【高考數(shù)學(xué) 題型方法解密】專題01 均值不等式的“十一大方法與八大應(yīng)用”(原卷及答案)-高考數(shù)學(xué)常考點(diǎn) 重難點(diǎn)復(fù)習(xí)攻略（新高考專用）

專題01均值不等式的“十一大方法與八大應(yīng)用"

目錄

一重難點(diǎn)題型方法.........................................................1

方法一：“定和”與“拼湊定和”...........................................1

方法二：“定積”與“拼湊定積”...........................................2

方法三：“和積化歸”.....................................................3

方法四：“化1”與“拼湊化1”......................................................................................4

方法五：“不等式鏈”....................................................5

方法六：“復(fù)雜分式構(gòu)造”.................................................5

方法七：“換元法”.......................................................6

方法八：“消元法”.......................................................7

方法九：“平方法”.......................................................7

方法十：“連續(xù)均值”.....................................................8

方法十一：“三元均值”...................................................8

應(yīng)用一：在常用邏輯用語中的應(yīng)用...........................................9

應(yīng)用二：在函數(shù)中的應(yīng)用...................................................9

應(yīng)用三：在解三角形中的應(yīng)用..............................................10

應(yīng)用四：在平面向量中的應(yīng)用..............................................10

應(yīng)用五：在數(shù)列中的應(yīng)用..................................................10

應(yīng)用六：在立體幾何中的應(yīng)用..............................................11

應(yīng)用七：在直線與圓中的應(yīng)用..............................................11

應(yīng)用八：在圓錐曲線中的應(yīng)用..............................................12

二針對(duì)性鞏固練習(xí)........................................................12

重難點(diǎn)題型方法

方法一：“定和”與“拼湊定和”

【典例分析】

典例1-1.(2021.陜西省神木中學(xué)高二階段練習(xí))若x>0,y>0,且2x+3y=6,則

孫最大值為()

3

A.9B.6C.3D.-

2

典例1-2.(2022?湖南?雅禮中學(xué)高三階段練習(xí))已知x>0,y>0,且x+y=7,則

(l+x)(2+y)的最大值為()

A.36B.25C.16D.9

【方法技巧總結(jié)】

1.公式：若R,則〃+(當(dāng)且僅當(dāng)。=/?時(shí)取"二")

推論：(1)若則小十從之2"(2)?+->2(?>O)+

aab

2.利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：“一正二定三相

等”

(1)“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積

的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取

等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，注意多次運(yùn)用

不等式，等號(hào)成立條件是否一致.

3.技巧：觀察積與和哪個(gè)是定值，根據(jù)“和定積動(dòng)，積定和動(dòng)”來求解，不滿足形

式的可以進(jìn)行拼湊補(bǔ)形，與函數(shù)有關(guān)的題型還會(huì)用到配系數(shù)法。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?上海?高三學(xué)業(yè)考試）已知x>l,y>l且lgx+lgy=4,那么lg?lgy的最大

值是（）

A.2B.y

C.-D.4

4

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知Ovxv；,則函數(shù)y=2x）的最大值是（）

A.；B.-C.~D.—

2489

方法二：“定積”與“拼湊定積”

【典例分析】

Io

典例2-1.（2022?四川?南江中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知log2〃+log3=2,則一+工

ab

的最小值為（）

A.IB.2C.3D.4

典例2-2.（2022.重慶市育才中學(xué)高一期中）若。＞-3,則"+6“：13的最小值為（）

a+3

A.2B.4C.5D.6

【方法技巧總結(jié)】

L技巧：觀察枳與和哪個(gè)是定值，根據(jù)“和定枳動(dòng)，積定和動(dòng)”來求解，不滿足形

式的可以進(jìn)行拼湊補(bǔ)形。與函數(shù)有關(guān)的題型還會(huì)用到正負(fù)變法、添項(xiàng)法、拆項(xiàng)法等。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?廣東?惠州市華羅庚中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)八刈=|1切，且

