第04講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第04講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（5類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第10題,6分求已知函數(shù)的極值點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2024年新Ⅱ卷，第11題,6分極值與最值的綜合應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究具體函數(shù)單調(diào)性函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間2024年新Ⅱ卷，第16題,15分根據(jù)極值求參數(shù)求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性2023年新I卷，第11題,5分函數(shù)極值點(diǎn)的辨析函數(shù)的性質(zhì)、奇偶性的定義與判斷2023年新I卷，第22題,12分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)基本(均值)不等式的應(yīng)用、求平面軌跡方程、求直線與地物線相交所得弦的弦長(zhǎng)2023年新Ⅱ卷，第11題,5分根據(jù)極值求參數(shù)根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍2023年新Ⅱ卷，第22題,12分根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)2022年新I卷，第8題,5分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)錐體體積的有關(guān)計(jì)算球的體積的有關(guān)計(jì)算多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題2022年新I卷，第10題,5分求已知函數(shù)的極值點(diǎn)求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)2022年新I卷，第22題,12分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根2021年新I卷，第15題,5分由導(dǎo)數(shù)求函的最值(不含參)無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為5-13-15分【備考策略】1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件2能夠利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值以及在給定閉區(qū)間上的最大值、最小值3體會(huì)導(dǎo)數(shù)與極大(小)值、最大(小)值的關(guān)系【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，會(huì)結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的極值或給定區(qū)間上的最值，熱點(diǎn)內(nèi)容，需綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)的極小值與極小值點(diǎn)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)，右側(cè)，則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)的極小值．(2)函數(shù)的極大值與極大值點(diǎn)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)，右側(cè)，則點(diǎn)b叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)的極大值．（3）極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是極值點(diǎn)是極值點(diǎn)，即：是為極值點(diǎn)的必要非充分條件函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．考點(diǎn)一、求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值.(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)可求函數(shù)的極值.（2）求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就、、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，故在上為增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取極小值且極小值為，無(wú)極大值.（2），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，故在上，即在上即為減函數(shù)，故在上，不合題意，舍.當(dāng)，此時(shí)在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合題意，舍；綜上，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立問(wèn)題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時(shí)還需要對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)研究其符號(hào)特征，處理此類問(wèn)題時(shí)注意利用范圍端點(diǎn)的性質(zhì)來(lái)確定如何分類.2．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)3個(gè)【分析】（1）先對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點(diǎn)存在定理，依次分類討論區(qū)間，，與上的零點(diǎn)的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點(diǎn)的關(guān)系求得的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個(gè)極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無(wú)極值點(diǎn)；綜上：在和上各有一個(gè)極小值點(diǎn)，在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，共有個(gè)極值點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第3小題的解題關(guān)鍵是判斷與的正負(fù)情況，充分利用的單調(diào)性，尋找特殊點(diǎn)判斷即可得解.3．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見(jiàn)解析；（III）【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；（III）令，題目等價(jià)于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.【詳解】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出大致圖像如下：所以當(dāng)時(shí)，與僅有一個(gè)交點(diǎn)，令，則，且，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減，為的極大值點(diǎn)，故存在唯一的極值點(diǎn)；（III）由（II）知，此時(shí)，所以，令，若存在a，使得對(duì)任意成立，等價(jià)于存在，使得，即，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，故，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問(wèn)解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)；第三問(wèn)解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知函數(shù)（）.(1)求函數(shù)的極值；(2)若集合有且只有一個(gè)元素，求的值.【答案】(1)極大值是，無(wú)極小值；(2).【分析】（1）利用求導(dǎo)，通過(guò)參數(shù)，可分析出為正負(fù)的區(qū)間，從而可以判斷的極值；（2）利用不等式有唯一解，則正好是最大值取到等號(hào)，再去分析取等號(hào)的含參方程有解的條件，所以重新構(gòu)造新的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)來(lái)研究函數(shù)的零點(diǎn)和方程的解.【詳解】（1）由，因?yàn)?，所以的定義域?yàn)?，則，因?yàn)闀r(shí)，；時(shí)，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，所以是的極大值點(diǎn)，的極大值是，無(wú)極小值.（2）由（1）可得，要使得集合有且只有一個(gè)元素，則只需要設(shè)，則，因?yàn)闀r(shí)，；時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為.所以，所以關(guān)于的方程有解時(shí)，只能是，所以集合有且只有一個(gè)元素時(shí).2．（2024·浙江溫州·三模）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)，且.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值，無(wú)極小值.(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值點(diǎn)，由單調(diào)性證明.【詳解】（1）函數(shù)，定義域?yàn)椋獾茫獾茫栽谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故極大值為，無(wú)極小值.