2024-2025學年浙江省杭州市天杭教育集團思遠學部九年級（上）期中數(shù)學試卷(含答案)

2024-2025學年浙江省杭州市天杭教育集團思遠學部九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題有10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．圓內接四邊形對角和是180° B．九年級開展籃球賽，901班獲得冠軍 C．拋擲一枚硬幣，正面朝上 D．打開電視，正好播放神舟十七號載人飛船發(fā)射實況2．（3分）已知點P是線段AB的黃金分割點（AP＞BP），若AB＝2，則AP為（）A． B． C． D．3．（3分）如圖，△ABC內接于⊙O，CD是⊙O的直徑，連接BD，∠DCA＝39°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．39° B．45° C．49° D．51°4．（3分）由二次函數(shù)y＝2x2圖象平移得到二次函數(shù)y＝2（x﹣m）2+n（m＞0，n＞0）圖象，下列哪種平移方式可以實現(xiàn)（）A．向右平移m個單位，再向上平移n個單位 B．向右平移m個單位，再向下平移n個單位 C．向左平移m個單位，再向上平移n個單位 D．向左平移m個單位，再向下平移n個單位5．（3分）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線m和直線n分別交l1、l2、l3于點A，B，C，D，E，F(xiàn)，直線m和直線n交于點P．若DE＝2，EF＝4，AB＝4，若BP：CP＝1：3，則CP＝（）A．4 B．5 C．7 D．66．（3分）某商場進行抽獎活動，每名顧客購物滿100元可以獲得一次抽獎機會．抽獎箱中只有兩種卡片：“中獎”和“謝謝惠顧”（兩種卡片形狀大小相同、質地均勻）．下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：抽獎次數(shù)n1001502008001000抽到“中獎”卡片的次數(shù)m385669258299中獎的頻率0.380.3730.3450.3230.299根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計抽獎一次就中獎的概率約是（）A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.257．（3分）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，將△ABC繞點A逆時針旋轉α（0°＜α＜45°）得到△ADE，DE交AC于點F．當α＝30°時，點D恰好落在BC上，則∠AFE＝（）A．80° B．90° C．85° D．95°8．（3分）已知點A（﹣3，m﹣1），B（﹣1，m），C（1，m）在同一個函數(shù)圖象上，則這個函數(shù)圖象可能是（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD垂直平分OB，點E在上，連接CE，AE．若CE平分∠OCD，則∠A：∠E＝（）A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：610．（3分）已知二次函數(shù)y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的圖象上有兩點A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），則（）A．若a＞0，當x1+x2＜1時，a（y1﹣y2）＜0 B．若a＞0，當x1+x2＜1時，a（y1﹣y2）＞0 C．若a＜0，當x1+x2＞﹣1時，a（y1﹣y2）＜0 D．若a＜0，當x1+x2＞﹣1時，a（y1﹣y2）＞0二、填空題（本大題有6個小題，每小題3分，共18分）11．（3分）已知a：b＝2：3，那么的值是．12．（3分）有10張卡片，每張卡片上分別寫有不同的從1到10的一個自然數(shù)，從中任意抽出一張卡片，卡片上的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是．13．（3分）如圖，AC、BD交于點O，連接AB、CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加條件．（只需寫出一個條件即可）14．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0），則此函數(shù)的頂點坐標是；若a＜0，當1≤x≤4時，函數(shù)有最小值a﹣1，則a＝．15．（3分）圖1為一圓形紙片，A、B、C為圓周上三點，其中AC為直徑，以AB為折線將紙片向右折疊，紙片蓋住部分的AC，且交AC于點D，如圖2所示，若弧BC為37°，則的度數(shù)＝．16．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，點E在AB上，，在矩形內找一點P．使得∠BPE＝60°，則BE＝，線段PD的最小值為．三、解答題：本大題有8個小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．二次函數(shù)y＝a（x+1）2+4的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（﹣3，0）．