專項17-勾股定理-專題訓練

勾股定理-專題訓練一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（長春期末）已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和2，則斜邊的長為（）A．3 B．5 C．3 D．52．（南關區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D在邊BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于點E．若AC＝12，BC＝16，則AE的長為（）A．6 B．8 C．10 D．123．（盧龍縣期末）以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，其中兩個正方形的面積如圖所示，則正方形A的面積為（）A．6 B．36 C．64 D．84．（惠來縣期末）如圖，由兩個直角三角形和三個大正方形組成的圖形，其中陰影部分面積是（）A．16 B．25 C．144 D．1695．（青田縣期末）直角三角形的兩條邊長為5和12，它的斜邊長為（）A．13 B．119 C．13或119 D．13或126．（羅湖區(qū)期末）直角三角形兩直角邊長為a，b，斜邊上高為h，則下列各式總能成立的是（）A．a(chǎn)b＝h2 B．a(chǎn)2+b2＝2h2 C．1a+17．（丹東期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．分別以AC，BC為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，則S1+S2的值等于（）A．2π B．3π C．4π D．8π8．（山西月考）如圖所示的是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，則EF2的值是（）A．169 B．196 C．392 D．5889．（蘭考縣期末）一個直角三角形兩條直角邊的長分別為5，12，則其斜邊上的高為（）A．6013 B．13 C．6 10．（山西月考）如圖所示的是一種“羊頭”形圖案，全部由正方形與等腰直角三角形構(gòu)成，其作法是從正方形①開始，以它的一條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和②，再分別以正方形②和②的一條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，…，若正方形⑤的面積為2cm2，則正方形①的面積為（）A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64ccm2二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（上海期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD＝．12．（松江區(qū)期末）直角坐標平面內(nèi)，已知點A（﹣1，2），點B（2，6），那么AB＝．13．（長春期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，則邊AC的長為．14．（南關區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D．若BC＝28，則BD的長為．15．（法庫縣期末）如圖是“趙爽弦圖”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝．16．（南關區(qū)期末）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面積依次為4、6、18，則正方形B的面積為．17．（雁江區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．以AB為邊在點C同側(cè)作正方形ABDE，則圖中陰影部分的面積為．18．（浦東新區(qū)期末）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足為E，則DE＝cm．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（南關區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝13，BC＝5，CD＝15，AD＝9，對角線AC⊥BC．（1）求AC的長；（2）求四邊形ABCD的面積．20．（九龍縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，若CD＝1.5，BD＝2.5．（1）∠2＝∠B，求AC的長．（2）∠1＝∠2，求AC的長．21．（禪城區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度向點C運動，連接PB，設運動時間為t秒（t＞0）．（1）BC＝cm．（2）當PA＝PB時，求t的值．22．（門頭溝區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝42，∠ABC＝45°，D是BC邊上一點，且AD＝AC，若BD﹣DC＝1．求DC的長．23．（法庫縣期末）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于點D．（1）若∠A＝36°，求∠DCB的度數(shù)；（2）若AB＝10，CD＝6，求BC的長．24．（山西月考）如圖，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，BD⊥AC．（1）求出AC的長和BD的長．（2）點P從點C出發(fā)，以每秒1cm的速度沿C→A→B運動，運動到點B時停止，設運動時間為t秒，當t為何值時，△PBC的面積為36cm2？

