2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點專題《函數(shù)零點問題七大題型》題型突破及解析

重難點專題06函數(shù)零點問題七大題型匯總

題型1分段函數(shù)的零點.................................................1

題型2唯一零點問題...................................................2

題型3指對嘉函數(shù)零點.................................................3

題型4含有絕對值函數(shù)的零點..........................................4

題型5復(fù)合函數(shù)零點...................................................5

題型6函數(shù)中的整數(shù)問題...............................................6

題型7三角函數(shù)的零點.................................................6

題型1分段函數(shù)的零點

【例題1】（2023?貴州貴陽?校聯(lián)考三模）已知函數(shù)

JCOS（五X-兀3）,

"幻2a,其中若在區(qū)間9，8]內(nèi)恰好有4

個零點，則a的取值范圍是（）

A.修CB.C.修CD.IP5I

【變式1-1]1.（2023?海南海口?海南華僑中學(xué)?？家荒＃╆P(guān)于函數(shù)，

/T訃_P°8式片，0-2。Wx《3?5

A7"Ibrx》3.5其中⑦b￡人給出下列四個結(jié)論：

甲：5是該函數(shù)的零點.

乙：4是該函數(shù)的零點.

丙：該函數(shù)的所有零點之積為0.

T：方程Hx）二7有兩個不等的實根.

若上述四個結(jié)論中有且只有一個結(jié)論錯誤，則該錯誤的結(jié)論是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【變式1-112.（2023?天津濱海新?天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？既＃?/p>

設(shè)*x）是定義在R上的函數(shù)，若巴“二武力+/是奇函數(shù).供“二雙力-」是偶函

J￡[。刀

數(shù)，函數(shù)爪）I備（x-7）,xea,?8）,則下列說法正確的個數(shù)有（）

（1）當不￡[2司時，烈力二

⑵g（芋）e（FW）

a

（3）若烈M則實數(shù)m的最小值為=

（4）若A（x）=g（x）-Hx-Z有三個零點，則實數(shù)

A.1個B.2個C.3人D.4個

【變式1-1]3.（2023?天津武清?天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）

f（x）s｛+4a-+,x<a

設(shè)aG/,函數(shù)一1/■缶》妾?□與函數(shù)g⑨=ar在區(qū)間

【。?8）內(nèi)恰有3個零點，則a的取值范圍是.

[變式1T]4.（2023?福建廈門?統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)

力幻x學(xué)必當a二】時，代力的零點個數(shù)為；若火力

恰有4個零點，貝口的取值范圍是

題型2唯一零點問題

【例題2]（2023秋?重慶-高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在數(shù)列｛/｝中，七二】,且函數(shù)

5

Hx）-rfa^sinx-（2asi3）xi3的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點，則土的值為

（）.

A.1021B.1022C.1023D.1024

【變式2-1]1.（2023-全國-高三專題練習(xí)）已知函數(shù)4力，力行）分別是定

義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且g/+力⑨=『修，若函數(shù)

=V-/-24有唯一零點，則正實數(shù)▲的值為（）

A.3B.3C.1D.2

【變式2-1】2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)Hx）+

（3￡/）,若函數(shù)立力有唯一零點，則a的取值范圍為（）

A.（-8,SB.（-叼4UE*8）

C.（-8,。U[lt/8）D.（-8,7|UU,/8）

【變式27】3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知函數(shù)

-”有唯一零點，則負實數(shù)貯________

_J_J

A.-ZB.C.一】D..減一】

【變式2-114.（2021春?洛陽期末）存在實數(shù)石使得函數(shù)

尤＞）=？有唯一零點，則實數(shù)加勺取值范圍是（）.

A.（一叱4B.（-g,ac.M夕D.也2

題型3指對幕函數(shù)零點

【例題3]（2023秋?重慶萬州?高三重慶市萬州第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）

定義在R上的偶函數(shù)?力滿足川2-外二當xE[0,0時，f[l）-訴尸,

若在區(qū)間x￡也7。]內(nèi)，函數(shù)式X）二“X）仇＞①有￡個零點，則實數(shù)萬的

取值范圍是（）

A.后，9）B.（〃￡）

C.修'*）D.*

【變式3-1】1.（2021秋?紹興期末）已知名瓦二三4a+b+c=0,若

3爾+四"c=。缶W(wǎng)0的兩個實根是毛，孫，則底的最小值是

(

V

A.TB."C.百D.乘

【變式3-1]2.（2023-陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知

a八,若關(guān)于x的方程三1-Hn'A.二G存在正零點，則實數(shù)▲的取值

范圍為（）

A.L8MB.E+8)c.(-8,JD.I?+8]

【變式3-1]3.（2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函

數(shù)*力=1-alru有兩個大于1的零點，則如勺取值范圍可以是（）

A.（。力B.（，司

C.卜4TD.冽

【變式3-1]4.（多選）（2023?廣東廣州?華南師大附中?？既＃┤?/p>

?力二芋'三二.后有三個不相等的零點七，

孫，無，且蟲＜x3＜心則

下列命題正確的是（)

A.存在實數(shù)尢使得刈二1

B.打入

c,女￡（，9

D.\J,?/\x,?八jr?J為定色

題型4含有絕對值函數(shù)的零點

【例題4】（2023-全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)W]）二3八一為TM-ax

且僅有兩個零點，則郵勺取值范圍為.

