第15講 圓錐曲線中的最值及范圍問題（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第15講圓錐曲線中的最值及范圍問題（8類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第11題,6分縱坐標(biāo)的最值問題由方程研究曲線的性質(zhì)求平面軌跡方程2023年新I卷，第22題,12分周長(zhǎng)最值問題求平面軌跡方程由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)基本(均值)不等式的應(yīng)用求直線與拋物線相交所得弦的弦長(zhǎng)2020年新Ⅱ卷，第21題,12分求橢圓中的最值問題根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的切線方程橢圓中三角形(四邊形)的面積2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的最值問題及其相關(guān)計(jì)算2.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的范圍問題及其相關(guān)計(jì)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)考點(diǎn)一、弦長(zhǎng)及周長(zhǎng)類最值1．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)B是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，由依題意可知，，，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到，然后消元，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，而，所以?dāng)時(shí)，的最大值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟悉橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，由兩點(diǎn)間的距離公式，并利用消元思想以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解出．易錯(cuò)點(diǎn)是容易誤認(rèn)為短軸的相對(duì)端點(diǎn)是橢圓上到上定點(diǎn)B最遠(yuǎn)的點(diǎn)，或者認(rèn)為是橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)到短軸的端點(diǎn)距離最大，這些認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的，要注意將距離的平方表示為二次函數(shù)后，自變量的取值范圍是一個(gè)閉區(qū)間，而不是全體實(shí)數(shù)上求最值.．2．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；（2）設(shè)直線與橢圓方程聯(lián)立可得，再將直線方程與的方程分別聯(lián)立，可解得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，最后代入化簡(jiǎn)可得，由柯西不等式即可求出最小值．【詳解】（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值是.（2）設(shè)直線,直線方程與橢圓聯(lián)立,可得,設(shè)，所以，因?yàn)橹本€與直線交于,則,同理可得,.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查最值的計(jì)算，第一問利用橢圓的參數(shù)方程以及二次函數(shù)的性質(zhì)較好解決，第二問思路簡(jiǎn)單，運(yùn)算量較大，求最值的過程中還使用到柯西不等式求最值，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，屬于較難題．3．（23-24高三上·天津南開·期末）設(shè)橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且其左焦點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)求橢圓的方程；(2)對(duì)角線互相垂直的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在上，且兩條對(duì)角線均過的右焦點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和橢圓所過點(diǎn)，利用橢圓的定義可求方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，利用二次函數(shù)可得答案.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為.又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，所以.所以橢圓的方程為.（2）①當(dāng)直線中有一條直線的斜率不存在時(shí)，.②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程，由，得，則，.設(shè)直線的方程為，同理得，所以，設(shè)，則，則，所以時(shí)，有最小值.綜上，的最小值是.4．（21-22高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）已知C為圓的圓心，P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若線段MP的中垂線與CP相交于Q點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡N的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與點(diǎn)Q的軌跡N分別相交于A，B兩點(diǎn)，且與圓O：相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由線段的垂直平分線，得到，結(jié)合橢圓的定義，即可求解；（2）①若直線l的斜率不存在，直線l的方程為，分別求得；②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，求得和，進(jìn)而求得的值.【詳解】（1）解：由線段的垂直平分線，可得，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，焦距為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，所以，，則，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解：由（1）可知，橢圓的右焦點(diǎn)為，①若直線l的斜率不存在，直線l的方程為，則，，，，所以，，．②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程組，整理得，則，，所以，因?yàn)閳A心到直線l的距離，所以，所以，因?yàn)?，所以，綜上可得，．5．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）已知點(diǎn)P為圓上任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線交直線PC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線H.(1)求曲線H的方程;(2)若過點(diǎn)M的直線l與曲線H的兩條漸近線交于S，T兩點(diǎn)，且M為線段ST的中點(diǎn).(i)證明：直線l與曲線H有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；(ii)求的取值范圍.【答案】(1)(2)(i)證明見解析，(ii)【分析】(1)由雙曲線的定義進(jìn)行求解；(2)(i)設(shè)，求出，由直線l與曲線H方程進(jìn)行求解；（ii）由，則利用基本不等式求解．【詳解】（1）M為的垂直平分線上一點(diǎn),則，則∴點(diǎn)M的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線,且，

故點(diǎn)M的軌跡方程為（2）(i)設(shè)，雙曲線的漸近線方程為：，如圖所示：則①，②，①+②得，，①-②得，，則，得由題可知，則，得，即，∴直線的方程為，即，又∵點(diǎn)M在曲線H上，則，得，將方程聯(lián)立，得，得，由，可知方程有且僅有一個(gè)解，得直線l與曲線H有且僅有一個(gè)交點(diǎn).（ii）由（i）聯(lián)立，可得，同理可得，，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問中的第2小問中，先要計(jì)算，再由基本不等式求解范圍．1．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率，點(diǎn)P為該橢圓上一點(diǎn)，且△F1PF2的面積的最大值為.(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C的上頂點(diǎn)B作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓C于點(diǎn)D、E，求線段DE長(zhǎng)度的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，求解可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程可得結(jié)合已知可得，可得，進(jìn)而可得，利用換元法可求.【詳解】（1）由已知可得，解得，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程，消去得，所以，由題意可得，則由題意可得，所以，化簡(jiǎn)整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)不符合題意，所以，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與橢圓聯(lián)立問題第一步：設(shè)直線方程：有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，都可由點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程．第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程．第三步：求解判別式Δ：計(jì)算一元二次方程根的判別式Δ＞0.第四步：寫出根之間的關(guān)系，由根與系數(shù)的關(guān)系可寫出．第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中的結(jié)論．2．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，過點(diǎn)作兩條直線，直線與交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．(1)求的方程；(2)若的面積為，求的方程；(3)若與交于兩點(diǎn)，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．【答案】(1)(2)或．(3)．【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求得，即可求解；（2）由題意設(shè)，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出，結(jié)合的面積建立方程，計(jì)算即可求解；（3）由（2）可得，進(jìn)而，則，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，所以，的周長(zhǎng)為，所以，所以，故的方程為．（2）易知的斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立，得，所以．所以，由，解得，所以的方程為或．（3）由（2）可知，因?yàn)榈男甭适堑男甭实?倍，所以，得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為．

