第06講 利用導數(shù)研究恒成立與能成立（有解）問題（教師版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第06講利用導數(shù)研究恒成立與能成立（有解）問題（2類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2024年新I卷，第18題,17分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題證明函數(shù)的對稱性利用導數(shù)求函數(shù)的單調性利用導數(shù)證明不等式利用不等式求取值范圍2023年新I卷，第19題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題含參分類討論求函數(shù)的單調區(qū)間2023年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間(不含參)利用導數(shù)研究函數(shù)的零點根據(jù)極值點求參數(shù)2022年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題含參分類討論求函數(shù)的單調區(qū)間裂項相消法求和2020年新I卷，第21題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題求在曲線上一點處的切線方程2020年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題求在曲線上一點處的切線方程2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【備考策略】1能用導數(shù)證明函數(shù)的單調性2能求出函數(shù)的極值或給定區(qū)間的最值3恒成立，恒成立，4有解，有解，【命題預測】導數(shù)的綜合應用是高考考查的重點內容,也是高考壓軸題之一近幾年高考命題的趨勢，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題,導數(shù)的綜合應用題考查多個核心素養(yǎng)以及綜合應用能力,有一定的難度,一般放在解答題的最后位置，對數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等多個數(shù)學學科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復習知識講解恒成立問題常見類型假設為自變量，其范圍設為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達式，（1）的值域為①，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要（2）若的值域為①，則只需要，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比）②，則只需要，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比）恒成立問題的解決策略=1\*GB3①構造函數(shù)，分類討論；②部分分離，化為切線；③完全分離，函數(shù)最值；=4\*GB3④換元分離，簡化運算；在求解過程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘數(shù)’”.依托端點效應，縮小范圍，借助數(shù)形結合，尋找臨界.一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問題設計獨特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等式、方程、導數(shù)、數(shù)列等知識，滲透著函數(shù)與方程、等價轉換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題，在提升學生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個熱點．能成立（有解）問題常見類型假設為自變量，其范圍設為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達式，（1）若的值域為①，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要（2）若的值域為①，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比），則只需要②，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比），則只需要能成立（有解）問題的解決策略=1\*GB3①構造函數(shù)，分類討論；②部分分離，化為切線；③完全分離，函數(shù)最值；=4\*GB3④換元分離，簡化運算；在求解過程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘數(shù)’”.依托端點效應，縮小范圍，借助數(shù)形結合，尋找臨界.一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問題設計獨特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等式、方程、導數(shù)、數(shù)列等知識，滲透著函數(shù)與方程、等價轉換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題，在提升學生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個熱點．考點一、利用導數(shù)解決函數(shù)恒成立問題1．（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，求的極值；(2)當時，，求的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無極大值.(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的單調性和零點可求函數(shù)的極值.（2）求出函數(shù)的二階導數(shù)，就、、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，，故，因為在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，而，故當時，，當時，，故在處取極小值且極小值為，無極大值.（2），設，則，當時，，故在上為增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故.