第11講 圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題（高階拓展、競賽適用）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題（高階拓展、競賽適用）（3類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年全國乙卷（文科），第12題,5分由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率已知方程求雙曲線的漸近線討論雙曲線與直線的位置關(guān)系2022年新Ⅱ卷，第16題,5分由中點(diǎn)弦求弦方程根據(jù)弦長求參數(shù)2022年新Ⅱ卷，第21題,12分求雙曲線中的弦長由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、斜率求參數(shù)根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的中點(diǎn)弦及其相關(guān)計(jì)算2.會(huì)用點(diǎn)差法求解相關(guān)問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識講解橢圓中點(diǎn)弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為橢圓xkAB.kOM=?b2a2=e2kAB.雙曲線的中點(diǎn)弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為雙曲線x2a2?y2b2=1弦AB(AB不平行y軸)的中點(diǎn),則

k3.拋物線的中點(diǎn)弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為拋物線y2=2px弦AB(AB不平行y軸)的中點(diǎn),則kAB=py04.中點(diǎn)弦斜率拓展在橢圓x2a2+y2b2=1中,以Px0,y0為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=?b5.橢圓其他斜率形式拓展橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的長軸頂點(diǎn)，P點(diǎn)是橢圓上異于長軸頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的短軸頂點(diǎn)，P點(diǎn)是橢圓上異于短軸頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有橢圓的方程為（a＞b＞0），過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，P點(diǎn)是橢圓上異于兩點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有點(diǎn)差法妙解中點(diǎn)弦問題

若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)為Ax將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差,得到一個(gè)與弦AB的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子,可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”。

（1）設(shè)點(diǎn):若Ax1,y1,Bx2,y2是橢圓x2a2+y2b2=1a>b化簡可得y1+考點(diǎn)一、橢圓中的中點(diǎn)弦問題1．（2022·全國·高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為．2．（重慶·高考真題）直線與圓相交于兩點(diǎn)，，弦的中點(diǎn)為，則直線的方程為．3．（全國·高考真題）已知橢圓E:＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝11．（2024高三·全國·專題練習(xí)）橢圓上的兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線對稱，則弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓＋＝1內(nèi)有一點(diǎn)P(2,3)，過點(diǎn)P的一條弦恰好以P為中點(diǎn)，則這條弦所在的直線方程為．3．（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測）已知傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西銅川·三模）已知原點(diǎn)為，橢圓與直線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．（23-24高三下·安徽六安·階段練習(xí)）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．考點(diǎn)二、雙曲線中的中點(diǎn)弦問題1．（2023·全國·高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．2．（全國·高考真題）已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過F的直線與相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為,則的方程式為A． B． C． D．3．（全國·高考真題）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于，兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是A． B．C． D．1．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知A，B為雙曲線上不同兩點(diǎn)，下列點(diǎn)中可為線段的中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·天津和平·期末）直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)，則直線l的斜率為（

）A． B． C． D．3．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．34．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知直線l與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為，則直線l的方程為．5．（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交雙曲線E于A、B兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則E的方程為（

）A． B．C． D．6．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線：的左右頂點(diǎn)分別為、．(1)求以、為焦點(diǎn)，離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線過點(diǎn)與雙曲線交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦的中點(diǎn)，求出直線的方程；7．（22-23高二上·內(nèi)蒙古包頭·期末）如圖1、2，已知圓方程為，點(diǎn)．M是圓上動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)記點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)是否存在一條直線，使得直線與曲線交于兩點(diǎn)，且是線段中點(diǎn)．考點(diǎn)三、拋物線中的中點(diǎn)弦問題1．（四川·高考真題）已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)、，則等于（）A．3 B．4 C． D．2．（山東·高考真題）已知拋物線，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為A． B．C． D．3．（北京·高考真題）已知點(diǎn)在拋物線上，ΔABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)重合(如圖).（1）寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求所在直線的方程.1．（2024·山西臨汾·二模）已知拋物線，過點(diǎn)的直線與相交于A，B兩點(diǎn)，且為弦AB的中點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．?22．（2024·甘肅蘭州·三模）過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，已知，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．83．（23-24高二上·湖北·期中）若拋物線上兩點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，且，則中點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·安徽·開學(xué)考試）已知拋物線的準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，且線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．5．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知拋物線，過C的焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為W，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（23-24高三上·陜西安康·階段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為.過拋物線C頂點(diǎn)的直線l與準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，與拋物線C交于另一點(diǎn)N.若MF=NF，則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．一、單選題1．（23-24高二上·山西太原·期末）在橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為（

）A． B． C． D．2．（21-22高三上·貴州·階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，過點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，則直線的方程為（

）A． B． C． D．3．（21-22高二下·安徽·開學(xué)考試）已知點(diǎn)，是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)是，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·貴州·開學(xué)考試）已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，，線段的中點(diǎn)為，則的面積為（

）A． B． C． D．二、填空題6．（23-24高二上·寧夏·期中）已知為拋物線上的兩點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則直線AB的斜率為.7．（2022高三上·全國·專題練習(xí)）已知橢圓：的中心為，為左焦點(diǎn)，為橢圓上頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的離心率為三、解答題8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)．求：(1)線段AB的長；(2)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)．9．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)坐標(biāo).10．（2021·湖南·模擬預(yù)測）已知雙曲線的其中一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求直線的方程.一、單選題1．（2024·吉林白山·一模）不與坐標(biāo)軸垂直的直線過點(diǎn)，，橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于對稱，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，為鄰邊作平行四邊形，點(diǎn)恰好在上．若線段的中點(diǎn)在直線上，則直線的方程為（

）A． B． C． D．3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知橢圓，過點(diǎn)作傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線，直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)P在直線l上，且直線OP把分成面積相等的兩部分，則下列能作為點(diǎn)P的坐標(biāo)的是（

）A． B． C． D．三、填空題5．（23-24高三上·山東德州·期末）若直線過拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)，的中垂線交軸于點(diǎn)，則．6．（2022高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上不關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為.四、解答題7．（2024·貴州黔南·二模）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且的最小值為1.(1)拋物線的方程；(2)若直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo).8．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測）已知雙曲線()經(jīng)過點(diǎn)，其漸近線方程為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，P能否是線段AB的中點(diǎn)？請說明理由．9．（22-23高二上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線(1)求的方程；(2)是否存在過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)？若存在，求該直線方程，若不存在，請說明理由．10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓，橢圓的右焦點(diǎn)為．(1)求過點(diǎn)且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長；(2)判斷點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，并求以為中點(diǎn)的橢圓的弦所在的直線方程．1．（2020·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)A是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交橢圓于點(diǎn)B，交拋物線于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若p=116，求拋物線（Ⅱ）若存在不過原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．2．（2018·全國·高考真題）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為