第07講 立體幾何中的軌跡、截面、動(dòng)點(diǎn)、范圍問(wèn)題（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第07講立體幾何中的軌跡、截面、動(dòng)點(diǎn)、范圍問(wèn)題（9類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，是一個(gè)備受關(guān)注的重要專(zhuān)題，它在各級(jí)各類(lèi)考試中占據(jù)一席之地，特別是在高考中亦常有所見(jiàn)。此類(lèi)題型不僅是檢驗(yàn)學(xué)生空間想象能力、思維能力和創(chuàng)新意識(shí)的有效手段，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑。在高考復(fù)習(xí)備考過(guò)程中，其試題常以選擇、多選、填空等形式呈現(xiàn)，設(shè)計(jì)巧妙，注重知識(shí)間的交匯與融合，題型新穎靈活，旨在全面考查學(xué)生的綜合素質(zhì)。通過(guò)此類(lèi)題型，不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)各部分知識(shí)間的縱向和橫向聯(lián)系的掌握程度，還能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，滲透數(shù)學(xué)思想方法，充分體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育目標(biāo)。然而，由于這類(lèi)問(wèn)題通常涉及較為復(fù)雜的空間幾何體結(jié)構(gòu)特征，對(duì)于許多學(xué)生而言，確實(shí)存在一定的挑戰(zhàn)和難度。知識(shí)講解方法點(diǎn)睛1：對(duì)于立體幾何的綜合問(wèn)題的解答方法：1、立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長(zhǎng)度及動(dòng)角的范圍等問(wèn)題；2、解答方法：一般是根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；3、對(duì)于線面位置關(guān)系的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；4、對(duì)于探索性問(wèn)題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問(wèn)題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無(wú)解則不存在.方法點(diǎn)睛2：立體幾何中的軌跡問(wèn)題：1、由動(dòng)點(diǎn)保持平行性求軌跡.（1）線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡；（2）平行時(shí)可利用法向量垂直關(guān)系求軌跡.2、動(dòng)點(diǎn)保持垂直求軌跡.（1）可利用線線線面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直，得交線求軌跡；（2）利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡；（3）利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡.3、由動(dòng)點(diǎn)保持等距（或者定距）求軌跡.（1）距離，可轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于圓錐曲線的定義或者球和圓的定義等知識(shí)求解軌跡；（2）利用空間坐標(biāo)計(jì)算求軌跡.4、由動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡.（1）直線與面成定角，可能是圓錐側(cè)面；（2）直線與定直線成等角，可能是圓錐側(cè)面；（3）利用空間坐標(biāo)系計(jì)算求軌跡.5、投影求軌跡.（1）球的非正投影，可能是橢圓面；（2）多面體的投影，多為多邊形.6、翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡.（1）翻折過(guò)程中尋求不變的垂直關(guān)系求軌跡；（2）翻折過(guò)程中尋求不變的長(zhǎng)度關(guān)系求軌跡；（3）利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡.考點(diǎn)一、軌跡形狀1．（浙江·高考真題）如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是A．直線 B．拋物線C．橢圓 D．雙曲線的一支【答案】C【詳解】用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面和圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線．此題中平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，可理解為在以為軸的圓錐的側(cè)面上，再由斜線段與平面所成的角為，可知的軌跡符合圓錐曲線中橢圓定義．故可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是橢圓．故選C.考點(diǎn)：1.圓錐曲線的定義；2.線面位置關(guān)系.2．（北京·高考真題）平面的斜線交于點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線與垂直，且交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A．一條直線 B．一個(gè)圓 C．一個(gè)橢圓 D．曲線的一支【答案】A【分析】先找出定點(diǎn)A和直線確定的一個(gè)平面，結(jié)合平面相交的特點(diǎn)可得軌跡類(lèi)型.【詳解】如圖，設(shè)與是其中的兩條任意的直線，則這兩條直線確定一個(gè)平面，且的斜線，由過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直可知過(guò)定點(diǎn)與垂直所有直線都在這個(gè)平面內(nèi)，故動(dòng)點(diǎn)都在平面與平面的交線上.

【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡的類(lèi)型確定，熟悉平面的基本性質(zhì)及推論是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).3．（北京·高考真題）如圖，在正方體中，是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若到直線與直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．直線 B．圓C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】由于在平面內(nèi)，而平面，因此有，這樣結(jié)合拋物線的定義可得結(jié)論．【詳解】在正方體中，一定有，∴點(diǎn)為平面內(nèi)到直線和到點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，其軌跡為拋物線．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，考查立體幾何中的垂直關(guān)系．屬于跨章節(jié)綜合題，難度不大．4．（天津·高考真題）如圖，定點(diǎn)A，B都在平面內(nèi)，定點(diǎn)，C是內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)C在平面內(nèi)的軌跡是（

）A．一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C．一段弧，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) D．半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)【答案】B【分析】連接，由已知條件可得平面，從而可得，則點(diǎn)C在內(nèi)的軌跡是以為直徑的圓，進(jìn)而可得答案【詳解】連接，因?yàn)?，所以，又，，所以平面，又平面，故，因?yàn)锳，B是平面上的定點(diǎn)，所以點(diǎn)C在內(nèi)的軌跡是以為直徑的圓，又C是內(nèi)異于A和B的點(diǎn)，故此軌跡要去掉A、B兩個(gè)點(diǎn)，所以B正確.故選：B5．（重慶·高考真題）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過(guò)其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是（

）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線【答案】D【分析】利用空間向量可求動(dòng)點(diǎn)的軌跡.【詳解】如圖，設(shè)兩條相互垂直的異面直線一條為軸，另一條為與軸垂直的直線，且該直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中為非零常數(shù)，設(shè)上的點(diǎn)，設(shè)，則，而軸的方向向量為，故到軸的距離為,而，的方向向量為同理到軸的距離為，故，化簡(jiǎn)可得，取平面，則，此時(shí)，故軌跡為雙曲線.故選：D.先做出兩條異面直線的公垂線，以其中一條直線為x軸，公垂線與x軸交點(diǎn)為原點(diǎn)，公垂線所在直線為z軸，過(guò)x且垂直于公垂線的平面為xoy平面，建立空間直角坐標(biāo)系，則兩條異面直線的方程就分別是y=0，z="0"和x=0，z=a（a是兩異面直線公垂線長(zhǎng)度，是個(gè)常數(shù)），空間內(nèi)任意點(diǎn)設(shè)它的坐標(biāo)是（x，y，z）那么由已知，它到兩條異面直線的距離相等，即兩邊平方，化簡(jiǎn)可得，過(guò)一條直線且平行于另一條直線的平面是z=0和z=a，分別代入所得式子z=0時(shí)代入可以得到，圖形是個(gè)雙曲線，z=a時(shí)，代入可以得到，圖形也是個(gè)雙曲線考點(diǎn)：拋物線的定義；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程6．（浙江·高考真題）如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是A．圓 B．橢圓C．一條直線 D．兩條平行直線【答案】B【詳解】試題分析：本題其實(shí)就是一個(gè)平面斜截一個(gè)圓柱表面的問(wèn)題，因?yàn)槿切蚊娣e為定值，以AB為底，則底邊長(zhǎng)一定，從而可得P到直線AB的距離為定值，分析可得，點(diǎn)P的軌跡為一以AB為軸線的圓柱面，與平面α的交線，且α與圓柱的軸線斜交，由平面與圓柱面的截面的性質(zhì)判斷，可得P的軌跡為橢圓．考點(diǎn)：本題考查了平面與圓柱面的截面性質(zhì)的判斷點(diǎn)評(píng)：解決時(shí)要注意截面與圓柱的軸線的不同位置時(shí)，得到的截面形狀也不同7．（重慶·高考真題）若三棱錐的側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到底面的距離與到棱的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與組成圖形可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)二面角為，作面于，于，于，根據(jù)題設(shè)有為常數(shù)，進(jìn)而分析P在上的軌跡，即可得答案.【詳解】若二面角為，作面于，于，于，如上圖示，，由題設(shè)有，即為常數(shù)，所以P在上的軌跡是一條直線，且與邊夾角較小.故選：D8．（北京·高考真題）如圖，動(dòng)點(diǎn)在正方體的對(duì)角線上，過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于M，N．設(shè)，，則函數(shù)的圖象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】試題分析：由題意知，MN⊥平面BB1D1D，則MN在底面ABCD上的射影是與對(duì)角線AC平行的直線，故當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線BD1上從點(diǎn)B向D1運(yùn)動(dòng)時(shí)，x變大y變大，直到P為BD1的中點(diǎn)時(shí)，y最大為AC．然后x變小y變小，直到y(tǒng)變?yōu)?，因底面ABCD為正方形，故變化速度是均勻的，且兩邊一樣．故答案為B．考點(diǎn)：函數(shù)的圖像與圖像項(xiàng)變化．點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)圖象的變化，根據(jù)幾何體的特征和條件進(jìn)行分析兩個(gè)變量的變化情況，再用圖象表示出來(lái)，考查了作圖和讀圖能力．屬于中檔題．1．（2023·浙江·一模）已知線段垂直于定圓所在的平面，是圓上的兩點(diǎn)，是點(diǎn)在上的射影，當(dāng)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡（

