【高考數(shù)學(xué) 題型方法解密】專題02 不等式的性質(zhì)解法與均值定理6類?？碱}型(原卷及答案)-高考數(shù)學(xué)常考點(diǎn) 重難點(diǎn)復(fù)習(xí)攻略（新高考專用）

專題02不等式的性質(zhì)解法與均值定理6類?？碱}型

目錄

一常規(guī)題型方法.......................................................1

題型一不等式的性質(zhì)......................................................1

題型二一元二次不等式....................................................3

題型三其他不等式........................................................5

題型四由均值定理求積與和的最值..........................................6

題型五均值不等式化“1”法...............................................7

題型六均值不等式構(gòu)造法..................................................9

二針對性鞏固練習(xí)....................................................10

練習(xí)一不等式的性質(zhì).....................................................10

練習(xí)二一元二次不等式...................................................11

練習(xí)三其他不等式.......................................................12

練習(xí)四由均值定理求積與和的最值.........................................12

練習(xí)五均值不等式化“1”法..............................................13

練習(xí)六均值不等式構(gòu)造法.................................................13

常規(guī)題型方法

題型一不等式的性質(zhì)

【典例分析】

典例1-1.（2022?北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）若實(shí)數(shù)a,b,ceR且則下列

不等式恒成立的是（）

A.a2>b2B.ac>bcC.D.a-c>b-c

b

典例12（2022?北京?首師大附中昌平學(xué)校高一期中）下列命題是真命題的是（）

A.若a>Z?>0,則B.若a>b,則

C.若〃<人<0,貝D.若。<8<0,貝

典例1-3.（北京市房山區(qū)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平調(diào)研數(shù)學(xué)試題）

己知=〃+l,〃=a+2〃，則和〃的大小關(guān)系為（）

A.m>nB.機(jī)>〃C.m<nD.m<n

典例14（2022?重慶?西南大學(xué)附中高一期中）己知-lvxv2,0<y<6,則2x-y的

取值范圍是（）

A.—2<2.r—j?<10B.—8<2r—y<4

C.-8<2x-y<6D.-4<2x-y<8

【方法技巧總結(jié)】

1.不等式的性質(zhì)有：對稱性、傳遞性、可加性（同向可加性，異向可減性）、可積性

（同向正數(shù)可乘性，異向正數(shù)可除性）、平方法則、開方法則、倒數(shù)法則。

2.技巧：性質(zhì)的應(yīng)用要注意正負(fù)，如果不方便用性質(zhì)可以在滿足條件的前提下進(jìn)行

代數(shù)驗(yàn)證，進(jìn)而排除選項(xiàng)。

3.比較大小可用作差法或作商法

【變式訓(xùn)練】

1.（北京市房山區(qū)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平調(diào)研數(shù)學(xué)試題）若,

則下列不等式一定成立的是（）

A.a2>b2B.a-\<bC.a+\>bD.2a>b

2.（2022?河南南陽.高一期中）下列命題為真命題的是（）.

門什11

A.若a>〃，則a4c>b4cB?右右>花,貝ija<6

C.若。<同，貝D.若同<〃，貝

3.（新疆兵團(tuán)地州學(xué)校2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知

rz=2x2+3x+7,b=x2-x+2,則（）

A.a=bB.a>bC.a<bD.a<b

4.（2022?山東?濱州高新高級中學(xué)有限公司高一階段練習(xí)）已知lva<4,2<h<8

則加+。的取值范圍是（）

A.1<2<z+Z?<4B.2<2a+b<SC.4<2。+〃<16D.4<2a+b<S

題型二一元二次不等式

【典例分析】

典例2-1.(2022.福建省泉州市培元中學(xué)高一階段練習(xí))若不等式以的解

集為{x|2vxv5},則不等式ex?+/求+々>0的()

,11

A.Ui--<x<-B.<X或

C.?D.儼或

、J4JJ乙

典例2-2.(2022?山西.普城市第一中學(xué)校高一階段練習(xí))已知集合

/\={xIx2-3x-4<0},/?={xIx2-(2m+2)x+nr+2m>0},AlB=R,則實(shí)數(shù)〃z的取值

范圍是()

A./77>1B.m>2C.—1<tn<2D.-1<m<2

典例2-3.(2023?全國?高三專題練習(xí))己知方程V+(m_2)x+5-〃?=0有兩個不相等

的實(shí)數(shù)根，且兩個實(shí)數(shù)根都大于2,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.Q5,T)J(4,y)B.(-5,-HO)