則"力的取值范圍為（）

A.（2,+o＞）B.[2收）C.[10,珂D.（10,同

4

2.（2022?湖北?高一期中）函數(shù)/（幻=—^+x（x＜3）的最大值是（）

x-3

A.-4B.1C.5D.-1

方法三：“和積化歸”

【典例分析】

典例3.（2022?山東山東?高一期中）已知x＞（）,y＞0,且X+〉+必，=3,若不等式

X+），「-團(tuán)恒成立，則實(shí)數(shù)〃7的取值范圍為（）

A.B.-1＜/?/＜2C.〃?＜一2或〃12/D./〃＜一1或"，之2

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧：根據(jù)和與積的關(guān)系等式，結(jié)合均值不等式可以求出積或和的最值，這樣的

方法叫做“和積化歸”。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?山西師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知正數(shù)。，〃滿足〃+4b+2H=6,

則。+4〃的最小值為（）

A.1B.V?C.4D.5

方法四：“化1”與“拼湊化1”

【典例分析】

14

典例4-1.（2022?河北?衡水市第二中學(xué)高一期中）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)孤丁滿足一+—=1,

且不等式X+:<3加_〃?有解，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

A.[T,g）B.（-s,-l）D件+8

C.一9,1D.1一

121

典例4-2.（2022?江西宜春?高二階段練習(xí)（理））已知均為正數(shù)，且----1----=—,

a+\b-22

則2々+〃的最小值為（）

A.8B.16C.24D.32

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧：化1法流程為：①條件化1,與問題相乘，②將乘積式展開為四項(xiàng)，其中

兩個(gè)含參，另外兩個(gè)為常數(shù)，③對(duì)其適用均值定理推論進(jìn)行求最值。

2.注意：要先觀察條件與問題的形式，需滿足條件與問題分別為（或可整理為）兩

個(gè)含單參數(shù)的單項(xiàng)式相加的形式，且這四個(gè)單項(xiàng)式有兩個(gè)參數(shù)在分母，另外兩個(gè)參

數(shù)在分子。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?廣東?廣州市第九十七中學(xué)高一階段練習(xí)）已知正數(shù)〃滿足狗x啦7=3,

則3a+2〃的最小值為（）

A.10B.12C.18D.24

2.（2022?四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高一期中）設(shè)正實(shí)數(shù)X），滿是3x+]=2,

46

則五力+言的最小值為（）

A.B.3五C.D.472

44

方法五：“不等式鏈”

【典例分析】

典例5.（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））若x>0,）>0且4+產(chǎn)2,則下列結(jié)論中

正確的是（）

A.f+y2的最小值是1B.歲的最大值是:

4

21

C.一十一的最小值是4應(yīng)D.6+6的最大值是2

xy

【方法技巧總結(jié)】

1.公式：了一4疝二等（a,bwR"）

---1---

ab

2.技巧：上式由左至右分別為調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、代數(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)。

另外，不等式鏈可進(jìn)行平方，會(huì)得到一個(gè)新的不等式鏈也可直接適用，注意此時(shí)

a,bERo

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?廣東?博羅縣東江廣雅學(xué)校有限公司高一階段練習(xí)）若/+從=2,下列結(jié)

論錯(cuò)誤的是（）

A.必的最大值為1B.必的最小值為-1

C.〃的最大值為2&D.（〃+力而的最大值為2

方法六：“復(fù)雜分式構(gòu)造”

【典例分析】

典例6.（2022?江蘇?歌風(fēng)中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)XXZ滿足.己3D，+4產(chǎn)z=0,則

當(dāng)￡取得最大值時(shí)，2+1心的最大值為（）

zxyz

9

A.9B.1C.-D.3

4

【方法技巧總結(jié)】

L技巧:把分式化為齊次式，可通過拼湊和同除的方法進(jìn)行構(gòu)造出均值定理的形式再

進(jìn)行求解最值。

2.注意：要觀察取等條件，看是否滿足定義區(qū)間。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?河北張家口?高二期末）函數(shù)的最大值是（）