3．（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，斜率為2的直線l與x軸交于點(diǎn)M，l與C交于A，B兩點(diǎn)，D是A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)．當(dāng)M與原點(diǎn)O重合時(shí)，面積為．(1)求C的方程；(2)當(dāng)M異于O點(diǎn)時(shí)，記直線與y軸交于點(diǎn)N，求周長(zhǎng)的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，表示出面積后，結(jié)合面積與離心率計(jì)算即可得；（2）要求的周長(zhǎng)，則需把各邊長(zhǎng)一一算出，即需把、算出，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立得與橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，借助韋達(dá)定理表示出、，可得各邊邊長(zhǎng)，結(jié)合基本不等式即可求得最值.【詳解】（1）當(dāng)M與原點(diǎn)O重合時(shí)，可設(shè)Ax0,y0且，即有,則，即，又，故，則，即有，由離心率為，即，則，故，即有，解得，故，即C的方程為；（2）設(shè)直線方程為，令，有，即，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1聯(lián)立直線與橢圓方程：，消去有，，即，有，，為，令，故，由，故，其中，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故周長(zhǎng)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的方程，在求解直線與橢圓的位置關(guān)系問題時(shí)，常用方法是設(shè)而不求，借助韋達(dá)定理等手段，將多變量問題轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫兞繂栴}，再用基本不等式或函數(shù)方式求取范圍或最值.4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，上?下頂點(diǎn)分別為，四邊形的面積為且有一個(gè)內(nèi)角為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若以線段為直徑的圓與橢圓無公共點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），線段上存在點(diǎn)，使得，求的最小值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）由題意可得的值及的值，即求出橢圓的方程；（2）由線段為直徑的圓與橢圓無公共點(diǎn)，可得，分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由，可得點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，由，可得的最小值.【詳解】（1）由題意可得，可得，，或，所以橢圓的方程為：或；（2）由以線段為直徑的圓與橢圓無公共點(diǎn)，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)?，所以點(diǎn)在橢圓外，設(shè)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，由，可得，解得，（*）設(shè)直線，聯(lián)立，整理可得：，由，整理可得：，解得或，且，代入整理可得，代入直線的方程，得，可得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，則，由，得，也滿足方程，所以點(diǎn)在直線（在橢圓內(nèi)部）上，

設(shè)點(diǎn)F21,0關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則解得，所以，此時(shí)點(diǎn)在橢圓內(nèi)，符合題意，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍考點(diǎn)二、面積類最值1．（2020·新Ⅱ卷·高考真題）已知橢圓C：過點(diǎn)M（2，3）,點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.【答案】（1）；（2）18.【分析】(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)首先利用幾何關(guān)系找到三角形面積最大時(shí)點(diǎn)N的位置，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合判別式確定點(diǎn)N到直線AM的距離即可求得三角形面積的最大值.【詳解】(1)由題意可知直線AM的方程為：，即.當(dāng)y=0時(shí)，解得，所以a=4，橢圓過點(diǎn)M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為：，如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為N，此時(shí)△AMN的面積取得最大值.

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，可得：，化簡(jiǎn)可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線方程：，直線AM方程為：，點(diǎn)N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，利用平行線之間的距離公式可得：，由兩點(diǎn)之間距離公式可得.所以△AMN的面積的最大值：.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)過的兩條互相垂直的直線分別交橢圓于兩點(diǎn)和兩點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)分別為，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得到與的關(guān)系，將點(diǎn)代入橢圓方程即可得到橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理得到兩根之和兩根之積，從而得出，的坐標(biāo)，分別討論直線的斜率情況，進(jìn)而得到直線的方程以及直線過定點(diǎn)，計(jì)算兩種情況下的面積即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意知．又，所以．把點(diǎn)代入橢圓方程，得，解得．故橢圓的方程為．（2）由題意知直線的斜率均存在且不為零．設(shè)直線的方程為，且Ax1,由消去，得．所以，．而，所以．同理得．若，則，此時(shí)直線的斜率不存在，可得直線．此時(shí)，所以；若，則直線的斜率為，可得直線：．化簡(jiǎn)，得．所以直線過定點(diǎn)．所以．令，則．因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減．所以，即.綜上，.所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程，定點(diǎn)問題，最值問題；意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用設(shè)而不求的思想，分類討論的思想，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵，此方法是考查的重點(diǎn)，需要熟練掌握.3．（2024·廣東珠海·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)在橢圓C上，直線．(1)若直線l與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，記直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，P，Q為橢圓C上兩動(dòng)點(diǎn)，求四邊形PAQB面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)焦距可得，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上可得，解出后可得橢圓的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后結(jié)合判別式可求的范圍；（2）由題設(shè)可得當(dāng)過且與直線平行的直線與橢圓相切時(shí)面積之和最大，故求出切點(diǎn)坐標(biāo)后可求面積和的最大值.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則，故，而在橢圓上，故，故，故橢圓方程為：，由可得，故即即.（2）當(dāng)時(shí)，直線，故，

由題設(shè)可得為位于直線的兩側(cè)，不妨設(shè)在直線上方，在直線的下方，當(dāng)過的直線與直線平行且與橢圓相切時(shí)，到直線的距離最大及的面積最大，當(dāng)過的直線與直線平行且與橢圓相切時(shí)，到直線的距離最大及的面積最大，由（1）可得相切時(shí)即，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，切點(diǎn)坐標(biāo)為，在直線上方，此時(shí)到的距離為，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，切點(diǎn)坐標(biāo)為，在直線下方；此時(shí)到的距離為，又故四邊形PAQB面積的最大值為8.4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求的方程；(2)過且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，記的面積為的面積為，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用離心率公式以及點(diǎn)在橢圓上即可求解；（2）解法一：設(shè)，利用三角形的面積公式，將面積之比表示為點(diǎn)的縱坐標(biāo)之比，利用韋達(dá)定理可求出的縱坐標(biāo)之比的取值范圍，從而可求解；解法二：設(shè)，將面積之比表示為點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)之比，利用韋達(dá)定理可求出A,B的縱坐標(biāo)之比的取值范圍，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以.即，解得，所以，所以橢圓的方程為.（2）

解法一：由（1）得，依題意設(shè)，由消去，得，設(shè)Ax1,設(shè)，則，，由得，，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，令且，則，解得，且，所以，所以的取值范圍為0,2.解法二：由（1）得，依題意設(shè)，由消去，得，設(shè)Ax1,所以，設(shè)，則，，令且，則代入可得，消去得：，因?yàn)?，所以，所以，解得，且，所以，所以的取值范圍?,2.1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，，，為直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線，與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)可求的值，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上和，，的關(guān)系求，，從而確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到，再利用關(guān)于軸對(duì)稱的條件得到，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式與點(diǎn)線距離公式，結(jié)合三角換元與基本不等式得到面積的最大值，從而得解.【詳解】（1）設(shè)F1?c,0，，由又點(diǎn)在橢圓上，所以：，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）如圖，直線必存在斜率，可設(shè)直線方程為.