C.(-5,-4)D.(T-2)U(4,E)

典例2-4.(2022?北京市第五十中學(xué)高一階段練習(xí))對于任意實(shí)數(shù)盯不等式

(2-〃?)/一2(〃?-2)、+4>。恒成立，則小的取值范圍是()

A.{m\-2<m<2}B.<//:<2}

C.｛詞fii<-2nJJin>2)D.{加〃?〈一2或加22}

【方法技巧總結(jié)】

1.一元二次不等式口訣：小于取中間，大于取兩邊，但前提是X平方前的系數(shù)為整

數(shù)，另外也可以畫二次函數(shù)圖像來解一元二次不等式。

2.含參的一元二次不等式要注意討論的方向，一般先討論開口方向，然后十字相乘，

再對含參的根進(jìn)行大小比較，最后在不同情況下下結(jié)論。

3.一元二次方程根的分布：有五種不同模型，以根的判別式、對稱軸、端點(diǎn)值的

正負(fù)三方面求參數(shù)的范圍。

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?山西?太原五中高一階段練習(xí))不等式(x+0)［(a-l)x+(l-叨>。的解集為

(^-1)U(3,-BX)),貝IJ不等式/+加一2〃<0的解集為()

<11A,(1>

A.(-2,5)B.C.(-2,1)D.

IZ。\,乙)

2.(2022?北京?和平街第一中學(xué)高一階段練習(xí))若集合A={x|V-5x+6<0},

B={x|x2-4tir+3a2<0},且A=則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.\<a<2B.\<a<2C.\<a<3D.l<^z<3

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))關(guān)于x的方程￡+(a-2)x+2〃Ll=()恰有一根在區(qū)間

(04)內(nèi)，則實(shí)數(shù)〃7的取值范圍是()

A?層］B.(圜C.［別D.］圜邛-2向

4.(2022?廣東?高一期中)已知函數(shù)/(6=/一4+4。，&(\)二1/一2。卜+4。-4,若對

于任意xe(l,y),均有/3>晨力恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.(f,3)B.(-3,1)C.(T3)D.(-3,-H?)

題型三其他不等式

【典例分析】

典例3-1.(2022?江西省豐城中學(xué)高一期中)若“言<0”是“卜-〃|<2"的充分而不必

要條件，則實(shí)數(shù)〃的取，直范圍是()

A.1<a<3B.1<^/<3C.-\<a<3D.-\<a<3

典例3-2.(2022?江蘇?鹽城中學(xué)高三階段練習(xí))已知集合A={M(x-l)(x-2)(x-3)?0},

B={y\2>+y>6]f則A[8=()

A.(2,3]B.(^o,l]kj[2,3]C.[2,3]D.(2收)

典例3-3.(2021?山東?德州市陵城區(qū)翔龍高級中學(xué)高一階段練習(xí))設(shè)集合

x

A={xW<2<S],B={x|log3(x-l)<l},則Af)B=()

A.[0,3]B.[1,3]C.(1,3]D.[0,4]

【方法技巧總結(jié)】

1.其他不等式有：分式不等式、絕對值不等式、高階不等式、根式不等式、指數(shù)不

等式、對數(shù)不等式等。

2.技巧：分式不等式可同乘分母的平方來去分母，且需注意最后結(jié)果要考慮分母不

為零；絕對值不等式和根式不等式都是同時平方；高階不等式用穿針引線法，注意

“奇穿偶不穿”；指對不等式需化同底，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?河南.高一階段練習(xí))若4=t..；<1B=k->-L則13=(

)

x2

4

A.-X0<x<-B.^0<x<->

33

C.{x|0<x<2}D.*x--<x<2?

2.(2022.安徽省亳州市第一中學(xué)高三階段練習(xí))不等式/一敘-7>1的解集為()

x-1

A.(-1,6)B.(-1,1)51，6)

C.[-l,l)u[6,+co)D.(-lj)u(6,+cc)

3.(2022?全國?高三專題練習(xí)(文))已知集合2={.疝<而1<2},0=310821>1},

則()

A.(1,2)B.(2,4)C.(2,5)D.(1,5)

題型四由均值定理求積與和的最值

【典例分析】

典例41.(2022?廣東深圳?高三階段練習(xí))已知x>0,)>0,若x+)，+個=3,則到的

最大值為()

