專題29 尺規(guī)作圖與定義、命題、定理（練習(xí)）（21題型）

第29講尺規(guī)作圖與定義、命題、定理目錄TOC\o"1-2"\h\u題型過關(guān)練 2題型01尺規(guī)作圖-作線段 2題型02尺規(guī)作圖-作一個(gè)角等于已知角 3題型03尺規(guī)作圖-尺規(guī)作角的和、差 4題型04尺規(guī)作圖-過直線外一點(diǎn)作這條線的平行 5題型05尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形） 7題型06尺規(guī)作圖-作角平分線 9題型07尺規(guī)作圖-作垂直平分線 10題型08尺規(guī)作圖-作三角形的中線與高 11題型09尺規(guī)作圖-畫圓 12題型10尺規(guī)作圖-過圓外一點(diǎn)作圓的切線 13題型11尺規(guī)作圖-找圓心 13題型12尺規(guī)作圖-作外接圓 15題型13尺規(guī)作圖-作內(nèi)切圓 15題型14尺規(guī)作圖-作圓內(nèi)接正多邊形 15題型15尺規(guī)作圖-格點(diǎn)作圖 16題型16判斷是否命題 18題型17判斷命題真假 18題型18舉反例說明命題為假命題 19題型19寫出命題的逆命題 19題型20反證法證明中的假設(shè) 20題型21用反證法證明命題 20真題實(shí)戰(zhàn)練 21

題型過關(guān)練題型01尺規(guī)作圖-作線段1．（2023·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：如圖，已知線段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．2．（2022·山東青島·青島大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┮阎骸夕?，線段a．求作：矩形ABCD，使對(duì)角線的長為a，夾角為∠α．3．（2022·山東青島·統(tǒng)考二模）尺規(guī)作圖（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）如圖，已知線段MN=a，AR⊥AK，垂足為A．求作：⊙O，使⊙O4．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）下面是小李設(shè)計(jì)的“利用直角和線段作矩形”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖1，線段a，b，及∠MAN=90°．求作：矩形ABCD，使AB=a，AD=b．作法：如圖2，①在射線AM，AN上分別截取AB=a，AD=b；②以B為圓心，b長為半徑作弧，再以D為圓心，a長為半徑作弧，兩弧在∠MAN內(nèi)部交于點(diǎn)C；③連接BC，DC．∴四邊形ABCD就是所求作的矩形．根據(jù)小李設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，解答下列問題：(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖2(保留作圖痕跡)；(2)完成下面的證明．證明：∵AB=DC=a，AD=_____________=b，∴四邊形ABCD是平行四邊形(_)(填推理的依據(jù))．∵∠MAN=90°，∴四邊形ABCD是矩形(______________)(填推理的依據(jù))．題型02尺規(guī)作圖-作一個(gè)角等于已知角5．（2019·河北·模擬預(yù)測(cè)）“經(jīng)過已知角一邊上的一點(diǎn)作“個(gè)角等于已知角”的尺規(guī)作圖過程如下：已知：如圖（1），∠AOB和OA上一點(diǎn)C．求作：一個(gè)角等于∠AOB，使它的頂點(diǎn)為C，一邊為CA．作法：如圖（2），（1）在0A上取一點(diǎn)D（OD＜OC），以點(diǎn)O為圓心，OD長為半徑畫弧，交OB于點(diǎn)E；（2）以點(diǎn)C為圓心，OD長為半徑畫弧，交CA于點(diǎn)F，以點(diǎn)F為圓心，DE長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C；（3）作射線CC．所以∠CCA就是所求作的角此作圖的依據(jù)中不含有（）A．三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 B．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等C．兩直線平行同位角相等 D．兩點(diǎn)確定一條直線6．（2022·山東菏澤·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知：∠O及其一邊上的兩點(diǎn)A，B．求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且點(diǎn)C在∠O內(nèi)部，∠BAC=∠O．7．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點(diǎn)P，使∠PBC＝45°．（保留作圖痕跡．不寫作法）題型03尺規(guī)作圖-尺規(guī)作角的和、差8．（2022下·山東青島·七年級(jí)山東省青島市第五十七中學(xué)?？计谥校┮阎夕?、∠β，求作∠AOB，使∠AOB=∠α?∠β．9．（2023下·山西晉中·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知∠α，∠β，求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β．（要求：在指定作圖區(qū)域用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

10．（2020下·六年級(jí)?？紗卧獪y(cè)試）已知∠α、∠β，用尺規(guī)畫出∠AOB=2∠α-∠β．（不寫作法，標(biāo)明字母） 11．（2023下·廣東佛山·七年級(jí)佛山六中?？茧A段練習(xí)）如圖，已知∠ABC及AB上一點(diǎn)A，(1)利用三角板，過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為點(diǎn)E，此時(shí)線段AE的長為點(diǎn)A到直線BC的距離．(2)尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：利用尺規(guī)在BC下方以點(diǎn)B為頂點(diǎn)作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC．題型04尺規(guī)作圖-過直線外一點(diǎn)作這條線的平行12．（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下面四個(gè)圖是小明用尺規(guī)過點(diǎn)C作AB邊的平行線所留下的作圖痕跡，其中正確的是（

）A． B．C． D．13．（2023·甘肅天水·統(tǒng)考一模）如圖，已知線段MN=a,AR⊥AK，垂足為a．（1）求作四邊形ABCD，使得點(diǎn)B，D分別在射線AK,AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD//AB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）設(shè)P，Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊AB,CD的中點(diǎn)，求證：直線AD,BC,PQ相交于同一點(diǎn)．14．（2022·湖南長沙·長沙市南雅中學(xué)校聯(lián)考一模）已知：如圖，直線l，和直線外一點(diǎn)P．求作：過點(diǎn)P作直線PC，使得PC∥l．作法：①在直線l上取點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OP長為半徑畫圓，交直線l于A，B兩點(diǎn)；②連接AP，以點(diǎn)B為圓心，AP長為半徑畫弧，交半圓于點(diǎn)C；③作直線PC．直線PC即為所求作．根據(jù)尺規(guī)作圖，完成下面的證明：證明：連接BP．∵BC=AP，∴BC=∴∠ABP=∠BPC（________________________）（填推理依據(jù)），∴直線PC∥直線l（________________________）（填推理依據(jù)）．15．（2022·北京大興·統(tǒng)考二模）下面是小東設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程．已知：直線l和直線l外一點(diǎn)P．求作：直線PQ，使得PQ∥l作法：如圖，①在直線l上任取兩點(diǎn)A，B；②以點(diǎn)P為圓心，AB長為半徑畫弧，以點(diǎn)B為圓心，AP長為半徑畫弧，兩弧在直線l上方相交于點(diǎn)Q；③作直線PQ．直線PQ就是所求作的直線．根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：∵PA=QB,AB=PQ，∴四邊形PABQ是平行四邊形（___________）（填寫推理的依據(jù)）．∴PQ∥AB（______________）（填寫推理的依據(jù)）．即PQ∥l題型05尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形）16．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡，不能判斷△ABC是等腰三角形的是（

）．A． B． C． D．17．（2021·安徽·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，根據(jù)作圖痕跡，可知∠CBD=（

）A．80° B．60° C．45° D．50°18．（2020·山東東營·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是作ΔABC的作圖痕跡，則此作圖的已知條件是（

