備考2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題107二項(xiàng)分布、超幾何分布及正態(tài)分布含詳解

專題10.7二項(xiàng)分布、超幾何分布及正態(tài)分布

三I題型目錄

題型一兩點(diǎn)分布

題型二超幾何分布

題型三二項(xiàng)分布

題型四二項(xiàng)分布的概率最大問題

題型五一項(xiàng)分布與超幾何分布的綜合

題型六正態(tài)分布求概率

題型七正態(tài)分布的對(duì)稱

題型八正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用

才典例集練

題型一兩點(diǎn)分布

例1.隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且戶(X=l)=0.2,令y=3X—2,則尸(y=-2)=()

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.8

例2.已知離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X=0)=3-4尸(X=l),則隨機(jī)變量X的方差為.

舉一反三

2

練習(xí)1.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，滿足P(X=0)=9p(；=])，且尸(X=0)<尸(X=l),則

E(X)=()

A-1B-?C-iD.：

練習(xí)2.某企業(yè)擬定4種改革方案,經(jīng)統(tǒng)計(jì)它們?cè)谠撈髽I(yè)的支持率分別為歷=0.9,p2=0.75,0=0.3.p.,=0.2,

用“。=1”表示員工支持第i種方案，用'<=()''表示員工不支持第i種方案[=123,4),那么方差。?),。仁)，

。依30低）的大小關(guān)系為（）

A.。信）＜。4）＜。倡）＜。（當(dāng)）

B.。仁）〈力侑）＜。（芻）＜。值）

C.。（〈）＜。右）＜。（。）＜。值）

D.。仔）＜。仁）＜力仁）＜。侑）

練習(xí)3.（多選）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中P（X=O）=；,則下列結(jié)論正確的是（）

A.P（X=1）=￡（X）B.E（3X+2）=4

C.O（3X+2）=4D.O（X）=[

練習(xí)4.（多選）隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若尸（X=0）=《，則下列結(jié)論正確的有（）

3

A.P（X=1）=：B.O(X)=^

C.E（2X+1）=1D.O（2X+l）=j

練習(xí)5.已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P（X=0）=2/,P^x=\）=a,那么。=

題型二超幾何分布

例3.（多選）某單位推出了10道有關(guān)二十大的測(cè)試卷供學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)和測(cè)試，乙能答對(duì)其中的6道題，規(guī)定每次測(cè)試

都是從這10道題中隨機(jī)抽出4道，答對(duì)一題加10分，答錯(cuò)一題或不答減5分，最終得分最低為0分，則下列說法正

確的是（）

1Q

A.乙得40分的概率是高B.乙得25分的概率是《

C.乙得10分的概率是13D.乙得0分的概率是麗1

例4.某研究小組為研究經(jīng)常鍛煉與成績(jī)好差的關(guān)系，從全市若干所學(xué)校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中有

體育鍛煉習(xí)慣的有45人.經(jīng)調(diào)查，得到這100名學(xué)生近期考試的分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖.記分?jǐn)?shù)在600分以上的

為優(yōu)秀，其余為合格.

(1)請(qǐng)完成下列2x2列聯(lián)表.根據(jù)小概率值。=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析成績(jī)優(yōu)秀與體育鍛煉有沒有關(guān)系.

經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)

合格25

優(yōu)秀10

合計(jì)100

(2)現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再?gòu)倪@10人口隨機(jī)抽取5人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，記抽到5人中

優(yōu)秀的人數(shù)為X,求X的分布列.

n(ad-bc)2

附：z2=其中〃=。+/?+。+〃.

(〃+/?)(<?++d)，

P(/叫0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

舉一反三

練習(xí)6.第三十一屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年8月8日晚在四川省成都市勝利閉幕.來自113個(gè)國(guó)家和地區(qū)

的6500名運(yùn)動(dòng)員在此屆運(yùn)動(dòng)會(huì)上展現(xiàn)了青春力量，綻放青春光彩，以飽滿的熱情和優(yōu)異的狀態(tài)譜寫了青春、團(tuán)結(jié)、

友誼的新篇章.外國(guó)運(yùn)動(dòng)員在返家時(shí)紛紛購(gòu)買紀(jì)念品，尤其對(duì)中國(guó)的唐裝頗感興趣.現(xiàn)隨機(jī)對(duì)200名外國(guó)運(yùn)動(dòng)員(其

中男性120名，女性8()名)就是否有興趣購(gòu)買唐裝進(jìn)行了解，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:

有興趣無興趣合計(jì)

男性運(yùn)動(dòng)員8040120

女性運(yùn)動(dòng)員404080

合計(jì)12080200

(1)是否有99%的把握認(rèn)為“外國(guó)運(yùn)動(dòng)員對(duì)唐裝感興趣與性別有關(guān)”;

(2)按分層抽樣的方法抽取6名對(duì)唐裝有興趣的運(yùn)動(dòng)員，再?gòu)闹腥我獬槿?名運(yùn)動(dòng)員作進(jìn)一步采訪，記3名運(yùn)動(dòng)員中

男性有X名，求X的分。列與數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)2

參考公式：

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表:

P(K2>%)0.1500.1000.0500.0250.0100.001

即2.0722.7063.8415.0246.63510.828

練習(xí)7.某乒乓球隊(duì)訓(xùn)練教官為了檢驗(yàn)學(xué)員某項(xiàng)技能的水平，隨機(jī)抽取100名學(xué)員進(jìn)行測(cè)試，并根據(jù)該項(xiàng)技能的評(píng)

價(jià)指標(biāo),按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,950[95,100]分成8組,得到如圖所示的頻率分布直

方圖.