）A．是圓 B．是橢圓 C．是拋物線 D．不是平面圖形【答案】A【分析】設(shè)定圓圓心為，半徑為，由線面垂直的判定與性質(zhì)可推導(dǎo)證得，由直角三角形性質(zhì)可確定，由此可得軌跡圖形.【詳解】設(shè)定圓圓心為，半徑為，連接，設(shè)直徑為，連接，平面，平面，；為直徑，，又，平面，平面，又平面，，又，，平面，平面，平面，，在中，，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.故選：A.2．（2023·云南保山·二模）已知正方體，Q為上底面所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與的所成角為45°時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為（

）A．圓 B．直線 C．拋物線 D．橢圓【答案】C【分析】建系，利用空間向量結(jié)合線線夾角分析運(yùn)算.【詳解】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，，，為x，y，z的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，設(shè)，可得，，因?yàn)橹本€與的所成角為，則，化簡(jiǎn)可得，所以點(diǎn)Q的軌跡為拋物線.故選：C.

3．（2024·廣東梅州·一模）如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)是面上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離的2倍，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）的一部分A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】C【分析】建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用兩點(diǎn)距離公式可得，即可求解.【詳解】由題意知，以D為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，因?yàn)榈降木嚯x是到的距離的2倍，所以，即，整理，得，所以點(diǎn)P的軌跡為雙曲線.故選：C4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知空間中兩條直線、異面且垂直，平面且，若點(diǎn)到、距離相等，則點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為（

）A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】C【分析】設(shè)在內(nèi)的射影為，以與的交點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，與的公垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，利用空間向量坐標(biāo)法表示距離，列出方程，求解結(jié)果.【詳解】設(shè)在內(nèi)的射影為，到的距離為，以與的交點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，與的公垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則到的距離為.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，又在內(nèi)的射影為，則，連結(jié),又，，所以平面，又平面，所以，所以，所以則到的距離為,因?yàn)辄c(diǎn)到、距離相等，所以，即，所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為雙曲線.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：關(guān)于立體幾何中的軌跡問(wèn)題，一般要建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知信息列出的等量關(guān)系，化簡(jiǎn)得出軌跡方程，結(jié)合方程特征找到軌跡曲線.5．（2023·云南文山·模擬預(yù)測(cè)）用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截而與圓錐側(cè)面的交線）是一個(gè)圓，用一個(gè)不垂直于軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸的夾角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線．因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱(chēng)為圓錐曲線．記圓錐軸截面半頂角為，截口曲線形狀與，有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，截口曲線為橢圓；當(dāng)時(shí)，截口曲線為拋物線：當(dāng)時(shí)，截口曲線為雙曲線．其中，，現(xiàn)有一定線段AB，其與平面所成角（如圖），B為斜足，上一動(dòng)點(diǎn)P滿足，設(shè)P點(diǎn)在的運(yùn)動(dòng)軌跡是，則（

）A．當(dāng)，時(shí)，是橢圓 B．當(dāng)，時(shí)，是雙曲線C．當(dāng)，時(shí)，是拋物線 D．當(dāng)，時(shí)，是圓【答案】AC【分析】P在以AB為軸的圓錐上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合題干信息，逐一分析即可.【詳解】∵AB為定線段，為定值，∴P在以AB為軸的圓錐上運(yùn)動(dòng)，其中圓錐的軸截面半頂角為，與圓錐軸AB的夾角為，對(duì)于A，，∴平面截圓錐得橢圓，故A正確；對(duì)于B，，平面截圓錐得橢圓，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，平面截圓錐得拋物線，故C正確；對(duì)于D，，平面截圓錐得橢圓，故D不正確．故選：AC．6．（2024·浙江溫州·一模）如圖，所有棱長(zhǎng)都為1的正三棱柱，，點(diǎn)是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，直線平面，則點(diǎn)的軌跡為（

）

A．三角形（含內(nèi)部） B．矩形（含內(nèi)部）C．圓柱面的一部分 D．球面的一部分【答案】A【分析】根據(jù)題意首先保持在線段上不動(dòng)（與重合），研究當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡為線段，再根據(jù)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)的軌跡即可得出點(diǎn)的軌跡為及其內(nèi)部的所有點(diǎn)的集合.【詳解】如下圖所示：

首先保持在線段上不動(dòng)，假設(shè)與重合根據(jù)題意可知當(dāng)點(diǎn)在側(cè)棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，為的中點(diǎn)，此時(shí)由可得滿足，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖中位置時(shí)，易知，取，可得，取棱上的點(diǎn)，滿足，根據(jù)三角形相似可得三點(diǎn)共線，當(dāng)點(diǎn)在側(cè)棱上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)軌跡即為線段；再研究當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在線段上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段，當(dāng)點(diǎn)在線段上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段，因此可得，當(dāng)點(diǎn)是側(cè)棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為及其內(nèi)部的所有點(diǎn)的集合；即可得的軌跡為三角形（含內(nèi)部）.故選：A7．（2023·貴州黔西·一模）在正方體中，點(diǎn)為平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，是點(diǎn)到平面的距離，是點(diǎn)到直線的距離，且（為常數(shù)），則點(diǎn)的軌跡不可能是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】A【分析】根據(jù)條件作出正方體，再以為原點(diǎn)，直線、和分別為、和軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為（），再設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題目條件得到，分類(lèi)討論，、時(shí)，結(jié)合圓錐曲線的方程特征，即可求解.【詳解】由條件作出正方體，并以為原點(diǎn)，直線、和分別為、和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為（），點(diǎn)，所以得，，由，得，所以，即①（），當(dāng)時(shí)，①式化得：，此時(shí)，點(diǎn)的軌跡是拋物線；當(dāng)時(shí)，①式化得：，即，②，當(dāng)時(shí)，，則②式，是雙曲線的方程，即點(diǎn)的軌跡為雙曲線；當(dāng)時(shí)，，則②式，是橢圓的方程，即點(diǎn)的軌跡為橢圓；故選：A.考點(diǎn)二、軌跡長(zhǎng)度1．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，M為棱的中點(diǎn)，N為底面正方形ABCD上一動(dòng)點(diǎn)，且直線MN與底面ABCD所成的角為，則動(dòng)點(diǎn)N的軌跡的長(zhǎng)度為．【答案】【分析】利用線面角求法得出N的軌跡為正方形內(nèi)一部分圓弧，求其圓心角計(jì)算弧長(zhǎng)即可.【詳解】如圖所示，取BC中點(diǎn)G，連接MG，NG，由正方體的特征可知MG⊥底面ABCD，

故MN與底面ABCD的夾角即，∴，則，故N點(diǎn)在以G為原點(diǎn)為半徑的圓上，又N在底面正方形ABCD上，即N的軌跡為圖示中的圓弧，易知，所以長(zhǎng)為.故答案為：.2．（2024·四川南充·二模）三棱錐中，，，為內(nèi)部及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得三棱錐為正三棱錐，即可得三棱錐的高，設(shè)點(diǎn)在底面上的射影為，即可得，進(jìn)而可得點(diǎn)的軌跡及其長(zhǎng)度.【詳解】

如圖所示，由，，可知三棱錐為正三棱錐，設(shè)中點(diǎn)為，則，，，設(shè)點(diǎn)在底面上的射影為，則平面，，又為內(nèi)部及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，，所以，所以點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部及邊界上的部分，如圖所示，

，，即，，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故選：B.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐的體積為，底面的四個(gè)頂點(diǎn)在經(jīng)過(guò)球心的截面圓上，頂點(diǎn)在球的球面上，點(diǎn)為底面上一動(dòng)點(diǎn)，與所成角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)錐體的體積公式結(jié)合外接球的性質(zhì)可得半徑和四棱錐的底邊邊長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)銳角三角函數(shù)可得，即可判斷點(diǎn)的軌跡為為圓心，半徑的圓，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)球的半徑為．如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接，則，，平面，所以，解得．在中，因?yàn)?，，所以．因?yàn)檎叫蔚闹行牡礁鬟叺木嚯x為，所以點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)，以點(diǎn)為圓心，半徑的圓，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．故選:D．