753

A.2B.-C.-D.-

444

方法七：“換元法”

【典例分析】

典例7.（2022?江西?南昌二中高三階段練習(xí)（理））已知正數(shù)”,滿足

38,

E萬+函許'則"的最小值是（）

【方法技巧總結(jié)】

L方法：代數(shù)換元、三角換元。

2.技巧：代數(shù)換元：先對(duì)等式進(jìn)行拼湊補(bǔ)形，再進(jìn)行換元，結(jié)合函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)確定

單調(diào)性進(jìn)而求解最值。三角換元：結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)，將已知多個(gè)變量轉(zhuǎn)化為三角

變量，進(jìn)而化歸為三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)最值求法來求解。

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)〃>0,b>0,若/+〃一6岫=i,則&Ja〃的最

大值為（）

A.3+白B.2石C.1+6D.2+6

方法八：“消元法”

【典例分析】

典例8.（2022?四川省眉山第一中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)“0,母+6=1,則得的最小值

為（）

A.0B.1C.2D.4

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧:對(duì)含有多元變量的函數(shù)求最值時(shí)通常要減少變量的個(gè)數(shù)，減少變量的個(gè)數(shù)方

法有:①代入消元，把其中一個(gè)變量用其它變量表示后代入消元;②對(duì)齊次式可通過

構(gòu)造比值消元.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?四川成都?三模（理））若實(shí)數(shù)團(tuán)，〃滿足）〃=J2〃L〃?2,貝|]2切+石〃一2的

最大值為（）.

A.2B.3C.2>/3D.4

方法九：“平方法”

【典例分析】

典例9.（2016?上海市七寶中學(xué)高一期中）已知蒼）>。，那么牛近的最大值為

A.2B.及C.3D.75

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧：當(dāng)碰到含多個(gè)根號(hào)的形式或條件與問題次塞不統(tǒng)一時(shí)可以嘗試對(duì)其平方,

再進(jìn)一步構(gòu)造進(jìn)而形成可用均值定理的形式。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?江蘇蘇州.高一期中）已知正實(shí)數(shù)&〃滿足”+b=則￡+M的最小值

24+12Z;+I

是（）

A.2B."C.衛(wèi)D.巨

16124

方法十：“連續(xù)均值”

【典例分析】

典例10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若小b,c均為正實(shí)數(shù)，則，,的最大

cr+2b'+c~

值為（）

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧：連續(xù)適用均值定理要注意不等號(hào)方向的統(tǒng)一，以及取等情況的合理性。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)X，〉滿足工＞］），＞1,不等式0T+—12加

2y-\2x-l

恒成立，則加的最大值為（）

A.8B.16C.2x/2D.4A/2

方法十一：“三元均值”

【典例分析】

典例11.（2022?河南鄭州?高二期末（文））已知x,〉，,2eRS且x+y+z=30,則

lgx+lg.y+lgz的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

【方法技巧總結(jié)】

1.公式：史誓竺之阿丁，Q,b,C都是正實(shí)數(shù)。

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?陜西?咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知都是正實(shí)數(shù)，且

ab+bc+ac=\,則（ibc的最大值是（）

A.立B.立C.1D.73

93

應(yīng)用一：在常用邏輯用語中的應(yīng)用

【典例分析】

典例12.（院豫名校聯(lián)盟2023屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）“K2”是

“si/x-asinx+l＞。在（0㈤上恒成立”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?云南?建水實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）若存在；,2，使得2石-/％+1<0成

立是假命題，則實(shí)數(shù)義可能取值是（）

A.272B.2垂>C.4D.5

應(yīng)用二：在函數(shù)中的應(yīng)用

【典例分析】

典例13.（2022?江蘇?淮陰中學(xué)高一期中）奇函數(shù)〃力在R上單調(diào)遞增，若正數(shù)〃L

〃滿足/-+/（〃-1）=0,則前+上的最小值（）

\^）n

A.3B.4x/2C.2+2應(yīng)D.3+2五

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?重慶?字水中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)”"）=加-4x+c（xsR）的值

域?yàn)椋跲,XC）,則一1+-^的最大值為

c+1a+9

A.B.gC.1D.

