，即曲線與恰有一個交點，所以符合題意；綜上所述：.解法二：令，原題意等價于有且僅有一個零點，因為，則為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點只能為0，即，解得，若，則，又因為當且僅當時，等號成立，可得，當且僅當時，等號成立，即有且僅有一個零點0，所以符合題意；故選：D.2．（2024·安徽合肥·三模）設，函數(shù)，若函數(shù)恰有5個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，可確定當時，函數(shù)的零點個數(shù)，繼而作出的大致圖像，考慮時的圖象情況，分類討論，將零點問題轉化為函數(shù)圖象的交點問題，數(shù)形結合，即可解決.【詳解】設，當時，，此時，由得，即，解得或，所以在上有2個零點；時，若，對稱軸為，函數(shù)的大致圖象如圖：此時，即，則，所以無解，則無零點，無零點，綜上，此時只有兩個零點，不符合題意，若，此時的大致圖象如下：令，解得（舍去），顯然在上存在唯一負解，所以要使恰有5個零點，需，即，解得，所以．故選：D【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決;（3）數(shù)形結合法:先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解.3．（23-24高一上·重慶·期中）已知，若關于x的方程在上有解，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知可得.當時，設，，根據(jù)函數(shù)的單調性以及函數(shù)增長速度的快慢，結合函數(shù)圖象，列出不等式，求解即可得出；當時，代入方程求解，即可判斷；當時，設，根據(jù)函數(shù)的單調性，結合零點存在定理，列出不等式組，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，.當時，設，，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞減.但是函數(shù)的遞減的速度要慢于函數(shù)的遞減速度，且.作出函數(shù)以及的圖象如圖，要使與在上有交點，應滿足，即.又，所以；當時，由已知可得，整理可得，解得，或（舍去），此時方程有解，滿足；當時，設，函數(shù)以及均為上的增函數(shù)，所以，在上單調遞增.要使在上有解，根據(jù)零點存在定理可知，應有，即，解得.綜上所述，.故選：B.1．（2024·全國·高考真題）曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為．【答案】【分析】將函數(shù)轉化為方程，令，分離參數(shù)，構造新函數(shù)結合導數(shù)求得單調區(qū)間，畫出大致圖形數(shù)形結合即可求解.【詳解】令，即，令則，令得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，，因為曲線與在上有兩個不同的交點，所以等價于與有兩個交點，所以.故答案為：2．（22-23高三上·河北張家口·期末）（多選）已知，方程，在區(qū)間的根分別為a，b，以下結論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】題意說明分別是函數(shù)和的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，利用這三個函數(shù)圖象都關于直線對稱得，，直接變形判斷AB，利用不等式知識判斷C，由零點存在定理確定，構造函數(shù)，確定其單調性，由單調性判斷D．【詳解】已知兩方程化為，，所以分別是函數(shù)和的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，易知和的圖象關于直線對稱，而函數(shù)的圖象可以看作是由的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到的，因此的圖象也關于直線對稱，所以點與關于直線對稱，，，，A正確；又，所以，，從而，B正確；，當且僅當即時取等號，由于，而，因此，等號不成立，即，C錯誤，，設，則，，，所以，所以，時，是減函數(shù)，所以由得，所以，D正確．故選：ABD．【點睛】關鍵點睛：本題考查函數(shù)零點與方程根的關系，解題關鍵是確定分別是函數(shù)和的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，利用這三個函數(shù)圖象都關于直線對稱得出的關系．3．（2024·天津·高考真題）若函數(shù)恰有一個零點，則的取值范圍為．【答案】【分析】結合函數(shù)零點與兩函數(shù)的交點的關系，構造函數(shù)與，則兩函數(shù)圖象有唯一交點，分、與進行討論，當時，計算函數(shù)定義域可得或，計算可得時，兩函數(shù)在軸左側有一交點，則只需找到當時，在軸右側無交點的情況即可得；當時，按同一方式討論即可得.【詳解】令，即，由題可得，當時，，有，則，不符合要求，舍去；當時，則，即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點，由，可得或，當時，則，則，即，整理得，當時，即，即，當，或（正值舍去），當時，或，有兩解，舍去，即當時，在時有唯一解，則當時，在時需無解，當，且時，由函數(shù)關于對稱，令，可得或，且函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，令，即，故時，圖象為雙曲線右支的軸上方部分向右平移所得，由的漸近線方程為，即部分的漸近線方程為，其斜率為，又，即在時的斜率，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調遞增，故有，解得，故符合要求；當時，則，即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點，由，可得或，當時，則，則，即，整理得，當時，即，即，當，（負值舍去）或，當時，或，有兩解，舍去，即當時，在時有唯一解，則當時，在時需無解，當，且時，由函數(shù)關于對稱，令，可得或，且函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，同理可得：時，圖象為雙曲線左支的軸上方部分向左平移所得，部分的漸近線方程為，其斜率為，又，即在時的斜率，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調遞減，故有，解得，故符合要求；綜上所述，.