當時，當時，，故在上為減函數(shù)，故在上，即在上即為減函數(shù)，故在上，不合題意，舍.當，此時在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合題意，舍；綜上，.【點睛】思路點睛：導數(shù)背景下不等式恒成立問題，往往需要利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，有時還需要對導數(shù)進一步利用導數(shù)研究其符號特征，處理此類問題時注意利用范圍端點的性質來確定如何分類.2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)(1)當時，討論的單調性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析.(2)【分析】（1）求導,然后令,討論導數(shù)的符號即可;（2）構造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.【詳解】（1）令,則則當當,即.當,即.所以在上單調遞增,在上單調遞減（2）設設所以.若,即在上單調遞減,所以.所以當,符合題意.若當,所以..所以,使得,即,使得.當,即當單調遞增.所以當,不合題意.綜上,的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛:本題采取了換元,注意復合函數(shù)的單調性在定義域內是減函數(shù),若,當,對應當.3．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調性.（2）設，求出，先討論時題設中的不等式不成立，再就結合放縮法討論符號，最后就結合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結合裂項相消法可證題設中的不等式.【詳解】（1）當時，，則，當時，，當時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設，則，又，設，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當時，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點睛】思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應該利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，注意結合端點處導數(shù)的符號合理分類討論，導數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構建數(shù)列不等式.1．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若恒成立，求的最小值．【答案】(1)答案見詳解(2)【分析】（1）求導后，利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，對與分類討論即可得；（2）結合函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最值，即可得解.【詳解】（1）（），當時，由于，所以恒成立，從而在上遞增；當時，，；，，從而在上遞增，在遞減；綜上，當時，的單調遞增區(qū)間為，沒有單調遞減區(qū)間；當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）令，要使恒成立，只要使恒成立，也只要使.，若，，所以恒成立，當時，，當時，，可知在內單調遞增，在內單調遞減，所以，解得：，可知的最小值為；若，，所以恒成立，當時，，當時，，可知在內單調遞減，在內單調遞增，所以在內無最大值，且當趨近于時，趨近于，不合題意；綜上所述：的最小值為.2．（2024·江蘇蘇州·三模）已知函數(shù).(1)時，求的零點個數(shù);(2)若恒成立，求實數(shù)的最大值;(3)求證:.【答案】(1)2個(2)(3)證明見解答【分析】（1），求導后令，再次求導可得，進而可判斷的單調性，結合，的值可得結論；（2）由題意可得，可得，進而判斷時，不等式恒成立；（3）利用，結合（2）以及放縮法可證明不等式.【詳解】（1）當時，，則，所以，令，則，所以在上單調遞增，即在上單調遞增，當時，，所以在上為增函數(shù)，當時，，所以在上為減函數(shù)，又，，且時，，則存在，，使得，所以有兩個零點.（2）令由，得，令所以，令，可得，所以在上為增函數(shù)，所以，所以，所以，所以在上單調遞增，所以，即，所以恒成立，所以實數(shù)的最大值是實數(shù)；（3）因為，由（2）可得，所以，所以，所以，又，所以.【點睛】方法點睛：第三問，考查放縮法證明不等式，其中證明不等式成立是關鍵.3．（2024·浙江溫州·模擬預測）函數(shù)(1)求的單調區(qū)間.(2)若在時恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)的單調遞增區(qū)間是單調遞減區(qū)間是

(2)【分析】（1）對函數(shù)求導有，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調性區(qū)間即可；（2）構造函數(shù)，將問題轉化為：在時恒成立，求的取值范圍；根據(jù)，求出命題成立的必要條件，再驗證充分性即可確定的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以，定義域為，令，即，即，解得，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；綜上所述，的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是

