第07講 離散型隨機變量的分布列與數(shù)字特征（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習考點幫

Page第07講離散型隨機變量的分布列與數(shù)字特征（3類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第14題,5分求離散型隨機變量的均值均值的性質(zhì)計算古典概型問題的概率2024年新Ⅱ卷，第18題,17分求離散型隨機變量的均值利用對立事件的概率公式求概率獨立事件的乘法公式2023年新I卷，第21題,12分求離散型隨機變量的均值利用全概率公式求概率2022年全國甲卷（理），第19題,12分寫出簡單離散型隨機變量分布列求離散型隨機查量的均值/2021年新I卷，第18題,12分寫出簡單離散型隨機變量分布列求離散型隨機查量的均值/2021年新Ⅱ卷，第21題,12分求離散型隨機查量的均值均值的實際應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根2020年新I卷，第12題,5分利用隨機變量分布列的性質(zhì)解題對數(shù)的運算2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5-12分【備考策略】1.理解、掌握離散型隨機變量的定義2.會表示離散型隨機變量的分布列3.會計算離散型隨機變量的均值和方差【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般結(jié)合離散型隨機變量的分布列及均值方差在大題中考查，需重點強化復(fù)習知識講解1．離散型隨機變量定義隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量．2．離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機變量X的概率分布列．(2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.3．離散型隨機變量均值(1)一般地，若離散型隨機變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(3)①若X服從兩點分布，則E(X)＝p；②若X～B(n，p)，則E(X)＝np.4．離散型隨機變量方差(1)設(shè)離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱D(X)為隨機變量X的方差，并稱其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機變量X的標準差．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p)．(4)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．考點一、離散型隨機變量分布列1．（23-24高三·階段練習）在一個密閉不透明的箱子中有五個淺色球，其中一個球的標號為1，另一個密閉不透明的箱子中有五個深色球，其中兩個球的標號為2，3.(1)若在兩個箱子中各抽取兩個球，求抽取的四個球中，標號為1，2，3的三個球中至少有兩個的概率;(2)若在兩個箱子中共隨機抽取四個球，記其中淺色球的個數(shù)為X，求X的分布列.2．（2024高三·全國·專題練習）某縣教育局從縣直學(xué)校推薦的6名教師中任選3人去參加進修活動，這6名教師中，語文、數(shù)學(xué)、英語教師各2人．(1)求選出的數(shù)學(xué)教師人數(shù)多于語文教師人數(shù)的概率；(2)設(shè)X表示選出的3人中數(shù)學(xué)教師的人數(shù)，求X的分布列．1．（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）某學(xué)生參加一次考試，已知在備選的10道試題中，能答對其中的6道題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3道題進行測試，求該生答對試題數(shù)X的分布列.2．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在全國碩士研究生統(tǒng)一招生考試中，甲，乙，丙三名應(yīng)屆本科畢業(yè)生都以優(yōu)秀的成績通過了某重點大學(xué)的初試，即將參加該重點大學(xué)組織的復(fù)試．已知甲，乙，丙三名同學(xué)通過復(fù)試的概率分別為，，p，復(fù)試是否通過互不影響，且甲，乙，丙三名同學(xué)都沒有通過復(fù)試的概率為．(1)求p的值；(2)設(shè)甲，乙，丙三名同學(xué)中通過復(fù)試的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列．考點二、離散型隨機變量的均值1．（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．2．（2022·北京·高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）3．