A.1B.V2C.2D.2正

典例4-2.（2022?安徽?蕪湖一中高一階段練習(xí)）已知x>（）,）>。，且x+2y+冷，-6=。,

則x+2y的最小值是（）

A.4B.5C.6D.7

典例4-3.（2022?江蘇省灌南高級中學(xué)高三階段練習(xí)）下列命題中正確的是（）

A.當(dāng)x>l時，XH—N2B.當(dāng)xvO時，XH—W—2

xx

C.當(dāng)Ovxvl時，五+如2D.當(dāng)x>l時，五+加之2近

典例4-4.（2020?寧夏?石嘴山市第三中學(xué)高三階段練習(xí)（文））若x>4,則函數(shù)

A.有最大值10B.有最小值10

C.有最大值6D.有最小值6

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧：均值不等式求最值得關(guān)鍵在于“一正二定三相等”。一正：各項(xiàng)必須為正;

二定：要求積的最大，其和必為定值，要求和的最小，其積必為定；三等：必須驗(yàn)

證等號成立的條件。

2.相關(guān)拓展推式：

（1）行弓之審之兩2；（2）a2+b2>2ab

ab

（3）a+—>2（a>0）（4）+22（a,〃司號）

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?四川成都?高二期中（理））若正實(shí)數(shù)滿足“+4〃=2,則而的最大值為

2.（2017.湖南?武岡市教育科學(xué)研究所高二學(xué)業(yè)考試）已知點(diǎn)6y）在直線x+）」2=。

上運(yùn)動，則2、+2,的最小值是（）

3.（2022?寧夏?石嘴山市第三中學(xué)高二階段練習(xí)（理））下列函數(shù)中，最小值為2的

是（）

y=-+x(x<0)B.y=—+l(x>1)

x

/-4

y=y/xA—『—2(x>0)D.)'=+Jf+2

4.（2020?云南?昭通市昭陽區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)9=47+為＞0）的最小

值是（

題型五均值不等式化“1”法

【典例分析】

Q1

典例5-1.（2022?浙江寧波?高一期中）已知正數(shù)尤y滿足一+—=2,則x+2y的最小

值為（）

A.7B.14C.18D.9

典例5-2.（2022?重慶?高三階段練習(xí)）已知，且2log,m=log,-，則lo,2+log3

ngww

最小值為（）

A.2+V2B.3+V2C.2+2&D.3+2x/2

典例5-3.（2022?北京市第五十七中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)小、〃滿足〃升〃=2,

則下列說法不正確的是（）

A.工+2的最小值為辦2亞B.我的最大值為:

mn222

C.+G的最小值為2D.小+小的坡小值為2

典例44（2022?四川俏陽市陽安中學(xué)高三階段練習(xí)（文））若兩個正實(shí)數(shù)3y滿

416

足工+尸4,且不等式,+7>〃/-3利+5恒成立，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為（）

A.B.卜沖〃<1或〃?>4}

C.{/n|-l<QH<4|D.{機(jī)W<0或〃?>3}

【方法技巧總結(jié)】

1.方法流程：首先，條件化“1”，然后，把其與問題相乘，再將其括號展開變?yōu)樗?/p>

項(xiàng)，最后直接使用均值定理求出最值。

2.注意：需再讀題時觀察條件和問題，是否滿足“兩分子，兩分母分別相加”的形

式，也需注意變量范圍和取等情況。

【變式訓(xùn)練】

]4

1.（2022?江蘇省灌南高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知Q，e（0,+oo）,>-+-=2,貝!x+y

最小值為（）

97

A.9B.-C.7D.-

22

2.（2022?福建省長汀縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若〃>0,b>0,且。+6=加力，那

