河南省新鄉(xiāng)市名校高三上學期階段性診斷測試（期中）數(shù)學試題（含答案解析）

高三階段性診斷測試數(shù)學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容（立體幾何、解析幾何、數(shù)列除外）.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.1.下列命題既是真命題又是存在量詞命題的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】易判斷AD是全稱命題，賦值法可判斷BC的真假.【詳解】選項A，D均不是存在量詞命題，B，C均是存在量詞命題，當時，，故B為真命題，當時，，故C為假命題.故選：B.2.若與均為定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)的部分圖象可能為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分析hx的奇偶性，然后直接判斷即可.【詳解】因為與均為定義在R上的奇函數(shù)，所以，又因為的定義域為R且關于原點對稱，且，所以hx故圖象關于軸對稱且，符合要求的只有選項B，故選：B.3.已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的表達式，即可結(jié)合根式以及分式的性質(zhì)求解.【詳解】,由且，得且，所以函數(shù)的定義域是.故選：D4.將本不同的雜志分成組，每組至少本，則不同的分組方法數(shù)為（）A. B. C.105 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不平均分組問題，結(jié)合排列組合即可求解.【詳解】依題意可得分組的本數(shù)分配只有種，即，，，則不同的分組方法數(shù)為.故選：C5.設的實部與虛部相等，且實部不為，的虛部是實部的倍，且在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限，則“在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限”是“在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限”與“在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限”互相推出的情況判斷屬于何種條件.【詳解】根據(jù)題意，不妨設，，若在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限，則，則，所以的實部，虛部，故對應點在第二象限，所以“在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限”可以推出“在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限”；若在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，由上可知，所以且，可得a>0，所以在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限，所以“在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限”可以推出“在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限”；由上可知，屬于充要條件，故選：C.6.函數(shù)的所有零點的和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)的交點橫坐標的關系，借助于函數(shù)圖象的對稱性，即可求得.【詳解】由可得，則函數(shù)的零點即函數(shù)與函數(shù)在上的交點的橫坐標.對于函數(shù)，其最小正周期為，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)值從3減小到-3,當時，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)值從-3增大到3.類似可得函數(shù)在區(qū)間上的圖象變化情況.如圖分別作出和在上的圖象如下.由圖可知，兩函數(shù)在上的圖象關于直線對稱，故兩者的交點與也關于直線對稱，故即函數(shù)的所有零點的和為故選：C.7.定義非空數(shù)集的“和睦數(shù)”如下：將中的元素按照遞減的次序排列，然后將第一個元素交替地加上、減去后繼的數(shù)所得的結(jié)果.例如，集合的“和睦數(shù)”是，的“和睦數(shù)”是，的“和睦數(shù)”是1.對于集合，其所有非空子集的“和睦數(shù)”的總和為（）A.82 B.74 C.12 D.70【答案】A【解析】【分析】分別列舉子集，根據(jù)“和睦數(shù)”的定義，即可求解每種情況的“和睦數(shù)”，相加即可求解.【詳解】，非空子集有個.當子集為單元素集，，，時，“和睦數(shù)”分別為1，2，3，6，和為12；當子集雙元素集，，，，，時，“和睦數(shù)”分別為3，4，7，5，8，9，和為36；當子集為三元素集，，，時，“和睦數(shù)”分別為4，7，8，7，和為26；當子集為四元素集時，“和睦數(shù)”為.故“和睦數(shù)”的總和為.故選：A8.已知，則的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算大小即可.【詳解】因為，所以在0,+∞上均單調(diào)遞增，所以，即，對于，構(gòu)造函數(shù)，易知時，f′x>0，即此時函數(shù)單調(diào)遞增，則所以，因為在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，綜上.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.2019~2023年快遞業(yè)務量及其增長速度如圖所示，則（）A.2019~2023年快遞業(yè)務量逐年上升B.2019~2023年快遞業(yè)務量的極差為685.5億件C.2019~2023年快遞業(yè)務量的增長速度的分位數(shù)為D.2019~2023年快遞業(yè)務量的增長速度的平均數(shù)為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圖像和百分位數(shù)的計算公式依次判斷每個選項即可.【詳解】對A：由圖可知：2019~2023年快遞業(yè)務量逐年上升，故A正確；對B：2019~2023年快遞業(yè)務量的極差為：（億件），故B正確；對C：因為，所以2019~2023年快遞業(yè)務量的增長速度的分位數(shù)為，故C錯誤；對D：由，故D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)的極小值點為1，且的極小值為，則（）A. B.C.有3個零點 D.直線與的圖象有2個公共點【答案】AC【解析】【分析】運用導數(shù)值為0來計算判定A,B，借助導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，極值，結(jié)合圖像可判定C,D.【詳解】由函數(shù)的極小值點為1，得，則，得，A正確.又且的極小值為，則，得，B錯誤.