由.由得：.設(shè)Px1,y1，Q直線的方程為：，令得：.同理：.由，得，所以.因?yàn)橹本€不經(jīng)過點(diǎn)，故不成立，所以.由，且直線方程為.所以，，所以，所以，又點(diǎn)到直線的距離為，則因?yàn)椋稍O(shè)，，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）.所以面積的最大值為2.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解析幾何中，求取值范圍的問題，通常用以下方法來求：（1）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問題；（2）利用基本（均值）不等式求最值；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域；（4）利用換元法求值域.2．（2024·陜西榆林·三模）已知橢圓的離心率為；直線與只有一個(gè)交點(diǎn).(1)求的方程；(2)的左?右焦點(diǎn)分別為上的點(diǎn)（兩點(diǎn)在軸上方）滿足.①試判斷（為原點(diǎn)）是否成立，并說明理由；②求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)①不成立，理由見解析；②3【分析】（1）結(jié)合離心率，聯(lián)立曲線與直線方程，消去得與有關(guān)一元二次方程，有，計(jì)算即可得解；（2）①設(shè)出直線、的方程，聯(lián)立曲線表示出兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可表示出、，假設(shè)成立，則有，計(jì)算即可得；②設(shè)直線和橢圓另一交點(diǎn)為，結(jié)合面積公式與橢圓對(duì)稱性可得，計(jì)算出該面積借助換元法與對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，設(shè)橢圓方程為，由，消去得，又因?yàn)橹本€與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓方程為；（2）①直線不能平行于軸，所以可設(shè)直線的方程為，設(shè)Mx1,y1，則，同理：設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，得，，則；若，即，即：，方程無解，所以不成立；②設(shè)直線和橢圓另一交點(diǎn)為，由橢圓的對(duì)稱性知，又，，設(shè)，則，且在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取最大值3，此時(shí)，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于找到直線和橢圓另一交點(diǎn)，結(jié)合橢圓對(duì)稱性得到，從而表示出面積.3．（2024·河北唐山·二模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，其四個(gè)頂點(diǎn)的連線圍成的四邊形面積為；菱形內(nèi)接于橢圓．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)（?。┳鴺?biāo)原點(diǎn)在邊上的投影為點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程；（ⅱ）求菱形面積的取值范圍．【答案】(1)(2)（?。?；（ⅱ）．【分析】（1）利用題意列出兩個(gè)方程，聯(lián)立求解得的值，即得橢圓方程；（2）（ⅰ）設(shè)方程，與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，利用菱形對(duì)角線互相垂直得到，再由題意推出，即得點(diǎn)的軌跡方程；（ⅱ）利用弦長(zhǎng)公式求出,算出的面積表達(dá)式，通過換元將其化成一個(gè)關(guān)于的函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象即可求其取值范圍.【詳解】（1）根據(jù)題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，，即，由可得，，聯(lián)立解得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）①如圖，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由，得，由題意，設(shè)，則，，于是，．（ⅰ）四邊形為菱形，，，即，，即（*）．依題意，,故點(diǎn)到直線的距離即為，兩邊平方并將（*）代入可得，，設(shè)點(diǎn)，則得：，即點(diǎn)的軌跡方程為：．當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，四邊形為正方形，此時(shí)求得,也適合，綜合可得點(diǎn)的軌跡方程為：．（ⅱ）因?yàn)榈拿娣e，令，則，代入上式整理得，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以．由對(duì)稱性可知菱形面積等于面積的4倍，則此時(shí)菱形面積的取值范圍為．②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)其方程為，因四邊形是菱形，故它是正方形，則其面積為，將點(diǎn)代入解得，故此時(shí)菱形的面積為.綜上，菱形面積的取值范圍為．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓錐曲線有關(guān)的點(diǎn)的軌跡、面積范圍問題，屬于難題.解題思路為，充分理解題意，發(fā)掘重要的結(jié)論，如本題中由得出的參變量之間的關(guān)系式，同時(shí)還要熟練掌握如弦長(zhǎng)公式，求多邊形面積的常見方法，以及常見函數(shù)的值域求法等等，只有具備了這些基本技能方法，才有可能突破.4．（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）將圓上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，所得的曲線為.記曲線與軸負(fù)半軸和軸正半軸分別交于兩點(diǎn)，為軸上一點(diǎn).(1)求曲線的方程；(2)連接交曲線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交曲線于另一點(diǎn).記的面積為，記的面積為，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意首先設(shè)曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意，其中為單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可得解.（2）首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，表示出點(diǎn)坐標(biāo)（含參數(shù)），結(jié)合橢圓對(duì)稱性得點(diǎn)坐標(biāo)，得進(jìn)一步可得直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積公式求得表達(dá)式，進(jìn)一步即可求出范圍即可.【詳解】（1）設(shè)曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得，因?yàn)?，所以曲線的方程為.（2）如圖所示：連接交軸于點(diǎn)，由題意，所以直線，聯(lián)立，消去并整理得，解得，即，由題意并結(jié)合橢圓的對(duì)稱性可知關(guān)于軸對(duì)稱，所以所以直線，所以，，，所以，因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)題意求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得解.5．（2024·湖南永州·三模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為(1)求軌跡的方程；(2)在軌跡上是否存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)作橢圓的兩條切線互相垂直？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由：(3)過點(diǎn)的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，射線交軌跡于點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)存在，或((3)【分析】（1）利用相關(guān)點(diǎn)法即可求解；（2）當(dāng)切線斜率都存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的切線為，聯(lián)立方程組，消元后根據(jù)，整理為，結(jié)合韋達(dá)定理和垂直條件可得，再根據(jù)，即可求解；（3）將代入軌跡的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，求得的面積，再將代入橢圓C的方程可得1+2k2x2+4kmx+2m2?2=0，由，可得，令，由①②可知，從而求得取得最大值2，由題知的面積，又易知面積，從而四邊形的面積，從而可求解.【詳解】（1）設(shè)則，由得，又在橢圓上，所以代入化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為（2）當(dāng)兩條切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的切線為，聯(lián)立，消去得則由判別式，得，設(shè)兩條切線的斜率分別為，依題意得即，又點(diǎn)在軌跡上，，解得，或(當(dāng)兩條切線的斜率有一條不存在時(shí)，結(jié)合圖像得不合題意，綜上，存在滿足條件的點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為或(.（3）將代入軌跡的方程，可得，由，可得①，且，，所以，因?yàn)橹本€與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的面積，將代入橢圓C的方程可得1+2k2由，可得②，令，由①②可知，因此，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值2，由題知的面積，又易知面積，從而四邊形的面積，所以四邊形的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問的關(guān)鍵是先求得的面積，再根據(jù)從而可得的面積，又易知面積，從而四邊形的面積.6．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，分別是橢圓：的右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，若的離心率為，且到直線的距離為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在軸下方且不在軸上，設(shè)直線，的斜率分別為，.（i）求證：為定值，并求出該定值；（ii）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，求的面積的最大值.【答案】(1)(2)（i）證明見解析，；（ii）【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；（2）（i）設(shè)直線的方程為，其中，且，設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，，再結(jié)合斜率公式化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論；（ii）法一：直線的方程為，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為，分別求出的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組求出，即可得的坐標(biāo)，再求出三角形面積的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式即可得解.法二：直線的方程為，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為，分別求出的坐標(biāo)，易得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則，其中為點(diǎn)到直線的距離，求出的最大值即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即，據(jù)，得，即.所以直線的方程為，即，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，故，解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）（i）設(shè)直線的方程為，其中，且，即，設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)，聯(lián)立方程組整理得，所以，，（i）所以為定值，得證；（ii）法一：直線的方程為，令，得，故，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為，令，得，故聯(lián)立方程組整理得，解得或0（舍），，所以的面積，由（i）可知，，故，代入上式，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在軸下方且不在軸上，故或，得，所以，顯然，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故只需考慮，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，不等式取等號(hào)，所以的面積的最大值為.法二：直線的方程為，令，得，故，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為，令，得，故，由（i）可知，，故，所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，故的面積，其中為點(diǎn)到直線的距離，思路1