4．（2023·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，二面角的大小為，已知A、B是l上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，，，AB與平面BCD所成的角為，若點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影H在的內(nèi)部（包括邊界），則點(diǎn)H的軌跡的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意：點(diǎn)H的軌跡是以點(diǎn)B為球心，以為半徑的球與以AB為軸，母線AH與軸AB成60°的圓錐側(cè)面交線的一部分，該部分是圓心角為的弧長(zhǎng)，只要求出半徑即可.【詳解】如圖所示：因?yàn)锳B與平面BCD所成的角為，且點(diǎn)A在平面BCD上的射影H，，所以，所以點(diǎn)H在以點(diǎn)B為球心，以為半徑的球面上，又點(diǎn)H在以AB為軸，以AH為母線的圓錐的側(cè)面上，所以點(diǎn)H的軌跡為以點(diǎn)B為球心，以為半徑的球與以AB為軸，母線AH與軸AB成的圓錐側(cè)面交線的一部分，即圖中扇形EOF的弧EF，且扇形所在平面垂直于AB，因?yàn)槎娼铅俩?﹣β的平面角的大小為，所以，又，所以點(diǎn)H的軌跡的長(zhǎng)度等于，故選：D.5．（2024·江西·二模）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)滿足，若在正方形內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)滿足平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為（

）A．4 B． C．5 D．【答案】C【分析】在棱上分別取點(diǎn)，使得，，連接，證明平面平面即可得點(diǎn)的軌跡為線段，再計(jì)算長(zhǎng)度即可.【詳解】如圖，在棱上分別取點(diǎn)，使得，，連接，因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，所以，又，正方體的棱長(zhǎng)為4，所以，，，在棱上取點(diǎn),使得，則且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又且，則四邊形是平行四邊形，所以，所以，因?yàn)?，所以，則，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，在正方形?nèi)有一動(dòng)點(diǎn)滿足平面時(shí)，點(diǎn)的軌跡為線段，因?yàn)?，所以，?dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為.故選：C.6．（2023·江西贛州·二模）在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)滿足，，分別為棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，滿足面，則點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出輔助線，找到點(diǎn)的軌跡，利用勾股定理求出邊長(zhǎng)，得到周長(zhǎng).【詳解】延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線與，連接，分別交，于，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可得平面，因?yàn)?，所以平面平面，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則則平行四邊形（點(diǎn)除外）為點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的圖形，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為4，，分別為棱，的中點(diǎn)，，所以，因?yàn)?，所以，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，則由幾何關(guān)系可知，所以，由勾股定理得，所以點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的周長(zhǎng)為.故選：D7．（2024·廣西南寧·一模）在邊長(zhǎng)為4的菱形中，．將菱形沿對(duì)角線折疊成大小為的二面角．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，為三棱錐表面上的動(dòng)點(diǎn)，且總滿足，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二面角的平面角可結(jié)合余弦定理求解求，進(jìn)而利用線面垂直可判斷點(diǎn)軌跡為，求解周長(zhǎng)即可．【詳解】連接、，交于點(diǎn)，連接，為菱形，，所以，，，所以為二面角的平面角，于是，又因?yàn)椋?，取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接、、，所以、，所以、，，相交，所以平面，所以在三棱錐表面上，滿足的點(diǎn)軌跡為，因?yàn)?，，，所以的周長(zhǎng)為，所以點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為．故選：A．8．（22-23高三下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，現(xiàn)將，，，分別沿，，，把這個(gè)矩形折成一個(gè)空間圖形，使與重合，與重合，重合后的點(diǎn)分別記為，，為的中點(diǎn)，則多面體的體積為；若點(diǎn)是該多面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．【答案】【分析】根據(jù)給定的幾何體，證明平面，求出四棱錐的體積即可；證明點(diǎn)所在平面平行于平面，作出過(guò)點(diǎn)與平面平行的幾何體的截面，求出其周長(zhǎng)作答.【詳解】連接，有，而，為中點(diǎn)，則有，，則平面，同理平面，又平面與平面有公共點(diǎn)，于是點(diǎn)共面，而，即有，，因?yàn)?，，平面，則平面，又平面，即有，則，同理，即，從而，即四邊形為平行四邊形，，，等腰梯形中，高，其面積，顯然平面，所以多面體的體積；因?yàn)槠矫?，同理可得平面，又，則平面，依題意，動(dòng)點(diǎn)所在平面與垂直，則該平面與平面平行，而此平面過(guò)點(diǎn)，令這個(gè)平面與幾何體棱的交點(diǎn)依次為，則,又為的中點(diǎn)，則點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)，即點(diǎn)的軌跡為五邊形，長(zhǎng)度為：.故答案為：；【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及立體圖形中的軌跡問(wèn)題，若動(dòng)點(diǎn)在某個(gè)平面內(nèi)，利用給定條件，借助線面、面面平行、垂直等性質(zhì)，確定動(dòng)點(diǎn)與所在平面內(nèi)的定點(diǎn)或定直線關(guān)系，結(jié)合有關(guān)平面軌跡定義判斷求解.1．（2024·江蘇·一模）在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)分別為棱，的中點(diǎn)．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在該正方體的表面上，且，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件得到點(diǎn)軌跡為以為直徑的球，進(jìn)而得出點(diǎn)的軌跡是六個(gè)半徑為a的圓，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故P點(diǎn)軌跡為以為直徑的球，如圖，易知中點(diǎn)即為正方體中心，球心在每個(gè)面上的射影為面的中心，設(shè)在底面上的射影為，又正方體的棱長(zhǎng)為，所以，易知，，又動(dòng)點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的軌跡是六個(gè)半徑為a的圓，軌跡長(zhǎng)度為，故選：B．2（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐（底面為正方形，且頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心的棱錐為正四棱錐）P－ABCD的底面正方形邊長(zhǎng)為2，其內(nèi)切球O的表面積為，動(dòng)點(diǎn)Q在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)Q形成軌跡的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等體積法及幾何關(guān)系求出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)Q的等式關(guān)系，根據(jù)相關(guān)幾何意義即可求出動(dòng)點(diǎn)Q形成軌跡的周長(zhǎng).【詳解】設(shè)內(nèi)切球O的半徑為R，則，∴．如圖，連接AC與BD，設(shè)交點(diǎn)為F，取AD的中點(diǎn)E，連接PE，PF，EF．根據(jù)等體積法得，∴，整理得，又，解得，．∴，，．在中，．∴點(diǎn)Q在以點(diǎn)F為圓心，為半徑的圓上，其周長(zhǎng)為．故選：C．3．（2024·四川成都·三模）在棱長(zhǎng)為5的正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的內(nèi)切球的球面上運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，作出輔助線，得到⊥平面，由點(diǎn)到平面的距離和球的半徑得到點(diǎn)的軌跡為以為半徑的圓，從而求出點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，球心，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，，，故，，又，平面，故⊥平面，故當(dāng)位于平面與內(nèi)切球的交線上時(shí)，滿足，此時(shí)到平面的距離為，，其中為平面截正方體內(nèi)切球所得截面圓的半徑，故點(diǎn)的軌跡為以為半徑的圓，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故選：B4．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點(diǎn)，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的夾角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的位置關(guān)系可證得平面，可得點(diǎn)的軌跡為圓，由此即可得．【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，令得，，故，因?yàn)?，故平面，為平面上的?dòng)點(diǎn)，直線與直線的夾角為30°，平面，設(shè)垂足為，以為圓心，為半徑作圓，即為點(diǎn)的軌跡，其中，由對(duì)稱(chēng)性可知，，故半徑，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故選：C.5．（23-24高一上·浙江紹興·期末）已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1的正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面所成的角大小為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，分析可得點(diǎn)的軌跡，分別計(jì)算各段軌跡的長(zhǎng)度即可.【詳解】若點(diǎn)P在正方形內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作平面于，連接.則為直線與平面所成的角，則，又，則，得，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心半徑為1的圓（落在正方形內(nèi)的部分），若點(diǎn)P在正方形內(nèi)或內(nèi)，軌跡分別為線段和，因?yàn)辄c(diǎn)P不可能落在其他三個(gè)正方形內(nèi)，所以點(diǎn)的軌跡如圖所示：故點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.故選：D6．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）在正四棱臺(tái)中，，，是四邊形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理得到，即可得到點(diǎn)的軌跡，然后求長(zhǎng)度即可.【詳解】

