專題14 圖形初步認識（講義）

專題14圖形初步認識核心知識點精講復習目標1.了解線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系．掌握它們的表示方法．2.掌握“兩點確定一條直線”的性質(zhì)，了解“兩條直線相交只有一個交點”．3.理解線段的和與差的概念，會比較線段的大小，理解“兩點之間線段最短”的性質(zhì)．4.理解線段的中點和兩點間距離的概念．5.會用尺規(guī)作圖作一條線段等于已知線段．6.理解角的概念，理解平角、直角、周角、銳角、鈍角的概念．7.掌握度、分、秒的換算，會計算角度的和、差、倍、分．8.掌握角的平分線的概念，會畫角的平分線．9.會解決有關(guān)余角、補角的計算問題：會用“同角或等角的余角相等、同角或等角的補角相等”進行推理．10.靈活運用對頂角和垂線的性質(zhì)：11.掌握并靈活運用平行線的性質(zhì)和判定進行有關(guān)的推理和計算：12.理解和識別方向角考點梳理考點1：直線、射線與線段的概念注意：直線是可以向兩邊無限延伸的，射線受端點的限制，只能向一邊無限延伸：線段不能延伸，所以直線與射線不可測量長度，只有線段可以測量?？键c2：基本事實1.經(jīng)過兩點有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點確定一條直線2.兩點之間的線段中，線段最短，簡稱兩點間線段最短考點3：基本概念1.兩點間的距離：兩個端點之間的長度叫做兩點間的距離。2.線段的等分點：把一條線段平均分成兩份的點，叫做這個線段的中點考點4：雙中點模型C為AB上任意一點，M、N分別為AC、BC中點，則考點5：角及其平分線1.度量角的大小：可用“度”作為度量單位。把一個圓周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分：1分=60秒。2，余角：若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互余，若∠1與∠2互余，則∠1+∠2=90°.3.補角：若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互補，若∠1與∠2互補，則∠1+∠2=180°.性質(zhì)：同角(等角)的余角相等．同角（等角）的補角相等．4.角的平分線的性質(zhì)（一）作已知角的平分線（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線）1、以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N。2、分別以M,N為圓心，大于123、畫射線OC，射線OC即為所求。（二）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。幾何表示：∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E?！郟D=PE。5.角的平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。幾何表示：∵點P是∠AOB內(nèi)的一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點P在∠AOB的平分線OC上?？键c6：相交線1.對頂角：如圖1所示，∠1與∠3、∠2與∠4都是對頂角。2.鄰補角：如圖2所示，∠1與∠2互為鄰補角，由平角定義可知∠1＋∠2＝180°。圖1圖23.三線八角兩條直線被第三條線所截，可得八個角，即“三線八角”，如圖6所示。（1）同位角：可以發(fā)現(xiàn)∠1與∠5都處于直線的同一側(cè)，直線、的同一方，這樣位置的一對角就是同位角。圖中的同位角還有∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8。（2）內(nèi)錯角：可以發(fā)現(xiàn)∠3與∠5都處于直線的兩旁，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是內(nèi)錯角。圖中的內(nèi)錯角還有∠4與∠6。（3）同旁內(nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)∠4與∠5都處于直線的同一側(cè)，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是同旁內(nèi)角。圖中的同旁內(nèi)角還有∠3與∠6。4．垂線的性質(zhì)（1）在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．（2）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．簡單說成：垂線段最短．5.垂直平分線的性質(zhì)（1）定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.（2）逆定理：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.考點7：平行線1.平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。2.平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。說明：也可以說兩條射線或兩條線段平行，這實際上是指它們所在的直線平行。3.平行線的判定：（1）同位角相等，兩直線平行。（2）內(nèi)錯角相等，兩直線平行。（3）同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。4.平行線的性質(zhì)（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等。（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。說明：要證明兩條直線平行，用判定公理（或定理）在已知條件中有兩條直線平行時，則應用性質(zhì)定理考點8：命題內(nèi)容定義能判斷一件事情的語句，叫做命題。組成命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知的事項，結(jié)論是由已知事項推出來的事項表達形式通?？