頻率

(1)求。的值，并估計(jì)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)(精確到0.1);

⑵若采用分層抽樣的方法從評(píng)價(jià)指標(biāo)在[70,75)和[85,90)內(nèi)的學(xué)員中隨機(jī)抽取12名，再?gòu)倪@12名學(xué)員中隨機(jī)抽取

5名學(xué)員，記抽取到學(xué)員的該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)在[70,75)內(nèi)的學(xué)員人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

練習(xí)8.一個(gè)口袋中有4個(gè)白球，2個(gè)黑球，每次從袋中取出一個(gè)球

(I)若不放回的取2次球，求在第次取出白球的條件下，第二次取出的是黑球的概率；

(2)若不放回的取3次球，求取出白球次數(shù)X的分布列及E(X).

練習(xí)9.某公司生產(chǎn)一種電子產(chǎn)品，每批產(chǎn)品進(jìn)入市場(chǎng)之前，需要對(duì)其進(jìn)行檢測(cè)，現(xiàn)從某批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取9箱進(jìn)

行檢測(cè)，其中有5箱為一等品.

(1)若從這9箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3箱，求至少有2箱是■等品的概率；

(2)若從這9箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3箱，記〈表示抽到?等品的箱數(shù)，求看的分布列和期望.

練習(xí)10.下表為某班學(xué)生理科綜合能力測(cè)試成績(jī)（百分制）的頻率分布表，已知在［80,90）分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為

21.

分?jǐn)?shù)段[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]

頻率0.10.150.20.20.150.1*

⑴求測(cè)試成績(jī)?cè)冢?5,100］分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)；

⑵現(xiàn)欲從［95,100］分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽出2人參加物理興趣小組，若其中至少有一名男生的概率為：，求［95,1001分

數(shù)段內(nèi)男生的人數(shù)；

（3）若在［65,70）分?jǐn)?shù)段內(nèi)的女生為4人，現(xiàn)欲從［65,70）分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽出3人參加培優(yōu)小組，4為分配到此組

的3名學(xué)生中男生的人數(shù).求4的分布列及期望筑

題型三二項(xiàng)分布

例5.某地區(qū)對(duì)某次考試成績(jī)進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的A,5兩門學(xué)科成績(jī)作為樣本.將他們的A學(xué)科成

績(jī)整理得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定成績(jī)達(dá)到70分為良好.已知他們中B學(xué)科良好的有50人，兩門學(xué)科均良

并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為這次考試學(xué)生的A學(xué)科良

好與B學(xué)科良好有關(guān);

B學(xué)科良好8學(xué)科不夠良好合計(jì)

A學(xué)科良好

人學(xué)科不夠良好

合計(jì)

（2）用樣本頻率估計(jì)總體概率，從該地區(qū)參加考試的全體學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記這3人中A,8學(xué)科均良好的人數(shù)

為隨機(jī)變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

*〃(＜以一反)，

附:其中〃=a+8+c+d.

(a+Z?)(c+J)(?++4)

p(Y次)0.)50.100.050.0250.0100.0050.0010.15

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282.072

例6.近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺(tái)，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛，已逐

漸成為社交平臺(tái)發(fā)展的新方向，同時(shí)出現(xiàn)了利用短視頻平臺(tái)進(jìn)行直播銷售的模式.已知甲公司和乙公司兩家購(gòu)物平臺(tái)

所售商品類似，存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系.現(xiàn)對(duì)某時(shí)段100名觀看過這兩家短視頻的用戶與使用這兩家購(gòu)物平臺(tái)購(gòu)物的情況進(jìn)行

調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

選擇甲公司購(gòu)物平臺(tái)選擇乙公司購(gòu)物平臺(tái)合計(jì)

用戶年齡段為19~24歲302050

用戶年給段為25~34歲203050

合計(jì)5050100

(1)能否有95%的把握認(rèn)為使用哪家購(gòu)物平臺(tái)購(gòu)物與觀看這兩家短視頻的用戶的年齡有關(guān)？

(2)為了了解用戶觀看兩家短視頻后選擇哪家公司購(gòu)物的原因，用頻率近似概率，從觀看過這兩家短視頻的年齡段為

1924歲和2534歲的用戶中各抽取2名用戶進(jìn)行回訪，求抽出的4人中選擇甲公司購(gòu)物的人數(shù)恰好為2的概率.

參考公式：z2=-；~""a：｝)~,其中〃=〃+Z?+c+d.

(a+h)(c+d)[a+c)(b+d)

尸(1.k)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

舉一反三

練習(xí)11.某數(shù)學(xué)興擲小組設(shè)計(jì)了一個(gè)開肓盒游戲：在編號(hào)為1到4號(hào)的四個(gè)箱子中隨機(jī)放入獎(jiǎng)品，每個(gè)箱子中放入

的獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)4滿足PC=〃)02=1,2,3,4,5),每個(gè)箱子中所放獎(jiǎng)品的個(gè)數(shù)相互獨(dú)立.游戲規(guī)定：當(dāng)箱子中獎(jiǎng)品

的個(gè)數(shù)超過3個(gè)時(shí)，可以從該箱中取走一個(gè)獎(jiǎng)品，否則從該箱中不取獎(jiǎng)品.每個(gè)參與游戲的同學(xué)依次從I到4號(hào)箱

子中取獎(jiǎng)品，4個(gè)箱子都取完后該同學(xué)結(jié)束游戲.甲、乙兩人依次參與該游戲.