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于將函數(shù)的零點問題轉化為函數(shù)與函數(shù)的交點問題，從而可將其分成兩個函數(shù)研究.一、單選題1．（23-24高一上·河北邢臺·階段練習）函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷函數(shù)的單調性，再根據(jù)零點的存在性定理即可得解.【詳解】因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，所以在上單調遞增，因為，所以的零點所在的區(qū)間為.故選：C.2．（2024高三·全國·專題練習）若函數(shù)y＝ax2＋2x＋1有且只有一個零點，則實數(shù)a的值為（

）A．1 B．0C．0或1 D．一切實數(shù)【答案】C【解析】略3．（2024·山西·模擬預測）方程的實數(shù)根的個數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】作出函數(shù)和的圖象，由圖象交點個數(shù)得出結論．【詳解】設，．在同一直角坐標系內畫出與的大致圖象，當時，；當時，．根據(jù)圖象可得兩個函數(shù)共有11個交點．故選：C．4．（2024高三上·全國·競賽）方程的實數(shù)解的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)的定義即可求解.【詳解】依題意，原方程等價于即，顯然只有一個正實根.故選：B.5．（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)已知條件先畫出在不同定義域內的圖象，需要求解函數(shù)的零點個數(shù)，令，利用函數(shù)的圖象求解和兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)即可.【詳解】由題意可知，的零點個數(shù)可以轉化為和函數(shù)的圖象交點個數(shù)，它們的函數(shù)圖象如圖所示.故選：C．6．（23-24高二下·安徽蕪湖·期中）已知函數(shù)存在兩個零點，則實數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】采用參變分離法，將函數(shù)存在兩個零點轉化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導數(shù)探究函數(shù)的圖象及趨勢特征即得參數(shù)范圍.【詳解】由，，可得：，令，依題意，函數(shù)存在兩個零點，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點.又，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，故時，取得極大值，且當時，，當時，，故要使函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點.，需使，解得.故選：C.7．（23-24高三下·福建廈門·強基計劃）在上的零點個數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】借助因式分解的方法，結合特殊角的三角函數(shù)值求解即得.【詳解】依題意，，而，顯然且，因此，由，得，解得或，所以在上的零點個數(shù)是2.故選：B8．（2024·浙江紹興·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)的零點個數(shù)為奇數(shù)個，則（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】C【分析】由函數(shù)的圖象關于對稱得零點關于對稱，但的零點個數(shù)為奇數(shù)個可得答案.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以的圖象關于對稱，令，則，可得函數(shù)的圖象關于對稱，所以函數(shù)的圖象關于對稱，則函數(shù)的零點關于對稱，但的零點個數(shù)為奇數(shù)個，則所以.故選：C.二、填空題9．（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)在所有零點之和為【答案】【分析】化簡函數(shù)為，令，求得方程的根，即可求解.【詳解】由，令，即，解得或，因為，所以或或，所以零點之和為.故答案為：.10．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)f（x）＝則使得方程x＋f（x）＝m有解的實數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】方程有解，利用求函數(shù)的值域即可得到參數(shù)的范圍.【詳解】當時，，即有解，則；當時，，即有解，則，即實數(shù)m的取值范圍是.故答案為：一、單選題1．（2024·山東·模擬預測）已知函數(shù)，則使有零點的一個充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先判斷，此時可得的單調性，依題意可得，令，結合函數(shù)的單調性及零點存在性定理得到存在使得，從而得到有零點的充要條件為，即可判斷.【詳解】因為，當時，，所以，沒有零點，故A錯誤；當時與在上單調遞增，所以在上單調遞增，，要使有零點，則需，即，令，則在上單調遞減，且，，，所以存在使得，所以有零點的充要條件為，所以使有零點的一個充分條件是.故選：D2．（2024·甘肅張掖·模擬預測）函數(shù)的所有零點之和為（