（2）由（1）可知，且，，所以根據(jù)零點(diǎn)定理，使，使，即時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù)，所以存在唯一極大值點(diǎn)，即，又因?yàn)?，所以，即，得證!3．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)證明：函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理說(shuō)明的單調(diào)性即可證明；（2）換元，并分離參數(shù)求函數(shù)最值即可求解.【詳解】（1）證明：由題意知的定義域?yàn)?，且，令，則，所以（即）在上單調(diào)遞增，又所以在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn).（2）恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立.令，則，所以，令，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的極值點(diǎn)及不等式恒成立問(wèn)題，關(guān)鍵是利用函數(shù)特點(diǎn)同構(gòu)，得到恒成立..考點(diǎn)二、根據(jù)函數(shù)極值或極值點(diǎn)求參數(shù)值或范圍1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）解法一：求導(dǎo)，分析和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導(dǎo)，可知有零點(diǎn)，可得，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即.（2）解法一：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，若，則對(duì)任意恒成立，可知在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無(wú)極大值，由題意可得：，即，構(gòu)建，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為；解法二：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，若有極小值，則有零點(diǎn)，令，可得，可知與有交點(diǎn)，則，若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無(wú)極大值，符合題意，由題意可得：，即，構(gòu)建，因?yàn)閯t在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為.2．（2023·全國(guó)·高考真題）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.【詳解】（1）構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.當(dāng)時(shí)，令因?yàn)椋?，所以函?shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時(shí)，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點(diǎn)，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對(duì)恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，且，則，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.當(dāng)時(shí)，利用，換元放縮；2.當(dāng)時(shí)，利用，換元放縮.3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見(jiàn)解析.(3).【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實(shí)數(shù)的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性利用特殊值法可得關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解方程可得實(shí)數(shù)的值，最后檢驗(yàn)所得的是否正確即可；(3)原問(wèn)題等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有變號(hào)的零點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，和三中情況即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）令，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于直線對(duì)稱，由題意可得，由對(duì)稱性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故.即存在滿足題意.（3）由函數(shù)的解析式可得，由在區(qū)間存在極值點(diǎn)，則在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn);令，則，令，在區(qū)間存在極值點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不合題意;當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值為，令，則，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，據(jù)此可得恒成立，則，由一次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，，且注意到，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以.令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.綜合上面可知:實(shí)數(shù)得取值范圍是.【點(diǎn)睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理性.本題中第二問(wèn)利用對(duì)稱性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗(yàn)證.4．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)由（Ⅰ）知，，其定義域?yàn)椋C，即證，即證．（?。┊?dāng)時(shí)，，，即證．令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，即證，由（?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．綜合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二]【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無(wú)分母函數(shù)由（1）得，，且，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；同理，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時(shí)，，單減，故；當(dāng)時(shí)，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見(jiàn)結(jié)論證明令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．故當(dāng)且時(shí)，且，，即，所以．（?。┊?dāng)時(shí)，，所以，即，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，同理可證得．綜合（?。áⅲ┑?，當(dāng)且時(shí)，，即．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式：當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當(dāng)時(shí)，成立和當(dāng)時(shí)，成立，然后換元構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而證得，通性通法，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證得常見(jiàn)常用結(jié)論（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合性.1．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的一個(gè)極值為．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為18，求實(shí)數(shù)與的值．【答案】(1)或5(2)實(shí)數(shù)的值為的值為5【分析】（1）通過(guò)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到極值點(diǎn)，根據(jù)極值為解出的值；（2）根據(jù)上的單調(diào)性，分，，，四種情況討論的最大值，只有中存在符合題意，令最大值為18，求得和的值.【詳解】（1）由，得，令，得或；令，得；令，得或．所以函數(shù)有兩個(gè)極值和．若，得，解得；若，得，解得．綜上，實(shí)數(shù)的值為－22或5．（2）由（1）得，在區(qū)間的變化情況如下表所示：1+0－0+極大值極小值由表可知，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以最大值為，其值為或，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，，所以在上的最大值為，其值為?5，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，，所以在上的最大值為，其值為?5，不符合題意；④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若在區(qū)間上的最大值為，其值為或，不符合題意，又因?yàn)槿?，則．那么，函數(shù)在區(qū)間上的最大值只可能小于－2，不合題意，所以要使函數(shù)在區(qū)間上的最大值為18，必須使，且，即．所以，所以．所以，所以．所以或，所以或．