（1）求點B的坐標和a的值；（2）當y＞0時，直接寫出x的取值范圍．18．已知：如圖△ABC內接于圓O，AB＝AC，D為弧BC上任意一點，連接AD，BD．（1）若∠ADB＝65°，求∠BAC的度數(shù)；（2）求證：∠ABD＝∠AEB．19．如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，連接AD、CE交于點G，DG＝2．（1）求正六邊形ABCDEF的邊長；（2）求陰影部分的面積．20．迎亞運體育比賽中，某班設計了A，B，C，D四種不同的比賽項目．（1）要求每人只能參與其中兩項比賽，請列舉出所有不同項目組合，直接寫出小明同學選擇A，B兩項組合的概率．（2）比賽冠軍、亞軍有機會參與開盲盒活動（每人只能抽取一次），盲盒中都隨機放入一個杭州亞運會吉祥物，分別是“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，請畫樹狀圖分析，冠軍與亞軍獲得相同吉祥物的概率．21．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點F，E分別在線段BC，AC上，且∠AFC＝∠DEA，AC＝AD．（1）求證：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF?CE．22．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為已知數(shù)，且a≠0）與y軸的交點是（0，4）．（1）求c的值．（2）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象交于點（k，0），求k的值，并用含a的代數(shù)式表示b．（3）在（2）成立的情況下，若1≤a≤2，當1≤x≤2時，y＝ax2+bx+c的最大值為m，最小值為n，求m﹣n的最小值．23．根據(jù)以下素材，探索完成任務．如何設計拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時測得水面寬20m，拱頂離水面5m．據(jù)調查，該河段水位在此基礎上再漲1.8m達到最高．素材2為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛40cm長的燈籠，如圖3．為了安全，燈籠底部距離水面不小于1m；為了實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為1.6m；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布．問題解決任務1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數(shù)表達式．任務2探究懸掛范圍在你所建立的坐標系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標的最小值和橫坐標的取值范圍．任務3擬定設計方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標．24．如圖1，已知AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，G是上一點，連結AD，AG，DG．（1）求證：∠AGD＝∠ADC；（2）如圖2，延長AG，DC相交于點F，連結CG．①已知AG＝6，GF＝4，求AD的長；②記DG與AB的交點為P，若AB＝10，CD＝8，當AG＝AP時，求的值．

2024-2025學年浙江省杭州市天杭教育集團思遠學部九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案一、選擇題（本大題有10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．圓內接四邊形對角和是180° B．九年級開展籃球賽，901班獲得冠軍 C．拋擲一枚硬幣，正面朝上 D．打開電視，正好播放神舟十七號載人飛船發(fā)射實況選：A．2．（3分）已知點P是線段AB的黃金分割點（AP＞BP），若AB＝2，則AP為（）A． B． C． D．選：B．3．（3分）如圖，△ABC內接于⊙O，CD是⊙O的直徑，連接BD，∠DCA＝39°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．39° B．45° C．49° D．51°選：D．4．（3分）由二次函數(shù)y＝2x2圖象平移得到二次函數(shù)y＝2（x﹣m）2+n（m＞0，n＞0）圖象，下列哪種平移方式可以實現(xiàn)（）A．向右平移m個單位，再向上平移n個單位 B．向右平移m個單位，再向下平移n個單位 C．向左平移m個單位，再向上平移n個單位 D．向左平移m個單位，再向下平移n個單位選：A．5．（3分）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線m和直線n分別交l1、l2、l3于點A，B，C，D，E，F(xiàn)，直線m和直線n交于點P．若DE＝2，EF＝4，AB＝4，若BP：CP＝1：3，則CP＝（）A．4 B．5 C．7 D．6選：D．6．（3分）某商場進行抽獎活動，每名顧客購物滿100元可以獲得一次抽獎機會．抽獎箱中只有兩種卡片：“中獎”和“謝謝惠顧”（兩種卡片形狀大小相同、質地均勻）．