第二章：函數(shù)與基本初等函數(shù)（模塊綜合調(diào)研卷）（A4版-教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第二章：函數(shù)與基本初等函數(shù)（模塊綜合調(diào)研卷）（19題新高考新結(jié)構(gòu)）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng):1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由零點(diǎn)存在性定理可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，又，易知函?shù)在上單調(diào)遞增，又，所以在內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，使.故選：C.2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，借助媒介數(shù)比較大小.【詳解】依題意，，而且，所以.故選：D3．已知函數(shù)，則下列說法不正確的是（

）A．函數(shù)單調(diào)遞增 B．函數(shù)值域?yàn)镃．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱 D．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱【答案】C【分析】分離常數(shù)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B；根據(jù)對稱性的定義，與的關(guān)系，即可判斷CD.【詳解】，函數(shù)，，則，又內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，外層函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)?，所以，則，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故B正確；，，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：C.4．函數(shù)的部分圖象大致為（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】由的定義域排除B；由是奇函數(shù)排除C；由排除D，從而得出答案.【詳解】由，得，則的定義域是，排除B；由，得，所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除C；，排除D.故選：A．5．若函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)建立不等式組，解之即可求解.【詳解】令，則或或或解得或，即實(shí)數(shù)m得取值范圍為.故選：C．6．已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于的不等式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，可得在上遞增，要使得函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則滿足，且，解可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.7．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，由的單調(diào)性和最值可證明，再構(gòu)造，由的單調(diào)性和最值可證明，即可得出答案.【詳解】令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，故.令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，即.故.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)，通過求出函數(shù)的單調(diào)性和最值來比較大小.構(gòu)造函數(shù)，和即可得出答案.8．已知函數(shù)的定義域均為，是奇函數(shù)，且，則（

）A．為奇函數(shù) B．為奇函數(shù) C． D．【答案】D【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)已知條件推出是周期為4的周期函數(shù)，故也是周期為4的周期函數(shù)，，故A錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，推出，，，從而求出；B選項(xiàng)，由得，故B錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，計(jì)算出，，故，結(jié)合函數(shù)的周期得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，又，則有，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，可得，即有與，即，所以是周期為4的周期函數(shù)，故也是周期為4的周期函數(shù).因?yàn)榍?所以，所以為偶函數(shù).故A錯(cuò)誤，C選項(xiàng)，由是奇函數(shù)，則，因?yàn)椋?，又，是周期?的周期函數(shù)，故，所以，所以C錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由得，故不是奇函數(shù)，所以B錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)椋裕?所以，所以，所以D選項(xiàng)正確故選：D【點(diǎn)睛】設(shè)函數(shù)，，，．（1）若，則函數(shù)的周期為2a；（2）若，則函數(shù)的周期為2a；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a；（5）若，則函數(shù)的周期為；（6）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線與對稱，則函數(shù)的周期為；（7）若函數(shù)的圖象既關(guān)于點(diǎn)對稱，又關(guān)于點(diǎn)對稱，則函數(shù)的周期為；（8）若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱，又關(guān)于點(diǎn)對稱，則函數(shù)的周期為；（9）若函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對稱，則的周期為2a；（10）若函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對稱，則的周期為4a．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得0分）9．已知，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算法則化簡，結(jié)合作差法和基本不等式比較大小，依次判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，對A選項(xiàng)，，所以，故A正確；對B選項(xiàng)，，所以，故B選項(xiàng)不正確；對C選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，而，故上述不等式等號不成立，則，故C不正確；對D選項(xiàng)，,故D正確.故選：AD10．已知函數(shù)，的定義域均為，且滿足，，，則（

）A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C． D．【答案】AC【分析】由得出的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，由和得出可判斷A；由和可判斷B；根據(jù)的定義域均為和圖象關(guān)于點(diǎn)對稱可判斷C；記，，，結(jié)合選項(xiàng)A知數(shù)列和數(shù)列均為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式可判斷D.【詳解】，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即，對于A，，①，，②，②-①得，故A正確；對于B，，③，④，③-④得，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故B錯(cuò)誤；對于C，的定義域?yàn)榍覉D象關(guān)于點(diǎn)對稱，，故C正確；對于D，的定義域?yàn)榍覉D象關(guān)于點(diǎn)對稱，，由②知，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，，，，記，，，由選項(xiàng)A知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．著名的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷在19世紀(jì)提出了這樣一個(gè)“奇怪的”函數(shù)：定義在上的函數(shù).后來數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在其定義域上處處不連續(xù)、處處不可導(dǎo)．根據(jù)該函數(shù)，以下是真命題的有（