么〃+2匕的最小值是（）

A.6B.3+20C.2A/2D.|?>/2

3.（2022?江蘇?常州市北郊高級中學(xué)高二開學(xué)考試）設(shè)正實(shí)數(shù)小y滿足2x+），=l,

則（）

1?I

A.盯的最大值是:B.l+,的最小值是8

c.4/+y2的最小值為:D.岳+4的最小值為2

4.（2022?新疆,兵團(tuán)第一師高級中學(xué)高一階段練習(xí)）己知工>0,。>0且>4%-孫=0,

若工+），>〃?2+8〃?恒成立，則實(shí)數(shù)用的取值范圍是（）

A.{W|-9<7??<1|B."帥〃3}C.'D.卜沖心1}

題型六均值不等式構(gòu)造法

【典例分析】

33

典例6-1.（2022?黑龍江齊齊哈爾?高一期中）設(shè)-），均為正實(shí)數(shù)，且大+不

4"T"人4"iV=1,

則x+>'+4的最小值為（）

A.12B.20C.13D.10

典例6-2.（2021?天津?高一期末）若%〉0,>>-2,且x+），=l,則口+工；的最小

xy+2

值為（）

13

A.8B.3C.2D.—

典例6-3.（2022?全國?高一課時練習(xí)）已知正數(shù)4、V滿足（x-2）（），-1）=2,若不等

式x+2），>”恒成立，則實(shí)數(shù)，”的取值范圍是（）

A.（8,-KO）B.（4,+oo）C.（一8,8）D.（Y,4）

【方法技巧總結(jié)】

1.構(gòu)造法是利用配湊的方法將條件或問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使得整道題可以使用直接法或

是化“1”法來進(jìn)行求解。

2.均值定理方法的選擇順序?yàn)椋褐苯臃?化“1”法、構(gòu)造法、其他方法（同一變量

法，三角換元等）。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?黑龍江?雙鴨山一中高一階段練習(xí)）己知正實(shí)數(shù)滿足」7+±=1,則

a+bb+\

。+25的最小值為（）

A.6B.8C.10D.12

14

2.（2022?湖北?廣水市第二高級中學(xué)高一期中）已知正數(shù)4、了滿足x+y=l,求一一

x1+y

的最小值是（）

149

A.—B.9C.-D.4

32

3.（2022?山東?梁山縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若正數(shù)。滿足（。-1）3-1）=1,則

4a+c的最小值為（）

A.8B.9C.10D.12

針對性鞏E3練習(xí)

練習(xí)一不等式的性質(zhì)

1.（2022?北京?大峪中學(xué)高一期中）如果那么下列不等式一定成立的是（）

A.同>|〃|B.>Z?'C.B.D.a2<b'

2.（2022?福建省福州延安中學(xué)高一階段練習(xí)）若〃、b、。為實(shí)數(shù)，則下列命題正確

的是（）

A.若a>b,貝B.若4<。<0,則/>出>>力2

C.若a<b,則一D.若〃V/?V0,則一>—

abab

3.（2022?云南?高一階段練習(xí)）已知f=/+W+2,$=2/+陽+1,則（）

A.2<t<sB.2<t<sC.t>s>\D.t>s>\

4.（2022?陜西?咸陽市高新一中高一期中）若lvav4,—2〈0v4,則2〃一人的取值范圍

是（）

A.（-2,4）B.（-2,10）C.（0,4）D.（0,10）

練習(xí)二一元二次不等式

5.（2022?山西大附中高一階段練習(xí)）己知關(guān)于x的不等式〃?工>〃的解集是"打<2},

則關(guān)于x的不等式（g+〃8-3）>0的解集是（）

A.{.山<2或工>3}B.卜|24<3}

C.{x|xv-2或x>3}D.{X|-2<￥<3）

6.（2022?廣東?佛山市南海區(qū)藝術(shù)高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合

4={x|ar2-（?+l）A-+l<0},^={X|X2-3A--4<（）},且A14=A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是（）

A.tz<-B.0<a<-C.a>—D.或々>1

4444

7.（2022.全國?高一課時練習(xí)）要使關(guān)于x的方程卜+。-2=0的一根比1大

且另一根比1小，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.{a\-\<a<2\B.{a|-2<a<l）

C.{a\a<-2]D.{*>1}

8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若不等式〃7+2機(jī)L4<2X、4、對任意X者防戈立，則實(shí)

數(shù)M的取值范圍是（）

A.（一2,2）B.（2,+=o）C.（-2,2]D.1-2,2]

練習(xí)三其他不等式

9.（2022?遼寧?大連市第二十高級中學(xué)高一階段練習(xí)）命題p：|x+2|〉2,命題

,則F是力成立的（）.