(I)求甲能從1號(hào)箱子中取走一個(gè)獎(jiǎng)品的概率；

⑵設(shè)甲游戲結(jié)束時(shí)取走的獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)為X,求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望;

(3)設(shè)乙游戲結(jié)束時(shí)取走的獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)為V,求Y的數(shù)學(xué)期望.

練習(xí)12.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7:30之前到校的概率均為假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，

且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.

(I)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列；

(2)設(shè)M為事件”上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求

事件M發(fā)生的概率.

練習(xí)13.某公司使用甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)芯片，已知每天甲機(jī)器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的六成，且合格率為94%；乙

機(jī)器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的四成，且合格率為95%,已知兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)芯片的質(zhì)量互不影響.現(xiàn)對(duì)某天生產(chǎn)的芯片進(jìn)

行抽樣.

(1)從所有芯片中任意抽取一個(gè)，求該芯片是不合格品的概率；

(2)現(xiàn)采用有放回的方法隨機(jī)抽取3個(gè)芯片，記其中由乙機(jī)器生產(chǎn)的芯片的數(shù)量為X,求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望

石⑻.

練習(xí)14.卡塔爾世界杯的吉祥物“拉伊卜”弓I發(fā)網(wǎng)友和球迷喜愛，并被親切地稱為“餃子皮某公司被授權(quán)銷售以“拉

伊卜”為設(shè)計(jì)主題的精制書簽.該精制書簽的生產(chǎn)成本為50元/個(gè)，為了確定書簽的銷售價(jià)格，該公司對(duì)有購(gòu)買精制

書簽意向的球迷進(jìn)行了調(diào)查，共收集了200位球迷的心理價(jià)格來估計(jì)全部球迷的心理價(jià)格分布.這200位球迷的心理

價(jià)格對(duì)應(yīng)人數(shù)比練習(xí)分布如下圖：

若只有在精制書簽的銷售價(jià)格不超過球迷的心理價(jià)格時(shí)，球迷才會(huì)購(gòu)買精制書簽.公司采用常見的優(yōu)餓營(yíng)銷的方法刺

激球迷購(gòu)買產(chǎn)品，規(guī)定每位球迷最多只能購(gòu)買一個(gè)該精制書簽.設(shè)每位球迷是否購(gòu)買該精制書簽相互獨(dú)立，精制書簽

的銷售價(jià)格為x元/個(gè)(60<x<90).

(1)若x=80,已知某時(shí)段有3名球迷有購(gòu)買意向而咨詢公司，設(shè)X為這3名球迷中購(gòu)買精制書簽的人數(shù)，求X的

分布列和期望；

(2)假設(shè)共有Z名球迷可能購(gòu)買該精制書簽，請(qǐng)比較當(dāng)精制書簽的售價(jià)分別定為70元和80元時(shí)，哪種售價(jià)對(duì)應(yīng)的總

利潤(rùn)的期望最大？

練習(xí)15.“雙減”政策執(zhí)行以來,中學(xué)牛有更多的時(shí)間參加志愿朋務(wù)和體育鍛煉等課后活動(dòng).某校為「解學(xué)牛課后活

動(dòng)的情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)選取100人，統(tǒng)計(jì)了他們一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間(單位：小時(shí))，分別位于區(qū)間［7,9),

[9,11),[11J3),[13,15),[15,17),[17,19],用頻率分布直方圖表示如下，假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每個(gè)學(xué)生參加

課后活動(dòng)的時(shí)間相互獨(dú)立.

,頻率/組距

0.200……-……——―

0.125-----------------j—

0.075...............l

。0叫.05丁0……++]—-卜-卜卜|,

O“791113151719時(shí)間/小時(shí)

(I)估計(jì)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間[13,17)的概率;

(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)選取3人，記J表示這3人一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間[15,17)的人數(shù)，求＜的分布列和數(shù)

學(xué)期望E(J).

題型四二項(xiàng)分布的概率最大問題

例7.若*~8(201),則P(X=6取得最大值時(shí)，k=

例8.某綜藝節(jié)目中，有一個(gè)盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方.為

了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了100名盲擰魔方愛好者進(jìn)行調(diào)查，得到

的情況如表所示：

用時(shí)/秒[5,10](10,15](15,20](20,25]

男性人數(shù)1721139

女性人數(shù)810166

以這100名盲擰魔方愛好者用時(shí)不超過10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者用時(shí)不超過1Q秒的概率，每位

盲擰魔方愛好者用時(shí)是否超過10秒相互獨(dú)立.若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機(jī)抽取20名盲擰魔方愛好者進(jìn)行測(cè)

試，其中用時(shí)不超過10秒的人數(shù)最有可能(即概率最大)是()

A.3B.4C.5D.6

舉一反三

練習(xí)16.設(shè)隨機(jī)變量X?5(〃,〃)，記&=0,1,2,.在研究〃人的最大值時(shí)，某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)

并證明了如下正確結(jié)論：若(〃+1)〃為正整數(shù)，當(dāng)&=5+1)〃時(shí)，P*=Pi，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值；若(〃+l)P

不為正整數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)k取5+1)〃的整數(shù)部分時(shí)，〃《取最大值.某同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時(shí)記

錄點(diǎn)數(shù)I出現(xiàn)的次數(shù).當(dāng)投擲到第20次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)I出現(xiàn)4次，若繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，則在這100

次投擲試驗(yàn)中，點(diǎn)數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為的概率最大.