2533526

應(yīng)用三：在解三角形中的應(yīng)用

【典例分析】

典例14.（2022?黑龍江?大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開學(xué)考試）在X8C中，角A,B,。的對(duì)

邊分別為a,b,c,E^（a+〃）（sinA-sinb）=c（sinC+sin5）,若角A的內(nèi)角平分線A。

的長為3,則助+c最小值為（）

A.21B.24C.27D.36

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?江西景德鎮(zhèn)?模擬預(yù)測(cè)（理））已知/3C中，設(shè)角A、B、C所對(duì)的邊分別

C

為〃、b、c,A8C的面積為S,^3sin2B+2sin2C=sinA（sinA+2sinBsinC）,則77的

值為（）

A.-B.IC.1D.2

42

應(yīng)用四：在平面向量中的應(yīng)用

【典例分析】

典例15.（2022?四川?南江中學(xué)高三階段練習(xí)（文））己知向量滿足何刁，|中2,

a與b的夾角為且實(shí)數(shù)X、y滿足"+M=G,則x+2），的最大值為（）

A.IB.2C.3D.4

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?山東濟(jì)寧?高三期中）已知向量6=（〃-5/）/=（11+1）,若。＞0.）＞0,且陽_1〃,

則廣=7十丁二的最小值為（）

3a+2b2a+3b

A.—B.--C.—D.--

5101520

應(yīng)用五：在數(shù)列中的應(yīng)用

【典例分析】

典例16.（2022.甘肅.高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知正項(xiàng)等比數(shù)列也｝滿足

oI

4=品勺（其中"7WN"）,則一+一的最小值為（）.

mn

3

A.6B.16C.yD.2

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知a>0,/2>0,9是3"與27"的等比中項(xiàng)，貝1」佇匚+近土1

ab

最小值為（）

A.9+2遙B.21+26

4

C.7D.、+2-

3

應(yīng)用六：在立體幾何中的應(yīng)用

【典例分析】

典例17.（2007?全國?高考真題（文））圓柱釉截面的周長/為定值，那么圓柱體積的

最大值是（）

A?如B.MC.陟D,2眇

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?寧夏?平羅中學(xué)高二期中（理））已知三棱柱ABC—的外接球的半徑

為R,若平面A8C,△A8c是等邊三角形，則三棱柱ABC—A山iCi的側(cè)面積

的最大值為（）

A.4石R?B.6R2C.3x/3/?2D.3R2

應(yīng)用七：在直線和圓中的應(yīng)用

【典例分析】

典例18.（2022?四川省成都市第八中學(xué)校高二期中）已知圓G"2*+2y=0與

圓G小七V?=。的公共弦所在直線恒過定點(diǎn)〃且點(diǎn)/，在直線的-，少-2-0上

（〃?>0/>0）,則〃鞏的最大值是（）

A。B—C-D—

A.4E2。8口4

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?河北?石家莊市第十八中學(xué)高二階段練習(xí)）若第一象限內(nèi)的點(diǎn)（〃?,〃）關(guān)于直

線x+y—2=0的對(duì)稱點(diǎn)在直線2\+），+3=0上，則的最小值是（）

tnn

17

A.25B.—C.17D.—

99

應(yīng)用八：在圓錐曲線中的應(yīng)用

【典例分析】

典例19.（2022?廣西貴港.高三階段練習(xí)）已知橢圓C:￡+[=l（a>6>0）的離

a~b~

心率為當(dāng)，直線/：y=h"H。）交橢圓C于AB兩點(diǎn)，點(diǎn)。在橢圓C上（與點(diǎn)AI不

重合）.若直線AZ）,8。的斜率分別為*k，則-的最小值為（）

A.2B.2GC.4D.472

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?陜西漢中?模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x與雙曲線