因?yàn)?，所以舍去．綜上，實(shí)數(shù)的值為的值為5．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)在閉區(qū)間上的最值通過(guò)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而函數(shù)的最大值在極大值和端點(diǎn)值中取大，函數(shù)的最小值在極小值和端點(diǎn)值中取小.2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知(1)若在處的切線平行于x軸，求a的值；(2)若存在極值點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)已知條件有，解方程即可求出；（2）根據(jù)條件有在上至少有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即至少有一解，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)最值，進(jìn)而即得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，根?jù)題意有，即，解得，檢驗(yàn)，此時(shí)，切線為，平行與軸，故符合題意.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)榇嬖跇O值點(diǎn)，所以在上至少有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即至少有一解，令，則，令，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以.3．（2023·湖南郴州·一模）已知函數(shù).(1)若曲線在處切線與軸平行，求；(2)若在處取得極大值，求的取值范圍.【答案】(1)1(2)【分析】（1）先對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）分類討論的取值情況，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)情況，從而得到其極值情況，由此得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)榍€在處切線與軸平行，所以，解得，又，所以.（2）的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，令，得，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.在處取得極大值，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.在處取得極大值，滿足題意；③當(dāng)時(shí)，（i）當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不滿足題意；（ii）當(dāng)時(shí)，，令，得，令，得或.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.在處取得極小值，不滿足題意；（iii）當(dāng)時(shí)，，令，得，令，得或.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.在處取得極大值，滿足題意；綜上所述，的取值范圍為.4．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將分類，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）通過(guò)導(dǎo)數(shù)將函數(shù)極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)根即可.【詳解】（1）由題意可知，函數(shù)定義域?yàn)?，?dǎo)數(shù)時(shí)，恒成立時(shí)，當(dāng)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)；當(dāng)綜上可知：時(shí)為常函數(shù)，無(wú)單調(diào)區(qū)間時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為：，單調(diào)減區(qū)間為：時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為：，單調(diào)減區(qū)間為：.（2）因?yàn)椋?，因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，則，即在上有兩個(gè)根，令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增又因?yàn)闀r(shí)，，，所以在上有2個(gè)極值點(diǎn)需滿足.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn).考點(diǎn)三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值1．（2024·安徽·三模）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，求函數(shù)在上的最值.【答案】(1)(2)最大值為，最小值為【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，即可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出和的解集，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出兩端點(diǎn)函數(shù)值及極值，通過(guò)比較，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由函數(shù)，可得，可得，且，所以切線的斜率為，切點(diǎn)為，則所求切線方程為.（2）由（1），當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，，故所求最大值為，最小值為.2．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，分類討論求區(qū)間；（2）結(jié)合（1）得到的函數(shù)單調(diào)性，分類討論函數(shù)最大值.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，求?dǎo)數(shù)，得，若，則，此時(shí)在上單調(diào)遞增，若，則由得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)，的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間，若，減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，函數(shù)的最大值為，由，得，若時(shí)，函數(shù)的最大值為，若時(shí)，函數(shù)的最大值為，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為.1．（2024·山東泰安·三模）已知函數(shù).(1)討論的最值；(2)若，且，求的取值范圍.【答案】(1)最小值為，無(wú)最大值.(2).【分析】（1）求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得其最值；（2）把不等式轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】（1）.解：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，可?當(dāng)時(shí)，令，可得；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，且最小值為，無(wú)最大值.（2）解：當(dāng)時(shí)，由，可得，整理得，即，令，則，由（1）知，當(dāng)時(shí)，的最小值為，即恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．2．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.【答案】(1)(2)函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到的單調(diào)性，即可求出在閉區(qū)間上的最小值；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理，討論，和時(shí)，的正負(fù)，即可得出證明.【詳解】（1）因?yàn)椋?，令，，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，且，，所以由零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間存在唯一的，使又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，所以函?shù)在區(qū)間上的最小值為.（2）函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，證明如下：函數(shù)，，則，若，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，若，則，，則，若，因?yàn)?，所以，綜上，函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn).3．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，此時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）因?yàn)?，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，，.考點(diǎn)四、由函數(shù)最值求參數(shù)值或范圍1．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)時(shí)，的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋簦瑒t，此時(shí)無(wú)最小值，故.