2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第六章平面向量與復(fù)數(shù)平面向量的數(shù)量積理

考點(diǎn)6.3平面對(duì)量的數(shù)量積考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理1.向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是[0，π].2.平面對(duì)量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積3.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4.平面對(duì)量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論符號(hào)表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))概念方法微思索兩個(gè)向量的數(shù)量積大于0，則夾角肯定為銳角嗎？提示不肯定．當(dāng)夾角為0°時(shí)，數(shù)量積也大于0.真題真題演練1．（2024?山東）已知是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】畫(huà)出圖形如圖，，它的幾何意義是的長(zhǎng)度與在向量的投影的乘積，明顯，在處時(shí)，取得最大值，，可得，最大值為6，在處取得最小值，，最小值為，是邊長(zhǎng)為2的正六邊形內(nèi)的一點(diǎn)，所以的取值范圍是．故選A．2．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知單位向量，的夾角為，則在下列向量中，與垂直的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】單位向量，，對(duì)于，，所以與不垂直；對(duì)于，，所以與不垂直；對(duì)于，，所以與不垂直；對(duì)于，，所以與垂直．故選D．3．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知向量，滿意，，，則，（）A． B． C． D．【答案】D【解析】向量，滿意，，，可得，，．故選D．4．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知非零向量，滿意，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，．故選B．5．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知，，，則（）A． B． C．2 D．3【答案】C【解析】，，，，即，則故選C．6．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知向量，，則（）A． B．2 C． D．50【答案】A【解析】，，，，，，．故選A．7．（2024?天津）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．若點(diǎn)為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，過(guò)點(diǎn)做軸，過(guò)點(diǎn)做軸，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為．故選A．8．（2024?天津）在如圖的平面圖形中，已知，，，，，則的值為（）A． B． C． D．0【答案】C【解析】解法Ⅰ，由題意，，，，，且，又，；，，．解題Ⅱ：不妨設(shè)四邊形是平行四邊形，由，，，，，知，．故選C．9．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知向量，滿意，，則（）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【解析】向量，滿意，，則，故選B．10．（2024?浙江）已知，，是平面對(duì)量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿意，則的最小值是（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】由，得，，如圖，不妨設(shè)，則的終點(diǎn)在以為圓心，以1為半徑的圓周上，又非零向量與的夾角為，則的終點(diǎn)在不含端點(diǎn)的兩條射線上．不妨以為例，則的最小值是到直線的距離減1．即．故選A．11．（2024?上海）已知、為平面上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，該平面上的動(dòng)線段PQ的端點(diǎn)、，滿意，，，則動(dòng)線段PQ所形成圖形的面積為（）A．36 B．60 C．72 D．108【答案】B【解析】依據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；則，，設(shè)，，；由，得；又，，；；動(dòng)點(diǎn)在直線上，且，由相像三角形可知掃過(guò)的面積為48，即，則掃過(guò)的三角形的面積為，設(shè)點(diǎn)，，，，，，，，動(dòng)點(diǎn)在直線上，且，，掃過(guò)的三角形的面積為，因此和為60，故選B．12．（2024?浙江）如圖，已知平面四邊形ABCD，，，，AC與BD交于點(diǎn)，記，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，由圖象知，，，，即，故選C．13．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，，設(shè)，則，，，則當(dāng)，時(shí)，取得最小值，故選B．14．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)非零向量，滿意，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】非零向量，滿意，，，，解得，．故選A．15．（2024?