?！?營口”>。吠。）的兩條漸近線分別交于。上兩點(diǎn).若一8匠的面積為2,則雙曲

線C的焦距的最小值為（）

A.2B.4C.8D.16

針對(duì)性鞏固練習(xí)

練習(xí)一：“定和”與“拼湊定和”

x-2

1.（2022?江西?高三階段練習(xí)（文））己知x>0,y>0,1I=5',則孫的最大值

<25

為（）

A.2B-IcID-I

2.（2022?河南?平頂山市教育局教育教學(xué)研究室高二開學(xué)考試（文））已知x>0,y>0,

若4x+y=l,則（4x+l）（y+l）的最大值為（）.

913

A.-B.-C.-D.1

444

練習(xí)二：“定積”與“拼湊定積”

3.（2022?河南?駐馬店開發(fā)區(qū)高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知正數(shù)。力滿足

S+5b）（為+a=36,則。+?的最小值為（）

A.16B.12C.8D.4

4.（2021?全國?高一專題練習(xí)）已知x<3,則一二十、的最大值是（）

x-3

A.-1B.-2C.2D.7

練習(xí)三：“和積化歸”

5.（2022?山東泰安?高——期中）若〃>0，6>0,且〃Z?=a+b+3,則a+）的最小值為（）

A.2B.6C.9D.12

練習(xí)四：“化1”與“拼湊化1”

6.（2022?湖北?十堰市天河英才高中有限公司高一階段練習(xí)）已知人>（）,），>。且

4x+y=xy.若x+y>加+8加恒成立,則實(shí)數(shù)力的取值范圍是（）

A."梅之^，B.{〃加〈-3}C.D.{〃?|一9<1}

7.（2022?河南省浚縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若x>0,y>0,且<+一匚之，則

x+\x+y

2x+y的最小值為（）

A.2B.3C.4D.8

練習(xí)五：“不等式鏈”

8.（2020?上海市七寶中學(xué)高一階段練習(xí)）己知"0,"。，若"〃=4,則（）

A./+〃有最小值4B.必有最大值2

C.，+；有最大值1D.「I樂有最小值半

ab+4

練習(xí)六：”復(fù)雜分式構(gòu)造”

9.（2022?河南?洛寧縣笫一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知不等式加+2力/注0

對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，且天°wR,使得。帛+2%+方=0成立，則RI的最小值為

a-b

（）

A.1B.V?C.2D.2V2

練習(xí)七：“換元法”

1U.（2U22?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（*）='a\）+in2^<r<2J若存在

0<av〃<c<2使得/（a）=/（〃）=/（c）,則，■+1+'的取值范圍是（）

練習(xí)八：“消元法”

11.（2023?江西?貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知正數(shù)4〃滿足/一2"+4=0,

則。的最小值為（）

4

A.1B.V5C.2D.20

練習(xí)九：“平方法”

12.（2022?遼寧撫順?高三期中）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)LV,4+而《人歷？恒成立，

則女的最小值為（）

A.y/5B.V6C.2V2D.Vio

練習(xí)十，“連續(xù)均值”

13.（2022?全國.模擬預(yù)測(cè)）已知a>0,〃>0,c>[,a+2b=2,貝0+0+27的

\ab）c-\

最小值為（）

921

A.-B.2C.6D.—

22

練習(xí)十一：“三元均值”

14.（2022?陜西?西安市閻良區(qū)關(guān)山中學(xué)高二期中（文））已知正數(shù)m4c滿足

a+b+c=9f則。機(jī),的最大值為（）

A.32B.9C.18D.27

練習(xí)十二：在常用邏輯用語中的應(yīng)用

15.（2022?廣東廣州?高三期中）設(shè)貝『力+八1”是“±+428"的（）

a~b-

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

練習(xí)十三：在函數(shù)中的應(yīng)用

16.（2023?重慶?高三階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=ln（廬口-工）+1,正實(shí)數(shù)4〃滿足