）A．B．的圖象關(guān)于軸對稱C．的圖象關(guān)于軸對稱D．存在一個(gè)正三角形，其頂點(diǎn)均在的圖象上【答案】BCD【分析】特殊值代入驗(yàn)證A，D；利用偶函數(shù)定義判斷B，C.【詳解】對于A，當(dāng)，時(shí)，，，，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，若是無理數(shù)，則是無理數(shù)，所以，；若是有理數(shù)，則是有理數(shù)，所以，；所以，故是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，B正確；對于C，由B可知，，所以，故是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，C正確；對于D，設(shè)，，，則，所以是等邊三角形，又因?yàn)椋?，，所以的頂點(diǎn)均在的圖象上，D正確.故選：BCD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．若是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)．【答案】【分析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，據(jù)此即可求解,注意檢驗(yàn).【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，所以，所以，所以，此時(shí)，滿足題意.故答案為：.13．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為．【答案】【分析】將可看作由復(fù)合而成，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，即可求得答案.【詳解】設(shè)，則可看作由復(fù)合而成，由于在上單調(diào)遞增，故要使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，需滿足在區(qū)間上恒成立，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，解得，故a的取值范圍為，故答案為：14．已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意得到冪函數(shù)的定義域和單調(diào)性，得到不等式的等價(jià)不等式組，即可求解.【詳解】由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且是遞減函數(shù)，因?yàn)?，可得，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．環(huán)保部門為了研究某池塘里某種植物生長面積S(單位：)與時(shí)間t(單位：月)之間的關(guān)系，通過觀察建立了函數(shù)模型，且.已知第一個(gè)月該植物的生長面積為，第三個(gè)月該植物的生長面積為.(1)求證：若，則；(2)若該植物的生長面積達(dá)到100以上，則至少要經(jīng)過多少個(gè)月？【答案】(1)證明見解析(2)8個(gè)月【分析】（1）先根據(jù)條件求出參數(shù)，利用指數(shù)的運(yùn)算可得答案；（2）根據(jù)題意可得，求解指數(shù)不等式即可.【詳解】（1）證明：∵，∴.∴.由，得，∴.（2）令，又，，∴，即至少需要經(jīng)過8個(gè)月．16．已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)，且在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)（，且），根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)，代入求出參數(shù)的值，即可得解；（2）首先求出的解析式，令，，令，，則問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)根的分布得到不等式組，解得即可.【詳解】（1）由題意，設(shè)（，且），∵的圖象過點(diǎn)，∴，解得，故函數(shù)的解析式．（2）∵，∴，令，因?yàn)?，所以，∴，，函?shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域.(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由.(3)對，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，理由見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，得出不等式組，即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的定義域的不關(guān)于原點(diǎn)對稱，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得，得到，法一：轉(zhuǎn)化為，令，求得，即可求解；法二：分，和，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)有意義，則滿足，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?（2）解：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù).（3）解：由“對，不等式恒成立”，可得，當(dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞減，，根據(jù)題意得，對法一：可轉(zhuǎn)化為，令，由在上單調(diào)遞減得，可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.法二：設(shè)函數(shù)，①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，可得，解得，則；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，可得，解得，則；③當(dāng)，即時(shí)，在先減后增，可得，解得，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．已知函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)恒有，且當(dāng)時(shí)，，又．(1)判斷的奇偶性并證明；(2)求在區(qū)間的最小值；(3)解關(guān)于的不等式：．【答案】(1)為奇函數(shù)，證明見解析(2)(3)答案見解析【分析】(1)令,得，再令，結(jié)合奇偶性定義可證；(2)先證明單調(diào)性，利用單調(diào)性求解即可；(3)先化為，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)含參二次不等式的分類討論求解即可.【詳解】（1）為奇函數(shù)，理由如下：函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，令得，解得，令得所以對任意恒成立，所以為奇函數(shù)，（2）任取，且，則.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.，即，所以在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間的最小值為，因?yàn)?，令得，令，得，在區(qū)間的最小值為，（3）由，得，由得，由在上單調(diào)遞增得整理得，即，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，解集為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解集為，當(dāng)時(shí)，，解集為，當(dāng)時(shí)，，解集為，綜上所述：當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵之處為第（3）問，需要對含參的二次函數(shù)進(jìn)行分類討論，難點(diǎn)在于分類討論時(shí)標(biāo)準(zhǔn)的確定，主要是按照是否有根，根的大小進(jìn)行分類求解的．19．已知函數(shù)，若對于其定義域中任意給定的實(shí)數(shù)，都有，就稱函數(shù)滿足性質(zhì)．(1)已知，判斷是否滿足性質(zhì)，并說明理由；(2)若滿足性質(zhì)，且定義域?yàn)椋阎獣r(shí)，，求函數(shù)的解析式并指出方程是否有正整數(shù)解？請說明理由；若在上單調(diào)遞增，判定并證明在上的單調(diào)性．【答案】(1)不滿足，理由見解析(2)，沒有正整數(shù)解，理由見解析；在上單調(diào)遞增，證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)性質(zhì)列式計(jì)算驗(yàn)證即可；（2）通過