上海）如圖所示，正八邊形的邊長(zhǎng)為2，若為該正八邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，正八邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，且，，，．再由正弦函數(shù)的單調(diào)性及值域可得，當(dāng)與重合時(shí)，最小為．結(jié)合選項(xiàng)可得的取值范圍為．故選B．16．（2024?天津）如圖，在四邊形中，，，，且，，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________，若，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】，【解析】以為原點(diǎn)，以為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，解得，，，，，，，，設(shè)，則，其中，，，，，，當(dāng)時(shí)取得最小值，最小值為，故答案為：，．17．（2024?上海）已知，，，，，是平面內(nèi)兩兩互不相等的向量，滿意，且，（其中，2，，2，，，則的最大值是__________．【答案】6【解析】如圖，設(shè)，，由，且，，分別以，為圓心，以1和2為半徑畫(huà)圓，其中隨意兩圓的公共點(diǎn)共有6個(gè)．故滿意條件的的最大值為6．故答案為：6．18．（2024?北京）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)滿意，則__________；__________．【答案】，【解析】由，可得為的中點(diǎn)，則，，，故答案為：，．19．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知單位向量，的夾角為，與垂直，則__________．【答案】【解析】向量，為單位向量，且，的夾角為，，又與垂直，，即，則．故答案為：．20．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)，為單位向量，且，則__________．【答案】【解析】，為單位向量，且，，可得，，所以，則．故答案為：．21．（2024?浙江）已知平面單位向量，滿意．設(shè)，，向量，的夾角為，則的最小值是__________．【答案】【解析】設(shè)、的夾角為，由，為單位向量，滿意，所以，解得；又，，且，的夾角為，所以，，；則，所以時(shí)，取得最小值為．故答案為：．22．（2024?上海）三角形中，是中點(diǎn)，，，，則__________．【答案】【解析】在中，，，，由余弦定理得，，，且是的中點(diǎn)，．故答案為：．23．（2024?上海）已知、、、、五個(gè)點(diǎn)，滿意，2，，，2，，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】設(shè)，則，，設(shè)，如圖，求的最小值，則：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的最小值為．故答案為：．24．（2024?天津）在四邊形中，，，，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則__________．【答案】【解析】，，，在等腰三角形中，，又，，，，又，故答案為：．25．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知，為單位向量，且，若，則，__________．【答案】【解析】，，，，．故答案為：．26．（2024?江蘇）如圖，在中，是的中點(diǎn)，在邊上，，與交于點(diǎn)．若，則的值是__________．【答案】【解析】設(shè)，，，，，，，，，．故答案為：．27．（2024?上海）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，、是軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】依據(jù)題意，設(shè)，；；，或；且；；當(dāng)時(shí)，；的最小值為；的最小值為，同理求出時(shí)，的最小值為．故答案為：．28．（2024?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以為直徑的圓與直線交于另一點(diǎn)．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】3【解析】設(shè)，，，，，則圓的方程為．聯(lián)立，解得．．解得：或．又，．即的橫坐標(biāo)為3．故答案為：3．29．（2024?山東）已知，是相互垂直的單位向量，若與的夾角為，則實(shí)數(shù)的值是__________．【答案】【解析】【方法一】由題意，設(shè)，，則，，；又夾角為，，即，解得．【方法二】，是相互垂直的單位向量，，且；又與的夾角為，，即，化簡(jiǎn)得，即，解得．故答案為：．30．（2024?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)在圓上．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是__________．【答案】，【解析】依據(jù)題意，設(shè)，，則有，，，，化為：，即，表示直線以及直線上方的區(qū)域，聯(lián)立，解可得或，結(jié)合圖形分析可得：點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，，故答案為：，．31．（2024?天津）在中，，，．若，，且，則的值為_(kāi)_________．【答案】【解析】如圖所示，中，，，，，，又，，，解得．故答案為：．32．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知向量，的夾角為，，，則__________．【答案】【解析】【解法一】向量，的夾角為，且，，，．【解法二】依據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示；結(jié)合圖形；在中，由余弦定理得，即．故答案為：．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2024?