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)4．（2021·全國·高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.1．（24-25高三上·福建福州·階段練習）已知籃球比賽中，得分規(guī)則如下：3分線外側(cè)投入可得3分，踩線及3分線內(nèi)側(cè)投入可得2分，不進得0分；經(jīng)過多次試驗，某生投籃100次，有20個是3分線外側(cè)投入，20個是踩線及3分線內(nèi)側(cè)投入，其余不能入籃，且每次投籃為相互獨立事件．(1)求該生在4次投籃中恰有三次是3分線外側(cè)投入的概率；(2)求該生兩次投籃得分的分布列及數(shù)學(xué)期望．2．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習）良好的用眼習慣能夠從多方面保護眼睛的健康，降低近視發(fā)生的可能性，對于保護青少年的視力具有不可替代的重要作用．某班班主任為了讓本班學(xué)生能夠掌握良好的用眼習慣，開展了“愛眼護眼”有獎知識競賽活動，班主任將競賽題目分為兩組，規(guī)定每名學(xué)生從兩組題目中各隨機抽取2道題作答．已知該班學(xué)生甲答對組題的概率均為，答對組題的概率均為．假設(shè)學(xué)生甲每道題是否答對相互獨立．(1)求學(xué)生甲恰好答對3道題的概率；(2)設(shè)學(xué)生甲共答對了道題，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．3．（2024·安徽·一模）高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷的多項選擇題每小題滿分6分，每小題有4個選項，其中只有2個或者3個選項是正確的.若正確選項有2個，則選對其中1個得3分；若正確選項有3個，則選對其中1個得2分，選對其中2個得4分，答案中有錯誤選項的得0分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多項選擇題中有2個選項正確的概率為，有3個選項正確的概率為.在一次模擬考試中：(1)小明可以確認一道多項選擇題的選項A是錯誤的，從其余的三個選項中隨機選擇2個作為答案，若小明該題得分X的數(shù)學(xué)期望為3，求p；(2)小明可以確認另一道多項選擇題的選項A是正確的，其余的選項只能隨機選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個選項中再隨機選擇1個.共選2個；③從另外三個選項中再隨機選擇2個，共選3個.若，以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇哪個方案？4．（2024·湖南邵陽·三模）為創(chuàng)造良好的城市消防安全環(huán)境，某社區(qū)舉行“消防安全”答題活動，答題人根據(jù)所獲得的分數(shù)獲得相應(yīng)的獎品．工作人員給每位答題人提供了A，B兩類題目．規(guī)定每位答題人共需回答3道題目．現(xiàn)有兩種方案供答題人任意選擇：甲方案：只答A類題目；乙方案：第一次答A類題目，以后按如下規(guī)則答題，每次答對時，則下一次答A類題目，每次答錯時，則下一次答B(yǎng)類題目．已知A類題目每次答對得40分，答錯得0分，B類題目每次答對得30分，答錯得0分．若小李每道A類題目能答對的概率均為，每道B類題目能答對的概率均為，且每道題能否答對與回答順序無關(guān)．(1)若小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分的概率；(2)若想要答題得分的期望值更大，小李應(yīng)該選擇哪種答題方案？考點三、離散型隨機變量的方差1．（浙江·高考真題）設(shè)，則隨機變量的分布列是：則當在內(nèi)增大時A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大2．（浙江·高考真題）設(shè)，隨機變量的分布列如圖，則當在內(nèi)增大時，A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）某公司擬通過摸球中獎的方式對員工發(fā)放節(jié)日紅包．在一個不透明的袋子中裝有個形狀大小相同的標有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機摸取m個球，摸完后全部放回袋中，球上所標的面值之和為該員工所獲得的紅包數(shù)額．(1)若，，當袋中的球中有個所標面值為元，1個為元，1個為元時，在員工所獲得的紅包數(shù)額不低于元的條件下，求取到面值為元的球的概率；(2)若，，當袋中的球中有1個所標面值為元，2個為元，1個為元，1個為元時，求員工所獲得紅包數(shù)額的數(shù)學(xué)期望與方差．4．（2024·湖南·二模）猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有A，B，C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三首歌曲中各隨機選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對應(yīng)的獎勵基金.