）A．已知兩邊及夾角 B．已知三邊C．已知兩角及夾邊 D．已知兩邊及一邊對(duì)角19．（2019·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）已知：∠α，直線l及l(fā)上兩點(diǎn)A，B．求作：Rt△ABC，使點(diǎn)C在直線l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．20．（2021·吉林·統(tǒng)考一模）圖1.2是兩張形狀和大小完全相同的方格紙，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1，線段AC的兩個(gè)端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上；（1）在圖1中畫出以AC為底邊的等腰直角△ABC，點(diǎn)B在小正方形頂點(diǎn)上；（2）在圖2中畫出以AC為腰的等腰△ACD，點(diǎn)D在小正方形的頂點(diǎn)上，且△ACD的面積為8.題型06尺規(guī)作圖-作角平分線21．（2021·山東青島·統(tǒng)考一模）已知∠α，線段a，求作：等腰△ABC，使得頂角∠A=∠α，BC上的高為a．22．（2023·吉林長春·校聯(lián)考一模）用尺規(guī)作一個(gè)角的角平分線，下列作法中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．23．（2023·江蘇常州·常州實(shí)驗(yàn)初中?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由圖中的尺規(guī)作圖得到的射線與AC交于點(diǎn)D，則以下推斷錯(cuò)誤的是（

）A．BD=BC B．AD=BD C．∠ADB=108° D．CD=24．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．(1)作∠ACB的角平分線，交AB于點(diǎn)E（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：AD＝AE．25．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=BC，AD⊥DC于點(diǎn)D．(1)用尺規(guī)作∠ABC的角平分線，交CD于點(diǎn)E；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)連接AE．求證：四邊形ABCE是菱形．題型07尺規(guī)作圖-作垂直平分線26．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通過尺規(guī)作圖得到的直線MN分別交AB，AC于D，E，連接CD．若CE=13AE=1，則CD＝_____27．（2023·新疆烏魯木齊·烏魯木齊八一中學(xué)校考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠CAD的度數(shù)為______28．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，分別以點(diǎn)A，D為圓心，大于12(1)由作圖可知，直線MN是線段AD的________________．(2)求證：四邊形AEDF是菱形．題型08尺規(guī)作圖-作三角形的中線與高29．（2021·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)僅用無刻度直尺完成以下作圖．（保留作圖痕跡）（1）在圖1中，作△ABC的高AM；（2）在圖2中，作△ABC的高AN．（提示：三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)）30．（2022·浙江舟山·?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，畫出點(diǎn)A0,2，點(diǎn)B4,0，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于（1）連結(jié)AB、AC、BC，并畫出△ABC的BC邊上的中線AE．（2）求出△ABE的面積．31．（2022·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，且CD=2BD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊AC上找一點(diǎn)P，使得△PAD的面積等于△BAD的面積（保留作圖痕跡，不寫作法）．題型09尺規(guī)作圖-畫圓32．（2022·福建·一模）如圖，在Rt△ABC中∠C=90°，∠A<45°．(1)請(qǐng)作出經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓，且該圓的圓心O落在線段AC上（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫做法）；(2)在（1）的條件下，已知∠BOC=α，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后與⊙O交于點(diǎn)E．試證明：B、C、E三點(diǎn)共線．33．（2022·山東青島·校考二模）已知：△ABC．求作：⊙O，使它經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C，并且圓心O在∠A的平分線上，34．（2023·陜西西安·交大附中分校校考一模）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖求作⊙P，使點(diǎn)P在BC上且使⊙P與AC，AB都相切．（不寫作法，保留作圖痕跡）題型10尺規(guī)作圖-過圓外一點(diǎn)作圓的切線35．（2023·福建福州·閩清天儒中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，連接OP交⊙O于點(diǎn)I．(1)過點(diǎn)P作⊙O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接AB，求證：點(diǎn)I是△ABP的內(nèi)心．36．（2023·山東·統(tǒng)考一模）請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．如圖，∠BAC=45°，D，E在AB上，作⊙O經(jīng)過D，E兩點(diǎn)且與AC相切．題型11尺規(guī)作圖-找圓心37．（2023·廣西·統(tǒng)考三模）如圖，要把殘缺的圓片復(fù)原，可通過找到圓心的方法進(jìn)行復(fù)原，已知弧上的三點(diǎn)A，B，C．

(1)用尺規(guī)作圖法，找出弧BC所在圓的圓心O；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在△ABC中，連接AO交BC于點(diǎn)E，連接OB，當(dāng)AB=AC=10cm,BC=16cm時(shí)，求圖片的半徑R；(3)若直線l到圓心的距離等于25338．（2021·上海奉賢·統(tǒng)考三模）如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過網(wǎng)格的交點(diǎn)A、B、C．（1）請(qǐng)完成如下操作：①以點(diǎn)O為原點(diǎn)、網(wǎng)格邊長為單位長，建立平面直角坐標(biāo)系；②根據(jù)圖形提供的信息，標(biāo)出該圓弧所在圓的圓心D，并連接AD、CD．（2）請(qǐng)?jiān)冢?）的基礎(chǔ)上，完成下列填空：①寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：C________、D________；②⊙D的半徑＝________；（3）求∠ACO的正弦值．題型12尺規(guī)作圖-作外接圓39．（2023·江西·統(tǒng)考二模）如圖，一個(gè)含有30°角的直角三角形內(nèi)接于圓，點(diǎn)D是AC上的點(diǎn)，AD=2DC，請(qǐng)僅用無刻度直尺按下列要求作圖．

(1)在圖1中作直角三角形的外心O；(2)在圖2中作直角三角形的內(nèi)心H．40．（2022·福建龍巖·校聯(lián)考一模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)作Rt△ABC的外接圓⊙O（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖形中，過點(diǎn)C作⊙O的切線CD，求證：∠A＝∠DCB．題型13尺規(guī)作圖-作內(nèi)切圓42．（2023·陜西渭南·?？家荒＃┤鐖D，已知△ABC，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作出△ABC的內(nèi)切圓題型14尺規(guī)作圖-作圓內(nèi)接正多邊形43．（2022·陜西·陜西師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AC為⊙O的直徑．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作出⊙44．（2019·江蘇揚(yáng)州·校聯(lián)考一模）如圖，已知等邊△ABC，請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）（1）作△ABC的外接圓圓心O；（2）設(shè)D是AB邊上一點(diǎn)，在圖中作出一個(gè)等邊△DFH，使點(diǎn)F，點(diǎn)H分別在邊BC和AC上；（3）在（2）的基礎(chǔ)上作出一個(gè)正六邊形DEFGHI．45．（2018·山西太原·統(tǒng)考一模）已如：⊙O與⊙O上的一點(diǎn)A（1）求作：⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法但保留作圖痕跡）（2）連接CE，BF，判斷四邊形BCEF是否為矩形，并說明理由．題型15尺規(guī)作圖-格點(diǎn)作圖46．（2023·吉林長春·?？寄M預(yù)測(cè)）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按要求畫圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中的AC邊上找一點(diǎn)D，連結(jié)BD，使得△ABD的面積等于△ABC面積的12(2)在圖②中的△ABC的內(nèi)部找一點(diǎn)E，連結(jié)AE、BE，使得△ABE的面積等于△ABC面積的12(3)在圖③中的△ABC的內(nèi)部找一點(diǎn)F，連結(jié)AF、BF、CF，使得△ABF、△ACF和△BCF的面積相等．47．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D均為小正方形的頂點(diǎn)，請(qǐng)僅用無刻度的直尺作圖，保留作圖痕跡．

(1)在圖1中作出AB邊上的點(diǎn)E，使得BE=4(2)在圖2中作出AC邊上的點(diǎn)F（不與點(diǎn)A重合），連接DF，使得DF=(3)在圖3中作出AB邊上的點(diǎn)G，使得tan∠48．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）用無刻度直尺作圖：

