第11講 相關(guān)定理在解三角形中的綜合應(yīng)用（高階拓展、競(jìng)賽適用）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page相關(guān)定理在解三角形中的綜合應(yīng)用（高階拓展、競(jìng)賽適用）（8類核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，分值為13-15分【備考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的應(yīng)用、熟練掌握面積公式的應(yīng)用2能熟練掌握解三角形中的相關(guān)定理公式進(jìn)行綜合應(yīng)用【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是在新高考卷的命題考查為解答題，?？疾橄嚓P(guān)定理公式綜合，需備考綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解海倫-秦九韶公式三角形的三邊分別是a、b、c，則三角形的面積為其中，這個(gè)公式就是海倫公式，為古希臘的幾何學(xué)家海倫所發(fā)現(xiàn)并證明。我國(guó)南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三邊求三角形面積的秦九韶公式:三倍角公式，射影定理，，角平分線定理（1）在中，為的角平分線，則有（2）（3）（庫(kù)斯頓定理）（4）張角定理倍角定理在中,三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為,(1)如果,則有:(2)如果,則有:(3)如果,則有:倍角定理的逆運(yùn)用在中,三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為,(1)如果,則有:。(2)如果,則有:。(3)如果,則有:。中線長(zhǎng)定理為的中線,則中線定理:證明:在和中,用余弦定理有:三角恒等式在中，①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩?？键c(diǎn)一、海倫-秦九韶公式及其應(yīng)用1．（2024·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，設(shè)，則該三角形的面積，這就是著名的“海倫-秦九韶公式”若的三邊長(zhǎng)分別為5，6，7，則該三角形的面積為．2．（2023·江蘇·三模）海倫（Heron，約公元1世紀(jì)）是古希臘亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家，以他的名字命名的“海倫公式”是幾何學(xué)中的著名公式，它給出了利用三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c計(jì)算其面積的公式S△ABC＝，其中，若a＝5，b＝6，c＝7，則借助“海倫公式”可求得△ABC的內(nèi)切圓的半徑r的值是．3．（2023·遼寧葫蘆島·二模）《數(shù)書(shū)九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書(shū)十八卷共八十一個(gè)問(wèn)題，分為九類，每類九個(gè)問(wèn)題，《數(shù)書(shū)九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積"中提出了已知三角形三邊a，b，c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開(kāi)平方得積.”若把以上這段文字寫(xiě)成公式，即，現(xiàn)在有周長(zhǎng)為的滿足，則用以上給出的公式求得的面積為（

）A． B． C． D．124．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202～1261）獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了與海倫公式等價(jià)的由三角形三邊求面積的公式，他把這種稱為“三斜求積”的方法寫(xiě)在他的著作《數(shù)書(shū)九章》中．具體的求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)一為從隅，開(kāi)平方得積．”如果把以上這段文字寫(xiě)成公式，就是．現(xiàn)將一根長(zhǎng)為的木條，截成三段構(gòu)成一個(gè)三角形，若其中有一段的長(zhǎng)度為，則該三角形面積的最大值為（

）．A． B． C． D．1．（22-23高三下·河北·期中）已知中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，則的面積，該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德得出．若的周長(zhǎng)為15，，則的面積為．2．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書(shū)九章》中，提出了已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的公式.在中，設(shè)分別為的內(nèi)角的對(duì)邊，S表示的面積，其公式為.若，，，則.3．（22-23高三上·陜西渭南·階段練習(xí)）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了“三斜”求積公式，即△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積．若，，則△ABC面積S的最大值為（

）A． B．1 C． D．4．（22-23高三上·山東濱州·期中）三角形的三邊分別為a，b，c，秦九韶公式和海倫公式，其中，是等價(jià)的，都是用來(lái)求三角形的面積．印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多在公元7世紀(jì)的一部論及天文的著作中，給出若四邊形的四邊分別為a，b，c，d，則，其中，為一組對(duì)角和的一半.已知四邊形四條邊長(zhǎng)分別為3，4，5，6，則四邊形最大面積為（）A．21 B． C． D．考點(diǎn)二、三倍角公式及其應(yīng)用1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，且為銳角，則的最小值為（

）A． B． C． D．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若,則的最小值為A.-1B.C.3D.考點(diǎn)三、射影定理及其應(yīng)用1．（22-23高三·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，表示的面積，若，，則（

）A．90 B．60 C．45 D．301．（21-22高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，，，若，則的面積為.2．（2022·山西臨汾·一模）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，則tanA的最大值為.考點(diǎn)四、角平分線定理及其應(yīng)用1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）△中，邊內(nèi)上有一點(diǎn)，證明：是的角平分線的充要條件是．2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．3．（2024·河北·三模）中，，．則的角平分線的長(zhǎng)為．4．（2023·江蘇·一模）在中，，的角平分線交于點(diǎn)D，的面積是面積的3倍，則（

）A． B． C． D．1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知AD是的角平分線，，，，則.2．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，，，A的角平分線，則（）A．2 B． C． D．3．（2023秋·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）設(shè)為的外心，，，的角平分線交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．