練習(xí)1〉近年來，隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物、直播帶貨、網(wǎng)上買菜等新業(yè)態(tài)迅速進(jìn)入了我們的生活，改變了

我們的生活方式.現(xiàn)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過3次的市民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上買菜”，不超過3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的

市民認(rèn)定為“不喜歡網(wǎng)上買菜".某市"社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上買菜情況，隨機(jī)抽取了該社區(qū)ICO名市民，得到

的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計(jì)

年齡不超過45歲的市民401050

年齡超過45歲的市民203050

合計(jì)6040100

(I)是否有99.9%的把握認(rèn)為M社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān)？

(2)M社區(qū)的市民李華周一、周二均在網(wǎng)上買菜，且周一從A,B兩個(gè)買菜平臺(tái)隨機(jī)選擇其中一個(gè)下單買菜.如果周

4

一選擇A平臺(tái)買菜，那么周二選擇A平臺(tái)買菜的概率為不；如果周一選擇3平臺(tái)買菜，那么周二選擇3平臺(tái)買菜的

概率為g，求李華周二選擇平臺(tái)8買菜的概率：

⑶用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從“社區(qū)市民中隨機(jī)抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)為Y,事件“X=K'

的概率為尸(X=k),求使P(X=k)取得最大值時(shí)的k的值.

參考公式：參=立瑞瑪研其中…+0+~.

P（K2之k°）0.10.050.00.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

練習(xí)18.為了“讓廣大青少年充分認(rèn)識(shí)到毒品的危害性，切實(shí)提升青少年識(shí)毒防毒拒毒意識(shí)”，我市組織開展青少年

禁毒知識(shí)競(jìng)賽，團(tuán)員小明每天自覺登錄“禁毒知識(shí)競(jìng)賽APP,參加各種學(xué)習(xí)活動(dòng)，同時(shí)熱衷于參與四人賽.每局四人

賽是由網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)匹配四人進(jìn)行比賽，每題回答正確得20分，第1個(gè)達(dá)到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比

賽，該局比賽結(jié)束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據(jù)得分情況獲得相應(yīng)名次，從而得到相應(yīng)的學(xué)習(xí)

積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2、3名的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分,

獲得第2、3、4名的得I分：后18局是無效局，無論獲得什么名次，均不能獲得學(xué)習(xí)積分.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，小明每天在第1

局四人賽中獲得3分、2分、1分的概率分別為，，1在第2局四人賽中獲得2分、I分的概率分別為!，

42444

(I)設(shè)小明每天獲得的得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若小明每天賽完20局，設(shè)小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為:，每局是否贏得比賽相

4

互獨(dú)立，請(qǐng)問在每天的20局四人賽中，小明贏得多少局的比賽概率最大？

練習(xí)19.在卜余年的學(xué)習(xí)生活中，部分學(xué)生養(yǎng)成了上課轉(zhuǎn)筆的習(xí)慣.某研究小組為研究轉(zhuǎn)筆與學(xué)習(xí)成績(jī)好差的關(guān)系，

從全市若干所學(xué)校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中有上課轉(zhuǎn)筆習(xí)慣的有45人.經(jīng)調(diào)查，得到這100名學(xué)生

近期考試的分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖.記分?jǐn)?shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格.

(1)請(qǐng)完成下列2x2列聯(lián)表.并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的條件下，認(rèn)為成績(jī)是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆

有關(guān).

上課轉(zhuǎn)筆上課不轉(zhuǎn)筆合計(jì)

合格25

優(yōu)秀1()

合計(jì)100

(2)現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取1()人,再?gòu)倪@10人內(nèi)隨機(jī)抽取5人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，記抽到5人中

合格的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(3)若將頻率視作概率，從全市所有在校學(xué)生中隨機(jī)抽取20人進(jìn)行調(diào)查，記20人中上課轉(zhuǎn)筆的人數(shù)為女的概率為汽火)，

當(dāng)P(幻取最大值時(shí)，求A的值.

附：八(i)(；喘？)伍+獷其中〃

P(爐叫0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

練習(xí)20.某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果，一般地，果徑越大售價(jià)越高.為

幫助果農(nóng)創(chuàng)收，提高水果的果徑，某科研小組設(shè)計(jì)了一套方案，并在兩片果園中進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，其中實(shí)驗(yàn)園采用實(shí)

驗(yàn)方案，對(duì)照?qǐng)@未采用.實(shí)驗(yàn)周期結(jié)束后，分別在兩片果園中各隨機(jī)選取100個(gè)果實(shí)，按果徑分成5組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：

[21,26),[26,31),[31,36),[36,41),[41,46)(單位：mm).統(tǒng)計(jì)后分別制成如下的頻率分布直方圖，并規(guī)定果徑達(dá)到36

nun及以上的為“大果

實(shí)驗(yàn)園

(1)估計(jì)實(shí)驗(yàn)園的“大果”率;

(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從對(duì)照?qǐng)@選取的100個(gè)果實(shí)中抽取10個(gè)，再?gòu)倪@10個(gè)果實(shí)中隨機(jī)抽取3個(gè)，記其中“大

果”的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列；

⑶以頻率估計(jì)概率，從對(duì)照?qǐng)@這批果實(shí)中隨機(jī)抽取〃03,個(gè)，設(shè)其中恰有2個(gè)“大果嗎勺概率為尸(〃)，

當(dāng)P(〃)最大時(shí),寫出〃的值.