.（2）記，則，所以，根據(jù)題意原題可化為：在時恒成立，求的取值范圍；因為，所以在時恒成立的必要條件為，即，即；構造函數(shù)，則，所以在上單調遞增，所以，所以有，即在上恒成立，令，當時，有，所以在上恒成立，因為，不等式兩邊同時乘以，有在上恒成立，即在上恒成立，即時，在上恒成立，綜上，是在時恒成立的充要條件，所以的取值范圍為.【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.4．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知函數(shù)，.（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）(1)若無極值點，求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）法一，易知，無變號零點，考慮后參變分離為，原問題等價于的圖像與無相交交點；法二，構建，分，，結合根的存在性定理即可求解；（2）法一，式子轉化為，即證即可，易知，則，分，，討論即可；法二，轉化為，求的最大值即可.【詳解】（1）（方法一）易知，由無極值點可知，無變號零點，令（*），顯然時，（*）無零點，此時無極值點，滿足題意；故當（*）可變形得，令，原問題等價于的圖像與無相交交點，又，則，，單調遞增；，，單調遞減；又趨于，趨于；趨于，趨于；.可得的圖象如圖：由圖可知，解得，綜上，（方法二）構建，則①當時，當時恒成立，在上單調遞增，因為，，所以有一個零點，即為的一個極值點；②當時，當時恒成立，即無極值點；③當時，當，；當，，所以在單調遞減，在上單調遞增，故，若，則即.當時，，當時，，設，，故，故在上為增函數(shù)，故，故，故當時，有兩個零點，此時有兩個極值點.當時，當時恒成立，即無極值點；綜上所述：（2）（方法一）由可知，，即，令，即證，易知，則，若，即時，則，，單調遞增，，不符合題意；若，即時，則，，單調遞減，，，單調遞增，，，單調遞減，又，故令，解得，即，若，即時，則，，單調遞減，，，單調遞增，，，單調遞減，故令，記，則恒成立，所以在上單調遞減，所以，即，即對于任意，恒成立，綜上所述，（方法二）①當時，不等式恒成立，可得；②當時，可得恒成立，設，則.可設，可得，設，，由，可得恒成立，可得在上單調遞增，在上單調遞增，所以，即恒成立，即在上單調遞增，所以，再令，可得，當時，，在上單調遞增；時，，在上單調遞減，所以，所以，綜上可得的取值范圍是.【點睛】思路點睛：利用導數(shù)證明不等式，可通過構造函數(shù)，結合導數(shù)求得所構造函數(shù)的單調性、極值、最值.考點二、利用導數(shù)解決函數(shù)能成立（有解）問題1．（2024·福建泉州·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的單調區(qū)間；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；(2)【分析】（1）先對函數(shù)求導，結合導數(shù)與單調性關系即可求解；（2）由已知不等式成立，先分離參數(shù)，結合成立與最值關系的轉化即可求解．【詳解】（1）因為，，令，解得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，則的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）依題意，存在，使得，令，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故，因此，故的取值范圍為．2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若對任意有解，求的取值范圍.【答案】(1)極小值為1，無極大值；(2).【分析】（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性即可求極值；（2）由題意可得任意有解，設，分、及討論即可求解.【詳解】（1），得，當時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，所以的極小值為，無極大值；（2）對任意即，設，，①當時，單調遞增，單調遞增，，成立；②當時，令單調遞增，單調遞增，，成立；③當時，當時，單調遞減，單調遞減，，不成立.綜上，.3．（2024·湖南婁底·一模）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)證明：；(3)設，若存在實數(shù)使得，求的最大值.【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）求出，判斷導數(shù)正負得到函數(shù)的單調區(qū)間；（2）利用分析法轉化要證結論，要證，即證，令，即證，利用導數(shù)判斷單調性，求出最大值即可得證；（3），分別討論當時和時是否存在使得，即可求解.【詳解】（1）的定義域為，所以當時，；當時，.所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）要證，即證，令，即證，，令，則，所以在上單調遞減，又，當時，；當時，.在上單調遞增，在上單調遞減，，所以，即得證.（3）當時，，即存在滿足題意；當時，由（2）知，，此時恒成立，不滿足題意；綜上，所以的最大值為.1．（2024·湖北·模擬預測）已知函數(shù)，其中為常數(shù).(1)過原點作圖象的切線，求直線的方程；(2)若，使成立，求的最小值.【答案】(1)(2).【分析】（1）設切點，求導得出切線方程，代入原點，求出參數(shù)即得切線方程；（2）由題意，將其等價轉化為在有解，即只需求在上的最小值，利用導數(shù)分析推理即得的最小值.【詳解】（1）

設切點坐標為，則切線方程為，因為切線經(jīng)過原點，所以，解得，

所以切線的斜率為，所以的方程為.（2），，即成立，則得在有解，故有時，.

令，，，

令得；令得，故在單調遞減，單調遞增，所以，

則，故的最小值為.2．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)若不等式在區(qū)間上有解，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2)．【分析】（1）求出，分類討論確定和的解得單調性；（2）用分離參數(shù)法轉化問題為不等式在區(qū)間上有解，引入函數(shù)，求出的最小值即可得．【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域為，而，當時，恒成立，函數(shù)在上單調遞增；當時，由，得，由，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增．綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增．（2）因為不等式在區(qū)間上有解，所以在區(qū)間上有解，此時，即在區(qū)間上有解，令，則．令，則，所以函數(shù)在上單調遞增，所以．當時；當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是．3．（2024·山西運城·一模）已知，函數(shù)，.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：存在唯一的極值點；(3)若存在，使得對任意成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）求，代入計算即為斜率，求的值，結合點斜式即可求得切線方程.（2）①研究當時，的單調性，②研究當時，令，運用導數(shù)研究單調性，結合零點存在性定理可知存在唯一，使得，即，進而可證得的單調性，進而可證得結果.（3）將問題轉化為，由（2）可知，，，進而可得存在，使得，設，，進而將問題轉化為求，運用導數(shù)求即可.