顯然，當(dāng)過點(diǎn)且與直線平行的直線與橢圓相切時(shí)，取最大值，設(shè)直線的方程為，即，聯(lián)立方程組整理得，據(jù)，解得（正舍），所以平行直線：與直線：之間的距離為，即的最大值為，所以的面積的最大值為.思路2

因?yàn)橹本€的方程為，所以，依題意，，，，故，所以，因?yàn)樵跈E圓上，故，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，所以，即的面積的最大值為.思路3因?yàn)橹本€的方程為，所以，因?yàn)樵跈E圓上，故，設(shè)，，不妨設(shè)，所以，當(dāng)，，時(shí)，，即的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．考點(diǎn)三、斜率類最值1．（2021·全國(guó)·高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【分析】（1）由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，據(jù)此整理可得點(diǎn)的軌跡方程為，所以直線的斜率，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋藭r(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，直線的斜率的最大值為.[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為．設(shè)直線的方程為，則當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為．設(shè)直線的斜率為k，則．令，則的對(duì)稱軸為，所以．故直線斜率的最大值為．[方法四]：參數(shù)+基本不等式法由題可設(shè)．因?yàn)?，所以．于是，所以則直線的斜率為．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以直線斜率的最大值為．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代點(diǎn)法求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率關(guān)于的表達(dá)式，然后利用分類討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值，為最優(yōu)解；方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線的斜率k的平方關(guān)于的表達(dá)式，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值，進(jìn)而得到直線斜率的最大值；方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)，求得x,y關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式，得到直線的斜率關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合使用基本不等式，求得直線斜率的最大值.2．（2024·浙江臺(tái)州·一模）已知橢圓：的上、下頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），中點(diǎn)的軌跡交軸于，兩點(diǎn)，且．(1)求橢圓的方程；(2)記直線，的斜率分別為，，求的最小值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系即代入橢圓求解點(diǎn)軌跡，即可由求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程可得韋達(dá)定理，根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式可求解，，即可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值.【詳解】（1）設(shè)中點(diǎn)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以點(diǎn)只能在右半橢圓上運(yùn)動(dòng)，所以，即，由點(diǎn)在橢圓：上，所以，令，得，由，解得，故橢圓的方程為．（2）設(shè)：，，，．由得，則，，又，，，令，得，當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決解析幾何中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將解析幾何中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.1．（2024·重慶·三模）已知F，C分別是橢圓的右焦點(diǎn)、上頂點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，滿足．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的下頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，這兩條直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，設(shè)直線的斜率為的面積為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用橢圓的定義，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)知，，則，解出a，b即可得橢圓方程；(2)設(shè)的方程為代入橢圓方程，求出M的坐標(biāo)，可得，用代替k，可得，求出的面積S，可得，解不等式可得k的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱性知四邊形是平行四邊形，所以，．由橢圓定義知，則，．設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的幾何性質(zhì)知，，則，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．則，所以直線，如圖所示，

設(shè)，聯(lián)立，消去并整理得，．．．所以，所以，．．所以，．同理可得：，所以，所以，由，得，整理得，得，．又，所以，所以或．所以的取值范圍為．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓位置關(guān)系中的三角形面積問題，綜合性較強(qiáng)，難點(diǎn)在于計(jì)算過程相當(dāng)復(fù)雜，計(jì)算量較大，并且基本都是有關(guān)字母參數(shù)的運(yùn)算，十分容易出錯(cuò).2．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為2，P是E的右支上一點(diǎn)，且，的面積為3．(1)求E的方程；(2)若E的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)的直線l與E的右支交于M，N兩點(diǎn)，直線AM和BN的斜率分別即為和，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形面積及雙曲線的定義，利用勾股定理求解即可；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式化簡(jiǎn)可得，代入中化簡(jiǎn)即可得出最值.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為()，，由題可知，，即，又，故E的方程為.（2）如圖，

由題可知，且直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，將方程和聯(lián)立，得，，，，,直線與的右支有交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.考點(diǎn)四、角度及三角函數(shù)類最值1．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時(shí)，所以，所以拋物線C的方程為；（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法二]：直線方程點(diǎn)斜式由題可知，直線MN的斜率存在.設(shè),直線由得：，,同理，.直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法三]：三點(diǎn)共線設(shè)，設(shè),若P、M、N三點(diǎn)共線，由所以，化簡(jiǎn)得，反之，若,可得MN過定點(diǎn)因此，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，

由M、D、A三點(diǎn)共線，得，

由N、D、B三點(diǎn)共線，得，則，AB過定點(diǎn)（4,0）（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，所以直線.【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡(jiǎn)化了聯(lián)立方程的運(yùn)算，通過尋找直線的斜率關(guān)系，由基本不等式即可求出直線AB的斜率，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解，也是通性通法；法二：常規(guī)設(shè)直線方程點(diǎn)斜式，解題過程同解法一；法三：通過設(shè)點(diǎn)由三點(diǎn)共線尋找縱坐標(biāo)關(guān)系，快速找到直線過定點(diǎn)，省去聯(lián)立過程，也不失為一種簡(jiǎn)化運(yùn)算的好方法．2．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過的直線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1時(shí)，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為2.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)直線，與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，記直線，的傾斜角分別為，.求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）關(guān)鍵拋物線的定義可得，求出p即可求解；（2）設(shè)，將直線和直線BD，分別聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理表示，，進(jìn)而可得、，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式與斜率公式可得和，則，當(dāng)時(shí)最大，由兩角差的正切公式和換元法可得，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，由拋物線的定義知，，又，所以，所以拋物線C的方程為；（2）由（1）知，，設(shè)，則，設(shè)直線，由可得，，則，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，由斜率公式可得，，又因?yàn)橹本€OP、OQ的傾斜角分別為，所以，若要使最大，需使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題求解過程中，需要熟練運(yùn)用斜率公式以及類比的思想方法，在得到兩條直線的關(guān)系后，設(shè)，利用換元法，化簡(jiǎn)式子，求最值是難點(diǎn)，也是關(guān)鍵點(diǎn)，屬于難題.1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的兩焦點(diǎn)分別為，并且經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)過的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，記直線AB，MN的傾斜角分別為，當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓的定義可得，求出a，再求出b；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式得，即，再由兩角差的正切公式及基本不等式分析求解【詳解】（1）由橢圓定義知，解得.又，所以，故橢圓C的方程為.（2）①當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性得.②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，且，，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，，由得，易知，則，得.同理，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，則.則.當(dāng)時(shí)，，解得，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)，由于F21,0，故此時(shí)直線，聯(lián)立橢圓方程得，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，故，同理可得，，則，滿足.所以.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上，當(dāng)取得最大值時(shí)，直線AB的方程為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.2．（2023·福建三明·三模）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為.當(dāng)時(shí)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)、為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿足，當(dāng)與、不重合時(shí)，射線交橢圓于點(diǎn)，直線、交于點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，分析出，利用勾股定理結(jié)合橢圓的定義、三角形的面積公式可得出，再由可得出、的值，即可得出橢圓的方程；（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線、的方程，將這兩條直線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，其中，求出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用基本不等式求出的最大值，即可得出的最大值.【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)，則，，因?yàn)椋?，，設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所?即，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)榇藭r(shí)，所以，所以，所以.因?yàn)?，所以，，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)點(diǎn)，，，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，則，解得，所以，