設(shè)在平面內(nèi)的射影為，則在線段上，則，，，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓在正方形內(nèi)部部分，如圖所示，其中，故，又，所以，因?yàn)?，所以，故，故?dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是．故選：A．7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰直角三角形，，是平面內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點(diǎn)，連接，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用線面垂直的判定得到平面，進(jìn)而得出，再結(jié)合余弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，最后結(jié)合圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式即可求解.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，易得，又，平面，所以平面，又，所以，，，在中，，由余弦定理得，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以，在中，，則，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故選：C，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中的軌跡問(wèn)題：1、由動(dòng)點(diǎn)保持平行性求軌跡.（1）線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡；（2）平行時(shí)可利用法向量垂直關(guān)系求軌跡.2、動(dòng)點(diǎn)保持垂直求軌跡.（1）可利用線線線面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直，得交線求軌跡；（2）利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡；（3）利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡.3、由動(dòng)點(diǎn)保持等距（或者定距）求軌跡.（1）距離，可轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于圓錐曲線的定義或者球和圓的定義等知識(shí)求解軌跡；（2）利用空間坐標(biāo)計(jì)算求軌跡.4、由動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡.（1）直線與面成定角，可能是圓錐側(cè)面；（2）直線與定直線成等角，可能是圓錐側(cè)面；（3）利用空間坐標(biāo)系計(jì)算求軌跡.5、投影求軌跡.（1）球的非正投影，可能是橢圓面；（2）多面體的投影，多為多邊形.6、翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡.（1）翻折過(guò)程中尋求不變的垂直關(guān)系求軌跡；（2）翻折過(guò)程中尋求不變的長(zhǎng)度關(guān)系求軌跡；（3）利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡.8．（2023·青?！つM預(yù)測(cè)）在正四棱臺(tái)中，，點(diǎn)在底面內(nèi)，且，則的軌跡長(zhǎng)度是.【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)已知線段長(zhǎng)度和位置關(guān)系求解出，然后確定出的軌跡為，再通過(guò)扇形的弧長(zhǎng)公式求解出軌跡長(zhǎng)度.【詳解】連接，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)閹缀误w為正四棱臺(tái)，所以平面，所以，又因?yàn)?，平面，平面，所以，所以A1Q⊥平面，又因?yàn)?，所以，以為圓心，為半徑畫(huà)圓，如下圖，即為的軌跡，過(guò)作，分別交于，因?yàn)椋?，所以，所以，所以的長(zhǎng)度為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的軌跡問(wèn)題，對(duì)于空間想象能力和計(jì)算能力要求較高，難度較大.解答問(wèn)題的關(guān)鍵是求解出的長(zhǎng)度從而確定出的軌跡形狀，借助扇形的弧長(zhǎng)公式完成相關(guān)計(jì)算.考點(diǎn)三、軌跡區(qū)域面積1．（2023·四川成都·三模）如圖，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點(diǎn)，已知，圓柱的高為5．若點(diǎn)在圓柱表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為．【答案】10【分析】先推出平面，設(shè)過(guò)的母線與上底面的交點(diǎn)為，過(guò)的母線與上底面的交點(diǎn)為，連，推出平面，從而可得點(diǎn)的軌跡是矩形AEFC，計(jì)算這個(gè)矩形的面積即可得解.【詳解】因?yàn)槭菆A柱下底面圓的直徑，所以，又，，平面，所以平面，設(shè)過(guò)的母線與上底面的交點(diǎn)為，過(guò)的母線與上底面的交點(diǎn)為，連，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，又點(diǎn)在圓柱的表面，所以點(diǎn)的軌跡是矩形AEFC，依題意得，，，所以，所以矩形AEFC的面積為.故點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為.故答案為：.2．（2024·四川成都·二模）在所有棱長(zhǎng)均相等的直四棱柱中，，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，則該四棱柱的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)軌跡的長(zhǎng)度求出棱長(zhǎng)，利用四棱柱的表面積公式可求答案.【詳解】設(shè)棱長(zhǎng)為，延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作垂直于的延長(zhǎng)線于，由，可得；由直四棱柱的性質(zhì)可得，平面，所以；因?yàn)?，所?在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓夾在四邊形內(nèi)的部分，即圖中圓弧.因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，所以，即.四棱柱的表面積為.故選：A.

3．（2022·山東濰坊·三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，空間一動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則，點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形的面積為．【答案】【分析】利用，轉(zhuǎn)化為求的正切值；先確定點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形為圓，在用面積公式計(jì)算.【詳解】.由正方體知平面，又點(diǎn)滿足，所以點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，，由對(duì)稱(chēng)性，，所以，解得所以所以點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，所以面積.故答案為：；.4．（2023·上海·模擬預(yù)測(cè)）正方體的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，是側(cè)面上動(dòng)點(diǎn)，若直線與面的交點(diǎn)位于內(nèi)（包括邊界），則所有滿足要求的點(diǎn)構(gòu)成的圖形面積為.【答案】/【分析】設(shè)，利用空間向量求交點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)交點(diǎn)位于內(nèi)（包括邊界），則，求出滿足的關(guān)系式，作出相應(yīng)區(qū)域，即可得結(jié)果.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，可得，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，即，設(shè)直線與面的交點(diǎn)為，則，∵點(diǎn)在直線上，可設(shè)，則，即，故，則，又∵點(diǎn)在面上，則，解得，故，則，設(shè)，則，解得，若點(diǎn)位于內(nèi)（包括邊界），則，整理得，如圖，在面中，即，作出相應(yīng)的區(qū)域，可得，故點(diǎn)構(gòu)成的圖形面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）根據(jù)三點(diǎn)共線：若在直線上，可設(shè)，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)共面向量：點(diǎn)位于內(nèi)（包括邊界），則.5．（2023·廣西·一模）如圖，在正方體中，，P是正方形ABCD內(nèi)部（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得 B．平面C．若，則三棱錐外接球的表面積為 D．M為的中點(diǎn)，若MP與平面ABCD所成的角為，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為【答案】D【分析】根據(jù)線面垂直判斷線線垂直可求解A，利用線面平行判斷B，根據(jù)外接球與三棱錐的的幾何關(guān)系判斷C，利用線面角的定義確定點(diǎn)的軌跡即可求解D,【詳解】對(duì)于A，連接,因?yàn)槠矫?平面,所以,且四邊形為正方形，所以,且，平面,所以平面,所以當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，必有平面,則，所以存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P，使得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與平面相交，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則為中點(diǎn)，連接,則為等腰直角三角形，且PB⊥PC，且也為等腰直角三角形，且,且平面平面，所以取中點(diǎn)為，則為三棱錐外接球的球心，所以外接球的半徑為,所以我外接球的表面積為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接因?yàn)槠矫妫詾镸P與平面ABCD所成的角，所以，所以,所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的個(gè)圓弧，所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為，D正確，故選:D.1．（2024·四川成都·二模）在正方體中，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng).當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，則該正方體的表面積為（

）A．6 B．8 C．24 D．54【答案】C【分析】由線段是定值結(jié)合正方體的特征得出點(diǎn)的軌跡，結(jié)合弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，由正方體性質(zhì)知平面，平面，得，所以，所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，設(shè)圓弧分別交與點(diǎn)，則，所以，同理，所以圓心角是，則軌跡長(zhǎng)度為，可得，所以正方體的表面積為.故選：.2．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知四棱錐中，側(cè)面底面，，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，是四邊形及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取線段的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出平面，可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓及其內(nèi)部，結(jié)合圓的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】取線段的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為的正方形，則，所以，，，所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓及其內(nèi)部，因此，動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為.故選：B.3．（2022·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體中，，點(diǎn)E為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，若，則點(diǎn)E的軌跡所圍成的面積為．【答案】【分析】連接交平面于，連接，則有四面體為正三棱錐，由題意可得在平面內(nèi)的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓即可得答案.【詳解】解：如圖所示，連接交平面于，連接，由題意可知平面，所以是與平面所成的角，所以＝.由可得，即.在四面體中，,

,所以四面體為正三棱錐，為的重心，如圖所示：所以解得，,又因?yàn)椋?，即在平面?nèi)的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓，所以.故答案為:.4．（2024·北京延慶·一模）已知在正方體中，，是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，，則滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，在平面上，分別以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)已知列出滿足的關(guān)系，進(jìn)而可得滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形，計(jì)算面積即可.【詳解】如圖，連接，則，

如圖，在平面上，分別以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，由，得，即，整理得，設(shè)直線與交于點(diǎn)，則點(diǎn)在內(nèi)部(含邊界)，即滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形為及其內(nèi)部，易知，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是在底面上建立平面直角坐標(biāo)系，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題去解決．5．（22-23高三上·江西撫州·期中）已知菱形的各邊長(zhǎng)為.如圖所示，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，得到三棱錐，此時(shí).若是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在三棱錐的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持則點(diǎn)的軌跡的面積為.