【詳解】（1）由題意知，，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）證明：由，，①當時，，則在上單調遞增，②當時，設，則，所以，故在上單調遞減，又，，所以由零點存在性定理可知，存在唯一，使得，即.所以當時，，即；當時，，即，所以在上單調遞增，在上單調遞減，綜述：在上單調遞增，在上單調遞減，存在唯一，使得.故存在唯一的極值點.（3）由（2）可知，在上單調遞增，在上單調遞減，故，因為，所以，由題意知，，即，化簡得，，設，，由題存在，使得，所以，.又設，，則，所以在上單調遞減，故，當時，，；當時，，，故在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以.故的取值范圍為.【點睛】方法點睛：恒成立（能成立）問題解題策略：方法1：分離參數(shù)法求最值：(1)分離變量，構造函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題；(2)恒成立?；恒成立?；能成立?；能成立?；方法2：根據(jù)不等式恒成立（能成立）構造函數(shù)轉化成求函數(shù)的最值問題，一般需討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調性求解．1．（2023高三·全國·專題練習）設函數(shù)，若當時，求的取值范圍．【答案】【分析】方法一：令，所以，，再對分和兩種情況討論判斷是否成立即得解.【詳解】[方法一]：由題得，令，所以，當時，恒成立，僅當時，在單調遞增，所以，所以函數(shù)在上單調遞增.所以滿足題意；當時，得，得，所以在單調遞減，在單調遞增，又，所以函數(shù)在單調遞減，又，所以函數(shù)在上，與已知矛盾，不合題意，所以舍去.綜上所述：.[方法二]：，由指數(shù)不等式，當且僅當時，等號成立．得，從而當，即時，，而，于是當時，．由可得從而當時，1），故當時，，而，當時，0，不合題意．綜合得的取值范圍為．2．（2023高三·全國·專題練習）已知，實數(shù)使得對恒成立，求實數(shù)的最大值．【答案】2【分析】轉化為在上恒成立，根據(jù)且在上恒成立，得到，由得到，再論證時，即可.【詳解】因為實數(shù)使得對恒成立，所以在上恒成立．∵且在上恒成立，∴，又．由，，使在單調遞增，解得．當時，在上恒成立，即在上遞增，故恒成立．故滿足題意．3．（2023高三·全國·專題練習）設函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)若恒成立，求a的值．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）利用導數(shù)的性質分類討論進行求解即可；（2）根據(jù)（1）的結論，結合構造函數(shù)法進行求解即可.【詳解】（1）的定義域為．．若，則，在上單調遞增．若，則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；（2）由（1）知，若，則當時，，矛盾．因此．由（1）知此時．恒成立等價于恒成立．設，即恒成立，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，顯然函數(shù)在處有唯一零點，且．而恒成立，所以，所以．4．（23-24高三上·貴州安順·期末）已知函數(shù)(1)求的單調增區(qū)間；(2)方程在有解，求實數(shù)m的范圍.【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，；(2).【分析】（1）求導，解不等式求出單調遞增區(qū)間；（2）先求出在區(qū)間上的最大值為4，最小值為1，從而得到答案.【詳解】（1）的定義域為R，，當時，；時，；故單調增區(qū)間為，；（2）由（1）知，函數(shù)在區(qū)間，上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，∵，，，，∴，，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，最小值為1，∴，∴.5．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，求的最大值；(2)若對定義域內任意實數(shù)都有，求的取值范圍．【答案】(1)0(2)【分析】（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性得到函數(shù)的最值.（2）先利用端點效應猜想的取值范圍再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求證出猜想的正確性.【詳解】（1）當時，，定義域為，所以，令，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的最大值為．（2）因為恒成立，所以，得，下面證明：當時，．證明如下：因為在上單調遞減，又因為，所以當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，又因為，所以時，．綜上，的取值范圍為．6．（22-23高三上·河南·階段練習）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)若，求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若，求證：，．【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；(2)見解析.【分析】（1）求導，當時，，當時，，即可解決；（2）由令新函數(shù)，求導，由，再令新函數(shù)，證明在上恒成立，即可得證.【詳解】（1）由題知，所以，當時，，當時，，當時，，所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，（2）由題知，，，所以，因為，所以令即證在上恒成立，因為當時，，當時，，即在上單調遞增，當時，，即在上單調遞減，因為，，令，所以，因為，所以，所以在上單調遞增，所以，所以恒成立，因為，所以在上恒成立，即得證.7．（2023高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，其圖象在點處的切線方程為．(1)求，的值與函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若對，，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)，；的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義可得從而求得，．進而令得增區(qū)間，令得減區(qū)間；（2）利用導數(shù)求得函數(shù)在上的最大值為8，進而轉化為，解不等式即可.