3-x

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.（2022?江西?贛州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)（文））不等式丁+2—3Ko的解集為

x+1

（）

A.{x|xN3或一1WxWl}B.{x|x>3ng-l<x<l}

C.{x|xW-3或一1WxWl}D.一3或一1<xWl}

11.（2021?河南南陽?高三期末）已知集合4={率"<1},集合8={卻叫（-1）<1},

貝IjAuB二（）

A.（-10）B.（-8,1）C.（一雙0）D.（^o,-l）

練習(xí)四由均值定理求積與和的最值

12.（2022?廣東?廣州南洋英文學(xué)校高一期中）已知x>0,）>0,且滿足x+6.v=6,則

外有（）

33

A.最大值5B.最小值另C.最大值1D.最小值1

13.（2022?湖南?株洲二中高一階段練習(xí)）已知x>0,y>0,且x+y+盯-3=0,則

（）

A.冷，的取值范圍是口⑼B.x+），的取值范圍是[2,3]

C.x+4），的最小值是3D,x+2丁的最小值是4&一3

14.（2022?重慶市長壽中學(xué)校高三期中）下列函數(shù)中，最小值為4的是（）

4I

A.y=x+—B.y=x+---+4（x>-2）

xx+2

,4,

C.y=cosx+———D.y=x~+2x+4

cos-x

15.（2022?吉林?東北師大附中高一階段練習(xí)）），=匕上&〉o）的最小值為（）

x

A.1B.2C.3D.4

練習(xí)五均值不等式化“1”法

16.（黑龍江省齊齊哈爾市普高聯(lián)誼校2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）己

14

知正實(shí)數(shù)盯》滿足一+—=1,則x+v的最小值為（）

xy

A.6B.7C.8D.9

17.（2019?山東省青島第六十八中學(xué)高一期中）已知正數(shù)x,y滿足x+2y-2.p=0,

那么2x+y的最小值是（）

9

A.1B.2-C.9D.2

18.（2022?江蘇?南京外國語學(xué)校高一階段練習(xí)）已知。>0,力>0,且則

ab

下列不等式不正確的（）

A.ab>\6B.2a+b>6+4>/2

C.a—b<0D.-7+—

14

19.（2022?天津益中學(xué)校高一期中）已知x>0,y>0fi-+-=1,若x+y>病+8m恒

成立，則實(shí)數(shù)〃7的取值范圍是（）

A.p|x>1-B.{x|x<-3}）C.{x\x>l}D.{x|-9<x<l}

練習(xí)六均值定理的其他方法

20.（2022?重慶市萬州第二高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知x>0,y>（）,若x+y=2,

則4+2的最小值是（）

2x+1y

977

9C-

A.B.5-5-D.3

21.（2022?江蘇省橫林高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知對任意."'￡（0,y），且％+2>=3,

叱士+占恒成立，則，的取值范圍是（）

x+22y+l

112

A./<4B./—C.1-~D.t4二

233

22.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知0c<g,則函數(shù)kMl-2.r）的最大值是（）

A.BD.

2-7ci9

專題02不等式的性質(zhì)解法與均值定理6類?？碱}型

目錄

一常規(guī)題型方法.......................................................1

題型一不等式的性質(zhì)......................................................1

題型二一元二次不等式....................................................4

題型三其他不等式........................................................9

題型四由均值定理求積與和的最值.........................................12

題型五均值不等式化“1”法..............................................16

題型六均值不等式構(gòu)造法.................................................20

二針對性鞏固練習(xí)....................................................24

練習(xí)一不等式的性質(zhì).....................................................24

練習(xí)二一兀二次小等式...................................................25

練習(xí)三其他不等式.......................................................27

練習(xí)四由均值定理求積與和的最值.........................................28

練習(xí)五均值不等式化“1”法..............................................31

練習(xí)六均值不等式構(gòu)造法.................................................33

常規(guī)題型方法

題型一不等式的性質(zhì)

【典例分析】

典例1-1.（2022?北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）若實(shí)數(shù)小b,cwR且入則下列

不等式恒成立的是（）

A.a2>b2B.ac>hcC.y>ID.a-c>b-c

b

【答案】D

【分析】利用不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析即可求解.（解決此題的關(guān)鍵是熟

記不等式的性質(zhì)）

【詳解】由題意可得，實(shí)數(shù)。也ceR且。>匕，

若a=l力=-1,則/=護(hù),故A錯誤;

若〃=|,人=_1,。=一］,則acv從，故B錯誤；

若。=1,。=-1,則/<1,故C錯誤；

b

已知4>力，CGR,則-c恒成立，故D正確；

故選：D.