(1)如圖1，在AB上作點(diǎn)E，使∠ACE(2)如圖1，點(diǎn)F為AC與網(wǎng)格的交點(diǎn)，在AB上作點(diǎn)D，使∠ADF(3)如圖2，在BC上作點(diǎn)N，使CN=5(4)如圖2，在AB上作點(diǎn)M，使∠ACM題型16判斷是否命題49．（2022·河北衡水·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知直線l和直線l外一點(diǎn)P，下列說法不正確的是（

）A．過點(diǎn)P有且只有一條直線與直線l平行B．過點(diǎn)P有且只有一條直線與直線l垂直C．在連接點(diǎn)P和直線l上各點(diǎn)的線段中，與直線l垂直的線段最短D．過點(diǎn)P作直線l的垂直平分線，只能作一條50．（2022·廣東東莞·東莞市光明中學(xué)?？既＃┮韵虏皇敲}的是（）A．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等 B．定理一定是真命題C．畫線段AB=5cmD．全等三角形對(duì)應(yīng)角相等題型17判斷命題真假51．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）下列4個(gè)命題中，真命題是（

）A．正五邊形是中心對(duì)稱圖形B．一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形C．同位角相等D．函數(shù)y=1x中，y52．（2021·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學(xué)校考二模）命題“如果x=y，那么x253．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）下列命題中是假命題的是（

）A．同位角相等 B．單項(xiàng)式3aC．兩點(diǎn)之間線段最短 D．菱形的對(duì)角線互相垂直54．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）下列命題是真命題的是（

）A．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行B．若三條直線a⊥c，bC．相等的弧所對(duì)的弦相等D．若一個(gè)數(shù)的立方根和平方根相同，那么這個(gè)數(shù)只能是055．（2022·北京海淀·?？寄M預(yù)測(cè)）下列命題中的假命題是（

）A．對(duì)角線互相平分的四邊形是中心對(duì)稱圖形B．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是軸對(duì)稱圖形C．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是中心對(duì)稱圖形D．等邊三角形既是軸對(duì)軸圖形，又是中心對(duì)稱圖形題型18舉反例說明命題為假命題56．（2020·北京東城·二模）判斷命題“如果n<1，那么nA．12 B．?12 C．057．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于DA．△ACE和△BCE B．△C．△CDE和△BCD D．△58．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考二模）能說明命題“若X2>16，則X>4”是假命題的一個(gè)反例可以是______59．（2023·江蘇無錫·?？级＃┠苷f明命題“兩個(gè)無理數(shù)a、b的和一定是無理數(shù)”是假命題的一組a，b的值可以是________．題型19寫出命題的逆命題60．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）下列命題的逆命題是假命題的是（

）A．在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角 B．兩直線平行，同位角相等C．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 D．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等61．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）下列命題的逆命題是真命題的是（）A．平行四邊形的對(duì)角線互相平分 B．矩形的對(duì)角線相等C．菱形的對(duì)角線互相垂直 D．正方形的對(duì)角線互相平分且相等62．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）命題“如果a，b互為相反數(shù)，那么a，b的絕對(duì)值相等”的逆命題是____________________________．63．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）請(qǐng)寫出命題“如果a>b，那么a>b”的逆命題是64．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）命題“如果3a+3b=0，那么___________．題型20反證法證明中的假設(shè)65．（2023·河南鄭州·鄭州外國語中學(xué)?？级＃┡ｎD曾說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精良的武器之一．”那么我們用反證法證明：“在同一平面內(nèi)，若a⊥b，c⊥b，則A．a(chǎn)∥b B．c∥b C．a(chǎn)與b相交 D．66．（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）用反證法證明“若a⊥b，b⊥c，則A．a(chǎn)與b不平行 B．a(chǎn)⊥b C．a(chǎn)，b都不垂直于c D．a(chǎn)67．（2018·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）用反證法證明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．證明該命題的第一個(gè)步驟是（）A．假設(shè)CD∥EF B．假設(shè)AB∥EF C．假設(shè)CD和EF不平行 D．假設(shè)AB和EF不平行題型21用反證法證明命題68．（2019·河北唐山·校聯(lián)考一模）已知△ABC中，AB=AC①∴∠A+∠B②因此假設(shè)不成立．∴∠③假設(shè)在△ABC中，④由AB=AC，得∠B這四個(gè)步驟正確的順序應(yīng)是（

）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②69．（2020·河北·校聯(lián)考二模）求證：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等如圖1，若AB//CD，且AB、CD被EF以下是打亂的用反證法證明的過程①如圖2，過點(diǎn)O作直線A'B'②依據(jù)理論依據(jù)1，可得A'③假設(shè)∠AOF④∴∠AOF⑤與理論依據(jù)2矛盾，∴假設(shè)不成立．證明步驟的正確順序是（

）A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．③①④②⑤ D．③①②⑤④70．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）閱讀下列材料：“為什么32證明：假設(shè)32那么存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)n，m，使得32∵n∴____________________，可設(shè)n=2t（t為正整數(shù)），則∴_____________，即4t∴__________________，∴m，n因此假設(shè)不成立，即32將下列選項(xiàng)依次填入材料中的畫線處，正確的順序是___________．（填上序號(hào)）①8t3=2m3； ②n3=2m3真題實(shí)戰(zhàn)練1．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，以點(diǎn)B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于12EF長為半徑作弧，兩弧在∠ABC內(nèi)交于點(diǎn)P，作射線BP，交AD于點(diǎn)G，交CD的延長線于點(diǎn)H．若AB=AG

A．6 B．8 C．9 D．102．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知∠AOB，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于C，D兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于12CD長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于∠AOB內(nèi)一點(diǎn)P，連接OP，過點(diǎn)P作直線PE∥OA，交OB于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作直線PF∥OB，交OA于點(diǎn)F．若

A．123cm2 B．63cm2 C3．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于12DE長為半徑畫弧，交于∠BAC內(nèi)一點(diǎn)F.連結(jié)AF并延長，交BC于點(diǎn)G．連結(jié)DG，EG.添加下列條件，不能使

A．AB=AC B．AG⊥BC C．∠4．（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=40°，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于12BC的長為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN，交邊AC于點(diǎn)D

A．40° B．50° C．80° D．100°5．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B，C為圓心，大于12BC的長為半徑畫弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，EF和BC交于點(diǎn)O；②以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D；③分別以點(diǎn)D，C為圓心，大于12CD的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M﹐連接AM，AM和CD交于點(diǎn)N，連接ON

A．2 B．52 C．4 D．6．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以點(diǎn)C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點(diǎn)D，再分別以B，D為圓心，以大于12BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線CP交ABA．∠BCE=36° BC．BEAC=5?17．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)

A．35 B．34 C．43 8．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC=5，CD=3．按下列步驟作圖：①以點(diǎn)D為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交DA,DC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心以大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；③連接DP并延長交

A．2 B．3 C．4 D．59．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，用直尺和圓規(guī)作∠MAN的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（

A．AD=AE B．AD=DF C．DF10．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，銳角三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，連接BE，CD．下列命題中，假命題是（

A．若CD=BE，則∠DCB=∠EBC C．若BD=CE，則∠DCB=∠EBC 11．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對(duì)稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長相等；④正n邊形共有n條對(duì)稱軸．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．112．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）下列命題中，是真命題的是（

）A．平行四邊形是軸對(duì)稱圖形B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C．到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上D．在△ABC中，若∠A:∠13．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）下列命題：①a3②?π③圓周角等于圓心角的一半；④將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲一次時(shí)，正面朝上是必然事件；⑤在一組數(shù)據(jù)中，如果每個(gè)數(shù)據(jù)都增加4，那么方差也增加4．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題14．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，扇形OAB的半徑為1，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P，∠BOP=35°，則AB的長l

