《初中同步測(cè)控全優(yōu)設(shè)計(jì)》2013-2014學(xué)年華師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)例題與講解：第2章2.1　有理數(shù)

2.1有理數(shù)1．正數(shù)與負(fù)數(shù)(1)生活中存在大量相反意義的量生活中，有許許多多具有相反意義的詞語(yǔ)，例如向東和向西，西北和東南，向前和向后，向左和向右，上升和下降，零上和零下，收入和支出，盈利和虧本，買(mǎi)進(jìn)和賣出，公元前和公元后等．和相反意義的詞語(yǔ)相關(guān)聯(lián)，生活中存在數(shù)不清的具有相反意義的量，如前進(jìn)3m與后退5m，收入300元與支出80元等．(2)用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量現(xiàn)實(shí)生活中，具有相反意義的量，如昨天的氣溫是零下1℃，而今天的氣溫是零上2℃，怎樣表示它們呢？只用原來(lái)的那些數(shù)很難區(qū)分量的相反意義．一般地，對(duì)于具有相反意義的量，我們可把其中一種意義的量規(guī)定為正的，用過(guò)去學(xué)過(guò)的數(shù)表示，把與它意義相反的量規(guī)定為負(fù)的，用過(guò)去學(xué)過(guò)的數(shù)(零除外)前面放上一個(gè)“－”(讀作負(fù))號(hào)來(lái)表示．即把其中一種意義的量規(guī)定為正的(用“＋”號(hào)表示，讀作“正”)，把另一種和它意義相反的量規(guī)定為負(fù)的(用“－”號(hào)表示，讀作“負(fù)”)，如零下1℃記作－1℃，零上2℃記作＋2℃；又如規(guī)定向東走5m，記作＋5m，則向西走5m，記作－5m.【例1－1】用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示下列各題中的量．(1)一輛公共汽車在一個(gè)停車站下去10個(gè)乘客和上來(lái)8個(gè)乘客；(2)珠穆朗瑪峰高于海平面8844.43米和吐魯番盆地最低點(diǎn)低于海平面155米；(3)商品上漲10%和下降15%.分析：把一種意義的量規(guī)定為正的，把另一種和它意義相反的量規(guī)定為負(fù)，并分別用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示即可．解：(1)－10人，＋8人；(2)＋8848.43米，－155米；＋10%，－15%.警誤區(qū)表示相反意義的量時(shí)不要忘記加單位在用正負(fù)數(shù)表示一對(duì)具有相反意義的量時(shí)，不要少了后面的單位，同時(shí)注意相反意義的量的數(shù)值可以不同．(4)正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念①負(fù)數(shù)的概念：為了表示具有相反意義的量，我們引進(jìn)了像－5，－2，－237，－3.6這樣的數(shù)，這是一種新數(shù)，叫做負(fù)數(shù)．②正數(shù)的概念：過(guò)去學(xué)過(guò)的那些數(shù)(零除外)，如10,3,500,5.5等，叫做正數(shù)．正數(shù)前面有時(shí)也可放上一個(gè)“＋”號(hào)，如5可以寫(xiě)成＋5，＋5和5是一樣的．③0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)．(5)關(guān)于正數(shù)、負(fù)數(shù)和0的幾點(diǎn)說(shuō)明①在正數(shù)的前面加上“＋”號(hào)，以強(qiáng)調(diào)它是正數(shù)，如正數(shù)3寫(xiě)作＋3，通?！埃碧?hào)省略不寫(xiě)；負(fù)數(shù)前面的“－”號(hào)不能省略，如負(fù)數(shù)5寫(xiě)作－5.②正數(shù)和負(fù)數(shù)是相對(duì)而言的，取決于作為基準(zhǔn)的量，但一般情況下，人們習(xí)慣上這樣來(lái)規(guī)定正數(shù)和負(fù)數(shù)：收入為正，支出為負(fù)；零上為正，零下為負(fù)；高出海平面為正，低于海平面為負(fù)等等．③判斷一個(gè)數(shù)是否是負(fù)數(shù)，關(guān)鍵是看是否在正數(shù)前面帶有“－”號(hào)，而不是看它是否有“－”號(hào)．例如：－(－3)就不是負(fù)數(shù)．④0的意義在過(guò)去表示“沒(méi)有”，自引入負(fù)數(shù)后，它就是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，也是相反意義的量的分界點(diǎn)，是我們認(rèn)識(shí)的數(shù)中唯一的一個(gè)“中性數(shù)”．談重點(diǎn)正數(shù)和負(fù)數(shù)的關(guān)系負(fù)數(shù)是在正數(shù)的基礎(chǔ)上定義的，只有在正數(shù)的前面添上“－”號(hào)才是負(fù)數(shù)．【例1－2】指出下列各數(shù)中，哪些是正數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)．－2，＋2eq\f(1,3)，0,3eq\f(1,5)，204，－0.02，＋3.65，－5eq\f(1,7).分析：根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義來(lái)判斷，尤其要弄明白負(fù)數(shù)的意義：在正數(shù)前面加上“－”號(hào)．還要特別注意0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．解：＋2eq\f(1,3)，3eq\f(1,5)，204，＋3.65是正數(shù)；－2，－0.02，－5eq\f(1,7)是負(fù)數(shù)．2．有理數(shù)(1)有理數(shù)的概念正整數(shù)(即不為0的自然數(shù))、零和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．