【變式47】1.（2021春?寧夏校級月考）已知函數(shù)日?=|/+打1,x￡人若

方程/0）-域＞-1|二船有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)日的取值范圍為

【變式4-112.（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）已知函數(shù)

_口+（4a-3）x+3a,x＜0

X）"I1現(xiàn)行+力UX。（心。且3工分在十上單調(diào)遞減，且關(guān)于/的

方程|式外|二2-M合有兩個不相等的實數(shù)解，則石的取值范圍是.

【變式4-113.（2021秋?瑤海區(qū)校級期末）已知函數(shù)武力，烈x）分別是定義在

占上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，口滿足胃丫）+8（丫）=？-Z則的值為：

若關(guān)于「的方程才7姐?一人五丫-現(xiàn)切）-242二苑唯一的實數(shù)解，則實數(shù)九的值

為.

【變式4-1]4.（2023?青海西寧?統(tǒng)考二模）函數(shù)H力=4sin+x-|x-7|的

所有零點之和為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式4-1】5.（2021?義烏市月考）己知/⑨=（/"+/-力.In/"〃滿

足_fl＞）學(xué)。在定義域上恒成立，則細勺值為.

題型5復(fù)合函數(shù)零點

d*J2，工《0

【例題5]（2023秋?河南-高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)爪＞-llln”X〉0

（。為自然對數(shù)的底數(shù)）.則函數(shù)真力二白保X）卜酒（X）7的零點個數(shù)為

()

A.1B.3C.5D.7

【變式5-1]1.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?揚中市第二高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）函數(shù)

W

Hx）二⑴若式/嚴3-（2”ZHx），力有4個零點，貝"的取值范圍

是（）

A.（，為B.[那

c.（。令“自ZD.a'9"修才

【變式5-1]2.（2023?陜西商洛-鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)

°、產(chǎn)xWO

2xf￡>0,烈力二二-%,記函數(shù)網(wǎng)力=烈?1））-凡若函數(shù)尺力恰有三

個不同的零點不，，右右且兀則人?為"4打的最大值為（）

A.1"ln<B."In：c.JTn：D,3iInJ

【變式5-1]3.（2023?江蘇南京?南京市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)

f+x+2,x<0

I,若函數(shù)式力二%依力?必力。合有6個零點，則實

數(shù)d的取值范圍為.

【變式5-1]4.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?揚中市第二高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知

jr（In%x云1

函數(shù)八刀則xeJ-Zu]時，犬力的最小值為,設(shè)

烈x）二田切；一式外為，若函數(shù)烈X）有6個冬點，則實數(shù)石的取值范圍

是.

題型6函數(shù)中的整數(shù)問題

【例題6]（2023?陜西西安-陜西師大附中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)

貝力二+J-4有兩個零點4A且存在唯一的整數(shù)七乩則實數(shù)萬的取

值范圍為（）

A.（。2B.I昔,9C.用，，）D.（苧川

【變式6T】1.（多選）（2023?全國?高三專題練習(xí)）關(guān)于x的函數(shù)

W0有4個零點，則整數(shù)4的可能取值為（）

A.5B.6C.7D.9

【變式6-1]2.（多選）（2023?全國-高三專題練習(xí)）若（3^7）（必+用）0對

任意不€（。,0晅成立，其中a￡是整數(shù)，則>2的可能取值為（）

A.-7B.-5C.fD.T7

【變式6-1]3.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)

胃力鏟份aGR人若存在唯一的整數(shù)七，使得

式大）"4則實數(shù)的勺取值范圍是,

【變式6-114.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)

Hi）-ejx:nx-asinXa<-7）.若^的￡（使得*孫）（7）成立，則整

數(shù)a的最大值為.（參考數(shù)據(jù)：42二。,7,ln3二，\n5=Lt}

【變式6-115.（2021?中衛(wèi)二模）已知函數(shù)式X）="七七-統(tǒng)，若函數(shù)

式>）的單調(diào)遞減區(qū)間（理解為閉區(qū)間）中包含且僅包含兩個正整數(shù)，則實數(shù)%的

取值范圍為（）

[333_1\

A.I.sRAff）B

（3_13_J]己一￡-21

C.（二萬N寸D

題型7三角函數(shù)的零點

【例題7】（多選）（2022秋?福建廈門-高三福建省廈門第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）