典例12（2022?北京?首師大附中昌平學(xué)校高一期中）下列命題是真命題的是（）

A.若a>b>0,則加2>反2B.若。>匕,則

C.若a<b<0,貝U/v/D.若a<b<0,貝

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，對每個選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】對A：當(dāng)c=0時，?c2=bc2,是假命題，故錯誤；

對B:、'1a-1,〃一一1時，滿足但/=/,是假命題，故鋁i吳:

2

對C：當(dāng)a=-2,）=-l時，滿足"b<o,但/=4,〃=1,a>b\

是假命題，故錯誤；

對D：若a<b<0,根據(jù)不等式的性質(zhì)，-a>-b,是真命題.

故選：D.

典例1-3.（北京市房山區(qū)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平調(diào)研數(shù)學(xué)試題）

己知〃+〃2+[,〃=〃+2〃,則m和n的大小關(guān)系為（）

A.m>nB.機(jī)>〃C.nt<nD.機(jī)<〃

【答案】A

【分析】作差比較可得.

【詳解】因?yàn)椤ǎ弧?〃+〃'+1—。-=-2/?+1={b-\Y>0,

所以加之〃.

故選：A

典例1-4.（2022?重慶?西南大學(xué)附中高一期中）已知-lvxv2,0<y<6,則2x-y的

取值范圍是（）

A.-2<2,r->'<10B.-8<2r-y<4

C.-8<2x-y<6D.-4<2x-y<8

【答案】B

【分析】先求21的范圍，再求2x-y的范圍.

【詳解】因?yàn)橐籰vxv2,所以-2V2x4,

而0<y<6,所以-8<21-丁<4.

故選：B

【方法技巧總結(jié)】

L不等式的性質(zhì)有：對稱性、傳遞性、可加性（同向可加性，異向可減性）、可積性

（同向正數(shù)可乘性，異向正數(shù)可除性）、平方法則、開方法則、倒數(shù)法則。

2.技巧：性質(zhì)的應(yīng)用要注意正負(fù)，如果不方便用性質(zhì)可以在滿足條件的前提下進(jìn)行

代數(shù)驗(yàn)證，進(jìn)而排除選項(xiàng)。

3.比較大小可用作差法或作商法

【變式訓(xùn)練】

1.（北京市房山區(qū)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平調(diào)研數(shù)學(xué)試題）若,

則下列不等式一定成立的是（）

A.a2>b~B.a-\<bC.a+\>bD.2a>b

【答案】C

【分析】采用列舉法可直接求解

【詳解】對A,1>-2,但『<2,故A錯誤；

對B,4>1,但故B錯誤；

對C,a>b=>a+\>h+\>b,故C正確；

對2,但-2=-2,故D錯誤.

故選：C

2.（2022.河南南陽.高一期中）下列命題為真命題的是（）.

c411

A.若a>b,貝aj?>b\[cB?右不,不，貝ijavl

C.若。<回，貝D.若同〈〃，則a?〉"

【答案】B

【分析】取特殊值可判斷AC,作差法可判斷B,由不等式的性質(zhì)可判斷D.

【詳解】對于A,當(dāng)c=0時，a&=b無，故A錯誤;

對于B,因?yàn)椤猑>0,所以6-。,得a<6，故B正確；

對于C,取a=l,〃=-2即可判斷C錯誤；

對于D,因?yàn)橥?lt;〃，所以/<〃，故D錯誤.

故選：B

3.(新疆兵團(tuán)地州學(xué)校2022?2023學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)已知

a=2x2+3x+7,b=x2-x+2?貝U()

A.a=bB.a>bC.a<bD.a<b

【答案】B

【分析】作差法比較兩數(shù)的大小.

【詳解】因?yàn)?。一?2工*+3x+7-(.r2-x+2)=x2+4.r+5=(x+2)'+1>0,

所以a>b.

故選：B

4(2022?山東?濱州高新高級中學(xué)有限公司高一階段練習(xí))已知lva<4,2<〃<8,

則加+〃的取值范圍是()

A.l<2a+b<4B.2<2a+b<SC.4<2a+b<\6D.4<2a+匕<8

【答案】C

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得2<2a<8,再利用不等式性質(zhì)即可得答案.

【詳解】由1<a<4可得2<2a<8,而2vbv8,

故4<2a+Z?<16,

故選：C

題型二一元二次不等式

【典例分析】

典例2-1.(2022.福建省泉州市培元中學(xué)高一階段練習(xí))若不等式以的解

集為{x|2vxv5},則不等式ex?+/求+々>0的()

,111c1I1T廠

A.AI——<x<——B.sxlx<——或——>

2525

,11f,1?I

C.Ul-<X<-^D.-

J4X'J乙/

【答案】c

【分析】依題意可得X=2、x=5為方程ad+尿+c=0的兩根且。<0,利用韋達(dá)定理得

到〃二一7々、c=\0a,則不等式cW+/zv+〃>0化為10/-7x+1<0，解得即可.