假設(shè)甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲的概率及猜對時獲得相應(yīng)的獎勵基金如下表：歌曲猜對的概率0.80.50.5獲得的獎勵基金金額/元100020003000(1)求甲按“”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率；(2)甲決定按“”或者“”兩種順序猜歌名，請你計算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎勵基金的期望；為了得到更多的獎勵基金，請你給出合理的選擇建議，并說明理由.1．（2024·福建泉州·二模）在一個抽獎游戲中，主持人從編號為1，2，3，4的四個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個，放入一件獎品，再將四個箱子關(guān)閉．主持人知道獎品在哪個箱子里．游戲規(guī)則是：主持人請抽獎人在這四個箱子中選擇一個，若獎品在此箱子里，則獎品由獲獎人獲得．現(xiàn)有抽獎人甲選擇了2號箱，在打開2號箱之前，主持人先打開了另外三個箱子中的一個空箱子．按游戲規(guī)則，主持人將隨機打開甲選擇之外的一個空箱子，記為X號箱．(1)求的概率；(2)求X的方差；(3)若，現(xiàn)在給抽獎人甲一次重新選擇的機會，請問他是堅持選2號箱，還是改選3號或4號箱？2．（2024·湖南長沙·三模）開展中小學(xué)生課后服務(wù)，是促進學(xué)生健康成長、幫助家長解決接送學(xué)生困難的重要舉措是進一步增強教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學(xué)生對這兩個方案的支持情況，對學(xué)生進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如表:男女支持方案一2416支持方案二2535假設(shè)用頻率估計概率，且所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨立.(1)從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機抽取1人，設(shè)為抽出兩人中女生的個數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)在(1)中表示抽出兩人中男生的個數(shù)，試判斷方差與的大小.3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）某商場推出購物抽獎促銷活動，活動規(guī)則如下：①顧客在商場內(nèi)消費每滿100元，可獲得1張抽獎券；②顧客進行一次抽獎需消耗1張抽獎券，抽獎規(guī)則為：從放有5個白球，1個紅球的盒子中，隨機摸取1個球（每個球被摸到的可能性相同），若摸到白球，則沒有中獎，若摸到紅球，則可獲得1份禮品，并得到一次額外抽獎機會（額外抽獎機會不消耗抽獎券，抽獎規(guī)則不變）；③每位顧客獲得的禮品數(shù)不超過3份，若獲得的禮品數(shù)滿3份，則不可繼續(xù)抽獎；(1)顧客甲通過在商場內(nèi)消費獲得了2張抽獎券，求他通過抽獎至少獲得1份禮品的概率；(2)顧客乙累計消耗3張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數(shù)滿3份，則他在消耗第2張抽獎券抽獎的過程中，獲得禮品的概率是多少？(3)設(shè)顧客在消耗張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數(shù)滿3份，要獲得張抽獎券，至少要在商場中消費滿元，求的值.（重復(fù)進行某個伯努利試驗，且每次試驗的成功概率均為.隨機變量表示當恰好出現(xiàn)次失敗時已經(jīng)成功的試驗次數(shù).則服從參數(shù)為和的負二項分布.記作.它的均值，方差）1．（2024·青海海西·模擬預(yù)測）一個袋中裝有6個同樣大小的小球，編號分別為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從袋中隨機取出3個小球，用X表示取出的3個小球中最大編號和最小編號的差．(1)求；(2)求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．2．（21-22高二下·廣東廣州·期中）甲?乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投籃；已知每次投籃甲.乙命中的概率分別為，.(1)求第三次由乙投籃的概率；(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為，求的分布列；(3)求的期望及標準差.3．（2024·廣東·二模）某廠有3組生產(chǎn)用設(shè)備，由于設(shè)備使用時間過長，每組設(shè)備在一個月內(nèi)均有的故障率．