2024-2025學年上海南洋模范高三上學期數(shù)學周測及答案（2024.09）（含解析）

南洋模范2024學年第一學期高三年級數(shù)學周測2024.09一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1.定義集合運算:.已知集合,則集合有個真子集.

2.函數(shù)的定義域為.

3.已知實數(shù)滿足,且,若關于的不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是.

4.數(shù)在上可導,若,則.5.已知是定義域為的函數(shù)的導函數(shù)，且，則不等式的解集為.

6.若曲線在原點處的切線也是曲線的切線，則.

7.已知函數(shù)（且,若函數(shù)的值域是,則實數(shù)的取值范圍是.

8.已知函數(shù),若函數(shù)在區(qū)間上存在極值,則實數(shù)的取值范圍為.

9.已知函數(shù)的單調減區(qū)間是，過點存在與曲線相切的3條切線，則實數(shù)的取值范圍為.

10.若函數(shù)在上的最小值為1，則正實數(shù)的值為.

11.若對任意，不等式恒成立，則的取值范圍為.

12.已知函數(shù)，若函數(shù)在有6個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是.

二、選擇題(本大題共有4題,滿分20分,每題5分)

13.已知，那么下列不等式成立的是（）.

A.B.C.D.14.命題："函數(shù)在區(qū)間上單調遞增"是命題：""的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C．充要條件D.既不充分也不必要條件

15.已知定義在R上的函數(shù)滿足均有,則不等式的解集為（）.A.B.C.D.

16.已知函數(shù)，若對于定義域內的任意實數(shù)，總存在實數(shù)使得，則實數(shù)的取值范圍為（）.

A.B.C.D.

三、解答題(共5道大題，共76分)

17.（本題滿分14分.本題共2小題,第（1）小題7分,第（2）小題7分.)

已知集合，全集.

(1)當時，求;

(2)若""是""的必要條件，求實數(shù)的取值范圍。

18.(本題滿分14分.本題共2小題，第（1）小題8分,第（2）小題6分.)已知函數(shù).

(1)當時，求曲線在點處的切線方程；

(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍。

19.(本題滿分14分.本題共2小題,第（1）小題6分,第（2）小題8分.)良好的用眼習慣能夠從多方面保護眼睛的健康，降低近視發(fā)生的可能性，對于保護青少年的視力具有不可替代的重要作用。某班班主任為了讓本班學生能夠掌握良好的用眼習慣，開展了"愛眼護眼"有獎知識競賽活動，班主任將競賽題目分為兩組，規(guī)定每名學生從兩組題目中各隨機抽取2道題作答。已知該班學生甲答對A組題的概率均為，答對組題的概率均為。假設學生甲每道題是否答對相互獨立。

(1)求學生甲恰好答對3道題的概率；(2)設學生甲共答對了道題,求的分布列及數(shù)學期望.

20.（本題滿分16分.本題共3小題,第(1)小題4分,第（2）小題6分.第(3)小題6分)已知橢圓左焦點為，離心率為，以坐標原點為圓心，為半徑作圓使之與直線相切。

(1)求的方程;

(2)設點是橢圓上關于軸對稱的兩點,交于另一點,

①證明：直線經過定點；②求的內切圓半徑的范圍.

21.（本題滿分18分.本題共3個小題,第（1）小題4分,第（2）小題6分,第(3)小題8分)已知函數(shù),其中.

(1)證明:當時,;

(2)若時,有極小值,求實數(shù)的取值范圍;

(3)對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

南洋模范2024學年第一學期高三年級數(shù)學周測2024.09一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1.定義集合運算:.已知集合,則集合有個真子集.

【答案】15【解析】因為,

所以,則集合有個真子集.故答案為:15

2.函數(shù)的定義域為.

【答案】【解析】令,解得,故定義域為.

3.已知實數(shù)滿足,且,若關于的不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是.

【答案】【解析】，則同號，又，則只能同正.,變形得到.則.

當且僅當，且，則取等號.由于恒成立，則，解得.

4.數(shù)在上可導,若,則.

【答案】12【解析】根據(jù)導數(shù)定義可5.已知是定義域為的函數(shù)的導函數(shù)，且，則不等式的解集為.