二模擬）已知向量，滿意，，，且，則，的夾角的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，的夾角為，，，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，，，，即的最小值為．故選C．2．（2024?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）已知向量滿意，則（）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】D【解析】，．故選D．3．（2024?南崗區(qū)校級(jí)模擬）中，是BC邊的中點(diǎn)，，，則（）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】如圖，是的中點(diǎn)，，．故選C．4．（2024?武昌區(qū)校級(jí)模擬）若平面對(duì)量與的夾角為，，則向量的模為（）A．2 B．4 C．6 D．12【答案】B【解析】，，即，解得或（舍負(fù)）．故選B．5．（2024?寶雞三模）已知向量與向量平行，且，，則（）A．12 B． C．5 D．12或【答案】D【解析】由題意知，向量與向量的夾角或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故選D．6．（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)，，為平面對(duì)量，，若，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，即，．設(shè)，，則，，，，，，，整理得，向量的終點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓．設(shè)，，，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最大值或最小值，此時(shí)有，解得或，的最大值為．故選B．7．（2024?西安三模）已知向量，向量，則的值為（）A．17 B．5 C． D．25【答案】C【解析】依據(jù)題意，向量，向量，則，故；故選C．8．（2024?東湖區(qū)校級(jí)模擬）中，，，是AC的中點(diǎn)，若，則（）A．0 B．2 C．4 D．8【答案】D【解析】依據(jù)題意，作出如下所示的圖形：，，是的中點(diǎn)，，，．故選D．9．（2024?紅崗區(qū)校級(jí)模擬）若，且與的夾角為，則（）A． B． C．7 D．3【答案】B【解析】由題可知，．，．．故選B．10．（2024?德陽(yáng)模擬）設(shè)向量，，，若，設(shè)、的夾角為，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，可得，可得，，，，可得，，設(shè)、的夾角為，則．故選D．11．（2024?襄州區(qū)校級(jí)四模）已知向量，，且，則（）A． B． C．4 D．5【答案】A【解析】依據(jù)題意，向量，，若，則有，解可得，則，，則，則；故選A．12．（2024?武侯區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)向量，，且，則（）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】由得，，，，得．故選D．13．（2024?興慶區(qū)校級(jí)模擬）平面對(duì)量與的夾角為，，，則（）A． B． C．3 D．7【答案】B【解析】，，，．．故選B．14．（2024?貴港四模）在直角中，，，，，，設(shè)BF與CE交于，則，（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，以坐標(biāo)原點(diǎn)、所在直線為軸，所在直線為軸，建立坐標(biāo)系，則由題意，，，，，，則，，，所以，直線的方程為，直線的方程為，由，解得，即，．，，，故選B．15．（2024?運(yùn)城模擬）已知向量滿意，且與的夾角為，則（）A． B． C．1 D．13【答案】C【解析】向量滿意，，且與的夾角為，所以，所以．故選C．16．（2024?6月份模擬）已知向量，，，若向量在向量方向上的投影為，則向量與向量的夾角是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由向量數(shù)量積的定理可知，，故，所以，而，，故夾角為．故選C．17．（2024?唐山二模）已知向量，滿意，，則與的夾角的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，且，時(shí)，的夾角最大為．故選A．18．（2024?河南模擬）若非零向量滿意，則向量與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，所以，且；即，所以；且，代入得，解得；所以向量與夾角的余弦值為．故選A．19．（2024?淮北二模）已知，，記，若，則與的夾角是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，且，，解得，，，，與的夾角是．故選C．20．（2024?黑龍江三模）已知向量，滿意，，且，則向量與的夾角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，，．故選A．21．（2024?中山區(qū)校級(jí)一模）已知平面對(duì)量，，，則與的夾角等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，且，，且，與的夾角等于．故選C．22．（2024?濰坊模擬）已知向量，，若，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，故，則，，，，設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)?，故故選B．23．（2024?道里區(qū)校級(jí)四模）已知向量，，若，則（）A． B． C． D．6【答案】A【解析】向量，，若，，則，故選A．24．（2024?河南模擬）已知向量，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，且，，解得．故選B．25．（2024?臨汾模擬）已知向量，，向量在向量方向上的投影為．若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C．