由題知不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消整理得，，設(shè)、，則，.因?yàn)榈姆匠虨?，的方程為兩直線方程聯(lián)立得：.因?yàn)?所以，解得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.由橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)，直線、的傾斜角為、，由圖可知，且，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．考點(diǎn)五、參數(shù)類最值1．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，直線，動(dòng)圓與直線相切，交線段于點(diǎn)，且．(1)求圓心的軌跡方程，并說明是什么曲線；(2)過點(diǎn)且傾斜角大于的直線與軸交于點(diǎn)，與的軌跡相交于兩點(diǎn)，且，求的值及的取值范圍.【答案】(1)，點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)均為的等軸雙曲線．(2)，【分析】（1）設(shè)點(diǎn)Px,y，根據(jù)列出等量關(guān)系整理可得；（2）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合，可得的值及的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)Px,y，圓的半徑為為到直線的距離，則．根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)的集合即，整理得.所以，點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)均為的等軸雙曲線．（2）設(shè)直線，傾斜角大于設(shè)聯(lián)立得，故，，，由題知，雙曲線的焦點(diǎn)，由得的取值范圍是1．（23-24高三下·上海浦東新·期中）已知橢圓，點(diǎn)、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).(1)若橢圓上點(diǎn)滿足，求的值；(2)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，定點(diǎn)在軸上，若點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)點(diǎn)恰與點(diǎn)重合，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)已知為常數(shù)，過點(diǎn)且法向量為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)滿足（），求的最大值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，然后代入橢圓方程，即可求出，再根據(jù)橢圓定義求PF1；（2）設(shè)，求出，根據(jù)二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值要求列不等式求解；（3）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，再根據(jù)求出的坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理計(jì)算，利用基本不等式求最值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以設(shè)點(diǎn)，則，所以，即，所以；；（2）設(shè)，則，，則，所以，，要時(shí)取最小值，則必有，所以；（3）設(shè)過點(diǎn)且法向量為的直線的方程為，，聯(lián)立，消去得，則，則，，又，又點(diǎn)在橢圓上，則，所以，即，所以，所以，所以，即的最大值為.考點(diǎn)六、向量類最值1．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是雙曲線與橢圓的公共點(diǎn)，直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，，設(shè)直線與的傾斜角分別為，，且滿足.(1)求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；(2)記（1）中直線恒過定點(diǎn)為，若直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）記，的斜率為，，由可得，聯(lián)立直線與雙曲線，用坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理可得，分析即可得解；（2）用坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理以及得到的范圍，求解即可.【詳解】（1）由已知得，所以，，當(dāng)，斜率不存在時(shí)，則直線，為或，與題意不符；當(dāng)，斜率存在時(shí)，記，的斜率為，所以根據(jù)，可得，……（*）設(shè)，，直線，由聯(lián)立可得，所以因?yàn)?，所以，所以，所以或（此時(shí)直線過，不符，舍去）所以直線恒過定點(diǎn)；（2）由（1）知，可設(shè)直線的方程：，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，，由可得，所以，因?yàn)?，所以又因?yàn)榭傻没?，又因?yàn)橹本€與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，，由聯(lián)立可得，又因?yàn)榭傻茫曰?，所以結(jié)合（1）可得的取值范圍為，所以的取值范圍為.2．（2023·江蘇南京·校考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別、焦距為2，且與雙曲線共頂點(diǎn)．P為橢圓C上一點(diǎn)，直線交橢圓C于另一點(diǎn)Q．(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求過P、Q、三點(diǎn)的圓的方程；(3)若，且，求的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由焦距為2得到，再由雙曲線的頂點(diǎn)求出，得到，橢圓方程；（2）求出的方程，與橢圓方程聯(lián)立后得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出圓的方程；（3）設(shè)，，由向量共線得到，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中，求出，從而表達(dá)出，結(jié)合基本不等式求出最值.【詳解】（1）雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故，由題意得，故，故橢圓的方程為．（2）因?yàn)椋?，所以的方程為，由，解得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．設(shè)過P，Q，三點(diǎn)的圓為，則，解得，，，所以圓的方程為；（3）設(shè)，，則，，因?yàn)?，所以，即，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．最大值為．1．（2023·遼寧沈陽·校聯(lián)考二模）從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射光線都會(huì)匯聚到拋物線的焦點(diǎn)處，這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在生產(chǎn)生活中．如圖，已知拋物線，從點(diǎn)發(fā)出的平行于y軸的光線照射到拋物線上的D點(diǎn)，經(jīng)過拋物線兩次反射后，反射光線由G點(diǎn)射出，經(jīng)過點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程；(2)已知圓，在拋物線C上任取一點(diǎn)E，過點(diǎn)E向圓M作兩條切線EA和EB，切點(diǎn)分別為A、B，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線光的反射性質(zhì)知：直線必過焦點(diǎn)，寫出坐標(biāo)，由斜率相等及兩點(diǎn)式列方程求，即可得拋物線方程；（2）根據(jù)題設(shè)畫出草圖，易得，令，進(jìn)而得到，結(jié)合求范圍，最后利用導(dǎo)數(shù)研究在上單調(diào)性，求范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，令，，根據(jù)拋物線性質(zhì)知：直線必過焦點(diǎn)，所以，則，整理得，，則，所以拋物線C的方程為.（2）由題意，，且，，，所以，而，令，則，所以，，綜上，，又，，若，則，由，當(dāng)，即時(shí)，無最大值，所以，即，故，，令，則，令，在上恒成立，即遞減，所以.2．（24-25高二上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）已知為橢圓C：上的點(diǎn)，C的焦距為．(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，代入即可列方程求解，（2）根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)的距離可得，即可根據(jù)模長(zhǎng)公式以及數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合二倍角公式即可求解.【詳解】（1）由題意可得，解得，故橢圓方程為（2）設(shè)，則，由于，故，故，由于故，因此，故3．（2024·貴州貴陽·二模）一動(dòng)圓圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切.設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若曲線與軸的左、右交點(diǎn)分別為A、B，過點(diǎn)的直線與曲線交于P、Q兩點(diǎn)，直線AP、BQ相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)，若，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，有，圓心的軌跡為橢圓，結(jié)合橢圓的定義求方程；（2）設(shè)直線的方程，與橢圓聯(lián)立方程組，設(shè)，表示出直線AP、BQ的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)和點(diǎn)P坐標(biāo)，得直線PQ的方程，的最小值為點(diǎn)到直線PQ的距離，求解即可.【詳解】（1）由題意知，設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則有①，②，①+②得，所以動(dòng)圓圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，，設(shè)橢圓的方程為，則有，，故的方程為．（2）由題可知，直線的斜率，故可設(shè)直線PT的方程為，由消去得，設(shè)，所以，由（1）知，，，，，，即點(diǎn)在直線上，即，所以直線AP的方程為，聯(lián)立，消去得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線PQ的方程為，由可知在直線PQ上，所以的最小值為點(diǎn)到直線PQ的距離，．所以的最小值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．考點(diǎn)七、點(diǎn)到直線距離類最值1．（2023·廣東佛山·二模）雙曲線的左頂點(diǎn)為，焦距為4，過右焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的直線交于、兩點(diǎn)，且是直角三角形．(1)求雙曲線的方程；(2)、是右支上的兩動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、，若，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為的方程，即可求解；（2）首先設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示，并根據(jù)的取值范圍，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.【詳解】（1）依題意，，焦半徑，由，得，得，解得：（其中舍去），所以，故雙曲線的方程為；（2）顯然直線不可能與軸平行，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去整理得，在條件下，設(shè)，，則，，由，得，即，整理得，代入韋達(dá)定理得，，化簡(jiǎn)可消去所有的含的項(xiàng)，解得：或（舍去），則直線的方程為，得，又都在雙曲線的右支上，故有，，此時(shí)，，所以點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為.1．（2024·吉林·二模）設(shè)分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1(1)求橢圓的方程；(2)如圖，是橢圓上不重合的三點(diǎn)，原點(diǎn)是的重心（i）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離；（ii）求點(diǎn)到直線的距離的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知列出關(guān)于的方程組，結(jié)合解出橢圓方程.（2）（i）設(shè)出三點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)重心坐標(biāo)公式和已知條件列出方程得到的縱坐標(biāo)為，從而解出橫坐標(biāo)，進(jìn)而解出結(jié)果.（ii）討論直線有無斜率兩種情況，有斜率時(shí)設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，重心坐標(biāo)表示出的坐標(biāo)，代入橢圓得到一個(gè)關(guān)系式，利用點(diǎn)到直線距離公式表示點(diǎn)到直線的距離并化簡(jiǎn)，結(jié)合式子結(jié)構(gòu)，綜合兩種情況解出結(jié)果.【詳解】（1）（1）由題意得整理得解得所以橢圓得方程為.（2）（i）設(shè),根據(jù)題意有.因?yàn)樵c(diǎn)是的重心，所以，即，.將，代入解得，所以.所以到直線的距離為.（ii）由（i）知當(dāng)直線斜率不存在時(shí)到直線的距離為.當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)所在直線方程為，.由得，且，即.所以.因?yàn)樵c(diǎn)是的重心，所以所以，所以.將點(diǎn)代入橢圓方程得并整理可得所以點(diǎn)到直線的距離為.綜上所述，當(dāng)與軸垂直時(shí)點(diǎn)到直線的距離最大為考點(diǎn)八、點(diǎn)坐標(biāo)及截距類最值1．（2024·天津·高考真題）已知橢圓的離心率．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)，其中．(1)求橢圓方程．(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)使得．若存在求出這個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，使得恒成立.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結(jié)合韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，故，，其中為半焦距，所以，故，故，所以，，故橢圓方程為：.（2）若過點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：，設(shè)，由可得，故且而，故，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，解?若過點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率不存在，則或，此時(shí)需，兩者結(jié)合可得.綜上，存在，使得恒成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標(biāo)代數(shù)式，表示過程中需要借助韋達(dá)定理，此時(shí)注意直線方程的合理假設(shè).2．（2021·浙江·高考真題）如圖，已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且，（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線交拋物線與A?B兩點(diǎn)，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出的值后可求拋物線的方程.（2）方法一：設(shè)，，，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程后可得，求出直線的方程，聯(lián)立各直線方程可求出，根據(jù)題設(shè)條件可得，從而可求的范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，故，故拋物線的方程為：.（2）[方法一]：通式通法設(shè)，，，所以直線，由題設(shè)可得且.由x=ty+1y2=4x可得，故因?yàn)?，故，?又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，則且，故，故即，解得或或.故直線在軸上的截距的范圍為或或.[方法二]：利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，由題設(shè)可得且．由得，所以．因?yàn)?，，．由得．同理．由得．因?yàn)椋约矗剩?，則．所以，解得或或．故直線在x軸上的截距的范圍為．[方法三]【最優(yōu)解】：設(shè)，由三點(diǎn)共線得，即．所以直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．設(shè)直線的方程為，則．所以．故（其中）．所以．因此直線在x軸上的截距為．【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要是處理共線的線段長(zhǎng)度問題，主要方法是長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo).方法一：主要是用坐標(biāo)表示直線，利用弦長(zhǎng)公式將線段長(zhǎng)度關(guān)系轉(zhuǎn)為縱坐標(biāo)關(guān)系，再將所求構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.方法二：利用焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求得直線的斜率之和為0，再利用線段長(zhǎng)度關(guān)系即為縱坐標(biāo)關(guān)系，再將所求構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.方法三：利用點(diǎn)在拋物線上，巧妙設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，借助于焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求得點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，這樣有助于減少變?cè)?，再將所求?gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.1．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知橢圓的左右頂點(diǎn)距離為，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過點(diǎn)，斜率存在且不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求弦垂直平分線的縱截距的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)與橢圓的離心率求得，進(jìn)而得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)與橢圓方程聯(lián)立后，得到韋達(dá)定理的形式，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到方程；令可求得在軸的截距，利用函數(shù)值域的求解方法可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意，，即，又，所以，故，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）如圖，由題意知：直線的斜率存在且不為零，設(shè)，，Ax1,y1，Bx2聯(lián)立，消去并整理得：，恒成立，則，，，，則方程為：，即，化簡(jiǎn)得：設(shè)直線在軸上截距為，令得，由可知，所以直線在軸上的截距的取值范圍為.1．（2024·四川綿陽·二模）已知直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為E的焦點(diǎn)，直線FA，F(xiàn)B的斜率之和為0．(1)求E的方程；(2)直線分別交直線于兩點(diǎn)，若，求k的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，將直線FA，F(xiàn)B的斜率之和坐標(biāo)化，利用韋達(dá)定理代入整理求解系數(shù)；（2）由直線方程，令，用表示坐標(biāo)，代入利用志達(dá)定理將條件轉(zhuǎn)化為的不等關(guān)系，求解不等式即得.【詳解】（1）由，得，設(shè)直線與拋物線線交點(diǎn)，的斜率，的斜率，由已知直線FA，F(xiàn)B的斜率之和為0，則①，聯(lián)立方程組，消得，由，且，得，則.由韋達(dá)定理得，代入①化簡(jiǎn)得，由，解得，故拋物線E的方程為；（2）由（1）知，焦點(diǎn)，則，，令，得，故，解得，又，由（1）知，，代入②式得，，且，解得，則，或，故的取值范圍為.