）A．0 B．-1 C． D．2【答案】A【分析】令，即，構造函數(shù)與函數(shù)，畫出函數(shù)圖象，可知兩個函數(shù)圖象相交于兩點，設為，得，進而得到，即【詳解】由零點定義可知，函數(shù)的零點，就是方程的實數(shù)根，令，則，顯然，所以，構造函數(shù)與函數(shù)，則方程的根，可轉化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，根據(jù)圖象可知，兩個函數(shù)圖象相交于兩點，所以此方程有兩個實數(shù)根，即函數(shù)有兩個零點，設為，所以，，即，另外發(fā)現(xiàn)，將代入，可得，所以也是函數(shù)的零點，說明，即.故選:A.3．（2024·河北衡水·模擬預測）已知函數(shù)若關于的方程有5個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直線與函數(shù)的圖象有5個交點，可得是奇函數(shù)，可得只需直線與曲線有2個交點即可，即方程有2個實數(shù)根，利用導數(shù)即可求解.【詳解】由題意得，則直線與函數(shù)的圖象有5個交點.顯然，直線與的圖象交于點.又當時，；當時，；當時，，所以是奇函數(shù)，則必須且只需直線與曲線有2個交點即可，所以方程有2個實數(shù)根.令，則，當時，單調遞減；當時，單調遞增，所以.又當趨近于0時，,所以；當趨近于時，，所以必須且只需.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：直接法；分離參數(shù)法；數(shù)形結合法.4．（23-24高三下·浙江·階段練習）已知函數(shù)的零點分別為，則的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查函數(shù)的零點問題，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，令，利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)和函數(shù)的對稱性求出，即可求的值．【詳解】由題意，，令，因為與互為反函數(shù)，兩個函數(shù)的圖象關于直線對稱，且的圖象也關于直線對稱，設，則關于直線對稱，所以且由可得，所以．由可得，所以，又代入上式可得，則．故選：A．二、多選題5．（23-24高三下·云南昆明·階段練習）已知函數(shù)，若方程有五個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的值可以為（

）A． B． C． D．0【答案】AB【分析】畫出函數(shù)圖象，結合圖象可知，在有兩個零點，列出不等式組求解即可.【詳解】,如圖所示，令，則，若方程有五個不相等的實數(shù)根，則有兩個零點分別為，，由圖象可知，即，可得，解得，則實數(shù)的取值范圍是，故選：AB．6．（2024·湖南懷化·二模）已知函數(shù)的零點為的零點為，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用函數(shù)零點的意義，結合函數(shù)與互為反函數(shù)，確定的關系，再逐項分析判斷得解.【詳解】依題意，，，則分別是直線與函數(shù)，圖象交點的橫坐標，而函數(shù)與互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線對稱，又直線垂直于直線，則點與點關于直線對稱，則，于是，，，BC正確，A錯誤；，即，D錯誤.故選：BC

三、填空題7．（2024·寧夏銀川·二模）函數(shù)有兩個零點,求a的范圍【答案】【分析】根據(jù)零點的定義,轉化為的交點個數(shù)問題.結合反函數(shù)特征,得解.【詳解】的零點兩個,即的根有兩個.即的交點有兩個.而互為反函數(shù),圖像關于對稱.當兩個圖像均與相切時,設切點橫坐標為.分別求導,所以,所以.,即,所以.當時候,兩圖像有一個交點,當,兩圖像有兩個交點,即的零點兩個.綜上所.故答案為:.8．（2024·天津·模擬預測）已知函數(shù)有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】是函數(shù)的一個零點，再分段去絕對值符號，探討零點個數(shù)即得.【詳解】顯然是函數(shù)的一個零點，當時，，此時函數(shù)無零點；當時，，由，得，因為函數(shù)有3個零點，必有，所以實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：9．（2024·江蘇徐州·模擬預測）若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】本題根據(jù)已知條件給定的零點個數(shù)，對參數(shù)a分類討論并結合函數(shù)圖象即可求解.【詳解】①當時，，由于時，時，此時只有一個零點，所以不符合題意；②當時，，函數(shù)的大概圖象如圖所示，，由于時，，時，，當且僅當，即時取等號，此時在上有，要使有兩個零點，只需，即；③當時，，函數(shù)的大概圖象如圖所示，，由于函數(shù)在上是增函數(shù)，故與x軸有且只有一個交點，要使有兩個零點，只需函數(shù)有一個零點即可，當時，恰好只有一個零點.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.10．（2024·天津武清·模擬預測）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】本題首先可根據(jù)函數(shù)解析式研究函數(shù)在區(qū)間和上零點個數(shù)，然后根據(jù)在區(qū)間上有1個零點，函數(shù)在區(qū)間上有2個零點或根據(jù)在區(qū)間上有2個零點，函數(shù)在區(qū)間上有1個零點，即可得出結果.