下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：抽獎次數(shù)n1001502008001000抽到“中獎”卡片的次數(shù)m385669258299中獎的頻率0.380.3730.3450.3230.299根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計抽獎一次就中獎的概率約是（）A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25選：C．7．（3分）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，將△ABC繞點A逆時針旋轉α（0°＜α＜45°）得到△ADE，DE交AC于點F．當α＝30°時，點D恰好落在BC上，則∠AFE＝（）A．80° B．90° C．85° D．95°選：B．8．（3分）已知點A（﹣3，m﹣1），B（﹣1，m），C（1，m）在同一個函數(shù)圖象上，則這個函數(shù)圖象可能是（）A． B． C． D．選：C．9．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD垂直平分OB，點E在上，連接CE，AE．若CE平分∠OCD，則∠A：∠E＝（）A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：6選：B．10．（3分）已知二次函數(shù)y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的圖象上有兩點A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），則（）A．若a＞0，當x1+x2＜1時，a（y1﹣y2）＜0 B．若a＞0，當x1+x2＜1時，a（y1﹣y2）＞0 C．若a＜0，當x1+x2＞﹣1時，a（y1﹣y2）＜0 D．若a＜0，當x1+x2＞﹣1時，a（y1﹣y2）＞0選：B．二、填空題（本大題有6個小題，每小題3分，共18分）11．（3分）已知a：b＝2：3，那么的值是．12．（3分）有10張卡片，每張卡片上分別寫有不同的從1到10的一個自然數(shù)，從中任意抽出一張卡片，卡片上的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是．13．（3分）如圖，AC、BD交于點O，連接AB、CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加條件∠A＝∠C（答案不唯一）．（只需寫出一個條件即可）14．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0），則此函數(shù)的頂點坐標是（2，1）；若a＜0，當1≤x≤4時，函數(shù)有最小值a﹣1，則a＝﹣．15．（3分）圖1為一圓形紙片，A、B、C為圓周上三點，其中AC為直徑，以AB為折線將紙片向右折疊，紙片蓋住部分的AC，且交AC于點D，如圖2所示，若弧BC為37°，則的度數(shù)＝106°．16．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，點E在AB上，，在矩形內找一點P．使得∠BPE＝60°，則BE＝2，線段PD的最小值為2﹣2．三、解答題：本大題有8個小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．二次函數(shù)y＝a（x+1）2+4的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（﹣3，0）．（1）求點B的坐標和a的值；（2）當y＞0時，直接寫出x的取值范圍．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)的對稱軸為直線x＝﹣1，A點坐標為（﹣3，0），∴點B的坐標為（1，0），把點B坐標代入y＝a（x+1）2+4得，4a+4＝0，解得a＝﹣1；（2）∵a＜0，二次函數(shù)y＝a（x+1）2+4的圖象與x軸交點為（﹣3，0）和（1，0），∴當y＞0時，x的取值范圍為﹣3＜x＜1．18．已知：如圖△ABC內接于圓O，AB＝AC，D為弧BC上任意一點，連接AD，BD．（1）若∠ADB＝65°，求∠BAC的度數(shù)；（2）求證：∠ABD＝∠AEB．【解答】（1）解：∠ACB＝∠ADB＝65°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°﹣65°﹣65°＝50°；（2）證明：∵∠AEB＝∠EAC+∠ACB，而∠ABC＝∠ACB，∠EAC＝∠DBC，∴∠AEB＝∠DBC+∠ABC，即∠ABD＝∠AEB．19．如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，連接AD、CE交于點G，DG＝2．（1）求正六邊形ABCDEF的邊長；（2）求陰影部分的面積．【解答】解：（1）如圖，連接OC，則CG⊥OD，∵正六邊形ABCDEF內接于⊙O，∴△COD是正三角形，∴∠COD＝60°，∵CG⊥OD，∴OG＝DG＝OD＝2，∴OC＝2OG＝4，即正六邊形的邊長為4；（2）在Rt△COD中，OG＝2，∠COG＝60°，∴CG＝OG＝2，∴S陰影部分＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣×4×2＝﹣4．