【答案】【分析】取中點(diǎn)，由題可得平面，設(shè)點(diǎn)軌跡所在平面為，則軌跡為平面截三棱錐的外接球的截面圓，利用球的截面性質(zhì)求截面圓半徑即得.【詳解】取中點(diǎn)，連接，則，，平面，所以平面，又因?yàn)?，則，作于，設(shè)點(diǎn)軌跡所在平面為，則平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，的中心分別為，可知平面平面，且四點(diǎn)共面，由題可得，在Rt中，可得，又因?yàn)?，則，易知到平面的距離，故平面截外接球所得截面圓的半徑為，所以截面圓的面積為.故答案為：.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問(wèn)題的求解方法利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．6．（2024·四川綿陽(yáng)·三模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)在棱上，且．則下列結(jié)論不正確的是（

）A．若保持．則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為B．保持與垂直時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為C．沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為D．當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為【答案】C【分析】由可知，可過(guò)點(diǎn)作平面，即可找到動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；找出與垂直的平面，與平面的交線即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡；將平面和平面沿展開(kāi)在同一平面上求點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程；將建立空間直角坐標(biāo)系求解三棱錐的外接球的半徑.【詳解】對(duì)于，過(guò)點(diǎn)作平面，以為圓心，為半徑在平面內(nèi)作圓交于點(diǎn),則即為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，∵，∴,∴，∴，∴的長(zhǎng)為，則正確；對(duì)于，∵平面,平面，∴,∵，平面，平面，，∴平面，∵平面，∴,同理可證，∵平面，，平面，∴平面，找上的點(diǎn)，使得，找上的點(diǎn)，使得,連接，∵∥,∥,∴∥,∵平面，平面，∴∥平面，∵∥，平面，平面，∴∥平面，∵平面，平面，，∴平面∥平面，∴平面，在上找一點(diǎn)使得，連接,∵∥，∥，∴∥，∴四點(diǎn)共面，∴平面，∴點(diǎn)的軌跡為線段,,則正確；將平面和平面沿展開(kāi)在同一平面上，從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為,則,則錯(cuò)誤；分別以所在的直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則，即，解得，∴三棱錐的外接球半徑,∴三棱錐的外接球表面積為,則正確；故選：.【點(diǎn)睛】求三棱錐的外接球半徑還可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出球心的坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)到球心的距離相等列出方程組求解.考點(diǎn)四、軌跡中長(zhǎng)度的最值及范圍1．（2022·青海西寧·二模）在棱長(zhǎng)為3的正方體中，P為內(nèi)一點(diǎn)，若的面積為，則AP的最大值為．【答案】/【分析】先證明平面，由條件確定點(diǎn)的軌跡，由此可求AP的最大值.【詳解】因?yàn)椋?平面，，所以，同理可證，又，，所以平面，設(shè)與平面相交于點(diǎn)O，連接，因?yàn)槠矫妫运?，又，則，即點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，因?yàn)?，平面，所以，又為等邊三角形，?所以，所以AP的最大值為．故答案為：.2．（17-18高二下·山西大同·階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M，N分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面內(nèi)，點(diǎn)Q在線段上，若，則長(zhǎng)度的最小值為.

【答案】【分析】根據(jù)題意，由條件可得點(diǎn)在以為圓心，為半徑的位于平面內(nèi)的半圓上，點(diǎn)到的距離減去半徑就是長(zhǎng)度的最小值，結(jié)合圖形，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，連接，則平面，所以，因?yàn)?，正方體的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，所以，，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的位于平面內(nèi)的半圓上，單獨(dú)畫(huà)出平面以及相關(guān)點(diǎn)線，所以點(diǎn)到的距離減去半徑就是長(zhǎng)度的最小值，連接，做交于點(diǎn)，則，所以，解得，所以長(zhǎng)度的最小值為.故答案為：3．（23-24高三上·河北承德·期中）如圖，在直三棱柱中，，若為空間一動(dòng)點(diǎn)，且，則滿足條件的所有點(diǎn)圍成的幾何體的體積為；若動(dòng)點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且，則線段長(zhǎng)的最小值為．

【答案】【分析】根據(jù)球的體積公式即可求解空1，根據(jù)球的截面圓性質(zhì)，結(jié)合線面垂直以及點(diǎn)到圓上的最小距離即可求解空2.【詳解】由可得點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的球面，所以圍成的球的體積為，過(guò)作，由，則由等面積法可得,由于在直三棱柱中，平面平面故,由于平面，故平面，由于平面，故,所以,由于到平面的距離和點(diǎn)到平面的距離相等，均為，又，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的球與側(cè)面的截面圓，該截面圓的半徑為,圓心為,且滿足，因此點(diǎn)的最小距離為，故，故答案為：，

1．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四面體中，和均是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，，則四面體外接球的表面積為；點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在四面體的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持EF⊥AC，則點(diǎn)F的軌跡的長(zhǎng)度為.【答案】53【分析】設(shè)四面體外接球的球心為的中心分別為，則可得平面平面，且四點(diǎn)共面，可得，進(jìn)而求出，然后由勾股定理求出四面體外接球的半徑；取中點(diǎn)，作，設(shè)點(diǎn)軌跡所在平面為，求出四面體外接球半徑和到平面的距離，從而可求出平面截外接球所得截面圓的半徑，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，連接，則，平面，又和均是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，，∴平面，，所以，∴，設(shè)四面體外接球的球心為的中心分別為，易知平面平面，且四點(diǎn)共面，由題可得，，在中，得，又，則四面體外接球半徑，所以四面體外接球的表面積為；作于，設(shè)點(diǎn)軌跡所在平面為，則平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)且，易知到平面的距離，故平面截外接球所得截面圓的半徑為，所以截面圓的周長(zhǎng)為，即點(diǎn)軌跡的周長(zhǎng)為53π.故答案為：；53π2．（2023·山東棗莊·二模）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且．平面，則線段MP長(zhǎng)度的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及三角形的中位線，利用線面平行的判定定理及面面平行的判定定理，結(jié)合直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)為,取的中點(diǎn)為,取的中點(diǎn)為，如圖所示因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以,因?yàn)槠矫?平面,所以平面,同理可得，平面,又,平面,所以平面平面.又平面,線段掃過(guò)的圖形是,由,得,,,,所以,即為直角，所以線段長(zhǎng)度的取值范圍是：.故選：A.3．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為是正方形（含邊界）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離等于，則兩點(diǎn)間距離的最大值為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】利用等體積法可得點(diǎn)到平面的距離等于，結(jié)合平行關(guān)系分析可得點(diǎn)的軌跡為線段，再根據(jù)的形狀分析求解.【詳解】由題意可知：，設(shè)三棱錐的高為，因?yàn)?，則，解得，即點(diǎn)到平面的距離等于，又因?yàn)椤?，且，則四邊形為平行四邊形，則∥，平面，平面，所以∥平面，即點(diǎn)的軌跡為線段，因?yàn)槠矫?，平面，所以，在中，兩點(diǎn)間距離的最大值為.故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：（1）利用等體積法求得點(diǎn)到平面的距離等于；（2）結(jié)合平行關(guān)系分析可得點(diǎn)的軌跡為線段.考點(diǎn)五、軌跡中體積的最值及范圍1．（2024·重慶·三模）已知棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，滿足，且，則四棱錐體積的最小值為.【答案】【分析】利用正方體的空間垂直關(guān)系去證明平面內(nèi)的點(diǎn)都滿足，再去證明動(dòng)點(diǎn)M在以為圓心，以為半徑的圓上，從而利用點(diǎn)M在圓上的性質(zhì)去解決最值問(wèn)題.【詳解】解：如圖所示，設(shè)，由正方體性質(zhì)可知平面，由于平面，，又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)，所以，即點(diǎn)在平面內(nèi)，又因?yàn)?，所以與點(diǎn)在以點(diǎn)為球心，1為半徑的球面上，又因?yàn)槠矫妫狡矫娴木嚯x為的一半，由正方體的邊長(zhǎng)為1，則，又，，在平面內(nèi)，且以H為圓心，為半徑的半圓弧上，到平面的距離的最小值為，四棱錐體積的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：借助空間關(guān)系可知到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)M在線段的中垂面上，又由到定點(diǎn)距離為1的點(diǎn)M又在球面上，從而得到點(diǎn)M的軌跡是中垂面截平面的小圓.2．（2023·福建龍巖·二模）正方體的棱長(zhǎng)為2，若點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先確定點(diǎn)的位置，再利用球的性質(zhì)，以及空間向量的距離公式，確定球心坐標(biāo)，即可確定外接球的半徑，即可求解．【詳解】的周長(zhǎng)為，由于為定值，即最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，如圖，將平面展成與平面同一平面，則當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)最小，在展開(kāi)圖中作，垂足為，，解得：，