梢詫懗伞叭绻?.....,那么......”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論。分類題設(shè)成立，結(jié)論也成立，這樣的命題叫做真命題題設(shè)成立，結(jié)論不成立，這樣的命題叫做假命題。典例引領(lǐng)【題型1線與角概念和基本性質(zhì)】【典例1】（2023?臨沂）如圖中用量角器測得∠ABC的度數(shù)是（）A．50° B．80° C．130° D．150°即時檢測1.（2022?柳州）如圖，從學校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是（）A．① B．② C．③ D．④2．（2021?包頭）已知線段AB＝4，在直線AB上作線段BC，使得BC＝2，若D是線段AC的中點，則線段AD的長為（）A．1 B．3 C．1或3 D．2或3典例引領(lǐng)【題型2：平行線的性質(zhì)和判定】【典例2】（2023?大連）如圖，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝20°，則∠E的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．35° D．45°即時檢測1．（2023?深圳）如圖為商場某品牌椅子的側(cè)面圖，∠DEF＝120°，DE與地面平行，∠ABD＝50°，則∠ACB＝（）A．70° B．65° C．60° D．50°2．（2023?達州）如圖，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，則∠B＝（）A．52° B．50° C．45° D．25°3．（2023?陜西）如圖，直線l1∥l2，點A在l2上，AB⊥l3，垂足為B．若∠1＝138°，則∠2的度數(shù)為（）A．32° B．38° C．42° D．48°典例引領(lǐng)【題型3：度、分、秒的計算】【典例3】（2021?興安盟）74°19′30″＝°．即時檢側(cè)1．（2020?通遼）如圖，點O在直線AB上，∠AOC＝53°17′28″．則∠BOC的度數(shù)是．典例引領(lǐng)【題型4：三角板放置產(chǎn)生的角度計算】【典例4】（2023?海南）如圖，直線m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，點C在直線n上．若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是（）A．60° B．50° C．45° D．40°即時檢測1．（2023?濟南）如圖，一塊直角三角板的直角頂點放在直尺的一邊上．如果∠1＝70°，那么∠2的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．30° D．45°2．（2023?鹽城）小華將一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如圖所示的方式擺放，其中AB∥EF，則∠1的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．75° D．105°3．（2023?襄陽）將含有45°角的三角板和直尺按如圖方式疊放在一起，若∠1＝30°，則∠2度數(shù)（）A．30° B．20° C．15° D．10°典例引領(lǐng)【題型5：命題】【典例5】（2023?達州）下列命題中，是真命題的是（）A．平行四邊形是軸對稱圖形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上 D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，則△ABC是直角三角形即時檢測1．（2023?內(nèi)蒙古）下列命題正確的是（）A．“經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈”是必然事件B．3.14精確到十分位C．點（﹣2，﹣3）關(guān)于x軸的對稱點坐標是（﹣2，3）D．甲、乙兩人參加環(huán)保知識競賽，他們的平均成績相同，方差分別是S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，則甲成績比乙的穩(wěn)定2．（2023?無錫）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形：②正多邊形是中心對稱圖形：③正六邊形的外接圓半徑與邊長相等：④正n邊形共有n條對稱軸．其中真命題的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．13．（2023?岳陽）下列命題是真命題的是（）A．同位角相等 B．菱形的四條邊相等 C．正五邊形是中心對稱圖形 D．單項式5ab2的次數(shù)是4基礎(chǔ)過關(guān)一．選擇題（共13小題）1．下列四個圖形中，經(jīng)過折疊可以圍成一個棱柱的是（）A． B． C． D．2．下列圖形中，∠1和∠2互為余角的是（）A． B． C． D．3．下列敘述正確的是（）A．線段AB可表示為線段BA B．射線CD可表示為射線DC C．直線可以比較長短 D．射線可以比較長短4．如圖，將一根繩子對折以后用線段AB表示，現(xiàn)從P處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長的一段為60cm，若AP＝PB，則這條繩子的原長為（）A．100cm B．150cm C．100cm或150cm D．120cm或150cm5．如圖，在一密閉的圓柱形玻璃杯中裝一半的水，水平放置時，水面的形狀是（）A．圓 B．長方形 C．三角形 D．梯形6．如圖，OA是北偏東30°方向的一條射線，若∠AOB＝90°，則OB的方向角是（）A．北偏西30° B．北偏西60° C．東偏北30° D．東偏北60°7．如圖，AB⊥AC，AD⊥BC垂足分別為A，D，圖中互余的角共有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對8．如圖，體育課上測量跳遠成績的依據(jù)是（）A．平行線間的距離相等 B．垂線段最短 C．兩點之間，線段最短 D．兩點確定一條直線9．如圖，直線a，b相交于點O，射線c⊥a，垂足為點O，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（）A．