現(xiàn)該廠制定設(shè)備翻新計劃，每個月月初有的概率在剩余未改造設(shè)備中隨機抽取一組并在月底翻新，但月內(nèi)若有設(shè)備發(fā)生故障，則無論本月有無翻新計劃及是否抽到該設(shè)備，故障的設(shè)備都將立即翻新，且該月內(nèi)不再因為故障翻新其它設(shè)備（但若發(fā)生故障的不是已經(jīng)在送修計劃內(nèi)的設(shè)備，則計劃翻新仍將正常進行），若再有設(shè)備發(fā)生故障則將會維修（但暫不翻新）后重新投入生產(chǎn)．(1)求第一個月恰好翻新一組設(shè)備的概率；(2)設(shè)第一個月結(jié)束后，已翻新的設(shè)備數(shù)量為隨機變量X，求X的均值．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）某中學(xué)為積極貫徹并落實教育部提出的“五育并舉”措施，在軍訓(xùn)期間成立了自動步槍社團來促進同學(xué)們德智體美勞全面發(fā)展，在某次軍訓(xùn)課上該自動步槍社團的某同學(xué)進行射擊訓(xùn)練，已知該同學(xué)每次射擊成功的概率均為.(1)求該同學(xué)進行三次射擊恰好有兩次射擊成功的概率；(2)若該同學(xué)進行三次射擊，第一次射擊成功得2分，第二次射擊成功得2分，第三次射擊成功得4分，記為三次射擊總得分，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.5．（23-24高三上·廣東湛江·期末）已知某公司生產(chǎn)的風干牛肉干是按包銷售的，每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且.(1)若從公司銷售的牛肉干中隨機選取3包，求這3包中恰有2包質(zhì)量不小于的概率；(2)若從公司銷售的牛肉干中隨機選?。檎麛?shù)）包，記質(zhì)量在內(nèi)的包數(shù)為，且，求的最小值.6．（2024·黑龍江牡丹江·一模）某高中舉辦詩詞知識競賽答題活動，比賽分兩輪，具體規(guī)則如下：第一輪，參賽選手從類道題中任選道進行答題，答完后正確數(shù)超過兩道(否則終止比賽)才能進行第二輪答題；第二輪答題從類道題中任選道進行答題，直到答完為止．類題每答對一道得10分，類題每答對一道得分，答錯不扣分，以兩輪總分和決定優(yōu)勝．總分分或分為三等獎，分為二等獎，分為一等獎．某班小張同學(xué)類題中有5道會做，類5題中，每題答對的概率均為，且各題答對與否互不影響．(1)求小張同學(xué)被終止比賽的概率；(2)現(xiàn)已知小張同學(xué)第一輪中回答的類題全部正確，求小張同學(xué)第二輪答完題后總得分的分布列及期望；(3)求小張同學(xué)獲得三等獎的概率．7．（2024·全國·模擬預(yù)測）某廠為提高工作效率，將全廠分為甲、乙2個車間，每個車間分別設(shè)有A，B，C，D，E5組．下表為該廠某日生產(chǎn)訂單情況統(tǒng)計表，請據(jù)表解答下列問題：ABCDE甲車間100120150180200乙車間50120200150180(1)求甲、乙2個車間該日生產(chǎn)訂單的平均數(shù)與方差，并根據(jù)方差判斷哪一個車間工作效率比較穩(wěn)定？(2)設(shè)甲車間合格率為0.54，乙車間合格率為0.57，求甲、乙2個車間都不合格的概率；(3)你認為哪個車間工作效率更高？請從平均數(shù)、方差、合格率的角度分析．8．（2024·新疆烏魯木齊·三模）某學(xué)科測試題有多項選擇題，在每小題給出的A，B，C，D四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分，若正確答案為兩項，每對一項得3分；若正確答案為三項，每對一項得2分；…．學(xué)生在作答某題時，對四個選項能正確地判斷，判斷不了（不選）和錯誤的判斷的概率如下表：選項作出正確的判斷判斷不了（不選）作出錯誤的判斷A0.40.20.4B0.20.30.5C0.60.30.1D0.50.30.2已知此題的正確選項為AD．(1)求學(xué)生答此題得6分的概率；(2)求學(xué)生此題得分的分布列及數(shù)學(xué)期望．9．（2024·湖南益陽·一模）某公園為了提升公園形象，提高游客旅游的體驗感，他們更新了部分設(shè)施，調(diào)整了部分旅游線路.為了解游客對新措施是否滿意，隨機抽取了100名游客進行調(diào)查，男游客與女游客的人數(shù)之比為2:3，其中男游客有35名滿意，女游客有15名不滿意.滿意不滿意總計男游客35女游客15合計100(1)完成列聯(lián)表，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，以及小概率值的獨立性檢驗，能否認為游客對公園新措施滿意與否與性別有關(guān)?(2)從被調(diào)查的游客中按男、女分層抽樣抽取5名游客.再隨機從這5名游客中抽取3名游客征求他們對公園進一步提高服務(wù)質(zhì)量的建議，其中抽取男游客的人數(shù)為.求出的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87910．