【詳解】（1），，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．解得，．，令，解得或；令，解得．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為．（2）由（1）可得：，．令，則，所以當變化時，的變化情況如下：，02，00單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增由表格可知：當時，函數(shù)取得極大值，，又．函數(shù)在上的最大值為8．由，不等式恒成立，．，解得或．的取值范圍是．8．（23-24高三上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)對于，使得，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）對函數(shù)求導，討論、研究導數(shù)符號確定區(qū)間單調性；（2）問題化為對恒成立，討論、求參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題設且，當時在上遞減；當時，令，當時在區(qū)間上遞減；當時在上遞增．所以當時，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）由題設知對恒成立．當時，此時，不合題設，舍去．當時，在上遞增，只需符合．綜上：．9．（2024·吉林白山·二模）已知函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結合導數(shù)的運算性質、直線的點斜式方程進行求解即可；（2）對不等式進行常變量分離，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值即可.【詳解】（1），因此，而，故所求切線方程為，即；（2）依題意，，故對任意恒成立.令，則，令，解得.故當時，單調遞增；當時，單調遞減，則當時，取到極大值，也是最大值2.故實數(shù)的取值范圍為.10．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若，不等式在上存在實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的遞增遞減區(qū)間即得；（2）通過代入不等式整理成在上存在實數(shù)解問題，故可轉化成求函數(shù)在得最小值問題，計算即得.【詳解】（1）當時，，∴，由，得，由，得，所以函數(shù)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（2）原條件等價于：在上存在實數(shù)解．化為在上存在實數(shù)解，令，

則，∴在上，，得，故在上單調遞增，∴的最小值為，∴時，不等式在上存在實數(shù)解．1．（2024·浙江紹興·二模）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進而求出切線方程；（2）分和討論，利用導數(shù)結合不等式放縮判斷導數(shù)正負，結合單調性驗證恒成立是否滿足.【詳解】（1）當時，，則，所以切線斜率為，又，所以，切線方程是.（2）①當時，因為，所以，所以.記，則，令，則.因為當時，，所以在區(qū)間上單調遞增，所以，，所以，在區(qū)間上單調遞增，所以，，所以.②當時，，因為當時，，令，則，若，則，即在區(qū)間上單調遞增.若，則，所以在區(qū)間上單調遞增.所以當時，在區(qū)間上單調遞增.因為，，所以，存在，使得，所以，當時，，即在區(qū)間上單調遞減，所以，不滿足題意.綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.2．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習）已知．(1)討論的單調性和極值；(2)若時，有解，求的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，，討論和兩種情況討論函數(shù)的單調性和極值；（2）首先不等式參變分離為，在時有解，再構造函數(shù)，，轉化為利用導數(shù)求函數(shù)的最大值.【詳解】（1），當時，恒成立，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，無極值；當時，令，得，，得，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，，得，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，當，函數(shù)取得極小值，綜上可知，時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，無增區(qū)間，無極值；時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間，極小值，無極大值.（2）由題意可知，，時有解，則，在時有解，即，設，，，令，得，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以的最大值為，即，所以實數(shù)的取值范圍是.3．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若當時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)遞減區(qū)間為，無遞增區(qū)間；(2).【分析】（1）求出函數(shù)，再利用導數(shù)求出的單調區(qū)間.（2）等價變形給定不等式得，令并求出值域，再換元并分離參數(shù)構造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即得.【詳解】（1）依題意，函數(shù)的定義域為，求導得，當且僅當時取等號，即在上單調遞減，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為，無遞增區(qū)間.（2）當時，恒成立，令，求導得，當時，，當時，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，則當時，，令，依題意，，恒成立，令，求導得，則函數(shù)在上單調遞增，當時，，因此，所以實數(shù)m的取值范圍.【點睛】關鍵點點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，構造函數(shù)，利用導數(shù)探求函數(shù)單調性、最值是解決問題的關鍵.4．（2024·山東德州·三模）設函數(shù)，，曲線在點處的切線方程為.(1)求的值;(2)求證:方程僅有一個實根;(3)對任意，有，求正數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義，結合切線和曲線，以及切點的關系，即可列式求解；（2）分，和三種情況，分析函數(shù)的性質，判斷函數(shù)的零點個數(shù)；（3）令，分和兩種情況，利用導數(shù)討論函數(shù)的最值，即可求解.【詳解】（1）因為，所以，又點在切線上，所以，所以，又，即，所以；（2）證明:欲證方程僅有一個實根，只需證明僅有一個實根，令，且，則，令，則，討論:當時，，所以在上單調遞增，所以，即，所以在上單調遞增，，即此時無零點；當時，，即此時有一個零點:當時，，即所以，當時，，即此時無零點，綜上，僅有一個零點，得證.（3）當時，，即恒成立，令，則，由（2）可知，時，，所以，討論:當時，因為，所以，即，