50° B．120° C．130° D．140°10．如圖，AB∥CD，F(xiàn)E⊥DB，垂足為E，∠1＝60°，則∠2的度數(shù)是（）A．60° B．50° C．40° D．30°11．下列作圖能表示點A到BC的距離的是（）A．B． C．D．12．如圖，在下列給出的條件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A13．將一把直尺和一塊含有30°的直角三角板按如圖所示的位置擺放，若∠1＝33°，則∠2為（）A．63° B．107° C．117° D．120°二．填空題（共4小題）14．把一副三角尺按如圖所示拼在一起，其中B，C，D三點在同一直線上，CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，則∠MCN＝．15．如圖是一個正方體盒子的展開圖，把展開圖折疊成小正方體后，和“等”字一面相對的面上的字是．16．如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點重合于點O，并能繞O點自由旋轉(zhuǎn)，若∠AOC＝115°，則∠BOD＝．17．如圖，m∥n，AB⊥m，∠1＝43?，則∠2＝度．三．解答題（共3小題）18．如圖所示，已知C、D是線段AB上的兩個點，點M、N分別為AC、BD的中點．（1）若AB＝16cm，CD＝6cm，求AC+BD的長和M，N的距離：（2）如果AB＝m，CD＝n，用含m，n的式子表示MN的長．19．已知：如圖，AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．（1）求證：AB∥CD：（2）求∠C的度數(shù)．20．如圖，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2．（1）求證：EF∥AD：（2）求證：∠BAC+∠AGD＝180°．能力提升一．選擇題（共10小題）1．將一個長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD、BE為折痕，若∠ABE＝20°，則∠CBD等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°2．如圖，方格紙上每個小正方形的邊長都相同，若使陰影部分能折疊成一個正方體，則需剪掉一個小正方形，剪掉的小正方形不可以是（）A．④ B．③ C．② D．①3．如圖①所示的是一個正方體的表面展開圖，將對應的正方體從如圖②所示的位置依次翻過第1格、第2格，到第3格時正方體朝上的一面上的字是（）A．世 B．真 C．精 D．彩4．七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，李約瑟稱它是“東方最古老的消遣品之一”，圖1是邊長為4的大正方形，圖2是王林同學將其分割制作的七巧板擺拼而成的“奔跑者”圖，則圖2中陰影部分的面積為（）A．4 B．4+ C．6 D．4+5．將如圖所示的圓錐的側(cè)面展開，則點A和點B在展開圖中的相對位置正確的是（）A． B．C． D．6．如圖，把一個高6分米的圓柱的底面分成許多相等的扇形，然后把圓柱切開，拼成一個與它等底等高的近似長方體，它的表面積比圓柱體的表面積增加了36平方分米．原來這個圓柱的體積是（）立方分米．A．105π B．54π C．36π D．18π7．將一把直尺與一塊含有30°角的直角三角板按如圖方式放置，若∠1＝25°，則∠3的度數(shù)為（）A．120° B．125° C．130° D．135°8．如圖，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（）A．60° B．70° C．80° D．90°9．如圖，已知AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD．若∠ABO＝α°，給出下列結(jié)論：①：②OF平分∠BOD：③∠POE＝∠BOF：④∠POB＝2∠DOF．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．如圖，將木條a、b和c用螺絲釘在一起，且∠1＝70°，∠2＝50°，若木條b、c位置不動，將木條a繞固定點順時針旋轉(zhuǎn)，使得a∥b，則旋轉(zhuǎn)的角度可以是（）A．10° B．20° C．30° D．50°二．填空題（共1小題）11．如圖，將邊長為2cm的正方形紙片沿AE，AF，EF折疊，折成一個三棱錐A﹣CEF，則折痕EF的長度為cm．三．解答題（共1小題）12．如圖，已知AB∥CD，連接BC．點E，F(xiàn)是直線AB上不重合的兩點，G是CD上一點，連接ED交BC于點N，連接FG交BC于點M．若∠ENC+∠CMG＝180°．（1）求證：∠2＝∠3：（2）若∠A＝∠1+60°，∠ACB＝50°，求∠B的度數(shù)．真題感知1．（2023?綿陽）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，∠1＝122°，∠2的度數(shù)為（）A．32° B．58° C．68° D．78°2．（2023?湖北）如圖，Rt△ABC的直角頂點A在直線a上，斜邊BC在直線b上，若a∥b，∠1＝55°，則∠2＝（）A．55° B．45° C．35° D．25°3．（2023?山西）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點P，點F為焦點．若∠1＝155°，∠2＝30°，則∠3的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°4．（2023?重慶）如圖，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，則∠2的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．50° D．55°5.（2023?內(nèi)蒙古）將一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點C在FD的延長線上，且AB∥FC，則∠CBD的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．25°6．（2023?