（2023·陜西西安·一模）某公司計劃在2023年年初將200萬元用于投資，現(xiàn)有兩個項目供選擇.項目一：新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利，也可能虧損，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和；項目二：通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利，可能損失，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為.(1)針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由；(2)若市場預(yù)期不變，該投資公司按照（1）中選擇的項目長期投資（每一年的利潤和本金繼續(xù)用作投資），問大約在哪一年的年底總資產(chǎn)（利潤+本金）可以翻兩番？（參考數(shù)據(jù)）1．（2024·甘肅張掖·三模）春節(jié)期間電影院上映5部影片：賀歲片有《第20條》，《飛馳人生》和《熱辣滾燙》，往期電影《滿江紅》，《流浪地球2》.媽媽有4張電影票給了姐姐和弟弟每人2張，讓他們自己選擇看哪2部電影.(1)求姐姐恰好看了2部賀歲片的概率；(2)求姐弟兩人觀看賀歲片的部數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.2．（2024·四川·一模）甲、乙兩名同學(xué)進行定點投籃訓(xùn)練，據(jù)以往訓(xùn)練數(shù)據(jù)，甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，各次投籃互不影響、現(xiàn)甲、乙兩人開展多輪次的定點投籃活動，每輪次各投個球，每投進一個球記分，未投進記分.(1)求甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于的概率；(2)記甲、乙每輪投籃得分之和為.①求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②若，則稱該輪次為一個“成功輪次”.在連續(xù)輪次的投籃活動中，記“成功輪次”為，當為何值時，恒成立？3．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）中國共產(chǎn)黨第二十屆中央委員會第三次全體會議，于2024年7月15日至18日在北京舉行.全會提出，中國式現(xiàn)代化是物質(zhì)文明和精神文明相協(xié)調(diào)的現(xiàn)代化.必須增強文化自信，發(fā)展社會主義先進文化，弘揚革命文化，傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，加快適應(yīng)信息技術(shù)迅猛發(fā)展新形勢，培育形成規(guī)模宏大的優(yōu)秀文化人才隊伍，激發(fā)全民族文化創(chuàng)新創(chuàng)造活力.為此，某學(xué)校舉辦了“傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”宣傳活動，學(xué)校從全體學(xué)生中抽取了100人對該宣傳活動的了解情況進行問卷調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果如下：男女合計了解20不了解2040合計(1)將列聯(lián)表補充完整；(2)根據(jù)的獨立性檢驗，能否認為該校學(xué)生對該宣傳活動的了解情況與性別有關(guān)聯(lián)？(3)若把上表中的頻率視作概率，現(xiàn)從了解該活動的學(xué)生中隨機抽取3人參加傳統(tǒng)文化知識競賽.記抽取的3人中女生人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，其中0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.8284．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）在某地區(qū)進行高中學(xué)生每周戶外運動調(diào)查，隨機調(diào)查了名高中學(xué)生戶外運動的時間（單位：小時），得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.(1)求的值，估計該地區(qū)高中學(xué)生每周戶外運動的平均時間；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）(2)為進一步了解這名高中學(xué)生戶外運動的時間分配，在，兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機抽取人進行訪談，記在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和期望；(3)以頻率估計概率，從該地區(qū)的高中學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生，用“”表示這名學(xué)生中恰有名學(xué)生戶外運動時間在內(nèi)的概率，當最大時，求的值.5．