設(shè)函數(shù)?力二sin“"g）（Q>6,已知Hx）在曲刃口有且僅有5個零點，則

（）

A.H*）在（〃然）有且僅有3個極大值點

B.*了）在加）有且僅有2個極小值點

C.Hx）在（0元）單調(diào)遞增

D.3的取值范圍是IE7Z）

【變式7T】1.（多選）（2023秋?黑龍江鶴崗?高三鶴崗一中?？奸_學(xué)考試）

函數(shù)/Y，二*x-/sin力在0,+8）上有兩個零點0,B（a《B）,下列說法正確

的是（）

A,8d仔，與B,舊人。二咤也

C=三D.f㈤在。，刀”上有2個極值點心孫3U且

X廣X：二K

【變式7-1]2.（2023?上海虹口-華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既＃┤?/p>

存在實數(shù)￡及正整數(shù)兀，使得*力二cosZr-asinj在區(qū)間他打冗1內(nèi)恰有Z奶個零

點，則所有滿足條件的正整數(shù)用勺值共有個.

【變式7-113.（2023?寧夏銀川??？寄M預(yù)測）已知函數(shù)

f;cos；3jr/Vjfeinc^icosa*，。（a>0,而￡R）.

再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇能確定函數(shù)力》的解析式的兩個

作為已知.

條件①：函數(shù)的最小正周期為"；

條件②：函數(shù)"的圖象經(jīng)過點（09

條件③：函數(shù)的最大值為三

（1）求f'xJ的解析式及最小值；

⑵若函數(shù)F31在區(qū)間I。rl上有且僅有1個零點，求，的取值范圍.

1.（2023?山西陽泉?陽泉市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)

fW=的零點為X,,函數(shù)=2-x-lru的零點為無，給出以下三個

.

結(jié)論：①1：?戶，及；②彳/2、③Mnx”,hijr,其中所有正確結(jié)論的序

號為.

2.（2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）己知函數(shù)

凡力二Minx-%在區(qū)間IJ,印上存在零點，則/，”的最小值

為.

3.（2023?遼寧沈陽-東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)Hx）二x■:?就m

有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是—.

4.（2023?廣東韶關(guān)-統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義IWI（xGR）為與邱巨離最近的整數(shù)（當

“為兩相鄰整數(shù)算術(shù)平均數(shù)時，I國取較大整數(shù)），令函數(shù)=IH,如：19二4

詞*,fG）M,閱*,則看（）

2/J291

A.17B.-C.19D.—

5.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）函數(shù)Hx）二/七"￡存在3個零點，則妁勺取

值范圍是（）

A.（-8,-才B.（-8,-3c.L4■2D.（-50]

6.（2021?天津?統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)

?（cos（2雙x-2wa）.x<a

斤分》,若"ri在區(qū)間似，引內(nèi)恰有6個零點，

則a的取值范圍是（）

A.必修當B.（如修W

C.（若喑MD.（"喑，同

7.（2022?全國-統(tǒng)考高考真題）（多選）己知函數(shù)"/二/一尸+乙則（）

A.力，幅兩個極值點B.打上有三個零點

C.點像”是曲線V二f.J的對稱中心D.直線V二為是曲線/二fGJ的切線

8.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)fi'x"Nsinjr-Gos1的一個零點為5,

則[二；嗚）二.

9.（2023?天津?統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)五才二次、?劣一|/?"”|有且僅有

兩個零點，貝伊的取值范圍為.

10.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)Hx）二的53萬-1（口）勿在區(qū)間

1?！?有且僅有3個零點，則3的取值范圍是.

11.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）設(shè)a￡/,對任意實數(shù)x,記

犬力二min1|j|-2X-A+%-5L若胃工）至少有3個零點，則實數(shù)￡的取值范圍

為

12.（2021?北京?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)給出下列四

個結(jié)論：

①若4=4fGJ恰有2個零點；

②存在負數(shù)4使得fGI恰有I個零點；

③存在負數(shù)氏使得fGl恰有3個零點；

④存在正數(shù)%,使得*"恰有3個零點.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

參考答案與試題解析

重難點專題06函數(shù)零點問題七大題型匯總

題型1分段函數(shù)的零點.................................................1

題型2唯一零點問題...................................................2

題型3指對基函數(shù)零點.................................................3

題型4含有絕對值函數(shù)的零點..........................................4

題型5復(fù)合函數(shù)零點...................................................4

題型6函數(shù)中的整數(shù)問題...............................................5

題型7三角函數(shù)的零點.................................................6

題型1分段函數(shù)的零點

【例題1】（2023?貴州貴陽?校聯(lián)考三模）已知函數(shù)

JCOS（五X-八3）,

J-4.xZa,其中3GE,若H》）在區(qū)間（。，8）內(nèi)恰好有4

個零點，則a的取值范圍是（）

A.修。B.L亨C.修3D.修4

【答案】C

【分析】根據(jù)參數(shù)珀勺范圍，討論兩段函數(shù)的零點情況，利用二次函數(shù)與三角函

數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合端點滿足的條件，即可求解.