廣西）如圖，一條公路兩次轉(zhuǎn)彎后又回到與原來相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度數(shù)是（）A．160° B．150° C．140° D．130°7．（2023?棗莊）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1＝44°，則∠2的度數(shù)為（）A．14° B．16° C．24° D．26°8．（2023?江西）如圖，平面鏡MN放置在水平地面CD上，墻面PD⊥CD于點D，一束光線AO照射到鏡面MN上，反射光線為OB，點B在PD上，若∠AOC＝35°，則∠OBD的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．65°9．（2022?上海）下列說法正確的是（）A．命題一定有逆命題 B．所有的定理一定有逆定理C．真命題的逆命題一定是真命題 D．假命題的逆命題一定是假命題10．（2023?宜昌）如圖，小穎按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次畫出了直線a，b，c．如果∠1＝70°，則∠2的度數(shù)為（）A．110° B．70° C．40° D．30°11.（2023?金昌）如圖1，漢代初期的《淮南萬畢術(shù)》是中國古代有關(guān)物理、化學的重要文獻，書中記載了我國古代學者在科學領(lǐng)域做過的一些探索及成就．其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上：反射光線和入射光線位于法線的兩側(cè)：反射角等于入射角”．為了探清一口深井的底部情況，運用此原理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當太陽光線AB與地面CD所成夾角∠ABC＝50°時，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡EF與地面的夾角∠EBC＝（）A．60° B．70° C．80° D．85°12．（2023?德陽）如圖，直線AB∥CD，直線l分別交AB，CD于點M，N，∠BMN的平分線MF交CD于點F，∠MNF＝40°，則∠DFM＝（）A．70° B．110° C．120° D．140°13.（2022?桂林）如圖，點C是線段AB的中點，若AC＝2cm，則AB＝cm．14．（2023?通遼）將一副三角尺如圖所示放置，其中AB∥DE，則∠CDF＝度．

專題14圖形初步認識核心知識點精講典例引領(lǐng)【題型1線與角概念和基本性質(zhì)】【典例1】（2023?臨沂）如圖中用量角器測得∠ABC的度數(shù)是（）A．50° B．80° C．130° D．150°【答案】C【解答】解：根據(jù)∠ABC起始位置BA，另一條邊BC可得：∠ABC＝130°．故選：C．即時檢測1.（2022?柳州）如圖，從學校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【解答】解：根據(jù)題意可得，從學校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是②．故選：B．2．（2021?包頭）已知線段AB＝4，在直線AB上作線段BC，使得BC＝2，若D是線段AC的中點，則線段AD的長為（）A．1 B．3 C．1或3 D．2或3【答案】C【解答】解：根據(jù)題意分兩種情況，①如圖1，∵AB＝4，BC＝2，∴AC＝AB﹣BC＝2，∵D是線段AC的中點，∴AD＝＝：②如圖2，∵AB＝4，BC＝2，∴AC＝AB+BC＝6，∵D是線段AC的中點，∴AD＝＝×6＝3．∴線段AD的長為1或3．故選：C．典例引領(lǐng)【題型2：平行線的性質(zhì)和判定】【典例2】（2023?大連）如圖，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝20°，則∠E的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．35° D．45°【答案】B【解答】解：如圖，∵AB∥CD，∴∠A＝∠DFE，∵∠A＝45°，∴∠DFE＝45°，∵∠DFE是△CEF的一個外角，∴∠DFE＝∠C+∠E，∵∠C＝20°，∴45°＝20°+∠E，∴∠E＝25°，故選：B．即時檢測1．（2023?深圳）如圖為商場某品牌椅子的側(cè)面圖，∠DEF＝120°，DE與地面平行，∠ABD＝50°，則∠ACB＝（）A．70° B．65° C．60° D．50°【答案】A【解答】解：∵DE∥AB，∠ABD＝50°，∴∠D＝∠ABD＝50°，∵∠DEF＝120°，且∠DEF是△DCE的外角，∴∠DCE＝∠DEF﹣∠D＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°．故選：A．2．（2023?達州）如圖，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，則∠B＝（）A．52° B．50° C．45° D．25°【答案】B【解答】解：∵AE∥CD，∠2＝35°，∴∠1＝∠2＝35°，∵AC平分∠BCD，∴∠BCD＝2∠1＝70°，∵∠D＝60°，∴∠B＝180°﹣∠D﹣∠BCD＝180°﹣60°﹣70°＝50°，故選：B．3．（2023?陜西）如圖，直線l1∥l2，點A在l2上，AB⊥l3，垂足為B．若∠1＝138°，則∠2的度數(shù)為（）A．32° B．38° C．42° D．48°【答案】D【解答】解：∵直線l1∥l2，∴∠3＝∠1＝138°，∵AB⊥l3，∴∠ABC＝90°，∵∠3＝∠2+∠ABC，∴∠2＝48°．故選：D．典例引領(lǐng)【題型3：度、分、秒的計算】【典例3】（2021?興安盟）74°19′30″＝74.325°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：30×（）′＝0.5′，19′+0.5′＝19.5′，19.5×（）°＝0.325°，74°+0.325°＝74.325°，故答案為：74.325．即時檢測1．（2020?通遼）如圖，點O在直線AB上，∠AOC＝53°17′28″．則∠BOC的度數(shù)是126°42′32″．【答案】126°42′32″．