15．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=4，以A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，連接DE，分別以D，E為圓心，以大于12DE的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線AF，交DE于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥AB

16．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點(diǎn)E，

（1）點(diǎn)E為圓心，以任意長為半徑作弧交射線EB于點(diǎn)M，交射線EF于點(diǎn)N；（2）分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于12MN的長為半徑作弧，兩弧在∠BEF（3）作射線EP交直線CD于點(diǎn)G；若∠EGF=29°，則∠BEF=17．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，等邊三角形ABC內(nèi)接于圓，且頂點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．

（1）線段AB的長為____________；（2）若點(diǎn)D在圓上，AB與CD相交于點(diǎn)P．請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)Q，使△CPQ為等邊三角形，并簡要說明點(diǎn)Q的位置是如何找到的（不要求證明）_______________________________________．18．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N；②以點(diǎn)D為圓心，以AM長為半徑作弧，交DB于點(diǎn)M'；③以點(diǎn)M'為圓心，以MN長為半徑作弧，在∠BAC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N'：④過點(diǎn)N'作射線DN'交BC于點(diǎn)E．若△BDE

三、解答題19．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC是菱形ABCD的對(duì)角線．

(1)作邊AB的垂直平分線，分別與AB，AC交于點(diǎn)E，F(xiàn)（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，連接FB，若∠D=140°，求20．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB=AE，BC=(1)求證：AC=(2)用直尺和圓規(guī)作圖：過點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為21．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠

(1)尺規(guī)作圖：作⊙O，使得圓心O在邊AB上，⊙O過點(diǎn)B且與邊AC相切于點(diǎn)(2)在（1）的條件下，若∠ABC=60°,AB=4，求22．（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：△ABC求作：點(diǎn)P，使PA=PC，且點(diǎn)P在△ABC

23．（2023·青海·統(tǒng)考中考真題）如圖，∠CAE是△ABC的一個(gè)外角，AB=AC，CF∥BE.

(1)尺規(guī)作圖：作∠CAE的平分線，交CF于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形.24．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，線段AB和線段CD的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．(1)在方格紙中畫出△ABE，且AB=BE，∠ABE為鈍角（點(diǎn)(2)在方格紙中將線段CD向下平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度后得到線段MN（點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)M，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)N），連接EN，請(qǐng)直接寫出線段EN的長．______25．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中作銳角△ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上；(2)在圖2中的線段AB上作點(diǎn)Q，使PQ最短．26．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作△ABC，點(diǎn)C在格點(diǎn)上．

(1)在圖①中，△ABC的面積為92(2)在圖②中，△ABC的面積為5(3)在圖③中，△ABC是面積為5227．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，為制作角度尺，將長為10，寬為4的矩形OABC分割成4×10的小正方形網(wǎng)格．在該矩形邊上取點(diǎn)P，來表示∠POA的度數(shù)．閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：作法（如圖）結(jié)論

①在CB上取點(diǎn)P1，使C∠P1OA=45°，點(diǎn)P②以O(shè)為圓心，8為半徑作弧，與BC交于點(diǎn)P2∠P2OA=30°，點(diǎn)P③分別以O(shè),P2為圓心，大于OP2長度一半的長為半徑作弧，相交于點(diǎn)E,F，連結(jié)EF與…④以P2為圓心，OP2的長為半徑作弧，與射線CB交于點(diǎn)D，連結(jié)OD交AB…(1)分別求點(diǎn)P3(2)用直尺和圓規(guī)在該矩形的邊上作點(diǎn)P5，使該點(diǎn)表示37.5°

第29講尺規(guī)作圖與定義、命題、定理答案解析題型過關(guān)練題型01尺規(guī)作圖-作線段1．（2023·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：如圖，已知線段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．【答案】見解析【分析】作直線l及l(fā)上一點(diǎn)A；過點(diǎn)A作l的垂線；在l上截取AB=m；作BC=n；即可得到△ABC．【詳解】解：如圖所示：△ABC為所求．注：（1）作直線l及l(fā)上一點(diǎn)A；（2）過點(diǎn)A作l的垂線；（3）在l上截取AB=m；（4）作BC=n．【點(diǎn)睛】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．2．（2022·山東青島·青島大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┮阎骸夕粒€段a．求作：矩形ABCD，使對(duì)角線的長為a，夾角為∠α．【答案】見解析【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及線段、角及線段中點(diǎn)的作圖方法作圖即可．【詳解】作法：①作直線MN與PQ交于點(diǎn)O，使∠QON=∠α②分別以線段a的兩端G、H為圓心，以大于12a③以點(diǎn)O為圓心，以12④連接A、B、C、D則四邊形ABCD即為所求作的矩形． 【點(diǎn)睛】本題考查了線段的作圖、角的尺規(guī)作圖以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握作圖的步驟以及矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東青島·統(tǒng)考二模）尺規(guī)作圖（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）如圖，已知線段MN=a，AR⊥AK，垂足為A．求作：⊙O，使⊙O分別與AK、AR相切，圓心O與點(diǎn)A的距離等于a．【答案】作圖見詳解【分析】以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AR、AK于點(diǎn)B、C，再以BC為圓心，以大于12BC的長度為半徑作弧，交于點(diǎn)D，連接AD并延長，即為∠RAK的平分線；以點(diǎn)A為圓心，a的長度為半徑作弧，交AD于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求圓的圓心；以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑作弧，交AR于點(diǎn)E、F，再分別以E、F為圓心，以大于12【詳解】解：作圖如下：【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖-復(fù)雜作圖，涉及的知識(shí)點(diǎn)包括利用尺規(guī)作圖作角平分線、作垂線、作線段等于已知線段等，解題關(guān)鍵是熟練掌握尺規(guī)作圖基本方法．4．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）下面是小李設(shè)計(jì)的“利用直角和線段作矩形”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖1，線段a，b，及∠MAN=90°．求作：矩形ABCD，使AB=a，AD=b．作法：如圖2，①在射線AM，AN上分別截取AB=a，AD=b；②以B為圓心，b長為半徑作弧，再以D為圓心，a長為半徑作弧，兩弧在∠MAN內(nèi)部交于點(diǎn)C；③連接BC，DC．∴四邊形ABCD就是所求作的矩形．根據(jù)小李設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，解答下列問題：(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖2(保留作圖痕跡)；(2)完成下面的證明．證明：∵AB=DC=a，AD=__________________________=b，∴四邊形ABCD是平行四邊形(______________________)(填推理的依據(jù))．∵∠MAN=90°，∴四邊形ABCD是矩形(_)(填推理的依據(jù))．【答案】(1)見解析(2)BC，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明即可．【詳解】（1）解：如圖，矩形ABCD即為所求；（2）證明：∵AB=DC=a，AD=BC=b，∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形），∵∠MAN=90°，∴四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）．故答案為：BC，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形的平行四邊形，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了作線段，矩形的性質(zhì)與判定定理，掌握矩形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．題型02尺規(guī)作圖-作一個(gè)角等于已知角5．（2019·河北·模擬預(yù)測(cè)）“經(jīng)過已知角一邊上的一點(diǎn)作“個(gè)角等于已知角”的尺規(guī)作圖過程如下：已知：如圖（1），∠AOB和OA上一點(diǎn)C．求作：一個(gè)角等于∠AOB，使它的頂點(diǎn)為C，一邊為CA．作法：如圖（2），（1）在0A上取一點(diǎn)D（OD＜OC），以點(diǎn)O為圓心，OD長為半徑畫弧，交OB于點(diǎn)E；（2）以點(diǎn)C為圓心，OD長為半徑畫弧，交CA于點(diǎn)F，以點(diǎn)F為圓心，DE長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C；（3）作射線CC．所以∠CCA就是所求作的角此作圖的依據(jù)中不含有（）A．三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 B．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等C．兩直線平行同位角相等 D．兩點(diǎn)確定一條直線【答案】C【分析】根據(jù)題意知，作圖依據(jù)有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)確定一條直線，直接判斷即可．【詳解】解：由題意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正確；結(jié)合該全等三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)角相等，故B正確；作射線CG，利用兩點(diǎn)確定一條直線，故D正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查作一個(gè)角等于已知角和三角形全等的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確作圖原理，準(zhǔn)確進(jìn)行判斷．6．（2022·山東菏澤·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知：∠O及其一邊上的兩點(diǎn)A，B．求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且點(diǎn)C在∠O內(nèi)部，∠BAC=∠O．【答案】見解析【分析】先在∠O的內(nèi)部作∠DAB=∠O，再過B點(diǎn)作AD的垂線，垂足為C點(diǎn)．【詳解】解：如圖，Rt△ABC為所作．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．7．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點(diǎn)P，使∠PBC＝45°．（保留作圖痕跡．不寫作法）【答案】詳見解析【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖法，作一個(gè)角等于已知角，在AC邊上求作一點(diǎn)P，使∠PBC＝45°即可．【詳解】解：作法：（1）以點(diǎn)C為圓心，以任意長為半徑畫弧交AC于D，交BC于E，（2）以點(diǎn)B為圓心，以CD長為半徑畫弧，交BC于F，（3）以點(diǎn)F為圓心，以DE長為半徑畫弧，交前弧于點(diǎn)M，（3）連接BM，并延長BM與AC交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．如圖，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——基本作圖．解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．題型03尺規(guī)作圖-尺規(guī)作角的和、差8．（2022下·山東青島·七年級(jí)山東省青島市第五十七中學(xué)?？计谥校┮阎夕?、∠β，求作∠AOB，使∠AOB=∠α?∠β．【答案】見解析【分析】如圖，作∠AOC=α，在∠AOC的內(nèi)部作∠BOC=β，∠AOB即為所求．【詳解】解：如圖，∠AOB即為所求．．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．9．（2023下·山西晉中·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知∠α，∠β，求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β．（要求：在指定作圖區(qū)域用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】見解析【分析】根據(jù)做一個(gè)角等于已知角的方法∠AOC=∠β，∠BOC=∠α，再利用尺規(guī)作∠AOB=∠α+∠β即可解答．【詳解】解：如圖所示∠AOB=∠α+∠β，