（cos（^x-a）,I<a

【詳解】由函數(shù)“"*Zzr,其中3三及

當aW/時，對任意X〉。函數(shù)打#二份-/-4在⑥+8）內(nèi)最多有1個零點,

不符題意，所以

當時，

由G-3?-4=?？傻貌欢?+2或尸二8-2,

則在x2<h,f（x）-6r-a尸-4有一個零點，

所以fix）=cosmx-兀揖在（0,1內(nèi)有3個零點，即cos/兀（x?a〃=G在（0,a）

內(nèi)有3個零點，

因為。<x<d,所以-7Tj<7T（x-a）0,

所以?9小萬己<一三，解得

綜上所述，實數(shù)石的取值范圍為（94

故選：C.

【點睛】方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的

三種常用方法：

1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式'：組）

確定參數(shù)的取值范圍；

2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

3、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，

然后數(shù)形結(jié)合求解.

【變式1-1]1.（2023?海南?？?海南華僑中學(xué)校考一模）關(guān)于函數(shù)，

_0。8式x+WJT<￡5

“同'Ib-x.x》3.5其中⑦bWN,給出下列四個結(jié)論：

甲：5是該函數(shù)的零點.

乙：4是該函數(shù)的零點.

內(nèi)：該函數(shù)的所有零點之積為0.

J'：方程*方二7有兩個不等的實根.

若上述四個結(jié)論中有且只有一個結(jié)論錯誤，則該錯誤的結(jié)論是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

【分析】結(jié)合命題的矛盾性，先判斷丙、丁均正確，然后分情況討論甲乙，進行

判斷解題；

【詳解】當不￡［工，+8)時，?了)二》一：為減函數(shù)，故5和4只有一個是函數(shù)

的冬點.

即甲、乙中有一個結(jié)論錯誤，一個結(jié)論正確，故丙、丁均正確.

由所有零點之積為0,結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，知必有一個零點為0,

則=log幺-&二〃可得己二」.

①若甲正確，則區(qū)習(xí)二6-5=4則6=5,

開、_［1。8乂］?3-Z。wx<3.5

可得“同一15-X,x^3.5

由Hx)=7,可得lo。"為-1=7,0Wx(3.5或5一刀=

解得》二2或》二4,方程立力二」有兩個不等的實根，

故丁正確.，若甲正確，乙錯誤；

②若乙正確，則用0二4即匕一4二。則6二4,

-rXJlog式j(luò)r+為-z0^x<3.5

可得“'V4-x,x》3,5

由Hx)=7,可得Io。/力-/二，0WJT<3.5或4-x二，x23.5

解得x=2,方程Hx)二7只有一個實根，故丁錯誤，不滿足題意.

綜上，甲正確，乙錯誤，

故選：B

【變式1-1)2.(2023-天津濱海新-天津市濱將新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？既?

設(shè)汽力是定義在R上的函數(shù)，若網(wǎng)力二內(nèi)力+/是奇函數(shù).口力二內(nèi)外-」是偶函

1HOx6［。刀

數(shù)，函數(shù)趴，JT￡(1,f8),則下列說法正確的個數(shù)有()

(1)當司時，俱X)=習(xí)

⑵g(手)『(壯肥)

(3)若烈M"則實數(shù)印的最小值為(

(4)若*x)=gQ)-Hx-2有三個零點，則實數(shù)":一1

A.1個B.2個C.3人D.4個

【答案】A

【分析-】由題可得立方二不-X,后由題目條件可得烈x）大致圖象.（1）由邈目

條件可得尸司時，式負二2式x-1）二4式"力=4f[X-力；（2）注意4二1的

特殊情況；（3）由題可得xE（39時，烈=￡（9:4后

結(jié)合圖象可得答案；（4）問題轉(zhuǎn)化為用力圖象與直線/=《（＞-為有3個交點，等

價于直線V二Mx一0與虱X）在x￡（。刀時的圖象相切.

【詳解】因質(zhì)%）=+廠是奇函數(shù)，貝！*力“M-X）”二0.因

口力二Hx）-1是偶函數(shù)，則-”式-力打n/（-x）二式力-2.

貝ij4力+2?*-a=0=/（力二刀一V.

又注意到xE（Z才時，…￡（。力，則式x）二7（x-2）=2/U-“x￡（2同

時，x-】E（ZZ,x?2￡（03],則式x）二方（x-7）=4g（jr-0=4/（x-a以

此類推，可得式力大致圖象如下.