所以，所以在時單調遞增，所以恒成立，即滿足條件，當時，由，可知，又，所以存在，使得，所以，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，即不能保證恒成立綜上，正數(shù)的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：本題的第二問的關鍵是需分三段討論函數(shù)的性質，第三問的關鍵是對分2種情況討論函數(shù)的性質.5．（2024·江蘇宿遷·三模）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線的方程為，求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出，由建立等式求出，代入計算即可；（2）先求出，令，設，使得，即，根據(jù)導函數(shù)求出，根據(jù)不等式恒成立建立不等式得，計算即可.【詳解】（1）因為，函數(shù)的定義域為，所以，由曲線在處的切線的方程為，得，所以，設，，所以函數(shù)是上的遞增函數(shù)，又，所以方程有唯一解，所以，，所以切點坐標為，代入直線方程得．（2），定義域為，，設，所以，所以在上遞減，又，，所以當時，，即，函數(shù)遞增，當時，，即，函數(shù)遞減，所以函數(shù)的最大值，又，所以，所以，因為恒成立，即恒成立，設，則，所以遞增，所以，即恒成立，因為在上遞減，且，所以只需恒成立，即，又，所以．【點睛】關鍵點點睛：本題第一問求解的關鍵在于根據(jù)導數(shù)的幾何意義建立等式求出，在解的過程中要注意說明解得唯一性；第二問求解關鍵在于分母恒大于零，在探究導函數(shù)單調性時只需對導函數(shù)分子求導，根據(jù)導數(shù)求出，再根據(jù)不等式恒成立建立不等式得，最后計算可得.6．（2024·青海海西·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調性；(2)令，若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)．【分析】（1）求導得，利用判別式分類討論可求單調區(qū)間；（2），可得，進而證明時恒成立，利用放縮法與構造函數(shù)法可求解.【詳解】（1）由，，①當時，，可得，此時函數(shù)在R上單調遞增；②當時，，關于x的一元方程的兩根為，此時函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，；（2）若恒成立，必有，可得，下面證明時恒成立.由及，有，要證不等式，只需證，又由，只需證，令，有，令，有，①當時，，，有；②當時，，，有．由①②可知，故函數(shù)單調遞增，又由，可知當時，即；當時，即，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，有．由上知，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．7．（2024·四川瀘州·二模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若，，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）對求導，利用導數(shù)的幾何意義即可得解；（2）先利用導數(shù)分析的單調性，再構造，將問題轉化為，利用的單調性，分析得，從而得解.【詳解】（1）因為，則，所以，，所以曲線在點處的切線方程；（2）因為，且，所以當時，，單調遞減，當或時，，單調遞增；不妨令，當，即時，在單調遞增，在單調遞減，且，所以，此時符合題意；當，即時，在和單調遞增，在單調遞減，顯然在處取得極小值，此時極小值為，而，所以，要使，則必有，解得，故，綜上:的取值范圍是.【點睛】結論點睛：（1）有解；有解．（2）有解；有解．（3）有解；有解．（4），，．8．（2024·廣東梅州·一模）已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的一個極值點，求的值；(2)若在上恒成立，求的取值范圍；(3)證明：（為自然對數(shù)的底數(shù)）.【答案】(1)(2)(3)證明詳見解析【分析】（1）由求得，驗證后確定的值.（2）對進行分類討論，根據(jù)在區(qū)間上的最小值不小于求得的取值范圍.（3）將要證明的不等式轉化為證明，結合（2）的結論來證得不等式成立.【詳解】（1），定義域為，，因為是的一個極值點，所以.此時，所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以是的極小值點，符合題意，所以.（2）因為在上恒成立，所以.當時，在上恒成立，在上單調遞增，所以成立，符合題意.當時，令，得，令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，這與矛盾.綜上所述，的取值范圍是.（3）要證明，即證明，即證明，由（2）得時，在上單調遞增，所以，從而原不等式成立.【點睛】求解函數(shù)在區(qū)間上的最值的步驟：（1）確定的定義域；（2）計算導數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個區(qū)間，考查這若干個區(qū)間內的符號，進而確定的單調區(qū)間；（5）根據(jù)單調區(qū)間來求得最值.9．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知函數(shù).(1)求過原點的切線方程；(2)求證：存在，使得在區(qū)間內恒成立，且在內有解.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)求解函數(shù)的切線方程；（2）利用函數(shù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，進而判斷恒成立問題【詳解】（1），設切點切線方程：切線過原點，解得切線方程：（2）設，則，故當時，，則，即在單調遞增，且且時，存在唯一使得①.在上單調遞減，上單調遞增.滿足在區(qū)間內有唯一解，只需滿足即可.