【答案】【解析】設,

所以函數(shù)在上單調遞減，，

即,得，所以,所以不等式的解集為.

6.若曲線在原點處的切線也是曲線的切線，則.

【答案】【解析】由得，所以曲線在原點處的切線為。由得，設切線與曲線相切的切點為。由兩曲線有公切線得，解得,則切點為.因為切點在切線上,所以.

7.已知函數(shù)（且,若函數(shù)的值域是,則實數(shù)的取值范圍是.

【答案】【解析】當時,,函數(shù)在上單調遞增,在上單調遞減,所以,即;若函數(shù)的值域是,則時,.當時,在上單調遞增,此時,不合題意;當時,在上單調遞減,此時,即,則,所以,顯然,解得,又,所以.綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.

8.已知函數(shù),若函數(shù)在區(qū)間上存在極值,則實數(shù)的取值范圍為.

【答案】【解析】由題意得：,

若函數(shù)在區(qū)間上存在極值,則在上有變號零點,或,解得:,

9.已知函數(shù)的單調減區(qū)間是，過點存在與曲線相切的3條切線，則實數(shù)的取值范圍為.

【答案】【解析】設函數(shù)，可得，根據(jù)題意，可得的解集為，可得且，解得，即設點是過點A的直線與曲線的切點，則點處的切線方程為，即，因為切線過點,可得,又因為存在三條切線,所以方程有三個實根，設，只需函數(shù)有3個零點，又由，令，解得或，當時，單調遞增；當時，單調遞減；

當時，單調遞增，所以當時，函數(shù)取得極大值，

當時，函數(shù)取得極小值，要使得函數(shù)有3個零點，則滿足，解得，

10.若函數(shù)在上的最小值為1，則正實數(shù)的值為.

【答案】【解析】由題可得，因為函數(shù)在[0,2]上的最小值為1,當時,在上,在單調遞減,單調遞增,所以,解得（舍）；當時，在上在單調遞減，單調遞增，所以，解得（舍）；當時，在［0,2]上，在單調遞減，單調遞增，

所以，解得。

11.若對任意，不等式恒成立，則的取值范圍為.

【答案】【解析】令，設，則對任意的恒成立，所以在上單調遞增,從而。

①若，則當時，恒成立，符合題意.

②若,易知在上單調遞增,

因為，所以，所以，即，

所以因為,所以，所以。

因為在上單調遞增,其圖象是一條連續(xù)的曲線,且，所以存在唯一的，使得，當時,，所以函數(shù)在上單調遞減，，不符合題意，舍去.綜上，實數(shù)的取值范圍為。

12.已知函數(shù)，若函數(shù)在有6個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是.

【答案】或【解析】當時,,當時,,畫出函數(shù)圖象，如圖所示：函數(shù)在有6個不同零點有以下四種可能：

①方程有兩個不同的實根和且方程有兩個根，

且方程有四個不同的實根，由函數(shù)的圖象知，且，

令,則需，解得；

②方程有兩個不同的實根和且方程有零個根，

且方程有六個不同的實根，函數(shù)的圖象知，且，由于，則需，解得；

③方程有兩個不同的實根和且方程有1個根，

且方程有5個實根成立，則需，此時無解；

④方程有且只有1個根且方程有6個根,

計算得或或，不合題意；綜上所述：或.

二、選擇題(本大題共有4題,滿分20分,每題5分)

13.已知，那么下列不等式成立的是（）.

A.B.C.D.【答案】D

14.命題："函數(shù)在區(qū)間上單調遞增"是命題：""的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C．充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A【解析】命題在內單調遞增,則,即在上恒成立,令,由于，則，則的最小值為0，則必有，所以是的充分不必要條件，故選A。

15.已知定義在R上的函數(shù)滿足均有,則不等式的解集為（）.A.B.C.D.

【答案】B【解析】設，則，其定義域為R，定義域關于原點對稱，故為R上的奇函數(shù)，不妨設，故，即，故為上的增函數(shù)，故為R上的增函數(shù).又，故即，所以，故，故原不等式的解集為.故選：B。

16.已知函數(shù)，若對于定義域內的任意實數(shù)，總存在實數(shù)使得，則實數(shù)的取值范圍為（）.