（1）xE|2＜31時，,則

式X）二2式X-1）二4式X-3二4f[X-2）二-qX-2）Q-故（i）錯誤；

（2）注意到當★二7時,6券）=8（9"（9弓H7,故（2）錯誤；

（3）當xE（?9時，由以上分析:虱X）=8f[x-3）＞次x-3（r2則g（9二Z

結(jié)合圖象可知若當用”時，M北，貝力的最小值為匕故（3）正確；

（4）用力二g（x）-#X-Z有三個零點等價于聚力圖象與直線V二曲X-2有3個

交點.由圖可得，當直線P二與爪X）在X力時的圖象相切時，滿足題

意.注意到當￥￡（〃力時，爪X）圖象上有一點9,又P二AG-2恒過定點

*2。，心一則當V二％（x-0與虱x）在X￡（。力時的圖象相切時，

k〈ku&+,故⑷錯誤.綜上，只有⑶正確.

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題涉及求函數(shù)解析式及對于類周期函數(shù)性質(zhì)的考查.本題

由函數(shù)奇偶性確定犬其解析式后，結(jié)合題目條件得到了爪力大致圖象，可以直觀

且簡明地判斷（1）（2）（3）,對于（4）所涉零點問題?？赊D(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直

線的交點問題.

【變式1-1]3.（2023?天津武清?天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）

-2^i-1\+4a-a

n*a，n加""一

設(shè)己上/,函數(shù)f■（a，2）x，，2.x2&與函數(shù)g"二ix在區(qū)間

I。+8）內(nèi)恰有3個零點，則a的取值范圍是.

【答案】⑵UC3）,

【分析】設(shè)方①⑨一夕⑨，結(jié)合題意可知函數(shù)萬夕性區(qū)間〃，+8」內(nèi)恰有3

個零點，分析3W（時不符合題意，3白。時，結(jié)合二次函數(shù)△二〃的正負及

"a）>ZJ+5的正負即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)與函數(shù)gl”二打在區(qū)間〃，+8,內(nèi)恰有3個零點，

設(shè)力幻"幻-g/:一為/》一〃-ax+4a-i<a

r7-⑵+2）x+*+5,xNa,

即函數(shù)力在區(qū)間〃，+8/內(nèi)恰有3個零點，

當時，函數(shù)方自）在區(qū)間〃，+8J內(nèi)最多有2個零點，不符合題意；

當時，函數(shù)V=/-⑵，2為+，州的對稱軸為x=a+

△=（2a+2）2?4（『+5）=8a?M,

所以，函數(shù)力修）在4,力上單調(diào)遞減，在B門，+8%單調(diào)遞增，且A（旬

二-2a+5,

當△二即3”時，函數(shù)方⑨在區(qū)間/￡,+8/上無零點,

所以函數(shù)方作)=一備/x-1/-dx，4a-J在〃，刈上有三個零點，不符合題意;

小二8a-16=Q,即時，函數(shù)方在區(qū)間f8,上只有一個零點，

則當x￡〃，切時，h(x)二?41x?l]-2x+4,

令h(6=-4h-lj-2x+4=Q,解得x=?；蚍项}意；

(△:8a?16＞Q?

當L俱二-%m,即J';時，函數(shù)W在區(qū)間人，上有1個零點,

《

力幻二一2&/x『-ax+2”QWx1

則函數(shù)-3ax+6a-N.IWx《a在瓜刈上有

2個零點,

2d-*W0

&+2a?『＞0$

貝M?3f+6d?'“，即ZWMJ,所以5儲＜J；

(△;8a-16〉0t

當卜自"-2m520,即"aWg時，函數(shù)力在區(qū)間上，8,上有2個零點,

ax+2”QWx《1

Y%h(x)--2a/xTl-ai+4a-3二

則NIL函數(shù)-3ax^6a-ar.1Wx<a在[6,a)]^只

有1個零點，

(2d-M=Q(2a-/《。2a-/《0

\&+2a?『＞0(a+2a-『＞0a+2a-*=0

貝ij(-3*+6a-/N?；?-3m+6d-『20或(-3//6a-/《0,即無解.

綜上所述，日的取值范闈是勿0e3).

故答案為：⑵UG,3).

【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點，函數(shù)與方程等知識點，屬于較難題判斷函

數(shù)y=f(x)零點個數(shù)的常用方法:

(1)直接法：令H%)二。則方程實根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個；

(2)零點存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間向臼上是連續(xù)不斷的曲線，且

Aa)＜G再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)

可確定函數(shù)的零點個數(shù)；(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問

題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，在一個區(qū)間上單

調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個零點，在確定函數(shù)零點的唯一性時往往要利用

函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點存在定理，有時可結(jié)合

函數(shù)的圖象輔助解題.

【變式1-114.（2023?福建廈門?統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)

〃、Jcos乳x,?！秞《a

力幻當3二」時，真》）的零點個數(shù)為；若扒x）

恰有4個零點，貝心的取值范圍是

【答案】1修制”（泊

【分析】第一空：當時。5及刀=1、*21時/（%）=0可得答案；第二空：

y-/一攵"8（12/至多有2個零點，故/二esn在（。團上至少有2個零點，

所以a"：分;<aW：:<jWg、?討論結(jié)合圖象可得答案.