2．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與交于兩點(diǎn)，且直線與的斜率互為相反數(shù)，求的中點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上以及焦點(diǎn)即可聯(lián)立方程求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，從而判斷在直線上，即可由點(diǎn)到直線距離公式求解.【詳解】（1）由已知解得所以橢圓方程為（2）由于的斜率互化相反數(shù)，不妨設(shè)的斜率為，的斜率為.則AB的方程為，聯(lián)立，故，又，所以，進(jìn)而,用代入可得,所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為由于,所以在直線上，所以點(diǎn)與的最小距離即是點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.3．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，離心率為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線分別交動(dòng)直線于點(diǎn)C，D，過點(diǎn)C作的垂線交x軸于點(diǎn)H．(1)求橢圓E的方程；(2)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）由離心率及頂點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合即可求解；（2）結(jié)合兩點(diǎn)式得直線方程，進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo)，由直線與直線垂直得到直線的斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式得直線的方程，進(jìn)而的到點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】（1）由，又兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，則，，故橢圓E的方程為；（2）為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則，故直線的斜率存在且不為0，則直線：，即，則點(diǎn)，則直線：，即，則點(diǎn)，則直線的斜率為，故直線：，令,得，又Px0,y0所以，則，所以綜上，存在，使得有最大值.【點(diǎn)睛】按題意結(jié)合兩點(diǎn)式，點(diǎn)斜式求得點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算及二次函數(shù)的最值即可求，思路相對(duì)明確，運(yùn)算要細(xì)心，是中檔題.4．（24-25高三上·福建福州·階段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，右焦點(diǎn)為(1)求橢圓的方程；(2)若直線與交于兩點(diǎn)，且直線與的斜率互為相反數(shù)，求的中點(diǎn)與的最小距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓上的點(diǎn)坐標(biāo)以及焦點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)立解方程組可得結(jié)果；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，可得點(diǎn)在直線上，再由點(diǎn)到直線距離公式可求解.【詳解】（1）由已知可得，解得；所以橢圓的方程為.（2）由于直線與的斜率互為相反數(shù)，不妨設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，；則直線的方程為，如下圖所示：聯(lián)立，整理可得，可得，又，可得，即，同理用代替可得；因此可得的中點(diǎn)，因此可得，所以可得點(diǎn)在直線上，可得點(diǎn)與的最小距離即為點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.5．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知，動(dòng)點(diǎn)滿足與的斜率之積為定值.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，且均在軸右側(cè)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為.（i）求證：直線過定點(diǎn)；（ii）求面積的最小值.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意列式并化簡(jiǎn)，即可得答案；（2）（i）設(shè)直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，求出m的范圍，利用直線BD的方程求出其與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可證明結(jié)論；（ii）結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式，求出面積的表達(dá)式，利用換元，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由動(dòng)點(diǎn)滿足與的斜率之積為定值，得，即，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）（i）證明：設(shè)，聯(lián)立，得，設(shè)，