如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

，，連結(jié)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，且，平面，平面，所以平面，平面，所以，同理，且，所以平面，且三棱錐是正三棱錐，所以經(jīng)過(guò)△的中心．所以三棱錐外接球的球心在上，設(shè)球心，，，則，即，解得：，，所以外接球的表面積.故選：C.1．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直，點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．設(shè)，，若，當(dāng)四面體體積最大時(shí)，則該四面體的內(nèi)切球半徑為．【答案】或【分析】先確定點(diǎn)的軌跡，確定四面體體積最大時(shí)，，點(diǎn)的位置，再利用體積法求內(nèi)切球半徑.【詳解】如圖：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，且，所以平?平面，所以BE⊥AP，又，平面，所以平面，平面，所以.又在正方形及其內(nèi)部，所以點(diǎn)軌跡是如圖所示的以為直徑的半圓，作于，則是三棱錐的高.所以當(dāng)?shù)拿娣e和都取得最大值時(shí)，四面體的體積最大.此時(shí)點(diǎn)應(yīng)該與或重合，為正方形的中心.如圖：當(dāng)點(diǎn)與重合，為正方形的中心時(shí)：，，，，中，因?yàn)椋?，，所?設(shè)內(nèi)切球半徑為，由得：.如圖：當(dāng)點(diǎn)與重合，為正方形的中心時(shí)：，，，，.設(shè)內(nèi)切球半徑為，由得：.綜上可知，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，其內(nèi)切球半徑為：或.故答案為：或【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)得到點(diǎn)在以為直徑的球面上，又點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部，所以點(diǎn)軌跡就是球面與平面的交線上，即以為直徑的半圓上.明確點(diǎn)軌跡是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.2．（2024·山東青島·三模）已知長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，記二面角的平面角為，直線與平面所成的角為，若，則三棱錐體積的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)題意，判斷得的軌跡為拋物線一部分，建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出直線和拋物線段的方程，由題意，計(jì)算點(diǎn)到線段的最短距離，再由等體積法計(jì)算三棱錐最小體積.【詳解】如圖，作平面，垂足為，再作，垂足為，連接，則，，由，則，又、平面，故，，則，由拋物線定義可知，的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線一部分，所以的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線一部分，當(dāng)點(diǎn)到線段距離最短時(shí)，三角形面積最小，即三棱錐體積最小，取中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，則直線的方程為：，即，拋物線的方程為，則，由題意，令，得，代入，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以到直線的最短距離為：，因?yàn)?，所以，所以三棱錐體積的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵是能判斷出點(diǎn)的軌跡為拋物線一部分，再建立平面直角坐標(biāo)系，求解到直線的最短距離，利用等體積法求解三棱錐的最小體積.考點(diǎn)六、軌跡中空間角的最值及范圍1．（2021·山東濱州·二模）在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面，則異面直線與所成角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，取中點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出平面平面，從而的軌跡是線段，建立空間之間坐標(biāo)系后，利用空間向量求解異面直線夾角的余弦值，即可得角度范圍.【詳解】解：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，取中點(diǎn)，連接，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，，，，，，平面平面，是底面內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面，的軌跡是線段，如圖，以D為原點(diǎn)，為軸建立空間之間坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2則，，，，由于在線段上，設(shè)，且所以則，又所以由于，所以所以異面直線與所成角的取值范圍.故選：C.2．（2023·江蘇鹽城·三模）動(dòng)點(diǎn)在正方體從點(diǎn)開(kāi)始沿表面運(yùn)動(dòng)，且與平面的距離保持不變，則動(dòng)直線與平面所成角正弦值的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系和余弦定理以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.【詳解】

連接，容知，,所以平面平面,M與平面的距離保持不變，點(diǎn)M的移動(dòng)軌跡為三角形的三條邊，當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角正弦值最大，

取的中點(diǎn)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，所以，，，所以,所以為直角三角形，

所以直線與平面所成角正弦值為,當(dāng)M為C點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最小，此時(shí)，，，

所以，.直線與平面所成角正弦值的取值范圍是，故選：A.3．（17-18高三上·江西鷹潭·階段練習(xí)）如圖，已知平面，，A、B是直線l上的兩點(diǎn)，C、D是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，，，．P是平面上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線PD，PC與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)題目條件得到，進(jìn)而建立平面直角坐標(biāo)系，求出P點(diǎn)軌跡方程，點(diǎn)P在內(nèi)的軌跡為以為圓心，以4為半徑的上半圓，從而求出當(dāng)PB與圓相切時(shí)，二面角的平面角最大，求出相應(yīng)的余弦值最小值.【詳解】由題意易得PD與平面所成角為，PC與平面所成角為，∵，∴，∴，∴，∴P點(diǎn)軌跡為阿氏圓．在平面內(nèi)，以為軸，以的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，整理得：，所以點(diǎn)P在內(nèi)的軌跡為以為圓心，以4為半徑的上半圓，因?yàn)槠矫妫?，，，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以二面角的平面角為，由圖可知，當(dāng)PB與圓相切時(shí)，最大，余弦值最小，此時(shí)，故.故選：B．4．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，是平面外一點(diǎn)，設(shè)直線與平面的夾角為，若，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義和旋轉(zhuǎn)體的概念可知當(dāng)時(shí)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢球,即可根據(jù)求解最值.【詳解】由題意知，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，、為定點(diǎn)，，由橢圓的定義知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，為焦距，長(zhǎng)軸為的橢圓，將此橢圓繞旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)橢球，即點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢球，而橢球面為一個(gè)橢圓，由，即，得，設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為，則，又，且，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)最大，即取到最大值，故選：B．1．（2021·湖南永州·模擬預(yù)測(cè)）已知正四面體內(nèi)接于半徑為的球中，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值是；直線與直線所成角的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)A在面內(nèi)的投影為E，故E為三角形的中心，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為x，球O的半徑為R，球心O在上，列式求出得，則可求出，，推導(dǎo)出P的軌跡為平面內(nèi)以E為圓心，為半徑的圓，三點(diǎn)共線時(shí)，且P在之間時(shí)，可求得的最小值；以E為圓點(diǎn)，所在直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出直線與直線所成角的取值范圍．【詳解】在正四面體中，設(shè)A在面內(nèi)的投影為E，故E為三角形的中心，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為x，球O的半徑為R，則，依題意正四面體內(nèi)接于半徑為的球中，故球心O在上，設(shè)球的半徑為R,則，即，解得，（舍去），則，，又，故P的軌跡為平面內(nèi)以E為圓心，為半徑的圓，而，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，且P在之間時(shí)，最小，最小值是；以E為圓心，所在直線為x軸，在底面內(nèi)過(guò)點(diǎn)E作的垂線為y軸，為z軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則,,,，設(shè)，，故，,設(shè)直線與直線所成角為，,因?yàn)?，故，故，又，故，故，故答案為?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解的最小值時(shí)，關(guān)鍵在于根據(jù)正四面體中的相關(guān)計(jì)算，確定點(diǎn)P的軌跡為以E為圓心，為半徑的圓，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，即可求得答案.求解直線與直線所成角時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用向量的夾角公式求解，關(guān)鍵是要明確向量的夾角與直線所成的角之間的關(guān)系.2．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）正方體的棱長(zhǎng)為，為中點(diǎn)，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若平面與平面和平面所成銳二面角相等，則點(diǎn)到的最短距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先證明一個(gè)結(jié)論：若平面與平面所成二面角為，且平面，則.根據(jù)推出，再求出中邊上的高，得到點(diǎn)軌跡為與平行且距離為的兩條直線，從而可得結(jié)果.【詳解】先證明一個(gè)結(jié)論：若平面與平面所成二面角為，且平面，則.證明：作，垂足為，連，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，在直角三角形中，，?