的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無(wú)根，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，當(dāng)時(shí)，即即，因此若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且①時(shí)，此時(shí)，顯然與兩條曲線和共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；②時(shí)，此時(shí)，故與兩條曲線和共有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；③時(shí)，首先，證明與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為其次，證明與曲線和有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為再次，證明存在b，使得因?yàn)?，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點(diǎn)，因?yàn)?，，所以在上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，此時(shí)取則此時(shí)存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，最后證明，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，因?yàn)樗?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，即，所以，同理，因?yàn)?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即，，所以，又因?yàn)?，所以，即直線與兩條曲線和從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的最值問(wèn)題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)注意對(duì)參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.2．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程；（2）求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性和最小值，得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值，得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋瑒t，則，由于函數(shù)在點(diǎn)處切線方程為，即.（2）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，即則令，設(shè)，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得：.3．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的值；(2)若函數(shù)的最小值為，求的值．【答案】(1)或；(2).【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線方程，再根據(jù)三角形面積，即可求得結(jié)果；（2）通過(guò)二次求導(dǎo)，求得的最小值，結(jié)合的隱零點(diǎn)，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，又，所以函數(shù)在處的切線方程為．由題意，顯然，令得，令得，所以函數(shù)在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，所以，解得或．（2）由（1）知，令，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，又所以在上必存在唯一零點(diǎn)，使得．當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增．所以在處取得最小值，即，且，即，所以．設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，又，所以函數(shù)在上存在唯一的，使得成立，所以，所以，即．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是能夠通過(guò)二次求導(dǎo)，求得的隱零點(diǎn)，從而判斷的單調(diào)性，進(jìn)而求得最小值.1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有最大值，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)得，分類討論可求單調(diào)區(qū)間；（2）利用（1）的結(jié)論可求實(shí)數(shù)的值．【詳解】（1）1°當(dāng)時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增。2°當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增時(shí)，單調(diào)遞減綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，無(wú)最大值。當(dāng)時(shí)，，平方有，解得．2．（2024·陜西西安·一模）已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若的最小值為1，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由在區(qū)間上恒成立，則，即可得出答案；（2）由，得，求導(dǎo)分析單調(diào)性、最值，即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，所以，令，則，令，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，所以，所以在上單調(diào)遞增，故，所以．的取值范圍為．（2）由，得，所以，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，所以成立，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，此時(shí)，舍去．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，．舍去；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，舍去，綜上，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是利用在區(qū)間單調(diào)遞增等價(jià)在區(qū)間恒成立，然后分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新構(gòu)造函數(shù)的最小值，3．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若的最小值為6，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到恒成立，再令新函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性求最值即可.（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理求出零點(diǎn)，解出方程即可求出的值.【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以恒成立且不恒為0，所以，即恒成立．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）解法一

由（1）知，，因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，得．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以存在，使得，?dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增，所以．因?yàn)椋?，解得（舍去）或，所以．解法?/p>

由題意知在上恒成立，則在上恒成立．令，則，，由得，由得或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，當(dāng)時(shí)，，所以，故．因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，其中關(guān)鍵是零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用.在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，利用零點(diǎn)存在定理找到導(dǎo)函數(shù)的隱零點(diǎn)，即存在，使得，再根據(jù)最值求解的值即可.4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)和函數(shù)有相同的最大值.(1)求a的值；(2)設(shè)集合，（b為常數(shù)）.證明：存在實(shí)數(shù)b，使得集合中有且僅有3個(gè)元素.【答案】(1)1(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先由定義域得到，求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)最大值，舍去，當(dāng)時(shí)，求出單調(diào)性和有最大值，進(jìn)而求出的單調(diào)性，最大值，從而得到方程，求出a的值；（2）集合的元素個(gè)數(shù)即為直線與兩條曲線和的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在（1）的基礎(chǔ)上作出和，數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】（1）由題意可知，由，得，若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有最小值，無(wú)最大值，不合題意.所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值.由，得，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值.則，解得.（2）集合的元素個(gè)數(shù)即為直線與兩條曲線和的交點(diǎn)個(gè)數(shù).由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，作出和的圖像如圖所示.