/(2a)+/S-4)=2,則辿+的最小值為()

a2ab+b

A.1B.2C.4D.年

o

練習(xí)十四：在解三角形中的應(yīng)用

17.（2022?湖北?高二期中）在/UBC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a",c,=

AD是N4的平分線，AD=6AB>\,則匕+勿的最小值是（）

A.6B.3-242C.3+20D.10

練習(xí)十五：在平面向量中的應(yīng)用

18.（2022?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè)）在中，過重心E任作一直線分別交48,AC

于M,N兩點(diǎn)，設(shè)而？=淳5,AN=yAC^（x>（）,.y>0）,則4x+y的最小值是（）

410

A.-B.—C.3D.2

33

練習(xí)十六：在數(shù)列中的應(yīng)用

19.（2022?廣東廣州?高二期中）已知各項(xiàng)為正的數(shù)列｛qj的前〃項(xiàng)和為工，滿足

"=；（%+1則三告的最小值為（）

44十-

9

A.-B.4C.3D.2

2

練習(xí)十七：在立體幾何中的應(yīng)用

20.（2022?四川?石室中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知圓柱的側(cè)面積為2乃，其外接球

的表面積為S,則5的最小值為（）

A.44B.5%C.64D.9乃

練習(xí)十八：在直線和圓中的應(yīng)用

21.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若直線or+切=23>0力>0）經(jīng)過圓

14

丁+丫2-2］一2），+1=0的圓心，則一+二的最小值是（）

ab

79

A.-B.4C.5D.-

22

練習(xí)十九：在圓錐曲線中的應(yīng)用

22.（2022?廣西廣西?模斗預(yù)測(cè)（理））雙曲線與=Ka>0,匕>0）的左右頂點(diǎn)分

a~b~

別為AI,曲線M上的一點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為0,若直線4c的斜率為川，直線

9

8。的斜率為〃，則當(dāng)〃皿+—取到最小值時(shí)，雙曲線離心率為（）

A.6B.2C.3D.

專題01均值不等式的“十一大方法與八大應(yīng)用"

目錄

一重難點(diǎn)題型方法.....................................................1

方法一：“定和”與“拼湊定和”...........................................1

方法二：“定積”與“拼湊定積”...........................................3

方法三：“和積化歸”.....................................................5

方法四：“化1”與“拼湊化1”...................................................................................................................6

方法五：“不等式鏈”....................................................9

方法六：“復(fù)雜分式構(gòu)造”................................................10

方法七：“換元法”......................................................12

方法八：“消元法”......................................................14

方法九：“平方法”......................................................15

方法十：“連續(xù)均值”....................................................16

方法十一：“三元均值”..................................................18

應(yīng)用一：在常用邏輯用語中的應(yīng)用..........................................19

應(yīng)用二：在函數(shù)中的應(yīng)用..................................................20

應(yīng)用三：在解三角形中的應(yīng)用..............................................21

應(yīng)用四：在平面向量中的應(yīng)用..............................................23

應(yīng)用五：在數(shù)列中的應(yīng)用..................................................24

應(yīng)用六：在立體幾何中的應(yīng)用..............................................25

應(yīng)用七：在直線與圓中的應(yīng)用..............................................27

應(yīng)用八：在圓錐曲線中的應(yīng)用..............................................28

二針對(duì)性鞏固練習(xí)........................................................30

重難點(diǎn)題型方法

方法一：“定和”與“拼湊定和”

【典例分析】

典例1」.（2021.陜西省神木中學(xué)高二階段練習(xí)）若x>0,y>0,且2x+3），=6,則

孫最大值為（）

3

A.9B.6C.3D.T

【答案】D

【分析】由x>0，）>0,且2x+3y為定值，利用基本不等式求積的最大值.

【詳解】因?yàn)閤>（）,丁>。，且2x+3y=6,

所以孫=3x2jr3yw［（^!^J=_|,

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y,即x=；,y=l時(shí)，等號(hào)成立，

即孫,的最大值為刁.

故選：D.