【詳解】解：因?yàn)樾〉仁?+瓜+。>0的解集為{川2—<5},

所以x=2、x=5為方程加+云+c=0的兩根且a<0，

2+5=--

a

所以所以Z?=—7。、o=10a,

2x5=-

a

J聽以不等式ex?+〃>0，tl|J1Oar2—lax+<?>0,L'P1Ox2—7.r+1<0>

BP（2x-l）（5x-l）<0,解得W，

JJ

即不等式52+"+〃>0的解集為'

故選：C

典例2-2.（2022?山西?晉城市第一中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知集合

A={.r|x2-3.r-4<0},B={xIV-（2〃?+2）x+>+2〃〉0},AlJB=R,則實(shí)數(shù)〃？的取值

范圍是（）

A.///>1B.m>2C.-\<m<2D.-l<//7<2

【答案】C

【分析】先解一元二次不等式求出集合A8,再由AB=R,列不等式組可求得結(jié)

果.

【詳解】4={Nx2-3x-4<0}={.r|-l<x<4),

8={NX2-(2/w+2)x+m~+2"?>0}={x|x<m或x>m+2),

因?yàn)锳R=R,

所以/解得一lvm<2,

[m+2<4

故選：C

典例2-3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知方程f+(〃.2)%+5-〃?=0有兩個不相等

的實(shí)數(shù)根，且兩個實(shí)數(shù)根都大于2,則實(shí)數(shù)"?的取值范圍是()

A.(-5,-4)J(4,y)B.(-5,+00)

C.(-5,-4)D.(-4,-2).(4,-HDO)

【答案】C

A>0

【分析】令/(力=寸+5-2)x+5-加，根據(jù)二次方程根的分布可得式子號>2,

〃2)>0

計(jì)算即可.

【詳解】令/(x)=f+(〃?-2)x+5

(/〃-2)"-4x(5-〃1)>0ra>4或m<-4

1—m.

由題可知：，---->2=><m<-2=>m<-2

2

4+-2)x2+5-切>0m>-5

貝I」一5<,即〃?e(一5,-4)

故選：C

典例2-4.(2022?北京市第五十中學(xué)高一階段練習(xí))對于任意實(shí)數(shù)“，不等式

(2-〃?)/一2(6-2卜+4>0恒成立，則〃，的取值范圍是()

A.{m\-2<m<2}B.{/n|-2</n<2}

C.{6I〃？<一2或〃？>2}D.””加〈一2或m22}

【答案】B

[2—m>0

【分析】分類討論當(dāng)機(jī)=2時和八人兩種情況，即可求解.

【詳解】當(dāng)2-〃=0,即機(jī)=2時，4>0恒成立，滿足題意.

2-m>0

當(dāng)2-〃件0時，貝I」有A八2，解得：-2V〃?<2

A=4(m-2)-4?(a<0n)?

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是-2<m42

故選：B

【方法技巧總結(jié)】

L一元二次不等式口訣：小于取中間，大于取兩邊，但前提是x平方前的系數(shù)為整

數(shù)，另外也可以畫二次函數(shù)圖像來解一元二次不等式。

2.含參的一元二次不等式要注意討論的方向，一般先討論開口方向，然后十字相乘，

再對含參的根進(jìn)行大小比較，最后在不同情況下下結(jié)論。

3.一元二次方程根的分布：有五種不同模型，以根的判別式、對稱軸、端點(diǎn)值的

正負(fù)三方面求參數(shù)的范圍。

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?山西太原五中高一階段練習(xí))不等式(x+〃)[(a-l)x+(l-〃)]>。的解集為

(—,-1)口(3,心)，則不等式/+法一2〃<0的解集為()

A.(-2,5)B.b;,gC.(-2,1)D.

【答案】A

【分析】根據(jù)不等式的解集可得對應(yīng)方程的解，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得a與b的值,

進(jìn)而解不等式.

【詳解】由不等式(x+￡)[(a-g+(1-明>0的解集為(―)53，”)，

可知方程(x+b)[(a-l)x+(l-b)]=0有2個不同的實(shí)根,X=T,巧=3,

-b=-I-b=3

。=5

即人一或力-1了解得?