【解答】解：∵點O在直線AB上，且∠AOC＝53°17′28″，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣53°17′28″＝126°42′32″，故答案為：126°42′32″．典例引領(lǐng)【題型4：三角板放置產(chǎn)生的角度計算】【典例4】（2023?海南）如圖，直線m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，點C在直線n上．若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是（）A．60° B．50° C．45° D．40°【答案】D【解答】解：延長AB交直線n于點D，∵m∥n，∠1＝50°，∴∠1＝∠BDC＝50°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠BDC＝90°﹣50°＝40°，故選：D．即時檢測1．（2023?濟南）如圖，一塊直角三角板的直角頂點放在直尺的一邊上．如果∠1＝70°，那么∠2的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．30° D．45°【答案】A【解答】解：如圖，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝70°，∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，故選：A．2．（2023?鹽城）小華將一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如圖所示的方式擺放，其中AB∥EF，則∠1的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．75° D．105°【答案】C【解答】解：設(shè)AB與DF交于點O，由題意得，∠F＝45°，∠A＝60°，∵AB∥EF，∴∠AOF＝∠F＝45°，∴∠1＝180°﹣∠A﹣∠AOF＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故選：C．3．（2023?襄陽）將含有45°角的三角板和直尺按如圖方式疊放在一起，若∠1＝30°，則∠2度數(shù)（）A．30° B．20° C．15° D．10°【答案】C【解答】解：如圖所示：依題意得：AB∥CD，∠EFH＝45°，∴∠1＝∠EFG，又∵∠1＝30°，∴∠EFG＝∠1＝30°，∴∠2＝∠EFH﹣∠EFG＝45°﹣30°＝15°．故選：C．典例引領(lǐng)【題型5：命題】【典例5】（2023?達州）下列命題中，是真命題的是（）A．平行四邊形是軸對稱圖形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上 D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，則△ABC是直角三角形【答案】C【解答】解：A、平行四邊形不一定是軸對稱圖形，故本選項說法是假命題，不符合題意：B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故本選項說法是假命題，不符合題意：C、到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，是真命題，符合題意：D、在△ABC中，當∠A：∠B：∠C＝3：4：5時，△ABC不是直角三角形，故本選項說法是假命題，不符合題意：故選：C．即時檢測1．（2023?內(nèi)蒙古）下列命題正確的是（）A．“經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈”是必然事件 B．3.14精確到十分位 C．點（﹣2，﹣3）關(guān)于x軸的對稱點坐標是（﹣2，3） D．甲、乙兩人參加環(huán)保知識競賽，他們的平均成績相同，方差分別是S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，則甲成績比乙的穩(wěn)定【答案】C【解答】解：A、“經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈”是隨機事件，故本選項命題錯誤，不符合題意：B、3.14精確到百分位，故本選項命題錯誤，不符合題意：C、點（﹣2，﹣3）關(guān)于x軸的對稱點坐標是（﹣2，3），命題正確，符合題意：D、甲、乙兩人參加環(huán)保知識競賽，他們的平均成績相同，方差分別是S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，則乙成績比甲的穩(wěn)定，故本選項命題錯誤，不符合題意：故選：C．2．（2023?無錫）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形：②正多邊形是中心對稱圖形：③正六邊形的外接圓半徑與邊長相等：④正n邊形共有n條對稱軸．其中真命題的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解答】解：（1）各邊相等各角相等的多邊形是正多邊形，只有各邊相等的多邊形不一定是正多邊形，如菱形，故①是假命題：（2）正三角形和正五邊形就不是中心對稱圖形，故②為假命題：（3）正六邊形中由外接圓半徑與邊長可構(gòu)成等邊三角形，所以外接圓半徑與邊長相等，故③為真命題：（4）根據(jù)軸對稱圖形的定義和正多邊形的特點，可知正n邊形共有n條對稱軸，故④為真命題．故選：C．3．（2023?岳陽）下列命題是真命題的是（）A．同位角相等 B．菱形的四條邊相等 C．正五邊形是中心對稱圖形 D．單項式5ab2的次數(shù)是4【答案】B【解答】解：A、兩直線平行，同位角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意：B、菱形的四條邊相等，正確，是真命題，符合題意：C、正五邊形不是中心對稱圖形，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意：D、單項式5ab2的次數(shù)是3，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意．故選：B．基礎(chǔ)過關(guān)一．選擇題（共13小題）1．