典例1-2.（2022?湖南?雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）已知x>0,>>。，且x+y=7,則

（l+x）（2+），）的最大值為（）

A.36B.25C.16D.9

【答案】B

【分析】由x+"7,得(x+l)+(y+2)=10,再利用基本不等式即可得解.

【詳解】解：由工+>=7,得(4+l)+(y+2)=10,

則(1+X)(2+)，)K(l+H；(2+y)=25,

當(dāng)且僅當(dāng)l+x=2+y,艮lx=4,y=3時(shí),取等號(hào)，

所以(l+x)(2+y)的最大值為25.

故選：B.

【方法技巧總結(jié)】

L公式：若a,bwR\則。+匕22瘋(當(dāng)且僅當(dāng)。=人時(shí)取"二”)

推論：(1)若￡氏，則/+〃(2)a+->2(a>0)(3)-+->2(t/,Z?>0)

ciab

2.利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：“一正二定三相

等”

(1)“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積

的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取

等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，注意多次運(yùn)用

不等式，等號(hào)成立條件是否一致.

3.技巧：觀察積與和哪個(gè)是定值，根據(jù)“和定積動(dòng)，積定和動(dòng)”來求解，不滿足形

式的可以進(jìn)行拼湊補(bǔ)形，與函數(shù)有關(guān)的題型還會(huì)用到配系數(shù)法。

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?上海?高三學(xué)業(yè)考試)已知心>1,y>l且lg;HHgy=4,那么1g⑹gy的最大

值是()

A.2B.J

C.vD.4

4

【答案】D

【分析】根據(jù)基本不等式求解即可.

【詳解】Vx>l,y>l,/.lgx>0,lg)>0,1gx-1gjlgv=(g=4,

當(dāng)且僅當(dāng)lg.r=lgy=2,即x=y=100時(shí)等號(hào)成立.

故選：D.

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知0<*<；,則函數(shù)y=MJ2x)的最大值是()

A.yB.—C.—D.1

2489

【答案】C

【分析】將y=Ml-2x)叱為：x2x(l-2x),利用基本不等式即可求得答案.

【詳解】?.,0<x<g,/.l-2x>0,

.八r、1c八c、，12x+(l-2x)1

..x(l-2x)=—x2x(1-2x)<—x[r---------]P~=-,

當(dāng)且僅當(dāng)2x=l-2x時(shí)，即x=g時(shí)等號(hào)成立，

因此，函數(shù)￥=吊1-2幻,(0<3<:)的最大值為：，

2o

故選：C.

方法二：“定積”與“拼湊定積”

【典例分析】

典例2-1.（2022?四川?南江中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知Iog2〃+log2〃=2,則L名

ab

的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算可求得必=4,再用基本不等式即可求得最小值.

【詳解】山已知得。>0,〃>0.

因?yàn)閘og2“+log2〃=log2a〃=2,所以必=4.

%+白舟3.

\_=9

~ci~~b2

當(dāng)且僅當(dāng)。力=4,即，時(shí)等號(hào)成立.

A>0b=6

b>0

所以，：的最小值為3.

ab

故選：C.

典例2-2.（2022?重慶市育才中學(xué)高一期中）若0-3,則，+6〃：13的最小值為（）

4+3

A.2B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】對(duì)'+6。y3變形后,利用基本不等式進(jìn)行求解最小值.

4+3

【詳解】因?yàn)椤?gt;-3,所以〃+3>0,義>0,

4+3

由基本不等式得〃2+6叱］3」/3）2+4/工=%

4+34+3\7。+3V74+3

當(dāng)且僅當(dāng)"3=<，即〃=-1時(shí)，等號(hào)成立，

故止答的最小值為4.

