偏微分方程分類與標準型課件

§2.1常微分方程的解(復習)一.二階常系數線性方程的標準形式第1頁/共28頁二.二階常系數線性齊次微分方程的解特征根：

(1)有兩個不相等的實根兩個線性無關的特解得齊次方程的通解為齊次方程：特征方程：第2頁/共28頁齊次方程的通解為:特解為:(3)有一對共軛復根時齊次方程的通解為特征根為:特解為:(2)有兩個相等的實根時第3頁/共28頁小結:二階常系數線性齊次微分方程解特征根：齊次方程：特征方程：利用了歐拉公式第4頁/共28頁例:求下列方程的通解解(1)特征方程為所以方程的通解為解得第5頁/共28頁所以方程的通解為解得(2)特征方程為所以方程的通解為

(3)特征方程為解得第6頁/共28頁解特征方程為即特征方程有兩個不相等的實數根所以所求方程的通解為對上式求導,得例:求滿足初始條件

的特解.將、代入以上二式,得第7頁/共28頁解此方程組，得所以所求特解為第8頁/共28頁(2)對應齊次方程為:

(3)通解結構:三.二階常系數非齊次線性方程(1)非齊次線性方程通式:第9頁/共28頁§2.二階線性偏微分方程分類1.一般形式及分類判別其中，都是區(qū)域上的實函數，并假定它們是連續(xù)可微的。2.二階主部為：3.判別式及分類：雙曲型拋物型橢圓型第10頁/共28頁判斷下列方程的類型思考：第11頁/共28頁§3.方程簡化1.線性二階偏微分方程的一般形式(2個自變量)其中，都是區(qū)域上的實函數，并假定它們是連續(xù)可微的。

n個自變量：其中是自變量

的函數第12頁/共28頁2.變量替換與方程轉型(1)變量代換:(2)一般式轉為:系數為:變量替換是研究偏微分方程的有效手段,適當的變換,可簡化方程、易求解。第13頁/共28頁注:變量替換必須為非奇異變換非奇異變換:雅克比(Jacobi)行列式在點(x0,y0)不等于零，即:則:在點(x0,y0)附近變換是可逆的。第14頁/共28頁3.方程簡化4.求特解構造一階偏微分方程：求一個特解，則：再求另一個特解，則A22=0偏微分方程轉為常微分方程第15頁/共28頁5.特征方程與特征曲線1.特征方程:2.解:3.特征曲線:第16頁/共28頁例2.1.1判斷偏微分方程類型并化簡:解:特征方程特征方程的解:特征線:令:雙曲型方程第17頁/共28頁例2.1.3

設常數A,B,C滿足m1、m2是如下方程的兩個根的通解為：證明二階線性偏微分方程證明：設則：第18頁/共28頁§4三類方程的簡化形式當時，給出一族實的特征曲線取則方程變?yōu)槿粼僮鲃t上述方程變?yōu)椋?/p>

1.雙曲方程型方程:第19頁/共28頁當

時，只有一個解它只能給出一個實的特征線，

。取與函數無關的作為另一個新的變量則有：2.拋物型方程:第20頁/共28頁當

時，給出一族復特征線在該變換下：且方程化為：令則有：3.橢圓型方程:第21頁/共28頁小結:三種方程的標準型式:第22頁/共28頁例題1:分類并標準化方程:解:該方程的故該方程是拋物型的。特征方程:從而得到方程的一族特征線為:自變量代換(由于ξ和η必須函數無關,所以η宜取最簡單的函數形式,即η=x

或η=y)原方程化簡后的標準形式為:特征的解:第23頁/共28頁例2.判斷偏微分方程類型并化簡:解:∵故

故該方程為雙曲型偏微分方程,其特征方程故有

或

取新變量則或

解為第24頁/共28頁例2(續(xù))，代入原方程得:即:第25頁/共28頁例3.判斷偏微分方程的類型并化簡:解:特征方程特征方程的解：特征線:令：雙曲型方程第26頁/共28頁第二章:復習思考題與作業(yè)一．寫出二階常系數線性齊次微分方程的特征方程與特征根。二.簡述二階常系數線性齊次微分方程的求解步驟。三.寫出二階線性偏微分方程的辨別式及其分類原則。四.解釋何謂自變量非