設(shè)和的圖像交于點(diǎn)M，則當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，直線與兩條曲線和共有3個(gè)交點(diǎn)，故存在實(shí)數(shù)b，使得集合中有且僅有3個(gè)元素.【點(diǎn)睛】方程解的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，將代數(shù)問(wèn)題幾何化，借助圖象分析，大大簡(jiǎn)化了思維難度，首先要熟悉常見(jiàn)的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，常常利用導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和極值最值情況，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對(duì)稱和翻折等，涉及零點(diǎn)之和問(wèn)題，通常考慮圖象的對(duì)稱性進(jìn)行解決.考點(diǎn)五、選填小題中極值的應(yīng)用與求解1．（2022·全國(guó)·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D2．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否變號(hào)，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)進(jìn)行分類討論，畫(huà)出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意，故.有和兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號(hào)，在左右附近是變號(hào)的.依題意，a為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的.當(dāng)時(shí)，由，，畫(huà)出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.當(dāng)時(shí)，由時(shí)，，畫(huà)出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.3．（2024·全國(guó)·高考真題）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心【答案】AD【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷出在上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.【詳解】A選項(xiàng)，，由于，故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，，則，則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開(kāi)式含有的項(xiàng)為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用對(duì)稱中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱中心，則，事實(shí)上，，于是即，解得，即存在使得是的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，，，，由，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心為，由題意也是對(duì)稱中心，故，即存在使得是的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.故選：AD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的對(duì)稱軸為；（2）關(guān)于對(duì)稱；（3）任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對(duì)稱中心4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是．【答案】【分析】法一：依題可知，方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過(guò)原點(diǎn)的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)因?yàn)椋苑匠痰膬蓚€(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即圖象在上方當(dāng)時(shí)，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)=0的兩個(gè)根為因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，則需滿足，，即故，所以.【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用函數(shù)的零點(diǎn)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．1．（2021·全國(guó)·高考真題）函數(shù)的最小值為.【答案】1【分析】由解析式知定義域?yàn)?，討論、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.【詳解】由題設(shè)知：定義域?yàn)?，∴?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞增；又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，∴綜上有：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.2．（2023·全國(guó)·高考真題）（多選）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而，因此方程有兩個(gè)不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯(cuò)誤，BCD正確.故選：BCD3．（2024·全國(guó)·高考真題）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點(diǎn)，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.【詳解】對(duì)A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，而，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，所以，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，所以，正確；故選：ACD.4．（2022·全國(guó)·高考真題）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AC【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.一、單選題1．（2024·河北承德·二模）設(shè)為實(shí)數(shù)，若函數(shù)在處取得極小值，則（

）A．1 B． C．0 D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)求出的值，然后根據(jù)極值的概念檢驗(yàn)即得．【詳解】由題可得，令，解得；或，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值，所以，即，當(dāng)時(shí)，，或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足題意.故選：B.2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，依題意可得在上有變號(hào)零點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到，解得即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，因?yàn)楹瘮?shù)有極值，所以在上有變號(hào)零點(diǎn)，即在上有解（若有兩個(gè)解，則兩個(gè)解不能相等），因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，所以只需，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C二、多選題3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的極值點(diǎn)為B．的極值點(diǎn)為1C．直線是曲線的一條切線D．有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值的關(guān)系可判斷AB；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)的知識(shí)可判斷D；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在處的切線方程，從而得以判斷．【詳解】對(duì)A：因?yàn)椋?，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.可知在處取得唯一極小值，也是的最小值，所以的極值點(diǎn)為，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)C：因?yàn)?，，所以在處的切線方程為，即，故C正確．對(duì)D：因?yàn)?，，結(jié)合在上的單調(diào)性，可知是在上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，恒成立，故恒成立，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)；綜上：只有一個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：BC.三、填空題4．（2024·安徽·二模）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)的最大值與最小值的和為．