A.B.C.D.

【答案】D【解析】由題意可知，的定義域為，因為對于定義域內的任意實數(shù),總存在實數(shù)使得,所以函數(shù)在上沒有最小值,,當時,當時,;當時,,所以在上單調遞增,在上單調遞減.當時，取得最大值為，值域為在內無最小值,因此.當時,令,當時,;當時,;所以在上單調遞增,在上單調遞減。當時,取得最大值為,顯然,即,

在同一坐標系內作出直線與函數(shù)的圖象,如圖所示當時,有兩個根,不妨設,當或時,;當或時,;所以在和上單調遞減,在和上單調遞增.所以在與處都取得極小值,,不符合題意,當時，，當且僅當時取到等號，當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增.當時，取得最小值為，不符合題意，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為，故選D.

三、解答題(共5道大題，共76分)

17.（本題滿分14分.本題共2小題,第（1）小題7分,第（2）小題7分.)

已知集合，全集.

(1)當時，求;

(2)若""是""的必要條件，求實數(shù)的取值范圍。

【答案】（1）（2）【解析】（1）當時，集合，則或，所以。

（2）若""是""的必要條件，則，因為，則，可知，可得,解得,所以實數(shù)的取值范圍.

18.(本題滿分14分.本題共2小題，第（1）小題8分,第（2）小題6分.)已知函數(shù).

(1)當時，求曲線在點處的切線方程；

(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍。

【答案】（1）（2）【解析】(1)因為,所以,當時,,，故，所以曲線在點處的切線方程為，即

（2）由（1）得，因為，所以由，得，所以當時，單調遞減；當時，單調遞增；所以，因為恒成立，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.

19.(本題滿分14分.本題共2小題,第（1）小題6分,第（2）小題8分.)良好的用眼習慣能夠從多方面保護眼睛的健康，降低近視發(fā)生的可能性，對于保護青少年的視力具有不可替代的重要作用。某班班主任為了讓本班學生能夠掌握良好的用眼習慣，開展了"愛眼護眼"有獎知識競賽活動，班主任將競賽題目分為兩組，規(guī)定每名學生從兩組題目中各隨機抽取2道題作答。已知該班學生甲答對A組題的概率均為，答對組題的概率均為。假設學生甲每道題是否答對相互獨立。

(1)求學生甲恰好答對3道題的概率；(2)設學生甲共答對了道題,求的分布列及數(shù)學期望.

【答案】（1）（2）見解析【解析】(1)學生甲恰好答對3道題有以下兩種情況:第一種情況是學生甲答對A組的2道題和組的1道題,其概率;第二種情況是學生甲答對A組的1道題和組的2道題,

其概率.故學生甲恰好答對3道題的概率.

（2）由題意可知的所有可能取值為,,

，由（1）可知，則的分布列為故.

20.（本題滿分16分.本題共3小題,第(1)小題4分,第（2）小題6分.第(3)小題6分)已知橢圓左焦點為，離心率為，以坐標原點為圓心，為半徑作圓使之與直線相切。

(1)求的方程;

(2)設點是橢圓上關于軸對稱的兩點,交于另一點,

①證明：直線經過定點；②求的內切圓半徑的范圍.

【答案】（1）（2）①見解析②【解析】(1)依題意,解得,所以的方程為.

（2）①因為不與軸重合，所以設的方程為，設點，則聯(lián)立,得,則因為點三點共線且斜率一定存在，所以，所以，將，代入化簡可得，故，解得，滿足所以直線過定點，且為橢圓右焦點

②設所求內切圓半徑為，因為，

所以令,則,所以，因為,對勾函數(shù)在上單調遞增，所以,則。所以內切圓半徑的范圍為.

21.（本題滿分18分.本題共3個小題,第（1）小題4分,第（2）小題6分,第(3)小題8分)已知函數(shù),其中.

(1)證明:當時,;

(2)若時,有極小值,求實數(shù)的取值范圍;

(3)對任意的恒成立,求實