【點(diǎn)睛】本題考查了利用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的方法以及利用尺規(guī)作角的和差，掌握尺規(guī)作圖法是解題的關(guān)鍵．10．（2020下·六年級(jí)?？紗卧獪y(cè)試）已知∠α、∠β，用尺規(guī)畫出∠AOB=2∠α-∠β．（不寫作法，標(biāo)明字母）【答案】見解析【分析】根據(jù)用尺規(guī)作圖作角等于已知角作圖即可．【詳解】解：分別以∠α、∠β的頂點(diǎn)為圓心，任意長度為半徑作弧，分別交∠α、∠β的邊于P、Q、M、N；作射線OB，以O(shè)為圓心，以相同長度為半徑作一個(gè)優(yōu)弧，交射線OB于點(diǎn)C，以C為圓心，PQ的長度為半徑作弧，交優(yōu)弧于點(diǎn)D，作射線OD，再以D為圓心，PQ的長為半徑作弧，交優(yōu)?。ā螪OB外部）于點(diǎn)E，作射線OE，然后以E為圓心，MN的長為半徑作弧，交優(yōu)?。ā螮OB內(nèi)部）于點(diǎn)A，作射線OA，如圖所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即為所求． 【點(diǎn)睛】此題考查的是用尺規(guī)作圖作角等于已知角，掌握用尺規(guī)作圖作角等于已知角是解決此題的關(guān)鍵．11．（2023下·廣東佛山·七年級(jí)佛山六中校考階段練習(xí)）如圖，已知∠ABC及AB上一點(diǎn)A，(1)利用三角板，過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為點(diǎn)E，此時(shí)線段AE的長為點(diǎn)A到直線BC的距離．(2)尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：利用尺規(guī)在BC下方以點(diǎn)B為頂點(diǎn)作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)垂線的定義，作出圖形即可；（2）以點(diǎn)B為圓心，已任意長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，再以點(diǎn)G為圓心，以FG長為半徑，在BC的下方畫弧，與之前的弧交于點(diǎn)H，再以點(diǎn)H為圓心，以FG長為半徑，在點(diǎn)H下方畫弧，與第一個(gè)弧交于點(diǎn)K，連接BK，并延長至點(diǎn)D，即可得出∠CBD=2∠ABC．【詳解】（1）解：如圖，線段AE即為所求，此時(shí)線段AE的長為點(diǎn)A到直線BC的距離．（2）解：如圖，∠CBD即為所求，【點(diǎn)睛】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，垂線，點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．題型04尺規(guī)作圖-過直線外一點(diǎn)作這條線的平行12．（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下面四個(gè)圖是小明用尺規(guī)過點(diǎn)C作AB邊的平行線所留下的作圖痕跡，其中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線的判定，結(jié)合尺規(guī)作圖方法即可判斷．【詳解】解：若要過點(diǎn)C作AB的平行線，則應(yīng)過點(diǎn)C作一個(gè)角等于已知角，由作圖可知，選項(xiàng)A符合題意，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行線的判定．13．（2023·甘肅天水·統(tǒng)考一模）如圖，已知線段MN=a,AR⊥AK，垂足為a．（1）求作四邊形ABCD，使得點(diǎn)B，D分別在射線AK,AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD//AB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）設(shè)P，Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊AB,CD的中點(diǎn)，求證：直線AD,BC,PQ相交于同一點(diǎn)．【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)AB=a，點(diǎn)B在射線AK上，過點(diǎn)A作AB=a；根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，得AB=BC=AC，分別過點(diǎn)A、B，a為半徑畫圓弧，交點(diǎn)即為點(diǎn)C；再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)作CD，即可得到答案；（2）設(shè)直線BC與AD相交于點(diǎn)S、直線PQ與AD相交于點(diǎn)S'，根據(jù)平行線和相似三角形的性質(zhì)，得ADS'【詳解】（1）作圖如下：四邊形ABCD是所求作的四邊形；（2）設(shè)直線BC與AD相交于點(diǎn)S，∵DC//AB，∴△SBA∽△SCD，∴SA設(shè)直線PQ與AD相交于點(diǎn)S'同理S'∵P，Q分別為AB,CD的中點(diǎn)，∴PA=12∴PA∴S'∴S'∴ADS∴S'∴點(diǎn)S與S'重合，即三條直線AD,BC,PQ【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖、等邊三角形、直角三角形、平行線、相似三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握推理能力、空間觀念、化歸與轉(zhuǎn)化思想，從而完成求解．14．（2022·湖南長沙·長沙市南雅中學(xué)校聯(lián)考一模）已知：如圖，直線l，和直線外一點(diǎn)P．求作：過點(diǎn)P作直線PC，使得PC∥l．作法：①在直線l上取點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OP長為半徑畫圓，交直線l于A，B兩點(diǎn)；②連接AP，以點(diǎn)B為圓心，AP長為半徑畫弧，交半圓于點(diǎn)C；③作直線PC．直線PC即為所求作．根據(jù)尺規(guī)作圖，完成下面的證明：證明：連接BP．∵BC=AP，∴BC=∴∠ABP=∠BPC（________________________）（填推理依據(jù)），∴直線PC∥直線l（________________________）（填推理依據(jù)）．【答案】AP，等弧所對(duì)的圓周角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】連接BP，由圓中等弦對(duì)等弧，根據(jù)圓周角定理得到∠ABP=∠BPC，再根據(jù)平行線的判定定理：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可得到結(jié)論．【詳解】證明：連接BP，如圖所示：∵BC=AP，∴BC=∴∠ABP=∠BPC（等弧所對(duì)的圓周角相等），∴直線PC∥直線l（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖與幾何證明綜合，涉及到尺規(guī)作圖、圓的性質(zhì)、圓周角定理和平行線的判定，熟練掌握尺規(guī)作圖及內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行是解決問題的關(guān)鍵．15．（2022·北京大興·統(tǒng)考二模）下面是小東設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程．已知：直線l和直線l外一點(diǎn)P．求作：直線PQ，使得PQ∥l．作法：如圖，①在直線l上任取兩點(diǎn)A，B；②以點(diǎn)P為圓心，AB長為半徑畫弧，以點(diǎn)B為圓心，AP長為半徑畫弧，兩弧在直線l上方相交于點(diǎn)Q；③作直線PQ．直線PQ就是所求作的直線．根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：∵PA=QB,AB=PQ，∴四邊形PABQ是平行四邊形（___________）（填寫推理的依據(jù)）．∴PQ∥AB（______________）（填寫推理的依據(jù)）．即PQ∥l【答案】(1)見解析(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行．【分析】（1）根據(jù)題目告訴的作圖方法進(jìn)行作圖即可；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明即可．【詳解】（1）解：如圖所示，直線PQ就是所求作的直線．（2）證明：∵PA=QB，AB=PQ∴四邊形PABQ是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．∴PQ∥AB（平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行）．即PQ//l．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題型05尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形）16．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡，不能判斷△ABC是等腰三角形的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本的作圖方法，結(jié)合等腰三角形的判定，逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、根據(jù)一個(gè)角等于已知角的作法可知∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、根據(jù)垂直平分線的作法可知AB=AC，△ABC是等腰三角形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、根據(jù)過直線外一點(diǎn)作平行線的作法可知，AC∥BD，∠ACB=∠CBD，根據(jù)角平分線的作法可知，∠ABC=∠CBD，∴∠ABC=∠ACB，△ABC是等腰三角形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不能判斷△ABC是等腰三角形，符合題意，選項(xiàng)正確，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖，等腰三角形的判定等知識(shí)，掌握基本作圖方法是解題關(guān)鍵．17．（2021·安徽·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，根據(jù)作圖痕跡，可知∠CBD=（