即整數(shù)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正整數(shù),0,負(fù)整數(shù)))分?jǐn)?shù)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正分?jǐn)?shù),負(fù)分?jǐn)?shù)))有理數(shù)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(整數(shù),分?jǐn)?shù)))(2)有理數(shù)的分類①有理數(shù)可以按照它的定義分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩類．即有理數(shù)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(整數(shù)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正整數(shù),0,負(fù)整數(shù))),分?jǐn)?shù)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正分?jǐn)?shù),負(fù)分?jǐn)?shù)))))②有理數(shù)還可以按照性質(zhì)分為：正有理數(shù)、0和負(fù)有理數(shù)三類．即有理數(shù)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正有理數(shù)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正整數(shù),正分?jǐn)?shù))),0,負(fù)有理數(shù)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(負(fù)整數(shù),負(fù)分?jǐn)?shù)))))警誤區(qū)進(jìn)行有理數(shù)分類時(shí)要注意的問(wèn)題有理數(shù)在分類之前必須弄清楚分類的標(biāo)準(zhǔn)，不能混淆，要做到不重不漏．(3)數(shù)集的概念把一些數(shù)放在一起，就組成一個(gè)數(shù)的集合，簡(jiǎn)稱數(shù)集．所有的有理數(shù)組成的數(shù)集叫做有理數(shù)集．類似地，所有的整數(shù)組成的數(shù)集叫做整數(shù)集，所有的正數(shù)組成的數(shù)集叫做正數(shù)集，所有的負(fù)數(shù)組成的數(shù)集叫做負(fù)數(shù)集，如此等等．所有正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)合在一起組成正有理數(shù)集，所有負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)合在一起組成負(fù)有理數(shù)集．【例2】把下列各數(shù)填在相應(yīng)的橫線上：－35,0.7,80，－eq\f(1,909)，－0.88,0,3.14，－7.9，234，eq\f(1,3)，3，－10.正整數(shù)__________；正分?jǐn)?shù)__________；負(fù)整數(shù)__________；負(fù)分?jǐn)?shù)__________．解析：先把有理數(shù)分為正數(shù)和負(fù)數(shù)兩類，再把正數(shù)分為正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)兩類，把負(fù)數(shù)分為負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)兩類，分別填寫(xiě)在相應(yīng)的橫線上．答案：80,234,30.7,3.14，eq\f(1,3)－35，－10－eq\f(1,909)，－0.88，－7.93．正確理解具有相反意義的量的意義用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量，把其中一種意義的量先規(guī)定為正的，那么與它意義相反的量就是負(fù)的．用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量時(shí)，必須要有一個(gè)規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)．在用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示一對(duì)具有相反意義的量時(shí)，“正”和“負(fù)”是相對(duì)而言的，用“正”表示其中的一個(gè)量，則用“負(fù)”來(lái)表示另一個(gè)與之意義相反的量，但我們一般把“增加”、“上漲”、“盈利”、“高于”等記為“正”，把與它們有相反意義的量記為“負(fù)”．通常從兩個(gè)方面考查：一是用正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量，二是說(shuō)出具有相反意義的量表示的意義．把具有相反意義的量的表示方法和取“標(biāo)準(zhǔn)”(或“起始”位置)等知識(shí)結(jié)合在一起，綜合性較強(qiáng)，是近幾年中考的熱點(diǎn)之一．【例3－1】某糧店出售的三種品牌的面粉袋上分別標(biāo)有質(zhì)量為(25±0.1)kg，(25±0.2)kg，(25±0.3)kg的字樣，從中任意取出兩袋，它們的質(zhì)量最多相差()．A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg解析：從條件中可以看出，在三袋面粉中，最多可以超出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.3kg，最少低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.3kg，所以從中任意取出兩袋，它們的質(zhì)量最多相差0.6kg.答案：B解技巧解答“標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量”問(wèn)題的關(guān)鍵要正確解答本題，不僅要知道面粉袋上標(biāo)有質(zhì)量為(25±m(xù))kg的意義，還要考慮到兩袋面粉如何搭配才能使差值最大，顯然考慮到最大的可能與最小的可能的差值．