【詳解】第一空：當戶7時，當。時，代外二COSNX=0,解得X，；

當時，f［公二f-4x+8=（x-2f+4>C,無零點，

故此時Hx）的零點個數(shù)是1；

第二空：顯然，V二.一%"8（128）至多有2個零點，故V=（。切上

4

至少有2個零點，所以a七

若y二cos^x（0<x<e）恰有2個零點,則;<aW：,此時y=f-4ai+81x2&）恰

（2a>a

'△=16^-32）。斯

有兩個零點，所以（/^）>箍+82。，解得0"忘下，

此時：“W亭；

②

若y=C0Sn〈乙)恰有3個零點，貝/＜二=\此時找⑥)〃，

所以y=/-攵/8(x2a)恰有1個零點，符合要求；

③當a”時，?旬二8一盼“，所以y=/-布"8(x2引恰有1個零點，

而y=cos*(a)至少有4個零點，

此時Hx)至少有5個零點，不符合要求，舍去.

綜上，W手或"3W：

故答案為：1；(三學(xué)I"83

【點睛】方法點睛：求零點的常用方法：①解方程；②數(shù)形結(jié)合；③零點存在定

理；④單調(diào)+存在求零點個數(shù)，復(fù)雜的函數(shù)求零點，先將復(fù)雜零點轉(zhuǎn)化為較笥單

函數(shù)零點問題.

題型2唯一零點問題

【例題2](2023秋?重慶-高三統(tǒng)考階段練習(xí))在數(shù)列匕力中，5二】,且函數(shù)

*力=N+^-.sinx-(2%+3)x+3的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點，則加的值為

().

A.1021B.1022C.1023D.1024

【答案】A

【分析】對應(yīng)函數(shù)求導(dǎo)，利用奇偶性定義判斷為偶函數(shù)，根據(jù)有唯一零點

知f。二。構(gòu)造法有義?,*3=2缶/以應(yīng)用等比數(shù)列定義寫出通項公式并求

對應(yīng)項.

【詳解】由=5，*a-cos1-(備/耀R上有唯一零點，

而

4

/x)/a^/zos(-x)-(2，+3)=?a.1cosx-(2alt+S)=f(x)t

所以，如為偶函數(shù)，則/7“二--2柒-3=0,故j+3=2(6+3),且

a]+3=4,

所以任市力是首項為4,公比為2的等比數(shù)列，則生“二八交】二萍”,

則的二蠹-3二"藥.

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，進而得到F3)二。為關(guān)鍵.

【變式2-1]1.(2023-全國-高三專題練習(xí))已知函數(shù)g'J,分別是定

義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且力⑨二鏟"，若函數(shù)

f/二。1+4sG-〃-2卜有唯一零點，則正實數(shù)人的值為()

A.7B.1C.1D.2

【答案】C

【分析】首先利用方程組法求函數(shù)gW的解析式，由解析式判斷打川的對稱性，

利用導(dǎo)數(shù)分析打山的單調(diào)性及極值點，根據(jù)函數(shù)有唯一的零點知極小值打“二4

即可求正實數(shù)人值.

/g(x)+h(x)=e”+x

【詳解】由題設(shè)，s(-i)^h(-x)=ex-T=s(x)-h(x),可得：

由fW=。尸＞，ZR,易知：關(guān)于x=7對稱.

當時,，則

所以fGJ單調(diào)遞增，故刀＜1時fGJ單調(diào)遞減，且當』趨向于正負無窮大時都

趨向于正無窮大，

所以f6rJ僅有一個極小值點1,則要使函數(shù)只有一個零點，即二。，解得

4二工

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：奇偶性求函數(shù)解析式，導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性、極值，根

據(jù)零點的個數(shù)及對稱性、單調(diào)性求參數(shù)值.

【變式2-1】2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)1

2￡h）,若函數(shù)代才有唯一零點，則a的取值范圍為（）

A.（-8,①B.（-8,6U\lti8）

C.（-8,。U[lf/叼D.（-8,7]U[lt/叼

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性變換得到&二（一3），設(shè)A二竽，利用其幾何意義根

據(jù)圖象得到范圍.

【詳解】*x）=：a/，cosx.,，易知函數(shù)為偶函數(shù)，且胃。二0,故考慮的

情況即可，

當JT）0時，玉）=即“^^二（芍），

Xin?j

設(shè)才二一二，表示函數(shù)P二Zsin?上的點到原點的斜率，根據(jù)圖象知：

艮入叱，當"C時，"3乜故故內(nèi)（93,

【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點問題，將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2sin：

上的點到原點的斜率是解題的關(guān)鍵.