結(jié)合題意有，解得，且，又直線BD的方程為，令，則，故直線過定點(diǎn)；（ii）由題意知，故的面積為，令，則，則，由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，故當(dāng)，即時(shí)，面積取最小值.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，考查了直線過定點(diǎn)問題以及雙曲線中的三角形面積的最值問題，綜合性較強(qiáng)，解答時(shí)要設(shè)直線方程，并聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，難點(diǎn)在于計(jì)算過程比較復(fù)雜，計(jì)算量較大，并且基本都是有關(guān)字母參數(shù)的運(yùn)算，因此要十分細(xì)心.6．（24-25高三上·上海寶山·階段練習(xí)）已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，漸近線方程為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；(3)過雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求四邊形面積的最小值.【答案】(1)(2)1(3)【分析】（1）根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解.（2）由兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行列式，并消元得到只含的式子，求函數(shù)值域得到結(jié)果.（3）聯(lián)立雙曲線和直線的方程表示點(diǎn)的坐標(biāo)，由，，三點(diǎn)共線和聯(lián)立表示點(diǎn)坐標(biāo)，通過可知四邊形是平行四邊形，從而將平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化為面積的兩倍，用三角形面積公式表示的面積，最后通過換元和導(dǎo)數(shù)得到面積的最小值.【詳解】（1）由題意可知，又漸近線方程為，所以，易知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)Px,y，，因?yàn)榛?，?duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)取得最小值1.（3）設(shè)Ax1,y1，B得，，且，，由，，三點(diǎn)共線得①，由得，即②，由①②解得.由可知，四邊形是平行四邊形，所以，，，所以，令，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).7．（2024·江西·一模）已知雙曲線（，）的一條漸近線的傾斜角為，C的右焦點(diǎn)F到該漸近線的距離為.(1)求C的方程；(2)若過F的直線與C的左、右支分別交于點(diǎn)A，B，與圓交于與A，B不重合的M，N兩點(diǎn).（ⅰ）求直線AB斜率的取值范圍；（ⅱ）求的取值范圍.【答案】(1)(2)（?。?；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)漸近線的傾斜角得到，由焦點(diǎn)到漸近線方程的距離得到，，得到雙曲線方程；（2）（?。┲本€AB的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，由根的判別式及得到不等式，求出，再利用直線與圓相交得到不等式，求出，直線AB的斜率，從而得到直線AB斜率的取值范圍；（ⅱ）由弦長(zhǎng)公式和垂徑定理得到，其中，設(shè)，，從而得到.【詳解】（1）因?yàn)镃的一條漸近線的傾斜角為，所以，，則C的一條漸近線的方程為，因?yàn)椋杂医裹c(diǎn)到漸近線的距離為，所以，，所以C的方程為.（2）（?。┯桑?）知，，設(shè)Ax1,y由題意可得直線AB的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的方程為，與聯(lián)立得，所以，，，，又A，B兩點(diǎn)在x軸同一側(cè)，所以.此時(shí)，即.又圓O的方程為，點(diǎn)O到直線AB的距離，由得，由得，所以或，因?yàn)橹本€AB的斜率，所以直線AB斜率的取值范圍是.