考點(diǎn)五、張角定理及其應(yīng)用1．（內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）如圖，已知是中的角平分線，交邊于點(diǎn).（1）用正弦定理證明：；（2）若，，，求的長(zhǎng).2.在中,角所對(duì)的邊分別為,已知點(diǎn)在邊上,,則__________1.在中,角所對(duì)的邊分別為是的角平分線,若,則的最小值為_(kāi)______2．（2024·江西宜春·三模）在中，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，的周長(zhǎng)為15，面積為．(1)求的外接圓面積；(2)設(shè)D是邊AB上一點(diǎn)，在①CD是邊AB上的中線；②CD是的角平分線這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，求線段CD的長(zhǎng)．考點(diǎn)六、倍角定理及其應(yīng)用1.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、2．（2020高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)銳角的三個(gè)內(nèi)角..的對(duì)邊分別為..，且，，則周長(zhǎng)的取值范圍為（

）A． B． C． D．1．（22-23高三上·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）內(nèi)角，C的對(duì)邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．2.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、考點(diǎn)七、中線長(zhǎng)定理及其應(yīng)用1．（23-24高一下·河北保定·期末）阿波羅尼奧斯（Apollonius）是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他提出的阿波羅尼奧斯定理是一個(gè)關(guān)于三角形邊長(zhǎng)與中線長(zhǎng)度關(guān)系的定理，內(nèi)容為：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及第三邊之半的平方和的兩倍，即如果AD是中BC邊上的中線，則.(1)若在中，，，，求此三角形BC邊上的中線長(zhǎng)；(2)請(qǐng)證明題干中的定理；(3)如圖中，若，D為BC中點(diǎn)，，，，求的值.2．（2011·吉林·一模）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則邊上的中線長(zhǎng)為．1．（24-25高三上·江蘇泰州·階段練習(xí)）的三邊分別為，邊上的中線長(zhǎng)為．2．（2020高三·全國(guó)·專題練習(xí)）的兩邊長(zhǎng)分別為，第三邊上的中線長(zhǎng)為1，則其外接圓的直徑為考點(diǎn)八、三角恒等式及其應(yīng)用1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若.(1)求；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．（2023春·浙江臺(tái)州·高三?？计谥校┰冖?，②，③的面積為，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且______．(1)求角A；(2)若，的內(nèi)切圓半徑為，求的面積．一、單選題1．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在中，已知，，且AB邊的中線長(zhǎng)為1，那么c的長(zhǎng)為．A． B．2 C． D．32．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)一個(gè)的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長(zhǎng)的一半，與古希臘數(shù)學(xué)家海倫公式完全一致，所以這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式.現(xiàn)有一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為24，，則當(dāng)三角形面積最大值時(shí)AB邊上的高為（

）A．8 B． C．12 D．3．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，若邊的中線長(zhǎng)等于，則（

）A． B． C． D．二、填空題4．（23-24高二·全國(guó)·假期作業(yè)）在中，已知，，，則邊上的中線長(zhǎng)為．5．（23-24高一下·福建福州·期末）在中，的角平分線交于，則.6．（22-23高一·全國(guó)·課后作業(yè)）任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”：的三邊是，它們所對(duì)的角分別是，則有，，．請(qǐng)利用上述知識(shí)解答下面的題：在中，若，則．7．（2019高一·山東濟(jì)南·學(xué)業(yè)考試）中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，，則此三角形面積的最大值為.三、解答題8．（23-24高二下·福建福州·期中）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且.(1)求角的大小；(2)若，且的面積為，求邊上的中線長(zhǎng).9．（20-21高一下·福建莆田·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，.（1）求角；（2）若為的角平分線，證明：.10．（20-21高一下·福建·期中）已知中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足.(1)求角A；(2)設(shè)點(diǎn)D為上BC一點(diǎn)，且AD=2，證明：若，則存在最大值或最小值；請(qǐng)?jiān)谙旅娴膬蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)填到上面的橫線上，并證明.①AD是的中線；②AD是的角平分線.11．（23-24高一下·湖南株洲·期末）在中，角所對(duì)的邊分別為，向量，，且，為線段上一點(diǎn).(1)求角的大??；(2)若為角的角平分線，，的周長(zhǎng)為15，求的長(zhǎng).12．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，滿足：．(1)證明：；(2)若，且為銳角三角形，求的面積S的取值范圍．13．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中.內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知.(1)求證：；(2)求的取值范圍.14．（23-24高一下·河南鄭州·期中）古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在其著作《測(cè)地術(shù)》中給出了由三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c計(jì)算三角形面積的公式：，這個(gè)公式常稱為海倫公式，其中，．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中給出了由三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c計(jì)算三角形面積的公式：，這個(gè)公式常稱為“三斜求積”公式．(1)已知的三條邊分別為，求的面積；(2)利用題中所給信息，證明三角形的面積公式；(3)在中，，求面積的最大值．15．（22-23高一下·山東棗莊·期中）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分線.（i）證明：；（ii）若，求的最大值.一、單選題1．（陜西·高考真題）設(shè)在中,角所對(duì)的邊分別為,若,則的形狀為（）A