下列四個圖形中，經(jīng)過折疊可以圍成一個棱柱的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：棱柱的兩個底面展開后在側(cè)面展開圖相對的兩邊上，所以A、D選項錯誤：當?shù)酌鏋槿切螘r，則棱柱有三個側(cè)面，所以B選項錯誤，C選項正確．故選：C．2．下列圖形中，∠1和∠2互為余角的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：根據(jù)余角的定義，兩角之和為90°，這兩個角互余．D中∠1和∠2之和為90°，互為余角．故選：D．3．下列敘述正確的是（）A．線段AB可表示為線段BA B．射線CD可表示為射線DC C．直線可以比較長短 D．射線可以比較長短【答案】A【解答】解：A．線段AB可表示為線段BA，故說法正確，符合題意：B．射線CD不可表示為射線DC，故說法錯誤，不合題意：C．直線不可以比較長短，故說法錯誤，不合題意：D．射線不可以比較長短，故說法錯誤，不合題意：故選：A．4．如圖，將一根繩子對折以后用線段AB表示，現(xiàn)從P處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長的一段為60cm，若AP＝PB，則這條繩子的原長為（）A．100cm B．150cm C．100cm或150cm D．120cm或150cm【答案】C【解答】解：當PB的2倍最長時，得PB＝30cm，AP＝PB＝20cm，AB＝AP+PB＝50cm，這條繩子的原長為2AB＝100cm：當AP的2倍最長時，得AP＝30cm，AP＝PB，PB＝AP＝45cm，AB＝AP+PB＝75cm，這條繩子的原長為2AB＝150cm．故選：C．5．如圖，在一密閉的圓柱形玻璃杯中裝一半的水，水平放置時，水面的形狀是（）A．圓 B．長方形 C．三角形 D．梯形【答案】B【解答】解：由水平面與圓柱的底面垂直，得水面的形狀是長方形．故選：B．6．如圖，OA是北偏東30°方向的一條射線，若∠AOB＝90°，則OB的方向角是（）A．北偏西30° B．北偏西60° C．東偏北30° D．東偏北60°【答案】B【解答】解：如圖所示：∵OA是北偏東30°方向的一條射線，∠AOB＝90°，∴∠1＝90°﹣30°＝60°，∴OB的方向角是北偏西60°．故選：B．7．如圖，AB⊥AC，AD⊥BC垂足分別為A，D，圖中互余的角共有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∵AD⊥BC于D，∴∠B+∠C＝90°，∠B+∠BAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，則互余的角共有4個．故選：C．8．如圖，體育課上測量跳遠成績的依據(jù)是（）A．平行線間的距離相等 B．垂線段最短 C．兩點之間，線段最短 D．兩點確定一條直線【答案】B【解答】解：體育課上，老師測量跳遠成績的依據(jù)是垂線段最短．故選：B．9．如圖，直線a，b相交于點O，射線c⊥a，垂足為點O，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（）A．50° B．120° C．130° D．140°【答案】C【解答】解：∵c⊥a，∴∠AOB＝90°，∵∠1＝40°，∴∠AOC＝90°+40°＝130°，∵∠2＝∠AOC，∴∠2＝130°．故選：C．10．如圖，AB∥CD，F(xiàn)E⊥DB，垂足為E，∠1＝60°，則∠2的度數(shù)是（）A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】D【解答】解：在△DEF中，∠1＝60°，∠DEF＝90°，∴∠D＝180°﹣∠DEF﹣∠1＝30°．∵AB∥CD，∴∠2＝∠D＝30°．故選：D．11．下列作圖能表示點A到BC的距離的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、BD表示點B到AC的距離，故此選項錯誤：B、AD表示點A到BC的距離，故此選項正確：C、AD表示點D到AB的距離，故此選項錯誤：D、CD表示點C到AB的距離，故此選項錯誤：故選：B．12．如圖，在下列給出的條件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A【答案】D【解答】解：A、因為∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，兩直線平行），故本選項不符合題意．B、因為∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），故本選項不符合題意．C、因為∠1＝∠4，所以AB∥DF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故本選項不符合題意．D、因為∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，兩直線平行），不能證出AB∥DF，故本選項符合題意．故選：D．13．將一把直尺和一塊含有30°的直角三角板按如圖所示的位置擺放，若∠1＝33°，則∠2為（）A．63° B．107° C．117° D．120°【答案】C【解答】解：∵EF∥GH，∴∠1＝∠DAB，∵∠1＝33°，∴∠DAB＝33°，∵∠C＝30°，∴∠ADC＝180°﹣（∠C+∠DAB）＝117°，∴∠2＝∠ADC＝117°，故選C．二．填空題（共4小題）14．把一副三角尺按如圖所示拼在一起，其中B，C，D三點在同一直線上，CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，則∠MCN＝127.5°．【答案】127.5°．【解答】解：∵CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，∠ACB＝45°，∠DCE＝60°，∴∠MCB＝＝22.5°，∠DCN＝DCE＝30°，∴∠MCN＝180°﹣∠MCB﹣∠DCN＝180°﹣22.5°﹣30°＝127.5°．故答案為：127.5°15．如圖是一個正方體盒子的展開圖，把展開圖折疊成小正方體后，和“等”字一面相對的面上的字是我．【答案】我．【解答】解：根據(jù)正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可得，和“等”字一面相對的面上的字是“我”，故答案為：我．16．