（ⅱ）由弦長(zhǎng)公式得，由垂徑定理得，所以，其中，設(shè)，，則，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍.8．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，漸近線方程為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作與軸不重合的直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)S，直線與交于點(diǎn).（i）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，若，求的值；（ii）求的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）根據(jù)雙曲線性質(zhì)計(jì)算即可；（2）設(shè)直線l方程及坐標(biāo)，聯(lián)立雙曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理得出縱坐標(biāo)和積關(guān)系，（i）利用兩點(diǎn)斜率公式消元計(jì)算即可；（ii）聯(lián)立直線方程求出坐標(biāo)，并求出，利用三角形面積公式及范圍計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意知：，解得，雙曲線方程為.（2）因?yàn)橹本€斜率不為0，設(shè)直線方程為，易知，設(shè)，聯(lián)立，得，則，且，（i）；（ii）由題可得：.聯(lián)立可得：，即，同理.，故，且，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：反設(shè)直線線并設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立雙曲線方程后得出縱坐標(biāo)的和積關(guān)系，為后面消元轉(zhuǎn)化減輕計(jì)算量.9．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知拋物線，在上有一點(diǎn)位于第一象限，設(shè)的縱坐標(biāo)為.(1)若到拋物線準(zhǔn)線的距離為3，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，若軸上存在一點(diǎn)，使的中點(diǎn)在拋物線上，求到直線的距離；(3)直線，是第一象限內(nèi)上異于的動(dòng)點(diǎn)，在直線上的投影為點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為.若在的位置變化過程中，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程即可求解；（2）先通過中點(diǎn)在拋物線上求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求解即可；（3）設(shè)，聯(lián)立方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)恒成立，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，由于到拋物線準(zhǔn)線的距離為3，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則，解得；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，設(shè)，則的中點(diǎn)為，由題意可得，解得，所以，則，由點(diǎn)斜式可得，直線的方程為，即，所以原點(diǎn)到直線的距離為；（3）如圖，

設(shè)，則，故直線的方程為，令，可得，即，則，依題意，恒成立，又，則最小值為，即，即，則，解得，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，即當(dāng)時(shí)，也符合題意.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.10．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知為橢圓：的左焦點(diǎn)，橢圓過點(diǎn)，且直線的斜率為.(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)，在橢圓上，且，過，分別作橢圓的切線，，與相交于點(diǎn).（i）求點(diǎn)的軌跡方程；（ii）求周長(zhǎng)的最小值.【答案】(1)(2)（i）（ii）【分析】（1）利用直線求出橢圓中的值，再根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程列式求解即可；（2）（i）設(shè)直線：，，與橢圓方程聯(lián)立，利用和韋達(dá)定理可得①，再設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用與橢圓相切，判別式為0，求出切線的方程，同理可得切線的方程，由在直線，上，聯(lián)立，可得Mx1,y1，Nx2,y2在直線上，得②，再將①②聯(lián)立即可求解；（ii）由（i）可知在以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線上，利用拋物線的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）由題意得，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，，故，由解得或（舍去），橢圓的方程.（2）（i）設(shè)直線：，，Mx1,y1，與聯(lián)立，所以，，由可得化簡(jiǎn)可得①設(shè)的方程為，即，與聯(lián)立，令，結(jié)合，解得，所以切線方程為，即直線方程為：，不存在時(shí)也滿足此直線方程，同理可得方程為：，由在直線，上，則，即Mx1,y1，Nx2所以直線方程為：，即②由①②可得，時(shí)也滿足此方程，所以的軌跡方程為.（ii）由（i）可知在以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線上，過分別向直線作垂線，垂足分別為，，由拋物線定義可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，，共線時(shí)取等，所以周長(zhǎng)的最小值為.【點(diǎn)睛】解決直線與圓錐曲線相交（過定點(diǎn)、定值）問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為Ax（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于或的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.11．（24-25高二上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為，當(dāng)時(shí)，的面積為.(1)求的值；(2)為橢圓的左?右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿足，當(dāng)與不重合時(shí)，射線交橢圓于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題可知，當(dāng)時(shí)，設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，則，再根據(jù)橢圓定義和三角形面積可求得，，的值，即可求得；（2）由題可知點(diǎn)，直線的斜率不為0，設(shè)其方程，并和橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理及相關(guān)知識(shí)，可確定點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)直線的傾斜角分別為，則，再根據(jù)兩角差的正切公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)棰伲O(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，因?yàn)椋?即，又，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以②，又③，由①②③，解得，所?（2）由（1）可知橢圓的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，易得，則，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得，因?yàn)椋?，解得所以?dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.由橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)，直線的傾斜角分別為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，，所以的最大值為.12．（24-25高三上·陜西安康·開學(xué)考試）已知?jiǎng)訄A的圓心在軸上，且該動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，若為軌跡上位于點(diǎn)之間的一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，結(jié)合題意列式化簡(jiǎn)，即可求得答案；（2）求出A，B的坐標(biāo)，利用設(shè)直線的方程并聯(lián)立方程組可求出點(diǎn)Q，M的橫坐標(biāo)表達(dá)式，結(jié)合化簡(jiǎn)，求出其關(guān)于參數(shù)k的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)，即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)閯?dòng)圓的圓心在軸上，所以設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，由題意可得，即，又圓心是點(diǎn)的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，代入上式可得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）由題意知在拋物線C上，則，即，由于過點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，則直線l的斜率為，故l的方程為，聯(lián)立，得，解得或，則，則B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由題意知直線AQ的斜率存在，設(shè)為k，直線的斜率為，則，

設(shè)直線，因?yàn)辄c(diǎn)Q在拋物線C上，故聯(lián)立，得，得，則，,又，故直線BM的方程為，聯(lián)立，解得,因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，即時(shí)，取到最大值，最大值為.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答圓錐曲線類題目的難點(diǎn)在于復(fù)雜的計(jì)算，特別是第二問中求解最值問題時(shí)，基本都是字母參數(shù)的運(yùn)算，并且計(jì)算量較大，需要十分細(xì)心.13．（2022·上海徐匯·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線K，P是曲線K上一點(diǎn)．(1)求曲線K的方程；(2)過點(diǎn)A且斜率為k的直線l與曲線K交于B、C兩點(diǎn)，若且直線OP與直線交于Q點(diǎn)．求的值；(3)若點(diǎn)D、E在y軸上，的內(nèi)切圓的方程為，求面積的最小值．【答案】(1)(2)(3)8【分析】（1）由題意動(dòng)圓的軌跡滿足拋物線的定義，所以得出拋物線的軌跡方程即可，（2）聯(lián)立直線l與拋物線，求出的值，又，設(shè)出OP的方程，再聯(lián)立拋物線求出的值，再求出，得出的值；（3）由于D、E在y軸上，設(shè)出D、E坐標(biāo)，并求出，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為的高，再求面積的最小值即可．【詳解】（1）由題意可知圓心到的距離等于到直線的距離，由拋物線的定義可知，曲線K的軌跡方程為，（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，消y得，∴，∴，

設(shè)，∴,又，∴∵，∴設(shè)直線OP的方程為，聯(lián)立，消y得，∴，∴，∴，令，則，∴，∴，∴，故的值為，（3）設(shè)，直線PD的方程為，又圓心到PD的距離為1，即，整理得，同理可得，所以，可知b，c是方程的兩根，所以，，

依題意，即，則，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取等號(hào)，所以面積的最小值為8．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．14．（23-24高二上·重慶·期末）已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過作直線分別交橢圓于另外三點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，求出，得到橢圓方程；（2）設(shè)，求出，設(shè)，聯(lián)立方程求出，同理可得，代入求解范圍.【詳解】（1）由題得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，由題可知，①由題可知：直線斜率不為設(shè)，聯(lián)立,則，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以又因?yàn)?，所以，所以②設(shè)，同理得，所以，又因?yàn)?，所以，所以同理可得③，將②③代入①得又因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及橢圓中范圍問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，解析幾何中，范圍的問題通常采用參數(shù)來求解.15．（24-25