所以，將①帶入化簡得：，即，得（舍），，則，此時①變形為，不妨設，顯然在上單調遞增..，則結論得證10．（2024·貴州安順·二模）已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)若對任意的，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出定義域，求導，分和兩種情況，得到函數(shù)的單調性；（2）變形得到，在（1）的基礎上得到，從而，再令，，得到，令，，求導得到其單調性，求出最小值為，從而得到不等式，求出的取值范圍.【詳解】（1）的定義域為，則，當時，恒成立，故在上單調遞增，當時，令，解得，令，解得，故在上單調遞增，在上單調遞減，綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；（2）由題意得，對任意的，存在，使得，即，由（1）知，時，在上單調遞增，在上單調遞減；故在處取得極小值，也是最小值，故，即證，令，，則，當時，，當時，，故在上單調遞增，在單調遞減，故，令，，則，當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，故在處取得極小值，也是最小值，且，綜上，都在上取得最值，從而，解得，故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結合法，將不等式轉化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.1．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）【分析】（I）求出在處的導數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個交點，利用導數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結合即可求解；（III）令，題目等價于存在，使得，即，利用導數(shù)即可求出的最小值.【詳解】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，當時，，，當時，，畫出大致圖像如下：所以當時，與僅有一個交點，令，則，且，當時，，則，單調遞增，當時，，則，單調遞減，為的極大值點，故存在唯一的極值點；（III）由（II）知，此時，所以，令，若存在a，使得對任意成立，等價于存在，使得，即，，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，故，所以實數(shù)b的取值范圍.【點睛】關鍵點睛：第二問解題的關鍵是轉化為證明與僅有一個交點；第三問解題的關鍵是轉化為存在，使得，即.2．（2020·山東·高考真題）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求出在點切線方程，即可得到坐標軸交點坐標，最后根據(jù)三角形面積公式得結果；（2）方法一：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，當a=1時，由得,符合題意；當a>1時，可證，從而存在零點，使得，得到，利用零點的條件，結合指數(shù)對數(shù)的運算化簡后，利用基本不等式可以證得恒成立；當時，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.【詳解】（1），，.，∴切點坐標為(1,1+e),∴函數(shù)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標軸交點坐標分別為,∴所求三角形面積為．（2）［方法一］：通性通法,，且.設,則∴g(x)在上單調遞增，即在上單調遞增，當時，,∴,∴成立.當時，，，,∴存在唯一，使得，且當時，當時，，，因此>1,∴∴恒成立；當時，∴不是恒成立.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］【最優(yōu)解】：同構由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法三］：換元同構由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．令，所以．當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以當時，取得最大值為．所以．［方法四］：因為定義域為，且，所以，即．令，則，所以在區(qū)間內單調遞增．因為，所以時，有，即．下面證明當時，恒成立．令，只需證當時，恒成立．因為，所以在區(qū)間內單調遞增，則．因此要證明時，恒成立，只需證明即可．由，得．上面兩個不等式兩邊相加可得，故時，恒成立．當時，因為，顯然不滿足恒成立．所以a的取值范圍為．【整體點評】（2）方法一：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，求出其最小值，由即可求出，解法雖稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；方法二：利用同構思想將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調性以及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法三：通過先換元，令，再同構，可將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調性以及分離參數(shù)法求出；方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范圍，再進行充分性證明即可．3．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【答案】（1）當時，單調遞減，當時，單調遞增.（2）【分析】(1)由題意首先對函數(shù)二次求導，然后確定導函數(shù)的符號，最后確定原函數(shù)的單調性即可.(2)方法一：首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構造新函數(shù)，結合導函數(shù)研究構造所得的函數(shù)的最大值即可確定實數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當時，，，由于，故單調遞增，注意到，故：當時，單調遞減，當時，單調遞增.(2)[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)由得，，其中，①.當x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；②.當時，分離參數(shù)a得，，記，，令，則，，故單調遞增，，故函數(shù)單調遞增，，由可得：恒成立，故