【例3－2】某項(xiàng)科學(xué)研究，以45分鐘為一個(gè)時(shí)間單位，并記每天上午10：00為0,10：00以前記為負(fù)，10：00以后記為正，例如，9：15記為－1,10：45記為1等等．依次類推，上午7：00應(yīng)記為()．A．3B．－4C．－2.15D．－7.45解析：本題中的標(biāo)準(zhǔn)是上午10：00為0，表示方法是10：00以前記為負(fù)，10：00以后記為正，要求用新規(guī)定來(lái)表示7：00.7：00到10：00是180分鐘，180÷45＝4，因?yàn)?：00在10：00以前，所以7：00應(yīng)記為－4.答案：B4.有理數(shù)的分類有理數(shù)有兩種基本的分類方法，一種分類根據(jù)定義，另一種分類根據(jù)數(shù)的符號(hào)即有理數(shù)的性質(zhì)．不論哪種分類形式都要明確分類的依據(jù)，分類時(shí)做到不重不漏，兩種分類形式不能混淆．必須弄清楚非負(fù)數(shù)和非正數(shù)的范圍．正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)；正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)，即為自然數(shù)；負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù)．【例4】把下列各數(shù)填在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)．－3,2，－1，－eq\f(1,4)，－0.58,0，－3.1415926,0.618，eq\f(13,9)整數(shù)集：{…}負(fù)數(shù)集：{…}分?jǐn)?shù)集：{…}非負(fù)數(shù)集：{…}負(fù)分?jǐn)?shù)集：{…}分析：非負(fù)數(shù)包括正數(shù)和零，即正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)和零；分?jǐn)?shù)包括小數(shù)．解：整數(shù)集：{－3,2，－1,0，…}負(fù)數(shù)集：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3，－1，－\f(1,4)，－0.58，－3.1415926，…))分?jǐn)?shù)集：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－0.58，－3.1415926，0.618，\f(13,9)，…))非負(fù)數(shù)集：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，0，0.618，\f(13,9)，…))負(fù)分?jǐn)?shù)集：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－0.58，－3.1415926，…))5．按規(guī)律排列的有理數(shù)當(dāng)數(shù)的范圍擴(kuò)大到有理數(shù)之后，按一定的規(guī)律排列有理數(shù)，就成為考查有理數(shù)的意義以及分類的有效手段，并且成為中考命題的熱點(diǎn)．研究數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程，實(shí)際上就是探索、研究數(shù)學(xué)規(guī)律并運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)律的過(guò)程．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是建立數(shù)與它的序號(hào)之間的關(guān)系，其中數(shù)的符號(hào)是首先要考慮的，數(shù)的符號(hào)一般由數(shù)的序號(hào)的奇、偶性來(lái)決定．對(duì)于數(shù)字規(guī)律性問(wèn)題，我們要注意觀察各部分?jǐn)?shù)字的變化規(guī)律以及各數(shù)字之間的關(guān)系．解這一類題目，要用到歸納推理，它是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法．?dāng)?shù)學(xué)史上有很多重要的發(fā)現(xiàn)如哥德巴赫猜想、費(fèi)馬大定理等就是由數(shù)學(xué)家的探索、猜想而得，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須不斷去探索、猜想、不斷總結(jié)規(guī)律，才會(huì)有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)造．【例5】(探究題)觀察下面依次排列的一列數(shù)，它的排列有什么規(guī)律？請(qǐng)接著寫(xiě)出后面的3個(gè)數(shù)，并說(shuō)出第99個(gè)數(shù)是什么？第2010個(gè)數(shù)是什么？(1)1，－1,1，－1,1，－1,1，－1，__________，__________，__________，…；(2)1，－2,3，－4,5，－6,7，－8，__________，__________，__________，…；(3)－1，eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,5)，eq\f(1,6)，－eq\f(1,7)，__________，__________，__________，….分析：(1)(2)小題全部是按正數(shù)、負(fù)數(shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)的順序排列的一組整數(shù)，(1)去掉數(shù)的符號(hào)后是1，(2)去掉數(shù)的符號(hào)后是按順序排列的自然數(shù)；(3)是按負(fù)數(shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)、正數(shù)的順序排列的一組