）A．80° B．60° C．45° D．50°【答案】D【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=1由作圖痕跡可知BC=BD，∴∠BDC=∠BCD=65°．∴∠CBD=180°?∠BDC?∠BCD=180°?65°?65°=50°．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)作圖痕跡得出BC=BD是解答本題的關(guān)鍵．18．（2020·山東東營·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是作ΔABC的作圖痕跡，則此作圖的已知條件是（

）A．已知兩邊及夾角 B．已知三邊 C．已知兩角及夾邊 D．已知兩邊及一邊對(duì)角【答案】C【分析】觀察ΔABC的作圖痕跡，可得此作圖的條件.【詳解】解：觀察ΔABC的作圖痕跡，可得此作圖的已知條件為：∠α，∠β，及線段AB,故已知條件為：兩角及夾邊，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形作圖及三角形全等的相關(guān)知識(shí).19．（2019·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）已知：∠α，直線l及l(fā)上兩點(diǎn)A，B．求作：Rt△ABC，使點(diǎn)C在直線l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．【答案】見解析【分析】先作∠DAB=α，再過B點(diǎn)作BE⊥AB，則AD與BE的交點(diǎn)為C點(diǎn)．【詳解】解：如圖，△ABC為所作．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．20．（2021·吉林·統(tǒng)考一模）圖1.2是兩張形狀和大小完全相同的方格紙，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1，線段AC的兩個(gè)端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上；（1）在圖1中畫出以AC為底邊的等腰直角△ABC，點(diǎn)B在小正方形頂點(diǎn)上；（2）在圖2中畫出以AC為腰的等腰△ACD，點(diǎn)D在小正方形的頂點(diǎn)上，且△ACD的面積為8.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；【分析】（1）由題可知，點(diǎn)B滿足BA=BC,∠ABC=90°這兩個(gè)條件，BA=BC說明點(diǎn)B在AC的垂直平分線上，∠ABC=90°說明點(diǎn)B在以AC為直徑的圓上，故可作AC的垂直平分線及以AC為直徑的圓，其交點(diǎn)即為所求；（2）由題可知，點(diǎn)D滿足CA=CD，故可以C為圓心，【詳解】解；（1）作AC的垂直平分線，作以AC為直徑的圓，垂直平分線與圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)B；（2）以C為圓心，AC為半徑作圓，格點(diǎn)即為點(diǎn)D；【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用線段垂直平分線的性質(zhì)及圓的性質(zhì)作圖，正確理解題意并知曉作圖依據(jù)是解題的關(guān)鍵.題型06尺規(guī)作圖-作角平分線21．（2021·山東青島·統(tǒng)考一模）已知∠α，線段a，求作：等腰△ABC，使得頂角∠A=∠α，BC上的高為a．【答案】見解析【分析】先作一等角，然后利用三線合一的性質(zhì)作角的平分線，取長為a，再過此點(diǎn)作垂線交∠MAN的兩邊于B，C．【詳解】作法：(1)作∠MAN=∠α，(2)作∠MAN的平分線AP，并在射線AP上截取AD=a，(3)過點(diǎn)D作直線BC⊥AD分別交∠MAN的兩邊于B，C，則△ABC為所求的三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、尺規(guī)作圖，解決此題的關(guān)鍵是熟悉作等角，作角平分線，過已知點(diǎn)作垂線的尺規(guī)作圖．22．（2023·吉林長春·校聯(lián)考一模）用尺規(guī)作一個(gè)角的角平分線，下列作法中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)作圖軌跡及角平分線的定義判斷即可得出答案．【詳解】A、如圖，由作圖可知：OA=OC,AB=BC，又∵OB=OB，∴△OAB?△OCB，∴∠AOB=∠COB，∴OB平分∠AOC．故A選項(xiàng)是在作角平分線，不符合題意；B、如圖，由作圖可知：OA=OB,OC=OD，又∵∠COB=∠AOD，∴△OBC?△OAD，∴OA=OB，∠OAD=∠OBC，∠OCB=∠ODA，∴AC=BD，∵∠CEA=∠BED,∠ECA=∠EDB，∴△AEC?△BED，∴AE=BE，∵∠EAO=∠EBO,OA=OB，∴△OAE?△OBE，∴∠AOE=∠BOE，∴OE平分∠AOB．故B選項(xiàng)是在作角平分線，不符合題意；C、如圖，由作圖可知：∠AOB=∠MCN,OC=CD，∴CD∥OB,∠COD=∠CDO，∴∠DOB=∠CDO，∴∠COD=∠DOB，∴OD平分∠AOB．故C選項(xiàng)是在作角平分線，不符合題意；D、如圖，由作圖可知：OA=BC,OC=AB，又∵OB=OB，∴△AOB?△CBO，∴∠AOB=∠OBC,∠COB=∠ABO,故D選項(xiàng)不是在作角平分線，符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的作圖，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23．（2023·江蘇常州·常州實(shí)驗(yàn)初中?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由圖中的尺規(guī)作圖得到的射線與AC交于點(diǎn)D，則以下推斷錯(cuò)誤的是（