題型五二項(xiàng)分布與超幾何分布的綜合

例9.2023年5月，某高中開展了“最美寢室”文化布置評(píng)比活動(dòng)，學(xué)生會(huì)成員隨機(jī)抽取了12間寢室進(jìn)行量化評(píng)估，

其中有4間寢室被評(píng)為優(yōu)秀寢室.

(1)現(xiàn)從這12間寢室中隨機(jī)抽取3間，求有I間優(yōu)秀的概率；

(2)以這12間寢室的評(píng)估情況來估計(jì)全校寢室的文化布置情況，若從全校所有寢室中任選3間，記X表示抽到優(yōu)秀

的寢室同數(shù)，求X的分布列和期望.

例10.某學(xué)校從全體師生中隨機(jī)抽取30位男生、30位女生、12位教師一起參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).

(1)假設(shè)30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數(shù)為從學(xué)校全體男生中隨機(jī)選取3人，記X為3人

中身高不超過a的人數(shù)，以頻率估計(jì)概率求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

⑵從參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的72人中一次性隨機(jī)選出30位，記被選出的人中恰好有"(2=1,2,,30)個(gè)男生的概率為

P伏)，求使得P伙)取得最大值的々的值.

舉一反三

練習(xí)21.2022年2月2()日，北京冬奧會(huì)在鳥巢落下帷幕，中國(guó)隊(duì)創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績(jī).北京冬奧會(huì)的成功舉辦推動(dòng)了我

國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運(yùn)動(dòng)，某校組織了一次全校冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽，并抽取了100

名參賽學(xué)生的成績(jī)制作成如下頻率分布表：

競(jìng)賽得分[50,60](60,70](70,80](80,90](90,100]

頻率0.10.10.30.30.2

(1)如果規(guī)定競(jìng)賽得分在(80,90］為“良好”，競(jìng)賽得分在(90,100］為“優(yōu)秀”，從成績(jī)?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組學(xué)生中，

使用分層抽樣抽取10個(gè)學(xué)生，問各抽取多少人？

(2)在(1)條件下，再?gòu)倪@10學(xué)生中抽取6人進(jìn)行座談，求至少有3人競(jìng)賽得分都是“優(yōu)秀”的概率；

(3)以這100名參賽學(xué)生中競(jìng)賽得分為“優(yōu)秀”的頻率作為全校知識(shí)競(jìng)賽中得分為“優(yōu)秀”的學(xué)生被抽中的概率.現(xiàn)從該

校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記競(jìng)賽得分為“優(yōu)秀”的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

練習(xí)22.某社區(qū)組織開展“掃黑除惡”宣傳活動(dòng)，為鼓勵(lì)更多的人積極參與到宣傳活動(dòng)中來，宣傳活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)設(shè)置了抽

獎(jiǎng)環(huán)節(jié).在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“掃黑除惡利國(guó)利民”或“普法宣傳人人參與”圖案.抽

獎(jiǎng)規(guī)則：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張分別是“普法宣傳人人參與”和“掃黑除惡利國(guó)利民”卡即可獲獎(jiǎng)，

否則，均為不獲獎(jiǎng).卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行.活動(dòng)開始后，一位參加者問：“盒中有幾張‘普

法宣傳人人參與'卡？”主持人答：“我只知道，從盒中抽取兩張都是，掃黑除惡利國(guó)利民'卡的概率是，.”

(1)求抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率；

(2)為了增加抽獎(jiǎng)的趣味性，規(guī)定每個(gè)抽獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有9張卡片的盒中隨機(jī)抽出1張不放回，再用剌下8張卡片按照

之前的抽獎(jiǎng)規(guī)則進(jìn)行抽獎(jiǎng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎(jiǎng)，用X表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求X的分布列和均值.

練習(xí)23.某試驗(yàn)機(jī)床生產(chǎn)了12個(gè)電子元件，其中8個(gè)合格品，4個(gè)次品.從中隨機(jī)抽出4個(gè)電子元件作為樣本,

用X表示樣木中合格品的個(gè)數(shù).

(1)若有放回的抽取，求X的分布列與期望；

(2)若不放回的抽取，求樣本中合格品的比練習(xí)與總體中合格品的比練習(xí)之差的絕對(duì)值不超過二的概率.

4

3

練習(xí)24.甲、乙兩人參加某種選拔測(cè)試，在備選的10道題中，甲答對(duì)其中每道題的概率都是乙能答對(duì)其中的

5道題.規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，答對(duì)一題加10分，答錯(cuò)一題(不答視為答錯(cuò))

減5分，至少得15分才能入選.甲乙兩人的答題情況相互獨(dú)立

(1)求甲得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)求甲、乙兩人同時(shí)入選的概率；

練習(xí)2f.某學(xué)校實(shí)行自主招生，參加自主招生的學(xué)生從8個(gè)試卷中隨機(jī)挑選出4個(gè)進(jìn)行作答，至少答對(duì)3個(gè)才能通

過初試，已知甲、乙兩人參加初試，在這8個(gè)試卷中甲能答對(duì)6個(gè)，乙能答對(duì)每個(gè)試卷的概率為且甲、乙兩人

是否答對(duì)每個(gè)試卷互不影響.