如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點重合于點O，并能繞O點自由旋轉(zhuǎn)，若∠AOC＝115°，則∠BOD＝65°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵∠AOC＝115°，∴∠BOD＝∠COD+∠AOB﹣∠AOC＝90°+90°﹣115°＝65°．故答案為：65°．17．如圖，m∥n，AB⊥m，∠1＝43?，則∠2＝133度．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：過B作直線BD∥n，則BD∥m∥n，∵AB⊥m，∠1＝43?，∴∠ABD＝90°，∠DBC＝∠1＝43°∴∠2＝∠ADB+∠1＝90°+43°＝133°．故填133．三．解答題（共3小題）18．如圖所示，已知C、D是線段AB上的兩個點，點M、N分別為AC、BD的中點．（1）若AB＝16cm，CD＝6cm，求AC+BD的長和M，N的距離：（2）如果AB＝m，CD＝n，用含m，n的式子表示MN的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵AB＝16cm，CD＝6cm，∴AC+BD＝AB﹣CD＝10cm，∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝AB﹣（AC+BD）＝16﹣5＝11（cm）：（2）∵AB＝m，CD＝n，∴AC+BD＝AB﹣CD＝m﹣n，∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝AB﹣（AC+BD）＝m﹣（m﹣n）＝．19．已知：如圖，AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．（1）求證：AB∥CD：（2）求∠C的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∴AE∥GF，∴∠2＝∠A，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A，∴AB∥CD：（2）解：∵AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°，∴∠3＝25°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠3＝25°．20．如圖，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2．（1）求證：EF∥AD：（2）求證：∠BAC+∠AGD＝180°．【答案】（1）證明見解答過程：（2）證明見解答過程．【解答】證明：（1）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（垂直的定義），∴∠EFB＝∠ADB（等量代換），∴EF∥AD（同位角相等，兩直線平行）：（2）∵EF∥AD，∴∠1＝∠BAD（兩直線平行，同位角相等），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠BAD（等量代換），∴DG∥BA（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴∠BAC+∠AGD＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．能力提升一．選擇題（共10小題）1．將一個長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD、BE為折痕，若∠ABE＝20°，則∠CBD等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】C【解答】解：由題意可知：∠ABE＝∠EBA'，∠A'BD＝∠DBC，∵∠ABE＝20°，∴∠CBD＝∠A'BC＝（180°﹣∠ABA'）＝×（180°﹣2∠ABE）＝×（180°﹣2×20°）＝70°，故選：C．2．如圖，方格紙上每個小正方形的邊長都相同，若使陰影部分能折疊成一個正方體，則需剪掉一個小正方形，剪掉的小正方形不可以是（）A．④ B．③ C．② D．①【答案】A【解答】解：由題意知，剪掉小正方形①或②或③陰影部分能折疊成一個正方體，剪掉小正方形④陰影部分不能折疊成一個正方體，故選：A．3．如圖①所示的是一個正方體的表面展開圖，將對應的正方體從如圖②所示的位置依次翻過第1格、第2格，到第3格時正方體朝上的一面上的字是（）A．世 B．真 C．精 D．彩【答案】B【解答】解：由正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，“世”與“彩”相對，“界”與“真”相對，“杯”與“精”相對，翻過第1格時，“世”在下面，“界”在右面，“杯”在前面，翻過第2格時，“世”在后面，“界”在右面，“杯”在下面，翻過第3格時，“界”在下面，因此“真”在上面，故選：B．4．七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，李約瑟稱它是“東方最古老的消遣品之一”，圖1是邊長為4的大正方形，圖2是王林同學將其分割制作的七巧板擺拼而成的“奔跑者”圖，則圖2中陰影部分的面積為（）A．4 B．4+ C．6 D．4+【答案】C【解答】解：將圖1都分割成最小的三角形，發(fā)現(xiàn)一共可以分成16個．又圖2中的陰影部分可以分割成6個這樣的小三角形，所以陰影部分的面積占正方形面積的＝．又正方形的邊長為4，則面積為16．所以陰影部分的面積為：．故選：C．5．將如圖所示的圓錐的側(cè)面展開，則點A和點B在展開圖中的相對位置正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【解答】解：點B在圓錐的母線上，將圓錐側(cè)面展開后，點B應在扇形的半徑上，且A，B間距離為扇面的一半，故選：C．6．如圖，把一個高6分米的圓柱的底面分成許多相等的扇形，然后把圓柱切開，拼成一個與它等底等高的近似長方體，它的表面積比圓柱體的表面積增加了36平方分米．原來這個圓柱的體積是（）立方分米．A．105π B．54π C．36π D．18π【答案】B【解答】解：∵近似長方體的表面積比圓柱體的表面積增加了36平方分米，∴圓柱體的半徑為：36÷2÷6＝3（分米），∴圓柱的體積為：π×32×6＝54π（立方分米），故選：B．7．