（2024·北京門頭溝·一模）2024年1月11日，記者從門頭溝區(qū)兩會上獲悉，目前國道109新線高速公路（簡稱新高速)全線35坐橋梁主體結(jié)構(gòu)已全部完成，項目整體進度已達到，預(yù)計今年上半年開始通車，通車后從西六環(huán)到門頭溝區(qū)清水鎮(zhèn)車程將縮短到40分鐘。新高速全線設(shè)頎主線收費站兩處（分別位于安家莊和西臺子)和匝道收費站四處(分別位于雁翅、火村、清水和齋堂)。新高速的建成為市民出行帶來了很大便利，為此有關(guān)部門特意從門頭溝某居民小區(qū)中隨機抽取了200位打算利用新高速出行的居民，對其出行的原因和下高速的出口進行了問卷調(diào)查（問卷中每位居民只填寫一種出行原因和對應(yīng)的一個下高速的出口)，具體情況如下：（假設(shè)該小區(qū)所有打算利用新高速出行的居民的出行相對獨立，且均選擇上表中的一個高速出口下高速）。項目齋堂出口清水出口安家莊出口雁翅出口火村出口西臺子出口上班4082532旅游30201010128探親161010554(1)從被調(diào)查的居民中隨機選1人，求該居民利用新高速出行探親且在清水出口下高速的概率；(2)用上表樣本的頻率估計概率，從該小區(qū)所有打算利用新高速出行上班的人中隨機抽取2人，從出行旅游的人中隨機抽取1人，這三人中從齋堂出口下高速的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)用上表樣本的頻率估計概率，從該小區(qū)所有打算利用新高速出行上班的人中隨機抽取1人，用“”表示此人從齋堂出口下高速，“”表示此人不從齋堂出口下高速：從該小區(qū)所有打算利用新高速出行旅游的人中隨機抽取1人，用“”表示此人從齋堂出口下高速，“”表示此人不從齋堂出口下高速，寫出方差的大小關(guān)系．(結(jié)論不要求證明）．6．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）南昌二中一直有個優(yōu)秀的傳統(tǒng)“畢業(yè)學(xué)習經(jīng)驗分享會”：每屆高考結(jié)束后，各班推薦優(yōu)秀學(xué)生代表與下一屆學(xué)生進行學(xué)習經(jīng)驗分享.2024屆高三年級班號依次為0，1，2，…，27，高三0班推薦2名男生和2名女生，其余各班均推薦1名男生和1名女生參加分享會；第一場分享會的4名學(xué)生嘉賓是從高三0班的優(yōu)秀學(xué)生代表中選出的2名和高三1班的2名優(yōu)秀學(xué)生代表共同形成，第二場分享會的4名學(xué)生嘉賓是從上一場4名嘉賓中選出的2名和高三2班的2名優(yōu)秀學(xué)生代表共同形成，…，按照這樣的方式，依次進行到第二十七場分享會.(1)求在第一場分享會學(xué)生嘉賓中有2名男生的概率；(2)求在第二場分享會學(xué)生嘉賓中有2名男生的概率；(3)記在第二十七場分享會學(xué)生嘉賓中男生人數(shù)為，求的分布列和期望.7．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）某自然保護區(qū)經(jīng)過幾十年的發(fā)展，某種瀕臨滅絕動物數(shù)量有大幅度的增加.已知這種動物擁有兩個亞種（分別記為種和種）.為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個亞種的數(shù)目，某動物研究小組計劃在該區(qū)域中捕捉100個動物，統(tǒng)計其中種的數(shù)目后，將捕獲的動物全部放回，作為一次試驗結(jié)果.重復(fù)進行這個試驗共20次，記第次試驗中種的數(shù)目為隨機變量.設(shè)該區(qū)域中種的數(shù)目為，種的數(shù)目為（，均大于100），每一次試驗均相互獨立.(1)求的分布列；(2)記隨機變量.已知，（i）證明：，；（ii）該小組完成所有試驗后，得到的實際取值分別為.數(shù)據(jù)的平均值，方差.采用和分別代替和，給出，的估計值.（已知隨機變量服從超幾何分布記為：（其中為總數(shù)，為某類元素的個數(shù)，為抽取的個數(shù)），則）8．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）在坐標平面內(nèi)的區(qū)域，隨機生成一個橫縱坐標均為整數(shù)的一個整點，記該點到坐標原點的距離是隨機變量X相關(guān)公式:(1)當時，寫出X的分布列和期望.(2)記隨機變量與分別表示的橫縱坐標.①求出的期望②現(xiàn)在實際上選取了四個點嘗試運用樣本的平均值去估計數(shù)學(xué)期望，以此來得到估計值(四舍五入取整).(3)記方差，試證明.9．（2024·安徽·三模）現(xiàn)有甲?乙兩個不透明盒子，都裝有1個紅球和1個白球，這些球的大小?形狀?質(zhì)地完全相同.(1)若從甲?乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，次這樣的操作后，記甲盒子中紅球的個數(shù)為.