）A．BD=BC B．AD=BD C．∠ADB=108° D．CD=【答案】D【分析】根據(jù)作圖過程可得BD平分∠ABC，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=12根據(jù)作圖過程可知：BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=12∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故選項(xiàng)C成立；∵∠BDC=∠ACB=72°，∴BD=BC，故選項(xiàng)A成立；∵∠ABD=∠A=36°，∴AD=BD，故選項(xiàng)B成立；沒有條件能證明CD=12故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．24．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．(1)作∠ACB的角平分線，交AB于點(diǎn)E（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：AD＝AE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）按照角平分線的作圖步驟作圖即可．（2）證明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．【詳解】（1）解：如圖所示，CE即為所求．（2）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分線，CE是∠ACB的角平分線，∴∠ABD=12∠ABC∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線的作圖步驟以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．25．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=BC，AD⊥DC于點(diǎn)D．(1)用尺規(guī)作∠ABC的角平分線，交CD于點(diǎn)E；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)連接AE．求證：四邊形ABCE是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖步驟作圖即可；（2）由角平分線的定義和平行線的性質(zhì)求出∠CBE=∠BEC，可得BC=EC，求出AB=EC，可得四邊形ABCE為平行四邊形，再結(jié)合AB＝BC，可證得四邊形ABCE為菱形．【詳解】（1）解：如圖所示．（2）證明：∵BE是∠ABC的角平分線，∴∠ABE=∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BEC，∴∠CBE=∠BEC，∴BC=EC，∵AB=BC，∴AB=EC，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∵AB=BC，∴平行四邊形ABCE為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、平行四邊形的判定以及菱形的判定，熟練掌握尺規(guī)作角平分線的步驟以及菱形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．題型07尺規(guī)作圖-作垂直平分線26．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通過尺規(guī)作圖得到的直線MN分別交AB，AC于D，E，連接CD．若CE=13AE=1【答案】6【分析】先求解AE，AC，再連結(jié)BE，證明AE=BE,AD=BD,利用勾股定理求解BC，AB，從而可得答案．【詳解】解：∵CE=1∴AE=3,AC=4,如圖，連結(jié)BE,由作圖可得：MN是AB的垂直平分線，∴AE=BE=3,AD=BD,∵∠ACB=90°,∴BC=3∴AB=4∴CD=故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡，熟悉幾何基本作圖與基本圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．27．（2023·新疆烏魯木齊·烏魯木齊八一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠CAD的度數(shù)為【答案】50°/50度【分析】根據(jù)作圖可知DA=DB，∠DAB=∠B=20°，根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余，可得∠CAB=70°，根據(jù)∠CAD=∠CAB?∠DAB即可求解．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，∴∠CAB=70°，由作圖可知MN是AB的垂直平分線，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=20°，∴∠CAD=∠CAB?∠DAB=70°?20°=50°，故答案為：50°．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，直角三角形的兩銳角互余，根據(jù)題意分析得出MN是AB的垂直平分線，是解題的關(guān)鍵．28．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，分別以點(diǎn)A，D為圓心，大于12(1)由作圖可知，直線MN是線段AD的______．(2)求證：四邊形AEDF是菱形．【答案】(1)垂直平分線(2)見詳解【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖可直接得出答案；（2）由題意易得∠AOF=∠AOE=90°,∠FAO=∠EAO,AF=DF，然后可證△AOF≌△AOE，則有OF=OE，進(jìn)而問題可求證．【詳解】（1）解：由題意得：直線MN是線段AD的垂直平分線；故答案為：垂直平分線；（2）證明：∵直線MN是線段AD的垂直平分線，∴∠AOF=∠AOE=90°,AO=DO,AF=DF，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠FAO=∠EAO，∵AO=AO，∴△AOF≌△AOE（ASA），∴OF=OE，∵AO=DO，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵AF=DF，∴四邊形AEDF是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的性質(zhì)與判定及菱形的判定，熟練掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的性質(zhì)與判定及菱形的判定是解題的關(guān)鍵．題型08尺規(guī)作圖-作三角形的中線與高29．（2021·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)僅用無刻度直尺完成以下作圖．（保留作圖痕跡）（1）在圖1中，作△ABC的高AM；（2）在圖2中，作△ABC的高AN．（提示：三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)）【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）格點(diǎn)△ABC中AB=AC且垂直，以AB、AC為邊作正方形，連接對(duì)角線AM即可得到BC的高AM；（2）在正方形網(wǎng)格中，m×n格的對(duì)角線與n×m格的對(duì)角線互相垂直，AB是1×4格的對(duì)角線，那么4×1格的對(duì)角線與之垂直，又需過點(diǎn)C，所以如圖所示的CF⊥AB交AB與點(diǎn)H，同理AC是4×3格的對(duì)角線，那么3×4格的對(duì)角線與之垂直，又需過點(diǎn)B，所以如圖所示的BE⊥AC交AC與點(diǎn)D，又三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)，所以連接AG并延長交BC與點(diǎn)N，即AN為所求．【詳解】（1）如圖1，∵格點(diǎn)△ABC中AB=AC且垂直，∴以AB、AC為邊作正方形，連接對(duì)角線AM即AM⊥BC（2）如圖2，∵AB是1×4格的對(duì)角線∴過點(diǎn)C且是4×1格的對(duì)角線即為如圖所示的CF，∴CF⊥AB同理AC是4×3格的對(duì)角線，∴過點(diǎn)B且是3×4格的對(duì)角線即為如圖所示的BE∴BE⊥AC∵三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)∴連接AG并延長交BC與點(diǎn)N，即AN為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求作格點(diǎn)三角形的高線問題，主要方法有：構(gòu)造特殊形狀，如：正方形，菱形，利用對(duì)角線垂直的性質(zhì)作高；正方形網(wǎng)格中，m×n格的對(duì)角線與n×m格的對(duì)角線互相垂直；三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)，掌握以上的作圖方法是解題的關(guān)鍵．30．（2022·浙江舟山·?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，畫出點(diǎn)A0,2，點(diǎn)B4,0，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于（1）連結(jié)AB、AC、BC，并畫出△ABC的BC邊上的中線AE．（2）求出△ABE的面積．【答案】（1）見解析；（2）4【分析】（1）標(biāo)出點(diǎn)A0,2，點(diǎn)B4,0，依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，即可得到點(diǎn)（2）根據(jù)三角形面積計(jì)算公式，即可得到△ABE的面積S的值．【詳解】解：∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱且A0,2∴C如下圖所示，依次在圖中畫出點(diǎn)A、點(diǎn)B與點(diǎn)C并連接即可，又∵AE是BC邊上的中線，∴E如圖所示，連接AE即可；（2）S【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系基礎(chǔ)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱性質(zhì)求坐標(biāo)及面積．31．（2022·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，且CD=2BD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊AC上找一點(diǎn)P，使得△PAD的面積等于△BAD的面積（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】見解析【分析】根據(jù)CD=2BD，可得S△ADC=2S△ABD，，在邊AC上找一點(diǎn)P，使△PAD的面積等于△BAD的面積，即找到AC的中點(diǎn)即可，即作AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)【詳解】如圖，點(diǎn)P即為所求，【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，作垂直平分線，掌握垂直平分線的作法是解題的關(guān)鍵．題型09尺規(guī)作圖-畫圓32．（2022·福建·一模）如圖，在Rt△ABC中∠C=90°，∠A<45°．(1)請(qǐng)作出經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓，且該圓的圓心O落在線段AC上（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫做法）；(2)在（1）的條件下，已知∠BOC=α，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后與⊙O交于點(diǎn)E．試證明：B、C、E三點(diǎn)共線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）只需要作AB的垂直平分線，其與AC的交點(diǎn)即為圓心O，由此作圖即可；（2）先由圓周角定理求出∠BAC=12α，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠CAE=【詳解】（1）解：如圖所示，圓O即為所求；（2）解：如圖所示，連接CE，OE，∵∠BOC=α，∴∠BAC=1由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAE=α，∴∠CAE=∠BAE?∠BAC=1∴∠COE=2∠CAE=α，在△OBC和△OEC中，OB=OE∠BOC=∠EOC=α∴△OBC≌△OEC（SAS），∴∠OCE=∠OCB=90°，∴∠OCB+∠OCE=180°，∴B、C、E三點(diǎn)共線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，畫圓，圓周角定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知性格知識(shí)是解題的關(guān)鍵．33．（2022·山東青島·?？级＃┮阎骸鰽BC．．求作：⊙O，使它經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C，并且圓心O在∠A的平分線上，【答案】見詳解．【分析】要作圓，即需要先確定其圓心，先作∠A的角平分線，再作線段BC的垂直平分線相交于點(diǎn)O，即O點(diǎn)為圓心．【詳解】解：根據(jù)題意可知，先作∠A的角平分線，再作線段BC的垂直平分線相交于O，即以O(shè)點(diǎn)為圓心，OB為半徑，作圓O，如下圖所示：【點(diǎn)睛】此題主要考查了學(xué)生對(duì)確定圓心的作法，要求學(xué)生熟練掌握應(yīng)用．34．（2023·陜西西安·交大附中分校?？家荒＃┤鐖D，Rt△ABC中，∠ABC=90°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖求作⊙P，使點(diǎn)P在BC上且使⊙P與AC，AB都相切．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】詳見解析【分析】作∠BAC的角平分線AP交BC于點(diǎn)P，以P為圓心，BP為半徑作⊙P即可．【詳解】解：如圖，⊙P即為所求作．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．題型10尺規(guī)作圖-過圓外一點(diǎn)作圓的切線35．（2023·福建福州·閩清天儒中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，連接OP交⊙O于點(diǎn)I．(1)過點(diǎn)P作⊙O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接AB，求證：點(diǎn)I是△ABP的內(nèi)心．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先作OP的垂直平分線，交OP于一點(diǎn)，再以這個(gè)點(diǎn)為圓心，以該點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為半徑畫弧線交⊙O于點(diǎn)A，B，連接PA，PB即可；（2）先證明RtΔAOP≌RtΔBOP，得到PA=PB,∠API=∠BPI，從而證得PI平分∠APB，進(jìn)一步得到OP垂直平分AB，再證明∠OAD=∠API，最后根據(jù)∠OAI=∠OIA證得∠DAI=∠PAI，得到AI平分∠BAP，即可證得點(diǎn)I是△ABP的內(nèi)心．【詳解】（1）解：如圖所示，PA，PB圓為所求作的⊙O的兩條切線，其中切點(diǎn)分別為A，B．（2）證：連接AI,BI,OA,OB，記AB與OP的交點(diǎn)為D．由（1）得PA,PB都是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A，B，∴OA⊥PA,OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°．∴∠OAD+∠DAP=90°．∵OA=OB,OP=OP，∴RtΔAOP≌RtΔBOP，∴PA=PB,∠API=∠BPI，即PI平分∠APB，∴點(diǎn)O，P在線段AB的垂直平分線上，即OP垂直平分AB．∴∠ADP=90°，∴∠OAD+∠API=90°，∴∠OAD=∠API．∵OA=OI，∴∠OAI=∠OIA，即∠DAI+∠OAD=∠PAI+∠API，∴∠DAI=∠PAI，即AI平分∠BAP，∴點(diǎn)I是△ABP的內(nèi)心．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、圓的切線的性質(zhì)和三角形內(nèi)心的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)．36．（2023·山東·統(tǒng)考一模）請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．如圖，∠BAC=45°，D，E在AB上，作⊙O經(jīng)過D，E兩點(diǎn)且與AC相切．【答案】見解析【分析】先作AE的垂直平分線得到中點(diǎn)P，則以AE為直徑可作⊙P，再過D點(diǎn)作AB的垂線交⊙P于Q點(diǎn)，接著在AC上截取AF=AQ，然后過F點(diǎn)作AC的垂線交DE的垂直平分線于O點(diǎn)，則以O(shè)點(diǎn)為圓心，OF為半徑作圓即可．【詳解】如圖，⊙O為所作．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)．題型11尺規(guī)作圖-找圓心37．（2023·廣西·統(tǒng)考三模）如圖，要把殘缺的圓片復(fù)原，可通過找到圓心的方法進(jìn)行復(fù)原，已知弧上的三點(diǎn)A，B，C．