20．迎亞運體育比賽中，某班設計了A，B，C，D四種不同的比賽項目．（1）要求每人只能參與其中兩項比賽，請列舉出所有不同項目組合，直接寫出小明同學選擇A，B兩項組合的概率．（2）比賽冠軍、亞軍有機會參與開盲盒活動（每人只能抽取一次），盲盒中都隨機放入一個杭州亞運會吉祥物，分別是“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，請畫樹狀圖分析，冠軍與亞軍獲得相同吉祥物的概率．【解答】解：（1）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）由表格可知，共有12種等可能的結果，其中小明同學選擇A，B兩項組合的結果有2種，∴小明同學選擇A，B兩項組合的概率為＝．（2）將“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”分別記為a，b，c，畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結果，其中冠軍與亞軍獲得相同吉祥物的結果有3種，∴冠軍與亞軍獲得相同吉祥物的概率為＝．21．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點F，E分別在線段BC，AC上，且∠AFC＝∠DEA，AC＝AD．（1）求證：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF?CE．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∴∠ACF＝∠DAC∵∠AFC＝∠DEA，AC＝AD，∴△ACF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE；（2）∵△ACF≌△DAE，∴∠AFC＝∠DEA，∴∠AFB＝∠DEC，∵∠ABC＝∠CDE，∴△ABF∽△CDE，∴＝，∴AF?DE＝BF?CE，∵AF＝DE，∴AF2＝BF?CE．22．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為已知數(shù)，且a≠0）與y軸的交點是（0，4）．（1）求c的值．（2）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象交于點（k，0），求k的值，并用含a的代數(shù)式表示b．（3）在（2）成立的情況下，若1≤a≤2，當1≤x≤2時，y＝ax2+bx+c的最大值為m，最小值為n，求m﹣n的最小值．【解答】解：（1）把（0，4）代入y＝ax2+bx+c，即c＝4．（2）由題意知點（k，0）過一次函數(shù)y＝x﹣2，則k＝2，由（1）知二次函數(shù)為：y＝ax2+bx+4，∵（2，0）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+4上，∴a×22+b×2+4＝0，則b＝﹣2a﹣2；（3）由（2）知二次函數(shù)為：y＝ax2﹣（2a+2）x+4，則函數(shù)對稱軸為，∵1≤a≤2，∴，∴，∵1≤x≤2時，y＝ax2﹣（2a+2）x+4的最大值為m，最小值為n，∴m＝a×12﹣（2a+2）×1+4＝﹣a+2，，則，∵a＝2，，∴m﹣n的最小值為．23．根據(jù)以下素材，探索完成任務．如何設計拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時測得水面寬20m，拱頂離水面5m．據(jù)調查，該河段水位在此基礎上再漲1.8m達到最高．素材2為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛40cm長的燈籠，如圖3．為了安全，燈籠底部距離水面不小于1m；為了實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為1.6m；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布．問題解決任務1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數(shù)表達式．任務2探究懸掛范圍在你所建立的坐標系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標的最小值和橫坐標的取值范圍．任務3擬定設計方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標．【解答】解：任務1：以拱頂為原點，建立如圖1所示的直角坐標系，則頂點為（0，0），且過點B（10，﹣5），設拋物線的解析式為：y＝ax2，把點B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，∴a＝﹣，∴拋物線的函數(shù)表達式為：y＝﹣x2；任務2：∵該河段水位再漲1.8m達到最高，燈籠底部距離水面不小于1m，燈籠長0.4m，∴當懸掛點的縱坐標y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，即懸掛點的縱坐標的最小值是﹣1.8m，當y＝﹣1.8時，﹣x2＝﹣1.8，∴x＝±6，∴懸掛點的橫坐標的取值范圍是：﹣6≤x≤6；任務