(1)試通過概率計(jì)算，分析甲、乙兩人誰通過自主招生初試的可能性更大；

(2)若答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)或不答得()分，記乙答題的得分為，，求V的分布列.

題型六正態(tài)分布求概率

例II.已知某工廠生產(chǎn)零件的尺寸指標(biāo)4N05,0.0025),單位為cm.該廠每天生產(chǎn)的零件尺寸在(14915.05)的數(shù)

量為818600,則可以估計(jì)該廠每天生產(chǎn)的零件尺寸在15.15以上的數(shù)量為()

參考數(shù)據(jù)：若&貝I」尸(〃一b<4?4+b)=0.6827,。(〃-2。<€?〃+2。)=0.9545,

-3b<弊〃+3b)=0.9973.

A.1587B.2275C.2700D.1350

例12.?批燈泡的使用時(shí)間X(單位：小時(shí))服從正態(tài)分布N0OOOQ4OO2),則這批燈泡使用時(shí)間在(9200,10800］內(nèi)

的概率是.

舉一反三

練習(xí)26.甲、乙兩地舉行數(shù)學(xué)聯(lián)考，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：甲地學(xué)生的成績(jī)X~N(四乙地學(xué)生的成績(jī)

y?N3W)(6>0).下圖分別是其正態(tài)分布的密度曲線，則()

(若隨機(jī)變量XN(〃,/),則P(〃-b<XW〃+b)=0.6827,P(〃-2b<XW〃+2b)=0.9545,

尸（〃一女r<X?〃+女r）=0.9973）

A.甲地?cái)?shù)學(xué)的平均成績(jī)比乙地的高B.甲地?cái)?shù)學(xué)成績(jī)的離散程度比乙地的小

C.P（90<X<94）>P（82<X<90）D.若d=8,則P（92WY<124卜0.84

練習(xí)27.某田地生長(zhǎng)的小麥的株高X服從正態(tài)分布N（IOO[6）,則P（96KXK1O8卜（）

（附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（〃,4），則+o卜0.6827,尸（以―2bWZW〃+2。卜0.9545,

P（//-3<T<Z<//+3tr）?0.9973）

A.0.6827B.0.8186C.0.9545D.0.9759

練習(xí)28.（多選）已知在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，某校1000學(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布M100,100）,其中90分為及格線，

120分為優(yōu)秀線，則對(duì)于該校學(xué)生成績(jī)，下列說法正確的有（參考數(shù)據(jù)：①P（〃-b<XW〃+b）=0.6827；②

P（〃-2<TVXW〃+2b）=0.9545；③P（〃-3b<XW〃+3b）=0.9973.）（）

A.標(biāo)準(zhǔn)差為100

B.及格率超過86%

C.得分在（70,130]內(nèi)的人數(shù)約為997

D.得分低于80的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等

練習(xí)29.（多選）裝疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，這種玻璃有較好的平均線膨脹系數(shù)（簡(jiǎn)

稱：膨脹系數(shù)）.某坡璃廠自兩條硼碎坡地的生產(chǎn)線，具中甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅坡埔的膨脹系數(shù)X~N（4.7,0.01）,乙

生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)X2~N（4.6,0.04）,則下列選項(xiàng)正確的是（）.（附：若XN（4,4）,則

尸（〃一b?X?〃+b）a0.6826,P（//-2a<X<//+2<y）?0.9544,P（//-3<T<X<//+3a）*0.9974）

A.甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)范圍在（4.5,4.8）的概率約為0.7685

B.甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)比乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中

C.若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)不能超過5,則乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率更大

D.若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)為4.7±0.1,則甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率約為乙生產(chǎn)線

的2倍

練習(xí)30.假設(shè)某個(gè)地區(qū)高二學(xué)生的身高服從正態(tài)分布，且均值為口0（單位：cm,下同），標(biāo)準(zhǔn)差為10.在該地區(qū)

任意抽取一名高二學(xué)生，求這名學(xué)生的身高：

⑴不高于170的概率；

⑵在區(qū)間［160,180］內(nèi)的概率；

（3）不高于180的概率.

題型七正態(tài)分布的對(duì)稱

例13.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（4,〃），若尸（XKl+2a）+P（XKl—.）=1,則。=（）

A.-1B.0C.2D.6

例14.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（〃,/），且P（X"）=0.5,P（X<b）=4P（X>b）t則0（XM2a—〃）=,

舉一反三

練習(xí)31.（多選）設(shè)隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布"（〃，力，若尸e<2）=Pe>4）=a,則下列結(jié)論正確的為（）

A.〃=3B.P（3<<f<4）=l-2?

C.。⑷=近D.P（2<^<3）=--u

練習(xí)32.已知隨機(jī)變量X~N（1,4）,若尸（Xva+3）=尸”>2。-4）,則實(shí)數(shù)。的值為.

練習(xí)33.設(shè)隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布向量:二（1,2）與向量力=（￡-1）的夾角為銳角的概率是：，則〃=

練習(xí)34.已知隨機(jī)變量X~N（〃,b2）,且其正態(tài)曲線在（Y,80）上是增函數(shù)，在（80,一）上是減函數(shù)，且

P（72<X<88）^0.6827.

（I）求參數(shù)〃.。的值.

⑵求P（64<X<72）.

附：若X?則P(〃一bK>K〃+cr)R().6827,P(/z-2<T<X<//+2<T)?0.9545

練習(xí)35.（多選）若J則P（〃—b?g<〃+b）=0.6827,2（以一2。<4?〃+2。）=0.9545.己知€~%（6,4）,

且P（44〃?+2）=P（gN2，〃+l）,則（）.