【詳解】當時，令，得，即，該方程至多兩個根；當時，令，得，該方程至多兩個根，因為函數(shù)恰有3個不同的零點，所以函數(shù)在區(qū)間和上均有零點，若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，即直線與函數(shù)在區(qū)間上有兩個交點，當時，；當時，，此時函數(shù)的值域為，則，解得，若函數(shù)在區(qū)間上有1個零點，則或，解得或，若函數(shù)在區(qū)間上也有兩個零點，令，解得，，則，解得，若函數(shù)在區(qū)間上有1個零點，則且，解得；所以當函數(shù)在區(qū)間上有1個零點，在區(qū)間上有兩個零點時，需滿足，解得，當函數(shù)在區(qū)間上有2個零點，在區(qū)間上有1個零點時,需滿足，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)函數(shù)零點數(shù)目求參數(shù)的取值范圍，可將其轉化為兩個函數(shù)的交點數(shù)目進行求解，其中分段函數(shù)中一段可以有2個交點也可有1個交點，據(jù)此結合總共有3個交點求解，考查分類討論思想，是難題.1．（2024·全國·高考真題）設函數(shù)，則（

）A．當時，有三個零點B．當時，是的極大值點C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心【答案】AD【分析】A選項，先分析出函數(shù)的極值點為，根據(jù)零點存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點；B選項，根據(jù)極值和導函數(shù)符號的關系進行分析；C選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據(jù)此計算判斷；D選項，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據(jù)此進行計算判斷，亦可利用拐點結論直接求解.【詳解】A選項，，由于，故時，故在上單調遞增，時，，單調遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；B選項，，時，，單調遞減，時，單調遞增，此時在處取到極小值，B選項錯誤；C選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；D選項，方法一：利用對稱中心的表達式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.方法二：直接利用拐點結論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數(shù)的零點，，，，由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.故選：AD【點睛】結論點睛：（1）的對稱軸為；（2）關于對稱；（3）任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心是三次函數(shù)的拐點，對稱中心的橫坐標是的解，即是三次函數(shù)的對稱中心2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是．【答案】【分析】令，得有3個根，從而結合余弦函數(shù)的圖像性質即可得解.【詳解】因為，所以，令，則有3個根，令，則有3個根，其中，結合余弦函數(shù)的圖像性質可得，故，故答案為：.3．（2023·天津·高考真題）設,函數(shù),若恰有兩個零點，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點，再根據(jù)根存在的條件即可判斷的取值范圍．【詳解】（1）當時，，即，若時，，此時成立；若時，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時，，此時成立．（2）當時，，即，若時，，顯然不成立；若時，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時，，顯然不成立；綜上，當時，零點為，；當時，零點為，；當時，只有一個零點；當時，零點為，；當時，只有一個零點；當時，零點為，；當時，零點為．所以，當函數(shù)有兩個零點時，且．故答案為：．【點睛】本題的解題關鍵是根據(jù)定義去掉絕對值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對應的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點）的個數(shù)，從而解出．4．（2022·天津·高考真題）設，對任意實數(shù)x，記．若至少有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】設，，分析可知函數(shù)至少有一個零點，可得出，求出的取值范圍，然后對實數(shù)的取值范圍進行分類討論，根據(jù)題意可得出關于實數(shù)的不等式，綜合可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】設，，由可得.要使得函數(shù)至少有個零點，則函數(shù)至少有一個零點，則，解得或.①當時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：此時函數(shù)只有兩個零點，不合乎題意；②當時，設函數(shù)的兩個零點分別為、，要使得函數(shù)至少有個零點，則，所以，，解得；③當時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的零點個數(shù)為，合乎題意；④當時，設函數(shù)的兩個零點分別為、，要使得函數(shù)至少有個零點，則，可得，解得，此時.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解.5．（2022·北京·高考真題）若函數(shù)的一個零點為，則；．【答案】1【分析】先代入零點，求得A的值，再將函數(shù)化簡為，代入自變量，計算即可.【詳解】∵，∴∴故