勾股定理-專題訓練一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（長春期末）已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和2，則斜邊的長為（）A．3 B．5 C．3 D．5【分析】直接利用勾股定理計算得出答案．【解析】∵直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和2，∴斜邊的長為：12故選：B．2．（南關區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D在邊BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于點E．若AC＝12，BC＝16，則AE的長為（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】首先根據(jù)勾股定理求得斜邊AB的長度，然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)來求AE的長度．【解析】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，由勾股定理知：AB=A∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于點E．∴AE＝BE=12故選：C．3．（盧龍縣期末）以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，其中兩個正方形的面積如圖所示，則正方形A的面積為（）A．6 B．36 C．64 D．8【分析】根據(jù)正方形可以計算斜邊和一條直角邊，則另一條直角邊根據(jù)勾股定理就可以計算出來．【解析】如圖，∵∠CBD＝90°，CD2＝14，BC2＝8，∴BD2＝CD2﹣BC2＝6，∴正方形A的面積為6，故選：A．4．（惠來縣期末）如圖，由兩個直角三角形和三個大正方形組成的圖形，其中陰影部分面積是（）A．16 B．25 C．144 D．169【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．【解析】根據(jù)勾股定理得出：AB=A∴EF＝AB＝5，∴陰影部分面積是25，故選：B．5．（青田縣期末）直角三角形的兩條邊長為5和12，它的斜邊長為（）A．13 B．119 C．13或119 D．13或12【分析】只給出了兩條邊而沒有指明是直角邊還是斜邊，所以應該分兩種情況進行分析．一種是兩邊均為直角邊；另一種是較長的邊是斜邊，根據(jù)勾股定理可得出結(jié)論．【解析】當12是直角邊時，斜邊長=5故它的斜邊長為13或12．故選：D．6．（羅湖區(qū)期末）直角三角形兩直角邊長為a，b，斜邊上高為h，則下列各式總能成立的是（）A．a(chǎn)b＝h2 B．a(chǎn)2+b2＝2h2 C．1a+1【分析】根據(jù)直角三角形的面積的計算方法，以及勾股定理就可解得．【解析】根據(jù)直角三角形的面積可以導出：斜邊c=ab再結(jié)合勾股定理：a2+b2＝c2．進行等量代換，得a2+b2=a兩邊同除以a2b2，得1a故選：D．7．（丹東期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．分別以AC，BC為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，則S1+S2的值等于（）A．2π B．3π C．4π D．8π【分析】根據(jù)半圓面積公式結(jié)合勾股定理，知S1+S2等于以斜邊為直徑的半圓面積．【解析】∵S1=12π（AC2）2=18πAC2，S2∴S1+S2=18π（AC2+BC2）=18πAB故選：A．8．（山西月考）如圖所示的是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，則EF2的值是（）A．169 B．196 C．392 D．588【分析】24和10為兩條直角邊長時，求出小正方形的邊長14，即可利用勾股定理得出EF2的長．【解析】∵AE＝10，BE＝24，即24和10為兩條直角邊長時，∴小正方形的邊長＝24﹣10＝14，∴EF2＝142+142＝392，故選：C．9．（蘭考縣期末）一個直角三角形兩條直角邊的長分別為5，12，則其斜邊上的高為（）A．6013 B．13 C．6 【分析】利用勾股定理求出斜邊長，再利用面積法求出斜邊上的高即可．【解析】∵直角三角形的兩條直角邊的長分別為5，12，∴斜邊為52∵S△ABC=12×5×12=12∴h=60故選：A．10．（山西月考）如圖所示的是一種“羊頭”形圖案，全部由正方形與等腰直角三角形構(gòu)成，其作法是從正方形①開始，以它的一條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和②，再分別以正方形②和②的一條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，…，若正方形⑤的面積為2cm2，則正方形①的面積為（）A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64ccm2【分析】根據(jù)題意可知第一個正方形的面積是S，則第二個正方形的面積是12S，…，進而可找出規(guī)律得出第【解析】第一個正方形的面積是S；第二個正方形的面積是12第三個正方形的面積是14…第n個正方形的面積是12∵正方形⑤的面積是2，∴正方形①的面積32．故選：C．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（上海期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD＝9．【分析】根據(jù)勾股定理求出CD，再根據(jù)勾股定理用BD表示出BC，根據(jù)題意列出方程，解方程得到答案．【解析】在Rt△ACD中，CD=AC2在Rt△BCD中，BC=C在Rt△ABC中，BC=A∴27+BD解得，BD＝9，故答案為：9．12．（松江區(qū)期末）直角坐標平面內(nèi)，已知點A（﹣1，2），點B（2，6），那么AB＝5．【分析】根據(jù)兩點間的距離公式得到AB即可．【解析】根據(jù)題意得AB=(?1?2故答案為：5．13．（長春期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，則邊AC的長為7．【分析】根據(jù)勾股定理求出AC．【解析】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，由勾股定理得，AC=A故答案為：7．14．（南關區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D．若BC＝28，則BD的長為14．【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)推知點D是線段BD的中點．