(1)用尺規(guī)作圖法，找出弧BC所在圓的圓心O；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在△ABC中，連接AO交BC于點(diǎn)E，連接OB，當(dāng)AB=AC=10cm,BC=16cm時(shí)，求圖片的半徑R；(3)若直線l到圓心的距離等于253【答案】(1)見解析(2)25(3)相切【分析】（1）分別作AB、AC的垂直平分線，二者的交點(diǎn)O即為圓心；（2）根據(jù)題意可得AE⊥BC，則BE=CE=8cm，利用勾股定理求出AE=6cm，進(jìn)而利用勾股定理求出半徑R即可；（3）根據(jù)直線到圓的距離等于半徑，即可知直線l與圓相切．【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)O即為所求；

（2）解：∵AB=AC，∴AE⊥BC，∴BE=CE=1在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=A∴OE=OA?AE=R?6在Rt△OBE中，由勾股定理得OB∴R2解得R=25∴所求圓的半徑為253（3）解：∵直線l到圓心的距離等于253，且圓的半徑為25∴直線l與圓相切，故答案為：相切．【點(diǎn)睛】本題主要考查了確定圓心的位置，垂徑定理，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．38．（2021·上海奉賢·統(tǒng)考三模）如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過網(wǎng)格的交點(diǎn)A、B、C．（1）請(qǐng)完成如下操作：①以點(diǎn)O為原點(diǎn)、網(wǎng)格邊長為單位長，建立平面直角坐標(biāo)系；②根據(jù)圖形提供的信息，標(biāo)出該圓弧所在圓的圓心D，并連接AD、CD．（2）請(qǐng)?jiān)冢?）的基礎(chǔ)上，完成下列填空：①寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：C_____、D_____；②⊙D的半徑＝_____；（3）求∠ACO的正弦值．【答案】（1）答案見解析；（2）①6,2，2,0，②25；（3）3【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示，C的坐標(biāo)即可得到，首先作出弦AB與BC的中垂線，中垂線的交點(diǎn)就是D，即可確定點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)（1）中的平面直角坐標(biāo)系直接填空；②在直角△AOD中，利用勾股定理即可求解；（3）連接AC、OC．過C作CH⊥AO于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AM⊥CO于點(diǎn)M，利用△AOC的面積等積轉(zhuǎn)換求得AM的長度，然后在Rt△AMC中利用正弦函數(shù)的定義求得∠ACO的正弦值．【詳解】解：（1）作弦AB與BC的中垂線，中垂線的交點(diǎn)就是D，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D的在該坐標(biāo)系中的位置如圖所示：（2）解：①根據(jù)圖示知，C（6，2），D（2，0），故答案為：（6，2