設(shè)平面與平面和平面所成銳二面角為，取的中點(diǎn)，作，垂足為，則三角形在平面內(nèi)的射影是三角形，在平面內(nèi)的射影是三角形，根據(jù)以上結(jié)論得，，在中，設(shè)邊上高為，，所以，，所以點(diǎn)軌跡為與平行且距離為的兩條直線，所以點(diǎn)到的最短距離為.

故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三角形面積、射影三角形面積和二面角的余弦值之間的關(guān)系推出是解題關(guān)鍵.3．（23-24高三下·青海西寧·開(kāi)學(xué)考試）如圖，正四面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E在四面體外側(cè)，且是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．現(xiàn)以為軸，點(diǎn)E繞旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)三棱錐E?BCD的體積最小時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的平方為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】取中點(diǎn)F，取中點(diǎn)M，確定點(diǎn)E的軌跡，從而結(jié)合三棱錐E?BCD的體積最小，確定E點(diǎn)所處位置，進(jìn)而作出直線CE與平面BCD所成角，解三角形，求出相關(guān)線段長(zhǎng)，即可求得答案.【詳解】在正四面體中，取中點(diǎn)F，連接，則，取中點(diǎn)M，連接，則，是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，正四面體的棱長(zhǎng)為2，則，且，

點(diǎn)E繞AD旋轉(zhuǎn)一周，形成的圖形為以M為圓心，以為半徑的圓，設(shè)該圓與的交點(diǎn)為，當(dāng)三棱錐E?BCD的體積最小時(shí)，即E點(diǎn)到底面的距離最小，即此時(shí)E點(diǎn)即位于處，因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為2，則，又中點(diǎn)為M，則，則，設(shè)點(diǎn)在底面上的射影為H，則，又，中點(diǎn)為F，故，故，由于點(diǎn)在底面上的射影為H，故即為直線與平面BCD所成角，故，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查在四面體中求解線面角的正弦值問(wèn)題，解答時(shí)要發(fā)揮空間想象，明確空間的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，解答的關(guān)鍵在于確定E點(diǎn)的軌跡，從而確定三棱錐E?BCD的體積最小時(shí)E點(diǎn)的位置，由此作出直線與平面BCD所成角，解三角形，求得答案.考點(diǎn)七、截面問(wèn)題1．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知，底面半徑的圓錐內(nèi)接于球，則經(jīng)過(guò)和中點(diǎn)的平面截球所得截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)球的截面性質(zhì)，結(jié)合三角形面積等積性、勾股定理進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖，設(shè)球的半徑為，線段的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，解得，設(shè)經(jīng)過(guò)和中點(diǎn)的平面截球所得截面圓的圓心為，半徑為，球心到截面的距離，則，要截面面積最小，則要最小，即要最大，因?yàn)楫?dāng)為點(diǎn)到的距離時(shí)最大，此時(shí)，又，所以，所以，故截面面積的最小值為．故答案為：．故選：A2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，過(guò)直線EF的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為，最大值為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可求得正方體的外接球球心位置，易知當(dāng)截面面積最大時(shí)，截面圓的半徑為該正方體外接球的半徑，當(dāng)截面與OP垂直時(shí)，截面面積最?。环謩e求出對(duì)應(yīng)的半徑大小即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，正方體的外接球球心在其中心點(diǎn)處，設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為，則外接球的半徑，要使過(guò)直線EF的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段EF的中點(diǎn)，連接OE，OF，OP，則，，所以，此時(shí)截面圓的半徑．顯然當(dāng)截面面積最大時(shí)，截面圓的半徑為該正方體外接球的半徑；所以．故選：D．3．（2024·廣東廣州·二模）用兩個(gè)平行平面去截球體，把球體夾在兩截面之間的部分稱(chēng)為球臺(tái)．根據(jù)祖暅原理（“冪勢(shì)既同，則積不容異”），推導(dǎo)出球臺(tái)的體積，其中分別是兩個(gè)平行平面截球所得截面圓的半徑，是兩個(gè)平行平面之間的距離．已知圓臺(tái)的上、下底面的圓周都在球的球面上，圓臺(tái)的母線與底面所成的角為，若圓臺(tái)上、下底面截球所得的球臺(tái)的體積比圓臺(tái)的體積大，則球O的表面積與圓臺(tái)的側(cè)面積的比值的取值范圍為．【答案】【分析】設(shè)圓臺(tái)的上下底面半徑分別為，根據(jù)母線與底面所成的角為，可得圓臺(tái)的高為，母線長(zhǎng)為，表示出圓臺(tái)體積，由題意，可求得，進(jìn)而可得，求值域即可得解．【詳解】設(shè)圓臺(tái)的一條母線為，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，則即為母線與底面所成的角為，設(shè)圓臺(tái)上底面圓的半徑為，下底面圓的半徑為，高為，則，即，即，圓臺(tái)體積為，球臺(tái)的體積為，由題意，則，即，即，即，設(shè)圓臺(tái)外接球的球心為，半徑為，則在所在直線上，設(shè)，則，由，解得，則球的表面積，臺(tái)體側(cè)面積，故，，由，可得，則，則，故的取值范圍為，故答案為：．【點(diǎn)睛】立體幾何中體積最值問(wèn)題，一般可從三個(gè)方面考慮：一是構(gòu)建函數(shù)法，即建立所求體積的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行求解；二是借助基本不等式求最值，幾何體變化過(guò)程中兩個(gè)互相牽制的變量（兩個(gè)變量之間有等量關(guān)系），往往可以使用此種方法；三是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值.4．（22-23高三下·湖北武漢·期中）在正四棱臺(tái)中，，AA1=23，M為棱的中點(diǎn)，當(dāng)正四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，平面MBD截該正四棱臺(tái)的截面面積是（

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的體積公式、結(jié)合基本不等式、線面平行的判定定理、梯形的面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】設(shè)，上底面和下底面的中心分別為，，過(guò)作,該四棱臺(tái)的高，在上下底面由勾股定理可知，．在梯形中，，所以該四棱臺(tái)的體積為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，．取,的中點(diǎn)，,連接,，顯然有，由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面．顯然，在直角梯形中，，因此在等腰梯形中，，同理在等腰梯形中，，在等腰梯形中，設(shè)，，則，，所以梯形的面積為，故選：C．【點(diǎn)睛】解決與幾何體截面的問(wèn)題，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題思維流程如下：（1）根據(jù)空間中的線面關(guān)系，找到線線平行或者垂直，進(jìn)而確定線面以及面面關(guān)系，（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；（3）求長(zhǎng)度下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于長(zhǎng)度的方程，并求解.5．（2024·北京豐臺(tái)·二模）“用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線”．利用這個(gè)原理，小明在家里用兩個(gè)射燈（射出的光錐視為圓錐）在墻上投影出兩個(gè)相同的橢圓（圖1），光錐的一條母線恰好與墻面垂直．圖2是一個(gè)射燈投影的直觀圖，圓錐的軸截面是等邊三角形，橢圓所在平面為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由勾股定理結(jié)合余弦定理代入計(jì)算可得，再由相似三角形的相似比結(jié)合勾股定理可分別計(jì)算出橢圓的，結(jié)合橢圓的離心率即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，由于，所以PB⊥AM，在等邊三角形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于是，在平面中，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，，連接，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，由于為中點(diǎn)，所以在中，，由勾股定理可得，在中，，，，由余弦定理可得，在中，由于，所以，于是有，設(shè)橢圓短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)為，連接分別交圓錐于，由于，所以，由于為圓錐母線，所以，從而有，在中，由勾股定理可得，所以在橢圓中，，，則，則離心率為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓定義的理解以及橢圓離心率的求解，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于結(jié)合橢圓的定義以及余弦定理代入計(jì)算，分別求得，從而得到結(jié)果.1．（2024·四川瀘州·三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，P為的中點(diǎn)，過(guò)A，B，P三點(diǎn)作平面，則該正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出球心到平面的距離，再利用球的截面小圓性質(zhì)求出截面圓半徑即可.【詳解】正方體的外接球球心是的中點(diǎn)，而，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半，又平面過(guò)線段的中點(diǎn)P，因此點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，由平面，，得平面，在平面內(nèi)過(guò)作于，而平面，于是，又，從而，又球的半徑，則正方體的外接球被平面截得的截面圓半徑，有，所以正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積.故選：D2．（2024·云南曲靖·模擬預(yù)測(cè)）正方體外接球的體積為，、、分別為棱的中點(diǎn)，則平面截球的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知，得到正方體外接球的半徑，進(jìn)而得到正方體的棱長(zhǎng)，再由勾股定理計(jì)算出平面截球的截面圓的半徑，即可得到截面面積.【詳解】