-------=3-------="1b=-3"

a-\a-\

所以x??^-bx-2a=xi-3x-10=(x-5)(x+2)<0,

解得-2<x<5,

故選：A.

2.(2022?北京?和平街第一中學(xué)高一階段練習(xí))若集合4=卜|/_5%+6<0},

22

B={x\x-4ax+3a<0},且4=8,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.\<a<2B.]<a<2C.1<a<3D.1<?<3

【答案】B

【分析】首先解一元二次不等式求出集合月，再分。<0、。=0、〃>0三種情況分別

求出集合6,根據(jù)得到不等式組，即可求出參數(shù)。的取值范圍.

【詳解】解：由/-5%+6<0,即(義-2)(人-3)<0,解得2Vx<3,

所以A=W5x+6v0}={x|2vxv3},

又8={%|爐—4ax+3a2vO}={x|(x-3a)(x-a)v0},

因?yàn)?/p>

當(dāng)。<0時A=k|(x-3a)(x-a)vO}={x|3avx<a},顯然不滿足題意,

當(dāng)。=0時B=(x-3a)(x-a)<0}=0,也不符合題意，

當(dāng)4>0時B={x|(x-3a)(x-4)<0}={x[〃<xv3a},

所以3“a二>3;，解得14。42；

a<2

故選：B

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))關(guān)于工的方程f+(*2)戈+2/〃-1=0恰有一根在區(qū)間

(0」)內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A?層]B.(圜C.加D.(圜邛-26}

【答案】D

【分析】把方程的根轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點(diǎn)問題，恰有一個零點(diǎn)屬于(0,1),分為三

種情況，即可得解.

(詳解】方程/+(〃?-2次+2吁1=0對應(yīng)的二次函數(shù)設(shè)為：/(x)=%2+(/??-2)x+2/H-1

因?yàn)榉匠?+(m-2)工+2〃[-1=()恰有一根屬于(0,1),則需要滿足：

@/(0)/(l)<0,(2/n-l)(3/?-2)<0,解得：

②函數(shù)“X)剛好經(jīng)過點(diǎn)(0,0)或者(1,0),另一個零點(diǎn)屬于(。，1),

把點(diǎn)(。，。)代入/(x)=-d+(〃?—2)x+2〃Ll,解得：

此時方程為'2-六=0,兩根為。，，而三(0,1),不合題意，舍去

把點(diǎn)(1，。)代入/(司=公+(%2)工+2加-1,解得：/〃=§,

此時方程為3/_標(biāo)+1=0,兩根為1,1而!c(O，l),故符合題意；

■JJ

③函數(shù)與x軸只有一個交點(diǎn)，△=(，”2)2-8m+4=0,解得m=6±2幣,

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)〃?=6-2萬時滿足方程恰有一根在區(qū)間(0,1)內(nèi);

綜上：實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為={6-2萬}

故選：D

2

4.(2022?廣東?高一期中)已知函數(shù)/(x)=f-x+4a,g(x)=(a-2a)x+4a-4f若對

于任意“?1，田)，均有/(同〉屋力恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是()

A.(—,3)B.(-3,1)C.(-1,3)D.(-3,+oo)

【答案】C

【分析】問題等價于/(x)-g(x)>。在。，笆)上恒成立，即(a-l)2<x+3恒成立，利用

X

基本不等式可求取范圍.

【詳解】設(shè)尸(X)=/(X)-g(x)=大2-(4-1)2X+4,/(X)>g(%)恒成立，即/(X)>。恒成立,

時,"(x)>0恒成立，即vx+士恒成立,

X

Q1時，x+^>2^xx1=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時等號成立，???"：的最小值為4.

???(〃-1)2<4,解得-l<a<3,實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-1,3).

故選：C.

題型三其他不等式

【典例分析】

典例3-1.(2022?江西省豐城中學(xué)高一期中)若“言<0”是“卜-。|<2"的充分而不必

要條件，則實(shí)數(shù)。的取道范圍是()

A.1<a<3B.\<a<3C.-\<a<3D.-\<a<3

【答案】B

【分析】先將兩個不等式分別化簡，然后根據(jù)題意列出不等式，求解即可.

【詳解】因?yàn)橥痢?lt;0,則(x-l)(x-3)<0nl<xv3

因?yàn)樯弦?<2,則一2vx-av2=>a-2vxva+2

即1