2024-2025學(xué)年吉林省松原市前郭縣高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年吉林省松原市前郭縣高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線l：3x+y?A.?3 B.?33 2.已知橢圓C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2A.y232+7x24=1 3.已知圓C1：(x?2)2+(y+3)2=16與圓C2：A.4x?10y?3=0 B.4x+10y+3=0

C.4x?10y?9=0 D.4x+10y+9=04.如圖，在四面體ABCD中，E是棱AB上一點(diǎn)，且AE=13AB，F(xiàn)是棱CD的中點(diǎn)，則EF=A.?13AB?12AC+15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點(diǎn)P(x,y)到直線x=?1的距離比它到定點(diǎn)(3,0)的距離小2，則點(diǎn)P的軌跡方程為(

)A.y2=6x B.y2=12x C.6.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)PA.y=±233x B.y=±7.某市舉辦青少年機(jī)器人大賽，組委會設(shè)計(jì)了一個正方形場地ABCD(邊長為8米)如圖所示，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CD的中點(diǎn)，在場地ABCD中設(shè)置了一個半徑為95米的圓H，圓H與直線AB相切于點(diǎn)E.比賽中，機(jī)器人從F點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過線段AG上一點(diǎn)，然后再到達(dá)圓H，則機(jī)器人走過的最短路程是(

)A.741?95米 B.661?95米8.已知離心率為12的橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長為23，直線l過點(diǎn)P(1,1A.3x?2y?2=0 B.3x+2y?4=0 C.4x+6y?7=0 D.4x?6y?1=0二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知△ABC的三個頂點(diǎn)是A(1,2)，B(?1,4)，C(2,5)，則(

)A.邊BC的長度是10

B.直線BC的方程為x?3y+13=0

C.邊BC上的高所在直線的方程為3x?y?1=0

D.△ABC的面積是10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為直線l，直線PQ與C交于P，Q兩點(diǎn).則下列說法正確的是(

)A.點(diǎn)F到直線l的距離是4

B.若PQ的方程是2x?y?4=0，則△FPQ的面積為3

C.若PQ的中點(diǎn)G到直線l的距離為3，則|FP|+|FQ|=8

D.若點(diǎn)(4,0)在直線PQ上，則OP⊥OQ11.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，動點(diǎn)P在正方形AA.若A1P=12(AB+AD)，則|BP|=62

B.若A1P=12(AB+AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知直線l1：3x?y+4=0，l2：x+2y?1=0，則以l1，l2的交點(diǎn)為圓心，且經(jīng)過點(diǎn)13.已知直線l1：x?y?3=0，拋物線C：x2=6y的準(zhǔn)線是l2，點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線L1，l2的距離分別是d114.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P(4,0)，點(diǎn)E是直線L：x?3y?3=0上一點(diǎn)，若以E為圓心，2為半徑的圓E上存在點(diǎn)Q，使得|PQ|=3|OQ|，則線段OE長度的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知A(1,6)，B(?4,7)，C(0,1)，△ABC的外接圓為圓M．

(1)求圓M的方程；

(2)已知直線l：3x?y+23=0與圓M交于E16.(本小題15分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，BB1=BC，D為BC的中點(diǎn)．

(1)求證：直線A1C/?/平面17.(本小題15分)

已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率是355，焦距為6．

(1)求E的方程；

(2)若直線l：y=kx+1與18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐M?ABCD中，底面ABCD是邊長為6的正方形，△MAB是等邊三角形，平面MAB⊥平面ABCD．

(1)求平面CDM與平面ABM所成二面角的正弦值；

(2)已知E，F(xiàn)，G分別是線段AM，DM，CD上一點(diǎn)，且AE=13AM,DF=23DM,CG=13CD，若H是線段BM上的一點(diǎn)，且點(diǎn)H19.(本小題17分)