【答案】【分析】求導(dǎo)，可得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解極值點(diǎn)以及端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可求解最值.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減；，，，故最大值與最小值的和為：．故答案為：四、解答題5．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)都有，求的取值范圍．【答案】(1)0(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最值.（2）先利用端點(diǎn)效應(yīng)猜想的取值范圍再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求證出猜想的正確性.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，所以，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為．（2）因?yàn)楹愠闪ⅲ?，得，下面證明：當(dāng)時(shí)，．證明如下：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)?，所以時(shí)，．綜上，的取值范圍為．6．（2024·山東濰坊·二模）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】(1)，(2)單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是，極大值為，極小值為.【分析】（1）求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間進(jìn)而求解極值即可.【詳解】（1）由題可得，由題意，故，又，故.（2）由（1）可得，令可得或，令可得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是.則的極大值為，極小值為.7．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)在上的最大值和最小值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】(1)最大值為，最小值為；(2)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在的單調(diào)性，求極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，即可求解；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)未知數(shù)的不同范圍，分別求出函數(shù)單調(diào)性.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，得或，由于，所以當(dāng)，，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)，，在單調(diào)遞增，所以在時(shí)取到極小值，且，又因?yàn)?，，綜上，函數(shù)在上的最大值為，最小值為.（2）因?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，令，則，所以當(dāng)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)，，在單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.8．（2024·河南·三模）已知函數(shù)，且在處的切線方程是．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】(1)，(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程組，解得即可；（2）由（1）可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出極值.【詳解】（1）因?yàn)椋?，又在處的切線方程為，所以，，解得，．（2）由（1）可得定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則在處取得極小值，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，因此極小值為，無(wú)極大值．9．（2022高三上·河南·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若函數(shù)在處取到極小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程，（2）求導(dǎo)，分類討論的取值，即可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解極值.【詳解】（1）由題意，，則，又，故所求的切線方程為．（2）由題意，，故．若，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極小值；若，則令，解得或，要使函數(shù)在處取到極小值，則需，即，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足條件．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．10．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在時(shí)取得極值.(1)求實(shí)數(shù)；(2)若，求的單調(diào)區(qū)間和極值.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，再檢驗(yàn)即可；（2）由（1）可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由題意得，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；（2）由（1）得，，則，由得或，得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的極大值為，極小值為一、單選題1．（2024·福建泉州·一模）已知，是函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，解方程得出極值點(diǎn)，計(jì)算可判斷選項(xiàng).【詳解】，令，解得，所以，故AB不正確；，故C正確D錯(cuò)誤.故選：C2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，再進(jìn)行參數(shù)的討論即可.【詳解】由題意得．因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，在上恒成立，不符合題意．當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查已知函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍.對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，常常利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合思想來(lái)求解．求解這類問(wèn)題的步驟：（1）構(gòu)造函數(shù)，并求其定義域，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)；（2）求導(dǎo)，得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)情況，進(jìn)而求解．二、多選題3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，記的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為，則（

）A． B．C．在上單調(diào)遞減 D．【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)、單調(diào)性，一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案..【詳解】由題知的定義域?yàn)?，，令，解得，即在上單調(diào)遞減，令，解得或，即在和上單調(diào)遞增，又因?yàn)橛浀臉O小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為，根據(jù)單調(diào)性可得，則，故A正確，B錯(cuò)誤；令，解得，即，故C正確；，故D正確．故選：ACD．4．（2024·重慶·三模）若函數(shù)既有極小值又有極大值，則（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，求得，轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)榧扔袠O小值又有極大值，可得方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則滿足，可得，所以，，，例如：時(shí)，滿足上式，此時(shí)不成立．故選：ABC.三、填空題5．（2024·新疆喀什·三模）已知函數(shù)和（）有相同的最大值．則的最小值為．【答案】e【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)參數(shù)分類討論，分析得當(dāng)時(shí)有最大值為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值為，所以，代入運(yùn)用基本不等式求和的最小值即可.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，最大值為0，又，所以當(dāng)時(shí)，，由得，與題設(shè)矛盾；當(dāng)時(shí)，令得，，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取到最小值，沒(méi)有最大值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.與有相同的最大值，，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).即的最小值為.故答案為：.四、解答題6．