故選：B

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧：觀察積與和哪個(gè)是定值，根據(jù)“和定積動(dòng)，積定和動(dòng)”來求解，不滿足形

式的可以進(jìn)行拼湊補(bǔ)形，與函數(shù)有關(guān)的題型還會(huì)用到正負(fù)變法、添項(xiàng)法、拆項(xiàng)法等。

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?廣東?惠州市華羅庚中學(xué)高一階段練習(xí))已知函數(shù)=切，且/5)=/(〃)，

則的取值范圍為()

A.(2,9)B.[2收)C.[10,珂D.(10,同

【答案】A

【分析】先根據(jù)條件找巴。力之間的關(guān)系式，然后消去一個(gè)元后運(yùn)用基本不等式可得.

【詳解】由題意不妨設(shè)則/(〃)=-3=/9)=但〃，

,,,1,1

二.必=1,。=一,:.a+b=a+—尼=2.當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時(shí)取等號(hào),

aa

故a+〃>2

故選：A.

4

2.(2022?湖北?高一期中)函數(shù)/*)=―^+x*<3)的最大值是()

x-3

A.-4B.1C.5D.-1

【答案】D

【分析】將函數(shù)等價(jià)變換為/（x）=-（37+白）+3,再利用基木不等式求解即可.

3-x

【詳解】解：門",.匕-3〉。，

則/（X）=-（3t+J-）+3,,-2J（37）?二+3=-1（當(dāng)且僅當(dāng)3-工=4，即x=l時(shí),

3-xV3-x3-x

取等號(hào)），

即當(dāng)x=l時(shí)，/（X）取得最大值T.

故選：D.

方法三：“和積化歸”

【典例分析】

典例3.（2022?山東山東?高一期中）已知x>0,y>0,且X+），+M，=3,若不等式

x+）亞〃『-機(jī)恒成立，則實(shí)數(shù)〃7的取值范圍為（：

A.-2S，"S1B.-\<m<2

C.in<-2ng>7D.m

【答案】B

【分析】首先根據(jù)基本不等式得到（、+）%加=2,結(jié)合題意得到〃-，〃wa+xL，即

nf—m<2f再解不等式即可.

【詳解】封=3-"+），）《經(jīng)上，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=i時(shí)等號(hào)成立，

解得％+”2,即（工+味廣？.

因?yàn)椴坏仁缴?》之>一機(jī)恒成立，

所以〃--〃[4彳+月,”即加2一機(jī)<2,解得一1<相<2.

故選：B

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧：根據(jù)和與積的關(guān)系等式，結(jié)合均值不等式可以求出積或和的最值，這樣的

方法叫做“和積化歸”。

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?山西師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí))已知正數(shù)小人滿足。+40+為而=6,

則。+劭的最小值為()

A.1B.V?C.4D.5

【答案】C

【分析】由基本不等式得出關(guān)于。+助的不等式，解之可得.

【詳解】由已知6-(〃+4b)=2ab<:.("；,2,當(dāng)且以當(dāng)a=4〃時(shí)等號(hào)成立，

所以(〃+4/?)2+8(a+4b)-48>0,(a+4〃-4)(〃+4/?+12)>0,

又。>0,6>0,所以a+4b34,即a+46的最小值是d,此時(shí)a=2,Z>=1.

故選：C.

方法四：“化1”與“拼湊化1”

【典例分析】

14

典例4-1.(2022?河北?衡水市第二中學(xué)高一期中)若兩個(gè)正實(shí)數(shù)乂了滿足一+一=1,

x)'

且不等式x+q<3>—〃?有解，則實(shí)數(shù)〃［的取值范圍為()

4

A.-1g)B.(-8,T)D(g,+a>

4

D.-co,--v(l,+oo)

3

【答案】B

【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合不等式有解的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】??不等式工+:<3/_〃?有解，:.x+：<3/一見—>0,),>0,且一+一=1,

4I4人Mxy

滬印”+92之2、"+2=4‘當(dāng)且僅當(dāng)竺=六，I

4I4八%y)y4x\y4xy4%

*=2,曠=8時(shí)取“="，/.x+^=4,故3切2_〃?>4,即(6+1)(36―4)>0,解得，〃<一1

V4，min

或〃?>[,.?.實(shí)數(shù)加的取值范圍是