極點(diǎn)與極線是法國數(shù)學(xué)家吉拉德?迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對于橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，極點(diǎn)P(x0,y0)(不是坐標(biāo)原點(diǎn))對應(yīng)的極線為lP：x0xa2+y0yb2=1.已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸長為62，左焦點(diǎn)與拋物線y2=?12x的焦點(diǎn)重合，對于橢圓E，極點(diǎn)P(?6,0)對應(yīng)的極線為lP，過點(diǎn)P的直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，在極線lP上任取一點(diǎn)Q，設(shè)直線MQ，NQ，PQ的斜率分別為k1，k參考答案1.A

2.B

3.A

4.D

5.B

6.D

7.A

8.B

9.ABD

10.BD

11.ACD

12.(x+1)13.914.[315.解：(1)設(shè)圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，

因?yàn)锳(1,6)，B(?4,7)，C(0,1)均在圓上，

則12+62+D+6E+F=0(?4)2+72+(?4)D+7E+F=002+12+E+F=0，解得D=4E=?8F=7，

所以圓M的方程為x2+y2+4x?8y+7=0．

(2)由x2+y2+4x?8y+7=0，得(x+2)16.(1)證明：設(shè)A1B∩AB1=E，連接DE，則E是A1B的中點(diǎn)，

因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以DE/?/A1C，

又DE?平面AB1D，A1C?平面AB1D，

所以直線A1C/?/平面AB1D.

(2)解：因?yàn)锳A1⊥平面ABC，AB，AC?平面ABC，

所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，

又AB⊥AC，故以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锳B⊥AC，AB=AC=2，

所以BB1=BC=22，

所以B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,22)，B1(2,0,22)，

所以17.解：(1)由于E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的焦距為6，離心率是355，

因此ca=355,2c=6，其中c=a2+b2，所以a=5,c=3，因此b=c2?a2=2．

因此E的方程為x25?y24=1．

(2)設(shè)B(x2,y2)，A(x1,y1)，

聯(lián)立雙曲線方程和直線ly=kx+1,x218.解：(1)取AB，CD的中點(diǎn)分別為O，O1，連接OO1，

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以O(shè)O1⊥AB，

因?yàn)椤鱉AB是正三角形，O為AB的中點(diǎn)，所以MO⊥AB，

又平面MAB⊥平面ABCD，平面MAB∩平面ABCD=AB，MO?平面MAB，

所以MO⊥平面ABCD，又AB，OO1?平面ABCD，

所以MO⊥AB，MO⊥OO1，

以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OO1，OM所在直線分別為x軸，y軸，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

由題意：O(0,0,0),A(?3,0,0),B(3,0,0),C(3,6,0),D(?3,6,0),M(0,0,33)，

CD=(?6,0,0),CM=(?3,?6,33)，

設(shè)平面CDM的一個法向量為n=(x,y,z)，

則由n⊥CD，n⊥CM，可得CD?n=0CM?n=0，即?6x=0?3x?6y+33z=0，

令y=3，則x=0,z=23，

可得平面CDM的一個法向量為n=(0,3,23)，

易知平面ABM的一個法向量為m=(0,1,0)，

設(shè)平面CDM與平面ABM所成二面角為θ，

則|cosθ|=|cos?n,m?|=|n?m||n|?|m|=|3|21×1=217，

所以sinθ=1?cos2θ=277，

即平面CDM與平面ABM所成二面角的正弦值為27719.(1)解：因?yàn)闄E圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸長為62，即2a=62，解得a=32，

因?yàn)闄E圓E的左焦點(diǎn)與拋物線y2=?12x的焦點(diǎn)(?3,0)重合，所以a2?b2=c=3，解得b=3，

所以橢圓E的方程為x218+y29=1；

由題意可知對于橢圓E，極點(diǎn)P(?6,0)對應(yīng)的極線lP的方程為?6x18+0?y9=1，即x=?3；

(2)證明：設(shè)Q(?3,t)，由題意知