將一把直尺與一塊含有30°角的直角三角板按如圖方式放置，若∠1＝25°，則∠3的度數(shù)為（）A．120° B．125° C．130° D．135°【答案】B【解答】解：如圖，由題意可知a∥b，∴∠2＝∠4．∵∠2＝∠1+30°＝25°+30°＝55°，∴∠4＝55°．又∵∠3+∠4＝180°∴∠3＝180°﹣∠4＝125°．故選：B．8．如圖，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（）A．60° B．70° C．80° D．90°【答案】B【解答】解：過點C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF：∴∠B＝∠BCF，∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠D+∠B＝180°﹣130°+20°＝70°．故選：B．9．如圖，已知AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD．若∠ABO＝α°，給出下列結(jié)論：①：②OF平分∠BOD：③∠POE＝∠BOF：④∠POB＝2∠DOF．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解答】解：∵AB//CD，∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣α，∴∠ABO＝∠BOD＝α，∵OE平分∠BOC，∴，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∴，∴，即OF平分∠BOD，∵OP⊥CD，∴∠POC＝90°，∴，∴∠POE＝∠BOF∠POB＝90°﹣∠BOD＝90°﹣α，，所以④錯誤：故答案為：C．10．如圖，將木條a、b和c用螺絲釘在一起，且∠1＝70°，∠2＝50°，若木條b、c位置不動，將木條a繞固定點順時針旋轉(zhuǎn)，使得a∥b，則旋轉(zhuǎn)的角度可以是（）A．10° B．20° C．30° D．50°【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，當木條a繞固定點順時針旋轉(zhuǎn)，使得a∥b時，∠1′＝∠2，∵未旋轉(zhuǎn)前，∠1＝70°，∠2＝50°，∴旋轉(zhuǎn)后，∠1′＝∠2＝50°，即木條a繞固定點順時針旋轉(zhuǎn)，使得a∥b，則旋轉(zhuǎn)的角度可以是∠1﹣∠1′＝70°﹣50°＝20°，故選：B．二．填空題（共1小題）11．如圖，將邊長為2cm的正方形紙片沿AE，AF，EF折疊，折成一個三棱錐A﹣CEF，則折痕EF的長度為cm．【答案】．【解答】解：根據(jù)折疊知CF＝DF＝1cm，BE＝CE＝1cm，在Rt△EFC中，EF2＝CF2+CE2，即EF2＝12+12＝2，∴EF＝（舍去負值），故答案為：．三．解答題（共1小題）12．如圖，已知AB∥CD，連接BC．點E，F(xiàn)是直線AB上不重合的兩點，G是CD上一點，連接ED交BC于點N，連接FG交BC于點M．若∠ENC+∠CMG＝180°．（1）求證：∠2＝∠3：（2）若∠A＝∠1+60°，∠ACB＝50°，求∠B的度數(shù)．【答案】（1）證明過程見解答：（2）35°．【解答】（1）證明：∵∠CMG＝∠FMN，又∵∠ENC+∠CMG＝180°，∴∠ENC+∠FMN＝180°，∵ED∥FG，∴∠2＝∠D（兩直線平行，同位角相等），又∵AB∥CD（已知），∴∠3＝∠D（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴∠2＝∠3（等量代換）：（2）解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠B，在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，又∵∠A＝∠1+60°且∠ACB＝50°，∴∠1+60°+∠1+50°＝180°，∴∠1＝35°，∴∠B＝∠1＝35°．真題感知1．（2023?綿陽）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，∠1＝122°，∠2的度數(shù)為（）A．32° B．58° C．68° D．78°【答案】B【解答】解：∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．∵水中的兩條光線平行，∴∠2＝∠3＝58°．故選：B．2．（2023?湖北）如圖，Rt△ABC的直角頂點A在直線a上，斜邊BC在直線b上，若a∥b，∠1＝55°，則∠2＝（）A．55° B．45° C．35° D．25°【答案】C【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°，∴∠ABC＝∠1＝55°，∵∠BAC＝90°，∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝35°．故選：C．3．（2023?山西）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點P，點F為焦點．若∠1＝155°，∠2＝30°，則∠3的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】C【解答】解：∵AB∥OF，∴∠1+∠OFB＝180°，∵∠1＝155°，∴∠OFB＝25°，∵∠POF＝∠2＝30°，∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．故選：C．4．（2023?重慶）如圖，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，則∠2的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．50° D．55°【答案】A【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠1＝180°，∵∠1＝55°，∴∠BAC＝125°，∵AD⊥AC，∴∠CAD＝90°，∴∠2＝∠BAC﹣∠CAD＝35°，故選：A．5.（2023?內(nèi)蒙古）將一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點C在FD的延長線上