設(shè)正方體外接球的半徑為，棱長(zhǎng)為，因?yàn)檎襟w外接球的體積為，所以，則，由，得，設(shè)球心到平面的距離為，平面截球的截面圓的半徑為，設(shè)到平面的距離為,因?yàn)?、、分別為棱的中點(diǎn)，所以是邊長(zhǎng)為的正三角形,由,得,則,解得,又,所以到平面的距離為，則，，所以平面截球的截面面積為，.故選：A.3．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，，，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作三棱錐的截面，使截面平行于直線和，當(dāng)該截面面積取得最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過(guò)作平行線作出題中的截面，并結(jié)合線面平行以及線面垂直說(shuō)明其為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長(zhǎng)，并求得其面積表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定截面面積取得最大值時(shí)參數(shù)的值，解直角三角形即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)；在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)；在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，

因?yàn)椋瑒t，設(shè)其相似比為，即，則；又因?yàn)椋?，，由余弦定理得，，則，即.又平面，，平面，所以，.又，則，.因?yàn)?，則，則，因?yàn)椋?，即，同理可得，即，因?yàn)?，，則，故四邊形為平行四邊形；而平面，平面，故平面，同理平面，即四邊形為截面圖形；又平面，平面，則，又，所以.故平行四邊形為矩形，則，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，則，在中，.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先作平行線作出題中的截面，再證明四邊形為符合題意的截面圖形，結(jié)合線面平行以及線面垂直說(shuō)明四邊形為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長(zhǎng)，并求得其面積表達(dá)式，利用二次函數(shù)求出最值得解.4．（23-24高二上·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）已知正三棱錐的外接球是球，正三棱錐底邊，側(cè)棱，點(diǎn)在線段上，且，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)的中心為，球O的半徑為R，在中，利用勾股定理求出，余弦定理求出，再由勾股定理求出，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小，當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面面積最大.【詳解】如下圖，設(shè)的中心為，球O的半徑為R，連接，OD，，OE，則，在中，，解得R＝2，所以，因?yàn)锽E＝DE，所以，在中，，所以，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小，此時(shí)截面的半徑為，則截面面積為，當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面面積最大，最大面積為4π.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小，當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面面積最大.5．（2024·重慶·三模）在三棱錐中，為正三角形，為等腰直角三角形，且，，則三棱錐的外接球的體積為；若點(diǎn)滿足，過(guò)點(diǎn)作球的截面，當(dāng)截面圓面積最小時(shí)，其半徑為.【答案】/【分析】根據(jù)勾股定理可得，，如圖，，結(jié)合球的體積公式計(jì)算即可求出外接球的體積；確定當(dāng)與截面垂直時(shí)球心到截面的距離d最大，且，結(jié)合勾股定理計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，，，，由勾股定理可知，，，所以，，取的中點(diǎn)，所以，所以為三棱錐的外接球的球心，則三棱錐的外接球的半徑，故外接球的體積.過(guò)點(diǎn)作球的截面，若要所得的截面圓中面積最小，只需截面圓半徑最小，設(shè)球到截面的距離d，只需球心到截面的距離d最大即可，當(dāng)且僅當(dāng)與截面垂直時(shí)，球心到截面的距離d最大，即，取的中點(diǎn)，，所以，所以截面圓的半徑為.故答案為：；【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的思路是確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.考點(diǎn)八、軌跡、截面、動(dòng)點(diǎn)、范圍多選題綜合1．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，N為ABCD（包含邊界）上一動(dòng)點(diǎn)，為平面上一點(diǎn)，且平面ABCD，那么（

）A．若，則N的軌跡為圓的一部分B．若三棱柱的側(cè)面積為定值，則N的軌跡為橢圓的一部分C．若點(diǎn)N到直線與直線DC的距離相等，則N的軌跡為拋物線的一部分D．若與AB所成的角為，則N的軌跡為雙曲線的一部分【答案】ABD【分析】對(duì)于A：求出可得答案；對(duì)于B：根據(jù)側(cè)面積為定值，可得為定值，根據(jù)橢圓定義可得答案；對(duì)于C：根據(jù)距離相等可得動(dòng)點(diǎn)軌跡為AD所在直線一部分，進(jìn)而得答案；對(duì)于D：以D為原點(diǎn)，DA，DC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，利用坐標(biāo)運(yùn)算可得點(diǎn)N的軌跡方程.【詳解】對(duì)于A，若，則，故動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為圓的一部分，故A正確；對(duì)于B，若三棱柱的側(cè)面積為定值，且高為2，可得為定值，即為定值，且必有成立，故動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為橢圓的一部分，故B正確；對(duì)于C，由題意得點(diǎn)N到直線與直線DC的距離相等，故點(diǎn)N到點(diǎn)D與到直線DC的距離相等，故動(dòng)點(diǎn)軌跡為AD所在直線一部分，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，以D為原點(diǎn)，DA，DC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0，，，設(shè)，則，，若與AB所成的角為，所以，所以整理得，所以點(diǎn)N的軌跡為雙曲線的一部分，故D正確.故選：ABD．2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，若點(diǎn)為四邊形內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則平面截正方體所得截面的面積為B．若直線與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線C．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．若正方體以直線為軸，旋轉(zhuǎn)后與其自身重合，則的最小值是120【答案】ABD【分析】由截面知識(shí)結(jié)合三角形面積公式即可驗(yàn)證A，由異面直線夾角結(jié)合雙曲線的定義可驗(yàn)證B，由橢球的概念和性質(zhì)可知該橢球被平面截得的在四邊形內(nèi)的部分為半圓，且半徑為，則可驗(yàn)證C，將正方體繞旋轉(zhuǎn)后與其自身重合，轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)后能和自身重合，則D可驗(yàn)證.【詳解】對(duì)于A，若，顯然平面截正方體所得截面為，所以，截面面積為，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，若與所成的角為，則點(diǎn)在以為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐（無(wú)底）的表面上，而平面，所以則點(diǎn)的軌跡為雙曲線，所以B正確；對(duì)于C，若，則在以、為焦點(diǎn)的橢球上且，，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)為四邊形內(nèi)，該橢球被平面截得的在四邊形內(nèi)的部分為半圓，且半徑為，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，平面，且為正三角形，若正方體繞旋轉(zhuǎn)后與其自身重合，只需要旋轉(zhuǎn)后能和自身重合即可，所以D正確.故選：ABD.3．（2024·遼寧大連·二模）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M為中點(diǎn)，N為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面BMD，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．三棱錐的體積為C．點(diǎn)N的軌跡長(zhǎng)度為 D．的取值范圍為【答案】BD【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)得出平面平面BMD，則根據(jù)已知得出點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），當(dāng)為時(shí)，根據(jù)異面直線的平面角結(jié)合正方體的性質(zhì)得出與的夾角為，此時(shí)，即可判斷A；三棱錐,利用等體積法結(jié)合體積公式即可判斷B；根據(jù)點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），利用勾股定理求出求，即可判斷C；根據(jù)正方體性質(zhì)結(jié)合已知可得，則，即可根據(jù)的范圍得出的范圍判斷D．【詳解】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為中點(diǎn)，為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），平面BMD，取、中點(diǎn)分別為、，連接、、、，，如圖：為正方體，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，，，，、平面，、平面BMD，且，，平面平面BMD，為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），且平面BMD，點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），對(duì)于A：當(dāng)在時(shí)，則與的夾角為，此時(shí)，則與不垂直，故A不正確；對(duì)于B為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），到平面的距離為2，三棱錐的體積為，故B正確；對(duì)于C：由于點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），而，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故C不正確；對(duì)于D為正方體，平面，平面，，△為直角三角形，且直角為，，點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），則當(dāng)最大時(shí)，即點(diǎn)為點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)最小，為，當(dāng)最小時(shí)，即，此時(shí)，此時(shí)最大，最大為，則的取值范圍，故D正確．故選：BD．4．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，空間中一動(dòng)點(diǎn)滿足，分別為的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得平面B．設(shè)與平面交于點(diǎn)，則C．若，則點(diǎn)的軌跡為拋物線D．三棱錐的外接球半徑最小值為【答案】ABD【分析】對(duì)于A，根據(jù)向量共面定理可得在平面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，可證平面；對(duì)于B，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，可證平面，故交點(diǎn)為點(diǎn)在平面的射影，利用等體積法可求得的長(zhǎng)度，從而得到；