A.m=3B.in=1

C.P（4<^<10）=0.8186D.P（4<^<10）=0.1814

題型八正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用

例15.零件的精度幾乎決定了產(chǎn)品的質(zhì)量，越精密的零件其精度要求也會(huì)越高.某企業(yè)為了提高零件產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)

檢部門隨機(jī)抽查了100個(gè)零件的直徑進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，得到數(shù)據(jù)如下表：

零件直徑（單位：厘米）[1.0J.2)[1.2,1.4)[1.4,1.6)[1.6,1.8)[1.8,2.0]

零件個(gè)數(shù)1025302510

已知零件的直徑可視為服從正態(tài)分布o(jì)?分別為這100個(gè)零件的直徑的平均數(shù)及方差（同一組區(qū)間

的直徑尺寸用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.

（1）分別求〃的值；

（2）試估計(jì)這批零件直徑在［1.044,1.728］的概率；

⑶隨機(jī)抽查2000個(gè)零件，估計(jì)在這2（）00個(gè)零件中，零件的直徑在［1044,1.728］的個(gè)數(shù).

參考數(shù)據(jù)：70X）52?0.228:若隨機(jī)變量4N（〃,b2）,則尸（〃一b4g?〃+o）*0.6827,

P（X/-2o-<<<//+2o■卜0.9545,尸Q-3bWJW〃+3o■卜0.9973.

例16.某校舉辦顛乒乓球比賽，現(xiàn)從高一年級(jí)1000名學(xué)生中隨機(jī)選出40名學(xué)生統(tǒng)計(jì)成績(jī)，其中24名女生平均成

績(jī)?yōu)?0個(gè)，標(biāo)準(zhǔn)差為4；16名男生平均成績(jī)?yōu)?0個(gè)，標(biāo)準(zhǔn)差為6.

（I）高一年級(jí)全員參加顛球比賽的成績(jī)近似服從正態(tài)分布N（〃,4），若用這40名參賽的同學(xué)的樣本平均數(shù)［和標(biāo)準(zhǔn)

差$（四舍五入取整數(shù)）分別作為〃，。，估計(jì)高一年級(jí)顛球成績(jī)不超過60個(gè)的人數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；

（2）顛球比賽決賽采用5局3勝制，甲、乙兩名同學(xué)爭(zhēng)奪冠亞軍，如果甲每局比賽獲勝的概率為彳，在甲獲勝的條件

下，求其前2局獲勝的概率.

附：若X~N（MCT2）,則P（|X-“Wcr）=0.6827,P（|XW2。）=0.9545,P（|X-//|<3cr）=0.9973.

舉一反三

練習(xí)36.河北省高考從2018年秋季高中入學(xué)的新生開始新模式，即3+1+2模式；2021年開始，高考總成績(jī)由語數(shù)

外+物理、歷史(選I門)+化學(xué)、生物、政治、地理(選2門)等六門科目構(gòu)成.現(xiàn)將每門選考科目的考生原始

成績(jī)從高到低劃分為A、歹、B、C+、。、。，、。、E共8個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比練

習(xí)分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至七等級(jí)內(nèi)的考生

原始成績(jī)，依照等比練習(xí)轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到［9U00］、［81,90］、［71,80］、［61,70］、［51.60］、［41,50］、［31,40］、

［21,30］八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī).某校高一年級(jí)共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對(duì)六個(gè)

選考科目進(jìn)行測(cè)試，其中化學(xué)考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布N(60,169).

⑴求化學(xué)原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間(47,86)的人數(shù)；

(2)按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取3人，記X表示這3人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間［61,80］的人數(shù)，求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望.

(附：若隨機(jī)變量4?則〃+。卜0.6827,P(//-2<T<^^//+2a)?0.9545,

-3。<JW"+3。卜0.9973)

練習(xí)37.根據(jù)以往大量的測(cè)量知某加工廠生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑尺寸X服從正態(tài)分布N(〃Q2),并把鋼管內(nèi)徑在

內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，鋼管內(nèi)徑在++2。)內(nèi)的產(chǎn)品稱為二等品，一等品與二等品統(tǒng)稱為正品,

其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品回收.現(xiàn)從該企'也生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1000件，測(cè)得鋼管內(nèi)徑的樣本數(shù)據(jù)的頻率分

(1)通過檢測(cè)得樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差5=0.3,用樣本平均數(shù)x作為〃的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計(jì)值，根據(jù)

所給數(shù)據(jù)求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的鋼管內(nèi)徑尺寸范圍；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)

(2)假如企業(yè)包裝時(shí)要求把2個(gè)?等品和〃("大2,〃eN)個(gè)二等品裝在同?個(gè)箱了中，質(zhì)檢員從某箱了中摸出兩件產(chǎn)

品進(jìn)行檢驗(yàn)，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級(jí)相同，則該箱產(chǎn)品記為4否則該箱產(chǎn)品記為從

①試用含〃的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率p；

②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為8的概率為了（〃），求當(dāng)〃為何值時(shí)，/（〃）取得最大值，并求出最大值.