求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)現(xiàn)從甲中有放回的抽取次，每次抽取1球，若抽取次數(shù)不超過次的情況下，抽取到2次紅球，則停止抽取，一直抽取不到2次紅球，第次抽取完也停止抽取，令抽取停止時，抽取的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望，并證明：.10．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）有一個摸球游戲，在一個口袋中裝有個紅球和個白球，這些球除顏色外完全相同，每次從中摸一個球，記錄摸出球的顏色，然后再將球放回口袋中．(1)若、，重復(fù)上述摸球試驗5次，用X表示5次中摸出紅球的次數(shù)，求X的分布列及方差；(2)若，．①當甲在游戲的過程中，又來了乙和丙，他們一起玩摸球游戲，第一次由甲摸球，若甲摸到紅球，則下一次甲繼續(xù)摸球，否則隨機在另外兩人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到紅球，則下一次還是他自己繼續(xù)摸球，否則也隨機在另外兩人中等可能地指定一人摸球，如此進行下去，記為第n次是甲摸球的概率，求；②第二天，甲獨自一人繼續(xù)摸球游戲，每次從袋中摸一個球，記錄摸出球的顏色，然后將球放回口袋中，當?shù)?次摸到紅球時停止游戲，否則游戲一直繼續(xù)進行下去，以隨機變量Y表示所需摸球的次數(shù)，這里Y服從的分布稱作帕斯卡分布或負二項分布．帕斯卡分布的定義如下：在重復(fù)、獨立的伯努利試驗中，若每次試驗成功的概率為，失敗的概率為，若將試驗進行到恰好出現(xiàn)r（r為常數(shù)）次成功時結(jié)束試驗，以隨機變量Y表示所需試驗的次數(shù)，則Y是一個離散型隨機變量，稱Y服從以r、p為參數(shù)的帕斯卡分布或負二項分布，記作．帕斯卡分布是統(tǒng)計學(xué)上一種離散概率分布，常用于描述生物群聚性，醫(yī)學(xué)上也用來描述傳染性或非獨立性疾病的分布和致病生物的分布．根據(jù)定義，我們能夠得到這里的，，．求．1．（浙江高考真題）袋子和中裝有若干個均勻的紅球和白球，從中摸一個紅球的概率是，從中摸出一個紅球的概率為p.（1）從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球則停止.①求恰好摸5次停止的概率；②記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.（2）若A、B兩個袋子中的球數(shù)之比為1：2，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，求p的值.2．（山東·高考真題）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求：（Ⅰ）“星隊”至少猜對3個成語的概率；（Ⅱ）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．3．（安徽·高考真題）本小題滿分13分）工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務(wù)，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個人．現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別，假設(shè)互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨立.（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率．若改變?nèi)齻€人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？（2）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務(wù)的概率依次為，其中是的一個排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)字期望）；（3）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）達到最?。?．（四川·高考真題）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標準為2元（不足1小時的部分按1小時計算）.有人獨立來該租車點則車騎游.各租一車一次.設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時.（Ⅰ）求出甲、乙所付租車費用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望5．（陜西·高考真題）如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，據(jù)統(tǒng)計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內(nèi)的頻率如下表：時間（分鐘）的頻率0.10.20.30.20.2的頻率00.10.40.