第05講 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第05講利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（6類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第18題,17分利用導(dǎo)數(shù)證明不等式證明函數(shù)的對(duì)稱性利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題利用不等式求取值范圍2021年新I卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為13-17分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性2能求出函數(shù)的極值或給定區(qū)間的最值3能進(jìn)行函數(shù)轉(zhuǎn)化證明不等式【命題預(yù)測(cè)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考?jí)狠S題之一近幾年高考命題的趨勢(shì)，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個(gè)核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,有一定的難度,一般放在解答題的最后位置，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解基本方法在不等式構(gòu)造或證明的過程中，可借助題目的已知結(jié)論、均值不等式、函數(shù)單調(diào)性、與、有關(guān)的常用不等式等方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，再進(jìn)行證明．（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；（3）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；（4）構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).常見類型與有關(guān)的常用不等式：（1）（）；（2）（）．與有關(guān)的常用不等式：（1）（）；（2）（）；（3）（），（）；（4）（），（）．用取代的位置，相應(yīng)的可得到與有關(guān)的常用不等式．考點(diǎn)一、直接法證明簡(jiǎn)單不等式1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求證：．2．（2022高三·浙江·專題練習(xí)）證明以下不等式：(1)；(2)；(3).1．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求證：(1)（）；(2)；(3)（）．考點(diǎn)二、構(gòu)造函數(shù)證明不等式1．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測(cè)）已知為正實(shí)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)．若曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)求證：．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，3．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：.1．（2024·河北·三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：．(2)若函數(shù)，試問：函數(shù)是否存在極小值？若存在，求出極小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．0．2．（2024·河北保定·三模）已知函數(shù)，為的極值點(diǎn).(1)求a；(2)證明：.3．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．考點(diǎn)三、轉(zhuǎn)為兩個(gè)函數(shù)類型證明不等式1．（全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=e(x-1)+2.(1)求

(2)證明:1．（2024高三·階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)且，求證：.考點(diǎn)四、數(shù)列類型不等式的證明1．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．2．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線斜率；(2)求證：當(dāng)時(shí)，；(3)證明：．3．（2024·北京·三模）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)求證：．（且）1．（2024·河北·三模）已知函數(shù)．(1)若在恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：．2．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)證明：時(shí)，；(2)證明：．3．（2024·江蘇蘇州·三模）已知函數(shù).(1)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值;(3)求證:.考點(diǎn)五、三角函數(shù)類型不等式的證明1．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若是的極大值點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若，證明：．1．2．3．4．2．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（），.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：（）；(3)證明：（）.1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，(1)求的最小值；(2)證明：.2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在內(nèi)點(diǎn)處的切線斜率為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)①當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；②證明：．考點(diǎn)六、切線放縮法證明不等式1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求證：．1．（2023高二·上海·專題練習(xí)）已知函數(shù)為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.(1)求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對(duì)任意，.2．（2023·山東濟(jì)南·一模）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若，求證：.1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求證：若，則．2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）證明：當(dāng)時(shí)，；3．（22-23高二下·河北滄州·階段練習(xí)）求證：4．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，.5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，證明：對(duì)一切，都有成立.6．（22-23高二下·北京·期中）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：.7．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求證：.8．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知.(1)求并寫出的表達(dá)式；(2)證明：.9．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)證明：.10．（2023·廣西南寧·一模），(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明；(3)證明對(duì)于任意正整數(shù)，都有.1．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．2．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程.(2)證明：.3．（2024·青海西寧·二模）已知函數(shù)．(1)若，求的極值；(2)若，求證：．4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)證明：.1．2．3．4．5．（2024·河北邢臺(tái)·二模）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明：.6．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)對(duì)，求證：．7．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)區(qū)間(2)若函數(shù)，，證明：．8．（2024·北京昌平·二模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最小值；(3)若，當(dāng)時(shí)，求證：．9．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知函數(shù)．(1)判斷并證明的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(2)記在上的零點(diǎn)為，求證;（i）是一個(gè)遞減數(shù)列（ii）．10．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在處切線的斜率為，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；(3)當(dāng)時(shí)，證明：1．（2019·北京·高考真題）已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：；（Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當(dāng)M（a）最小時(shí)，求a的值．2．（2018·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）若是的極大值點(diǎn)，求．3．（2018·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．4．（201