（2024·廣東茂名·二模）已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，只需保證，求解即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為，切線的斜率為，所以，得，解得：.（2）當(dāng)時(shí)，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，，所以至少存在唯一的實(shí)數(shù)，使得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又所以.7．（2024·河南開(kāi)封·三模）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出，，，代入直線的點(diǎn)斜式方程即可求出切線方程；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，用列表法求出極值即可．【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）依題意，，則，令，解得或．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如表所示：12＋0－0＋單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，．故的極小值為，的極大值為．8．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若的最小值為0，(1)求的值;(2)若，證明:存在唯一的極大值點(diǎn)，且.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，分和兩種情況討論求解即可；（2）令，求導(dǎo)后可得在遞減，遞增，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得在存在唯一的使得，在存在唯一的零點(diǎn)，從而得是唯一的極大值點(diǎn).【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，則沒(méi)有最小值，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時(shí)，取得最小值，得成立，下面證為唯一解，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以方程有且只有唯一解，綜上，；（2）證明:由（1）知，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，上遞增，因?yàn)?，所以在存在唯一的使得，在存在唯一的零點(diǎn)，所以當(dāng)或時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，即是唯一的極大值點(diǎn)，，由，得，所以，因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)的單調(diào)性，考零點(diǎn)存在性定理，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是二次求導(dǎo)后結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定出函數(shù)極值點(diǎn)的范圍，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.9．（2024·福建泉州·一模）設(shè)函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若的值域?yàn)?，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，分和討論的單調(diào)性，即可得出答案.（2）對(duì)分類討論，求出的單調(diào)性，求出的最小值，進(jìn)而求出單調(diào)性和最值，從而證得結(jié)論.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)，單調(diào)遞減：當(dāng)，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2），定義域?yàn)椋?，由?）得：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，令，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)時(shí)，，則在遞增，不合題意，舍去．當(dāng)時(shí)，又因?yàn)楫?dāng)趨近正無(wú)窮，趨近正無(wú)窮，所以在上存在唯一的，使得，即（※）當(dāng)遞增；當(dāng)遞減；當(dāng)遞增．又因?yàn)橼吔?，趨近，且的值域?yàn)?，所以，代入（※），得：，即．?dāng)時(shí)，同理：當(dāng)遞增；當(dāng)遞減；當(dāng)遞增．又因?yàn)橼吔吔?，且的值域?yàn)?，所以，滿足．綜上，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)分類討論，求出的單調(diào)性，求出的最小值，進(jìn)而求出單調(diào)性和最值，從而證得結(jié)論.10．（2024·青海西寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)；(2)若恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，利用二階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可知最多只有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，利用二階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可知，和，，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于.令，則，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn).（2）由，得.令，則.若，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，最多只有一個(gè)零點(diǎn)，則最多只有一個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意；若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，從而.顯然，當(dāng)時(shí)，，則，.令，則，設(shè)，則，由，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立，故單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，即，則.因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，則恰有兩個(gè)極值點(diǎn).故當(dāng)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(極值點(diǎn))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.1．（2023·全國(guó)·高考真題）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)【答案】ABC【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC，舉反例即可排除選項(xiàng)D.方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對(duì)于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.【詳解】方法一：因?yàn)?，?duì)于A，令，，故正確.對(duì)于B，令，，則，故B正確.對(duì)于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，對(duì)于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無(wú)極值，故錯(cuò)誤.方法二：因?yàn)?，?duì)于A，令，，故正確.對(duì)于B，令，，則，故B正確.對(duì)于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，故正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，對(duì)兩邊同時(shí)除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時(shí)是的極大值，故D錯(cuò)誤.故選：.2．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)存在，使得，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問(wèn)題.3．（2020·北京·高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)斜式可得結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標(biāo)軸上的截距，進(jìn)一步得到三角形的面積，最后利用導(dǎo)數(shù)可求得最值.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以切點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式可得切線方程為：，即.（Ⅱ）[方法一]：導(dǎo)數(shù)法顯然，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設(shè)時(shí)，結(jié)果一樣，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時(shí)，取得極小值，也是最小值為.[方法二]【最優(yōu)解】：換元加導(dǎo)數(shù)法