參考數(shù)據(jù)：36.2x0.2+36.4x0.25+36.6x0.7+36.8x0.84-37x1.1+37.2x0.8+37.4x0.65

+37.6x0.4+37.8x0.1=185

練習(xí)38.十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧

奔小康.經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加，為了制定提升農(nóng)民收入力爭(zhēng)早日

脫貧的工作計(jì)劃，該地扶貧辦統(tǒng)計(jì)了2019年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：

頻率

0.18------------------

0.14-------------

So6

So5

o3

OS.o2

C9

II13151719212325收入在元）

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)50位農(nóng)民的年平均收入元（單位：千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）；

⑵由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民收入X服從正態(tài)分布其中〃近似為年平均收入了，人近

似為樣本方差/，經(jīng)計(jì)算得/=6.92,利用該正態(tài)分布，求：

①在扶貧攻堅(jiān)工作中，若使該地區(qū)約有84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大

約為多少千元？

②為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人'’的政策要求落實(shí)情況，扶貧辦隨機(jī)走訪了1000位農(nóng)民.若每位農(nóng)民的年收入互相

獨(dú)立，記這1000位農(nóng)民中的年收入高于12.14千元的人數(shù)為J,求￡?）.

附參考數(shù)據(jù)：痣滅=2.63，

若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布NT”?），則

P（//-<r<X<z/+o-）?0.6827,

P（〃一2。工XW〃+2。）、0.9545,

尸（〃一3。KXK〃+3。）*0.9973.

練習(xí)39.全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，最艱巨最繁重的任務(wù)仍然在農(nóng)村，強(qiáng)國(guó)必先強(qiáng)農(nóng)，農(nóng)強(qiáng)方能國(guó)強(qiáng).某市為

了解當(dāng)?shù)剞r(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況.隨機(jī)抽取該地2000戶農(nóng)戶家庭年收入工（單位：萬元）進(jìn)行調(diào)查,并繪制得到如下圖所示

的頻率分布直方圖.

⑴求這200()戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù)了和樣本方差1(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表).

(2)由直方圖可認(rèn)為農(nóng)戶家庭年收入X近似服從正態(tài)分布其中〃近似為樣本平均數(shù)工，V近似為樣本方

差一.

①估計(jì)這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過9.52萬元(含9.52)的戶數(shù)？(結(jié)果保留整數(shù))

②如果用該地區(qū)農(nóng)戶家庭年收入的情況來估計(jì)全市農(nóng)戶家庭年收入的情況，現(xiàn)從全市農(nóng)戶家庭中隨機(jī)抽取4戶，即

年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)為久求P(g<3).(結(jié)果精確到0.001)

附：①疝。1.52；②若X則P(〃-b<X<〃+b)=0.6827,P(〃-2b<X<〃+2。)=0.9545；(3)

0.841354?0.501.

練習(xí)40.某商場(chǎng)在五一假期間開展了一項(xiàng)有獎(jiǎng)闖關(guān)活動(dòng)，并對(duì)每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分，競(jìng)猜活動(dòng)共五關(guān)，規(guī)定：

上一關(guān)不通過則不進(jìn)入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會(huì)，兩次均未通過，則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否

通過相互獨(dú)立，已知甲、乙、內(nèi)三人都參加了該項(xiàng)闖關(guān)活動(dòng).

(1)若甲第一關(guān)通過的概率為彳，第二關(guān)通過的概率為：，求甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率；

(2)已知該闖關(guān)活動(dòng)累計(jì)得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)

放獎(jiǎng)勵(lì).

①假設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為171分，351分以上共有57人，己知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎(jiǎng)勵(lì)，請(qǐng)說明

理由；

②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上共有57人”，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)

學(xué)知識(shí)幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?

附：若隨機(jī)變量Z~N(〃,/)，則尸(〃一bKXK〃+b)p().6827：P(//-2<T<X<//+2<T)?0.9545；

P(X/-3O-<X<//+3<T)?0.9973.

專題10.7二項(xiàng)分布、超幾何分布及正態(tài)分布

三I題型目錄

題型一兩點(diǎn)分布

題型二超幾何分布

題型三二項(xiàng)分布

題型四二項(xiàng)分布的概率最大問題

題型五一項(xiàng)分布與超幾何分布的綜合

題型六正態(tài)分布求概率

題型七正態(tài)分布的對(duì)稱

題型八正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用

才典例集練

題型一兩點(diǎn)分布

例1.隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且戶(X=l)=0.2,令y=3X—2,則尸(y=-2)=()

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.8

【答案】D

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的性質(zhì)求出p(x=o),則p(y=-2)=p(x=o).

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X=l)=0.2,

所以P(X=0)=l-P(X=l)=l-0.2=0.8,

由y=3x-2,所以p(y=-2)=p(x=o)=o.8.

故選：D

例2.已知離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X=0)=3-4戶(X=l),則隨機(jī)變量X的方差為.

【答案】I

【分析】因?yàn)閳D散型隨機(jī)變量丫服從兩點(diǎn)分布，設(shè)P(x=0)=〃-所以P(X=1)=1-",由題意可求出月二;，所

以可求出。(X).

【詳解】因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，設(shè)P（X=O）=〃],所以P（X=l）=l-〃|,

所以，代入P（x=o）=3—4P（X=1）有：P1=3-4（1-72,）,

I2

解得：Pl=-?P（X=1）=1-/?=-,

JJ!

17?

因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布：所以。（X）=QX寸?

JJ7

故答案為：.

舉一反三

2

練習(xí)1.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，滿足尸（X=0）=9p0,且P（X=O）＜P（X=l）,則

￡（%）=（）

A.-B.1C.\D.-

32