【變式2-113.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)

*/=21內(nèi)-腦0"尹"，有唯一零點，則負實數(shù)五

JJ

A.一工B.C.7D..減-1

【答案】A

【詳解】函數(shù)救二％內(nèi)《心?尹"，有唯一零點，

設(shè)X-2二乙

則函數(shù)TN"?才有唯一零點，

則％歷?%/"'）一

設(shè)g⑴=2J，-+7%:'gD=2JY-：?7’+力=&⑴，.??g⑴

為偶函數(shù)，

???函數(shù)f〃J有唯一零點，

??.V=g與夕二4有唯一的交點，

，此交點的橫坐標為0,?：2-a=/，解得3二-2或3二】（舍去），

故選A.

【變式2-114.（2021春?洛陽期末）存在實數(shù)石使得函數(shù)

有唯一零點，則實數(shù)力的取值范圍是（）.

A.（~嗎4B.（-巴01C.M4D.{04

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)y=？+?]的性質(zhì)確定唯一零點，然后由二次方程判別式得結(jié)

論.

【詳解】令下二？是增函數(shù)，y二'七，曰對勾函數(shù)性質(zhì)y=%包力

上遞減，在u+3）上遞增，

所以，二7時，此時*=Q因此有唯一零點，則零點為不二。，

f⑹二-席+a-1二0,必二0時，3二1有解.，小工（時，貝ij/二1-4m》C,

且初HI.

綜上MW：

故選：A.

題型3指對塞函數(shù)零點

【例題3]（2023秋?重慶萬州?高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）

定義在R上的偶函數(shù)Hi）滿足W2-x）=f（"0,當也才時，“力二小月

若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)式力二Ax）-加-/面＞”有上個零點，則實數(shù)萬的

取值范圍是（）

A.I誓，2B.?0）

C.母營D.磬

【答案】D

【分析】等價于y=/（1）與y二加工?】名）”的圖象在x有5個交點，利

用已知可得汽力是周期為4的函數(shù)，且圖象關(guān)于x=2對稱，畫出Hx）的圖象結(jié)合

圖象可得答案.

【詳解】ifZ-（"0]=Hr）=fK"0，0二五"的，

又?幻是偶函數(shù)，所以A-x）=Rx）,則/U，4）二代幻，

所以Hx）的周期為4,由?2-外二得真丫）的圖象關(guān)于尸二2對稱，

當不￡[。2時，貝力二（㈤?可得式x）的大致圖象如下，

若在區(qū)間￥￡①內(nèi)，函數(shù)烈x）二/（力-加-I說＞0?有￡個零點，

等價于y=f（力與y二并"】"的圖象在xW也7。有5個交點，

結(jié)合圖象，當不二74時/二〃力與y=mr+1（m＞”的圖象恰好有5個交點，

當加二。時y=/lx）與y二mr?】”的圖象有3個交點，不符合題意，

可得力（",e）,此時如+1,可得"天，

則實數(shù)n的取值范圍是I

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題的關(guān)鍵點是等價于/二人了）與V二面"/面〉力的

圖象在刀￡【。有5個交點，利用已知條件畫出它們的圖象，考查了學(xué)生的思

維能力、運算能力.

【變式3-111.（2021秋?紹興期末）已知2瓦，a+b+c=。,若

3爾+四"c=。缶的兩個實根是無，孫，則反W晟刁的最小值是

（）

A.TB.C.V3D.小石

【答案】D

【解析】根據(jù)小,證匕2=.勺2公37以及韋達定理可解得結(jié)果.

【詳解】因為3/+2酎+，二°缶的兩個實根是毛，公，

所以小"二W孫孫若,

所以|21,-力'|2"廣力“]/|（2r：7）（k/）l26rdy

*隔

因為d+8+c=。，

所以NJ傘--」一仄后即|2x,T|%2xE及W"當且僅當Ia-力二|2孫-力時，

等號成立.

所以|2x,T|‘3廣川的最小值是不后

故選：D

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要

求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不

能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

【變式3-1]2.（2023-陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知

A>G,若關(guān)于x的方程二一HnC=G存在正零點，則實數(shù)1的取值

范圍為()

A.(-8,]]B.E+8)c.(?8,5]D.[3+8)

【答案】B

[分析]化簡三-"In("二ef(""-LIn('切二。，令XJT-ln(z7

轉(zhuǎn)化為f=0有解，設(shè)Mr)：/"-】，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)M7)的單調(diào)性，結(jié)

合以力二0,得到發(fā)力存在唯一零點1二1,轉(zhuǎn)化為ITrU二x-lru在(。+8：有

解，令p(x)"-lnj,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到】?IrUMpCOR,

即可求解.