或x>1，在，1,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則極大值為，畫出草圖，所以有3個零點，直線與的圖像僅有1個公共點，C正確，D錯誤.故選：AC.11.已知，，且不等式恒成立，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最大值為【答案】AB【解析】【分析】由，令，利用基本不等式求的最小值，即可求得的取值范圍.【詳解】由，，則不等式，令，則，又，當且僅當時，等號成立；，當且僅當時，等號成立；，當且僅當時，等號成立；則，當且僅當時，等號成立；又，當且僅當，即時，等號成立；故，當且僅當時，等號成立；所以，解得，因此可得的最小值為，的最大值為，故選：AB.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，滿足，，若，則與夾角的余弦值為__________.【答案】##0.25【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的運算律和向量的夾角公式計算即可.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：13.將一副三角板按如圖所示的位置拼接：含角的三角板的長直角邊與含角的三角板的斜邊恰好重合.與相交于點.若，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角板的內(nèi)角以及邊長利用三角恒等變換和等面積法即可得.【詳解】由題可知.由可得：，則，解得.故答案為：14.已知函數(shù)的定義域為，，且．若關于的不等式在上有解，則的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】首先通過賦值法求函數(shù)的解析式，再代入，轉(zhuǎn)化不等式為在上有解．參變分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.【詳解】令，則．令，則，則．由在上有解，得，即在上有解．即存在，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，取得最小值，則.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在上的值域為.（1）求；（2）將的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象，求的解析式與單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）（2），單調(diào)遞增區(qū)間為()【解析】【分析】（1）采用換元法令，先分析的單調(diào)性，然后根據(jù)的最小值求解出的值；（2）先根據(jù)圖象變換求解出的解析式，然后根據(jù)單調(diào)遞增區(qū)間的公式結(jié)合整體替換法求解出的單調(diào)遞增區(qū)間.【小問1詳解】因為，所以，令，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，，當時，，所以，且，所以.【小問2詳解】的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼目傻?，的圖象上所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉韮杀犊傻?；令，所以，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為().16.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義可得直線的斜率，即可由點斜式得直線的方程；（2）求導函數(shù)，即可對討論求解.【小問1詳解】當時，，則，則.因為，所以曲線y=fx在點1,f1處的切線方程為，即.【小問2詳解】的定義域為，.當時，當時，f′x<0，故在上單調(diào)遞減.當時，令，得，，當時，f′x>0，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.當時，f′x<0，則的單調(diào)遞減區(qū)間為.17.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，.（1）若，求及；（2）若的面積為，求內(nèi)切圓的半徑.【答案】（1），（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理可求解，即可根據(jù)正弦定理得，利用弦切互化，結(jié)合二倍角公式即可求解，（2）根據(jù)面積公式可得，即可分類求解，進而利用等面積法求解半徑.【小問1詳解】因為，，所以，所以，又，所以.由，得，所以.【小問2詳解】因為的面積，所以，故當時，，當時，，則或.內(nèi)切圓的半徑.當時，；當時，.18.某工廠打算購買2臺設備，該設備有一種易損零件，在購買設備時可以額外購買這種易損零件作為備件，價格為每個200元.在設備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時購買該零件，價格為每個320元.在使用期間，每臺設備需要更換的零件個數(shù)T的分布列為4567030.20.40.1表示2臺設備使用期間需更換的零件個數(shù)，代表購買2臺設備的同時購買易損零件的個數(shù).（1）求的分布列；（2）以購買易損零件所需費用的期望為決策依據(jù)，試問在和中，應選擇哪一個?【答案】（1）答案見解析（2）應選【解析】【分析】（1）由每臺設備需更換零件個數(shù)的分布列求出的所有可能值，并求出對應的概率即可得解；（2）分別求出和時購買零件所需費用的期望，比較大小即可作答.【小問1詳解】由題意，的可能取值為8，9，10，11，12，13，14，則，，，，，，，則的分布列為：8910111213140.090.120.280.220.20.080.01【小問2詳解】記為當時購買零件所需費用，的可能取值為2000，2320，2640，2960，3280，則，，，，，則.記為當時購買零件所需費用，的可能取值為2200，2520，2840，3160，則，，，，，顯然，所以應選擇.19.設函數(shù)的定義域為，若，，則稱為“循環(huán)函數(shù)”.（1）試問函數(shù)是否為“循環(huán)函數(shù)”？說明你的理由.（2）已知函數(shù)，證明：存在常數(shù)，使得為“循環(huán)函數(shù)”.（3）已知對任意，，函數(shù)，都滿足.①證明：為“循環(huán)函數(shù)”.②若，證明：當時，.【答案】（1）是，理由見解析（2）證明見解析（3）①證明見解析；②證明見解析【解析】【分析】（1）直接利用“循環(huán)函數(shù)”的定義證明即可；（2）由函數(shù)的定義域與值域一致，確定常數(shù)的值，然后驗證“循環(huán)函數(shù)”的定義即可；（3）先聯(lián)立方程，結(jié)合利用賦值法得到，，①利用“循環(huán)函數(shù)”的定義證明即可；②先求出的解析式，然后構(gòu)造函數(shù)求最值求解即可．”．【小問1詳解】，當，則，當時，，則.當時，，；因此對任意的，都有，故是“循環(huán)函數(shù)”.【小問2詳解】根據(jù)題意可知函數(shù)，顯然，，易知函數(shù)的定義域為，要使任意滿足，那么，因此不妨令，當時，，則，所以存在常數(shù)，使得為“循環(huán)函數(shù)”.【小問3詳解】證明：由題意