【解析】在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC于點D，∴AD是邊BC上的中線，∴點D是線段BD的中點．又∵BC＝28，∴BD=12故答案是：14．15．（法庫縣期末）如圖是“趙爽弦圖”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝4．【分析】在直角三角形AHB中，利用勾股定理進行解答即可．【解析】∵△ABH≌△BCG，∴BG＝AH＝12，∵四邊形EFGH都是正方形，在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：BH=A∴FG＝GH＝BH﹣BG＝16﹣12＝4，故答案為：4．16．（南關區(qū)期末）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面積依次為4、6、18，則正方形B的面積為8．【分析】根據(jù)勾股定理的幾何意義：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．【解析】由題意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C∵正方形A、C、D的面積依次為4、6、18，∴S正方形B+4＝18﹣6，∴S正方形B＝8．故答案為：8．17．（雁江區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．以AB為邊在點C同側(cè)作正方形ABDE，則圖中陰影部分的面積為19．【分析】首先利用勾股定理求得AB邊的長度，然后由三角形的面積公式和正方形的面積公式解答．【解析】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，由勾股定理知，AB=A故S陰影＝S正方形ABDE﹣S△ABC＝52?1故答案是：19．18．（浦東新區(qū)期末）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足為E，則DE＝83cm【分析】首先根據(jù)勾股定理求得AC＝6cm；然后利用角平分線的性質(zhì)求得ED＝CD，設ED＝CD＝x；最后在直角△ACD中，利用勾股定理列出方程，解方程即可．【解析】如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，則由勾股定理得到：AC=AB2∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD⊥BC，∴ED＝CD，設ED＝CD＝x（x＞0），在直角△ACD中，AD2＝AE2+ED2，即（6﹣x）2＝（10﹣8）2+x2．解得x=8即DE=83故答案是：83三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（南關區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝13，BC＝5，CD＝15，AD＝9，對角線AC⊥BC．（1）求AC的長；（2）求四邊形ABCD的面積．【分析】（1）根據(jù)勾股定理得出AC即可；（2）利用勾股定理的逆定理得出△ADC是直角三角形，進而解答即可．【解析】（1）∵AB＝13，BC＝5，AC⊥BC，∴AC=A（2）∵AC＝12，CD＝15，AD＝9，∴CD2＝AC2+AD2，∴△ADC是直角三角形，∴四邊形ABCD的面積=120．（九龍縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，若CD＝1.5，BD＝2.5．（1）∠2＝∠B，求AC的長．（2）∠1＝∠2，求AC的長．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AD＝BD，進而利用勾股定理解答即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理解答即可．【解析】（1）∵∠2＝∠B，∴AD＝BD＝2.5，∵∠C＝90°，CD＝1.5，∴AC=A（2）過點D作DE⊥AB于點E，∵∠1＝∠2，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE＝1.5，AC＝AE，在Rt△DEB中，BE=B在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2，即AC2＝（AE+EB）2﹣（CD+DB）2，可得：AC2＝（AC+2）2﹣（1.5+2.5）2，解得：AC＝3．21．（禪城區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度向點C運動，連接PB，設運動時間為t秒（t＞0）．（1）BC＝12cm．（2）當PA＝PB時，求t的值．【分析】（1）根據(jù)勾股定理解答即可；（2）設AP＝t，利用勾股定理列出方程解答即可．【解析】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，∴BC=AB2故答案為：12；（2）設AP＝t，則PC＝16﹣t，在Rt△PCB中，∵∠PCB＝90°，由勾股定理，得：PC2+BC2＝PB2，即（16﹣t）2+122＝t2，解得：t＝12.5，∴當點P運動到PA＝PB時，t的值為12.5．22．（門頭溝區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝42，∠ABC＝45°，D是BC邊上一點，且AD＝AC，若BD﹣DC＝1．求DC的長．【分析】過點A作AE⊥BC于點E，則∠AEB＝90°，DE＝CE，結(jié)合∠ABC＝45°可得出∠BAE＝45°，進而可得出AE＝BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理可求出BE的長，即BD+12DC＝4，結(jié)合BD﹣DC＝1可求出【解析】過點A作AE⊥BC于點E，如圖所示．∵AD＝AC，AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，DE＝CE．∵∠ABC＝45°，∴∠BAE＝45°，∴AE＝BE．在Rt△ABE中，AB＝42，∴AE2+BE2＝AB2，即BE2+BE2＝（42）2，∴BE＝4，∴BD+12又∵BD﹣DC＝1，∴DC+1+12∴DC＝2