專題06 難點(diǎn)探究專題：利用二次函數(shù)求面積、周長最值問題壓軸題四種模型全攻略（原卷版）

專題06難點(diǎn)探究專題：利用二次函數(shù)求面積、周長最值問題壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用二次函數(shù)求面積最大值問題】 1【考點(diǎn)二利用二次函數(shù)求面積最小值問題】 11【考點(diǎn)三利用二次函數(shù)求周長最大值問題】 17【考點(diǎn)四利用二次函數(shù)求周長最小值問題】 27【典型例題】【考點(diǎn)一利用二次函數(shù)求面積最大值問題】例題：（2023秋·吉林四平·九年級(jí)四平市第三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，求的面積的最大值；(3)當(dāng)時(shí)，拋物線有最小值5，求的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北滄州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形的面積最大并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形的最大面積．2．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)福建省莆田市中山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P位于第一象限時(shí)，連接，，得到，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P位于第四象限時(shí)，連接，，，若，求直線的解析式；3．（2023秋·廣西南寧·九年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，求的最大面積；(3)當(dāng)點(diǎn)在第一象限，且時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【考點(diǎn)二利用二次函數(shù)求面積最小值問題】例題：（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)中山大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊向點(diǎn)B以1個(gè)單位每秒的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿邊向點(diǎn)C以2個(gè)單位每秒的速度移動(dòng)．如果P，Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B，C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，回答下列問題：

(1)運(yùn)動(dòng)開始后第幾秒時(shí)的面積等于．(2)設(shè)五邊形的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t為何值時(shí)S最?。壳骃的最小值．【變式訓(xùn)練】1．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線交x軸于，，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求b，c的值；(2)已知P為拋物線一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），若點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)恰好在直線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，平移拋物線，使其頂點(diǎn)始終在直線上，且與相交于點(diǎn)Q，求面積的最小值．2．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象與坐標(biāo)軸相交于A，B，C三點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒個(gè)單位長度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒1個(gè)單位長度向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)，；(2)在P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為多少？(3)已知點(diǎn)M是該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，若要使得線段的值最小，則試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【考點(diǎn)三利用二次函數(shù)求周長最大值問題】例題：（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)，，矩形的邊在線段上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C，D在拋物線上，設(shè)，當(dāng)時(shí)，．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形的周長有最大值？最大值是多少？(3)保持時(shí)的矩形不動(dòng)，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖南長沙·八年級(jí)?？计谀┮阎獟佄锞€（a為常數(shù)，）的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng)．

(1)求a的值．(2)若點(diǎn)和點(diǎn)都是這個(gè)拋物線上的點(diǎn)，且有，求t的取值范圍．(3)設(shè)點(diǎn)A位于x軸的下方且在這個(gè)拋物線的對(duì)稱軸的左側(cè)運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D，過點(diǎn)A作軸，垂足為點(diǎn)B，過點(diǎn)D作軸，垂足于點(diǎn)C，試問四邊形的周長是否存在最大值？如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值和對(duì)應(yīng)的x值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．2．（2023·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求直線和拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，過點(diǎn)作軸的平行線，與直線交于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①若點(diǎn)在軸上方，當(dāng)為何值時(shí)，是等腰三角形；②若點(diǎn)在軸下方，設(shè)的周長為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)為何值時(shí)，的周長最大，最大值是多少？3．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸分別交于、、三點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)圖象位于軸上方部分有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，過、作軸的垂線交軸于點(diǎn)、兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，求該矩形周長的最大值；(3)當(dāng)矩形的周長最大時(shí)，在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使的面積是矩形面積的？若存在，直接寫出該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)四利用二次函數(shù)求周長最小值問題】例題：（2023秋·安徽·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，若，拋物線的對(duì)稱軸為直線.

(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，使得周長最小，求出最小周長．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·云南臨滄·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)坐標(biāo)為，為拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)為該拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)當(dāng)函數(shù)的自變量滿足時(shí)，函數(shù)的最小值為3，求的值．2．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）綜合與探究如圖，經(jīng)過，兩點(diǎn)的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)在拋物線上，求時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)；(4)已知，請(qǐng)直接寫出能以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)坐標(biāo)．3．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，求周長的最小值；(3)如圖2，過動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．4．（2023春·山東東營·