．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，不妨設(shè)，，令，則．令，則面積為，只需求出的最小值．．因?yàn)?，所以令，得．隨著a的變化，的變化情況如下表：a0減極小值增所以．所以當(dāng)，即時(shí)，．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，．綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為32．[方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出的最小值．令，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以當(dāng)，即時(shí)，．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，．綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為32．[方法四]：兩次使用基本不等式法同方法一得到,下同方法一.【整體點(diǎn)評(píng)】（Ⅱ）的方法一直接對(duì)面積函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，方法二利用換元方法，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，確定為最優(yōu)解；方法三在方法二換元的基礎(chǔ)上，利用多元均值不等式求得最小值，運(yùn)算較為簡(jiǎn)潔；方法四兩次使用基本不等式，所有知識(shí)最少，配湊巧妙，技巧性較高.4．（2019·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù).證明：（1）存在唯一的極值點(diǎn)；（2）有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到存在唯一，使得，進(jìn)而可得判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可確定其極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，證明出結(jié)論成立；（2）先由（1）的結(jié)果，得到，，得到在內(nèi)存在唯一實(shí)根，記作，再求出，即可結(jié)合題意，說(shuō)明結(jié)論成立.【詳解】（1）由題意可得，的定義域?yàn)椋?，得，顯然單調(diào)遞增；又，，故存在唯一，使得；又當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；因此，存在唯一的極值點(diǎn)；（2）[方法一]【利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)根的問(wèn)題】的根的情況問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖像在區(qū)間內(nèi)的交點(diǎn)情況．．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，則時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．又，所以函數(shù)與的圖像，如圖所示，只有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為和，且，即和為的兩個(gè)實(shí)根．

又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，由于，所以，即，所以兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)．[方法二]【分類討論】由（1）知，．又，所以有且僅有兩個(gè)實(shí)根，可令．下面證明，由，得，顯然有，．（*）（1）當(dāng)時(shí)，，（*）式不成立；（2）當(dāng)時(shí)，，（*）式不成立；（3）當(dāng)時(shí)，，（*）式成立．綜上，有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)．[方法三]【利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理】的定義域?yàn)?，顯然不是方程的根，所以有兩個(gè)實(shí)根等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，且定義域?yàn)椋?，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，，所以在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，即，所以．結(jié)合單調(diào)性知在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，所以有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù)，即有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：對(duì)稱性是函數(shù)的重要性質(zhì)，利用函數(shù)的對(duì)稱性研究函數(shù)體現(xiàn)了整體思想；方法二：分類討論是最常規(guī)的思想，是處理導(dǎo)數(shù)問(wèn)題最常規(guī)的手段；方法三：函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理的綜合運(yùn)用使得問(wèn)題簡(jiǎn)單化.5．（2019·江蘇·高考真題）設(shè)函數(shù)，為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點(diǎn)均在集合中，求f（x）的極小值；（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．【答案】（1）；（2）的極小值為（3）見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意得到關(guān)于a的方程，解方程即可確定a的值；（2）由題意首先確定a,b,c的值從而確定函數(shù)的解析式，然后求解其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)即可確定函數(shù)的極小值.（3）由題意首先確定函數(shù)的極大值M的表達(dá)式，然后可用如下方法證明題中的不等式：解法一：由函數(shù)的解析式結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮即可證得題中的不等式；解法二：由題意構(gòu)造函數(shù)，求得函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值，因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，．令，則．令，得．列表如下：+0–極大值所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，且是最大值，故．所以當(dāng)時(shí)，，因此．【詳解】（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，解得．?）因?yàn)?，所以，從而．令，得或．因?yàn)?，都在集合中，且，所以．此時(shí)，．令，得或．列表如下：1+0–0+極大值極小值所以的極小值為．（3）因?yàn)?，所以，．因?yàn)椋?，則有2個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)為．由，得．列表如下：+0–0+極大值極小值所以的極大值．解法一：．因此．解法二：因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，．令，則．令，得．列表如下：+0–極大值所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，且是最大值，故．所以當(dāng)時(shí)，，因此．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問(wèn)題以及邏輯推理能力．6．（2018·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)，則的最小值是．【答案】【分析】方法一：由，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，減區(qū)間，從而確定出函數(shù)的最小值點(diǎn)，代入求得函數(shù)的最小值.【詳解】［方法一］：【通性通法】導(dǎo)數(shù)法．令，得，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；令，得，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．則．故答案為：.［方法二］：三元基本不等式的應(yīng)用因?yàn)?，所以．?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．根據(jù)可知，是奇函數(shù)，于是，此時(shí)．故答案為：.［方法三］：升冪公式＋多元基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，．根據(jù)可知，是奇函數(shù)，于是．故答案為：.［方法四］：化同角＋多元基本不等式+放縮，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故答案為：.［方法五］：萬(wàn)能公式＋換元+導(dǎo)數(shù)求最值設(shè)，則可化為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，對(duì)分母求導(dǎo)后易知，當(dāng)時(shí)，有最小值．故答案為：.［方法六］：配方法，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取最小值．故答案為：.［方法七］：【最優(yōu)解】周期性應(yīng)用＋導(dǎo)數(shù)法因?yàn)?，所以，即函?shù)的一個(gè)周期為，因此時(shí)，的最小值即為函數(shù)的最小值．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，令，解得或，由，，，所以的最小值為．故答案為?【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得出極值點(diǎn)，從而求出最小值，是求最值的通性通法；方法二：通過(guò)對(duì)函數(shù)平方，創(chuàng)造三元基本不等式的使用條件，從而解出；方法三：基本原理同方法三，通過(guò)化同角利用多元基本不等式求解，難度較高；方法四：通過(guò)化同角以及化同名函