【詳解】由題意得，

——jr.ln(j*ln(4乃二erinUar-[x_ln(^x)J=0

令f=x-ln(4H問題轉(zhuǎn)化為r7-f二嫡解，

設(shè)A(f)=/Tf則方'(f)二4’7,

當fe(-8,7)時，方'⑴〃,A(i)單調(diào)遞減;當，￡(2/8)時，力‘(aM從t)

單調(diào)遞增，

又由用力二Q所以灰：)存在唯一零點1二1,即7r-In4,在(0/8)有解，

即】，In▲二jr-1m,令p(x)=x-In,，則/㈤二?二二三

當xE(。力時，「'(力〃；當xE(7,*8)時，p'(x))0,

所以函數(shù)P(x)在(。力上單調(diào)遞減，在(4，8]上單調(diào)遞增，

所以】iUn4二，解得42」，

故實數(shù)』的取值范圍為",8).

故選:R.

【點睛】方法技巧：末于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)

的取值范圍；

2、利用可分離變量，陶造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中

很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變

分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問

題的區(qū)別.

【變式3-113.（2023-吉林通化-梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函

數(shù)*力二廿-alru有兩個大于1的零點，則日的取值范圍可以是（）

A.（0.1\B.UH

C.（Ee|D.De》）

【答案】D

【分析】由函數(shù)胃X）有兩個大于1的零點，得貝了）在+8）不單調(diào)，然后利用

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】因為函數(shù)犬力二L-前2有兩個大于1的零點，所以7⑴在（7J8）不

單調(diào).

由*力二d-alru得■八幻二1一爭7>0）,

當aW4時，fCr”。恒成立，所以在。/⑵上單調(diào)遞增，不符合題意；

當a乂時，顯然，⑶二在+8）上單調(diào)遞增，而，⑴二e一,

當We時，當xe（Z+8）時，/（X）?/⑴“所以fG在（Z*8）上單

調(diào)遞增，不符合題意，此時可排除ABC；

當時，因為ff㈤=1TM,

所以存在犯￡（，團，使得’（肛HW即k空弋

當不￡（/兒）時，/（x）”,f㈤單調(diào)遞減，

當?shù)丁辏ū兀?）時，，⑶乂，fG單調(diào)遞增，

所以在尸二七處取得極小值，也是最小值.

而二當，趨向正無窮時，，fGJ趨向正無窮，

所以當函數(shù)Wx）有兩個大于1的零點時，只要??。纯?，

0均-ex--alnjrj二e車一抬勺1皿二e燈（1-“nx”，

設(shè)y=力，則所以V二工鏟〃單調(diào)遞增；

^g（x）-l-xlnj,則屋GJ二-Inx-I,當“0加，二-lnx-』<0,單

調(diào)遞減;

對于D,當3￡/■）時，由2二小人知口擊，

當hMe時，】-々JrujW】-e4，所以Hz?）二九InxJ”,滿足題意；

故選：D.

【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種轉(zhuǎn)化方法：

一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注意分類討論

與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；

二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理.

【變式3-1]4.（多選）（2023?廣東廣州?華南師大附中?？既＃┤?/p>

H力二芋'三二.切有三個不相等的零點七，七,無，且/＜孫＜心則

下列命題正確的是（）

A.存在實數(shù)人使得刈二1

B.打入

C.

n竺可”的修可為申梏

D.\x.?/\JT,e八J?）為定值

【答案】BCD

【分析【化簡方程，令『='，得至+=4構(gòu)造函數(shù)g"二中,

則屋G）二二9，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象，要使關(guān)于如勺方程三

個不相等的實數(shù)解毛，毛，X二，且不《孫＜立，結(jié)合圖象可得關(guān)于Z的方程

”+二6一定有兩個實根h,結(jié)合韋達定理，

推出所求表達式的關(guān)系式，然后對選項一一判斷即可得出答案.

虱=*tlax

【詳解】由方程芋'f二°,可得丁-k=0

令?二'，貝有‘+即八一小，】二c.

令函數(shù)g=則屋（x）~c■號，

令g'（x）＞4解得0＜x〈e,令g'Cr）＜。，解得

所以在自）上單調(diào)遞增，在e+8J上單調(diào)遞減.

所以式外3二g（e）二芋二乙

作出圖象如圖所示，要使關(guān)于上的方程于有三個不相等的實數(shù)解

X1,X：,X.]9

且r，<x,<x：,結(jié)合圖象可得關(guān)于￡的方程”二《一定有兩個實根

3,匕，且1,W0,0<hB或九二L0<h<7,

令式t）=t；+（1-kh?k+1,

烈。WO

">0

若hW0,0《匕〈】,則（△二/+四-外。，故八八工

（4⑺=0

鼠0））。

若乙二I,0<0（7,則（△=/）四-3,0,尢解，

綜上*故C正確；

由圖結(jié)合單調(diào)性可知故B正確；

若艮1）=174,貝山二】，又故A不正確；

（導(dǎo)+T管用管+9=（4

91:53,，$（打??：）+引=5（-4+】）弓（才一力+口吟

，故D正確.

【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是：令g"二三