人教版高中數(shù)學精講精練必修二8.3 簡單幾何體的表面積與體積（含答案及解析）（人教A版2019必修第二冊）

8.3簡單幾何體的表面積與體積考法一多面積的表面積【例3-1】（2023下·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）如圖，已知一個直四棱柱的側(cè)棱長為6，底面是對角線長分別是9和13的菱形，則這個四棱柱的側(cè)面積是（

）．

A． B． C． D．【例1-2】（2023下·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）如圖，在正方體的八個頂點中，有四個頂點A，，C，恰好是正四面體的頂點，則此正四面體的表面積與正方體的表面積之比為（

）

A． B． C． D．【例1-3】（2024上·北京昌平）《九章算術》中的方亭指的是正四面形棱臺體建筑物，正四面形棱臺即今天的正四棱臺.如圖，某方亭的上底面與下底面的邊長分別為4和8，每個側(cè)面與下底面夾角的正切值均為，則方亭的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023吉林長春）以邊長為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023下·甘肅酒泉）如果一個正四棱錐的底面邊長為6，高為3，那么它的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．3．（2023下·廣東佛山·高一羅定邦中學校聯(lián)考階段練習）已知正四棱臺的上、下底面的邊長分別是，高為2，則該四棱臺的表面積為（

）

A． B． C． D．考法二多面積的體積【例2-1】（2024下·云南昆明）正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為和的矩形，則它的體積為（

）A． B． C． D．或【例2-2】（2024上·北京）如圖，在正方體中，為的中點.若，則三棱錐的體積為（

）A．2 B．1 C． D．【例2-3】（2024上·江蘇泰州）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為（

）A．26 B．28 C．30 D．32【一隅三反】1．（2024上·四川南充）如圖，在正三棱柱中，，則三棱錐的體積為（

）．A． B．3 C． D．62．（2023上·海南）若正三棱臺的上?下底面的邊長分別為3和6，側(cè)棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．3．（2023下·廣西柳州·高一統(tǒng)考階段練習）《九章算術·商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，不易之率也.”我們可以翻譯為：取一長方體，分成兩個一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵，再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得一個四棱錐和一個三棱錐，這個四棱錐稱為陽馬，這個三棱錐稱為鱉臑.現(xiàn)已知某個陽馬的體積是2，則原長方體的體積是.考法三旋轉(zhuǎn)體的表面積【例3-1】（2023下·新疆喀什）已知某圓柱的高為5，底面半徑為，則該圓柱的表面積為.【例3-2】（2024上·遼寧）已知某圓錐的軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值是（

）A． B． C． D．【例3-3】（2023·廣西南寧）已知圓臺軸截面的面積為6，軸截面有一個角為120°，則該圓臺的側(cè)面積為．【一隅三反】1（2024上·江蘇南京）（多選）以長為，寬為的矩形的一邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱的表面積可以為（

）A． B． C． D．2．（2023上·上海浦東新）若圓柱的底面半徑為，側(cè)面積為，則圓柱的母線長為.3．（2023上·上海青浦·）圓錐的側(cè)面展開圖中扇形中心角為，底面周長為，這個圓錐的側(cè)面積是．4．（2024下·福建莆田）已知圓錐的母線為6，底面半徑為1，把該圓錐截成圓臺，使圓臺的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺的上底面半徑為，則圓臺的側(cè)面積為考法四旋轉(zhuǎn)體的體積【例4-1】（2023·湖南岳陽）已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為5，弧長為的扇形，則此圓錐的側(cè)面積和體積分別是（

）A． B． C． D．【例4-2】（2023北京）（多選）圓臺的上、下底面半徑分別是10和20，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為，則圓臺的（

）A．母線長是20 B．表面積是C．高是 D．體積是【一隅三反】1．（2024上·河南·）已知某圓臺的體積為，其上、下底面圓的面積之比為且周長之和為，則該圓臺的高為（

）A．6 B．7 C．8 D．92．（2023上·湖南）如圖，將一個圓柱等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體，越大，重新組合成的幾何體就越接近一個“長方體”，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了20，若新幾何體的高為5，則圓柱的體積為（

）

A． B． C． D．3．（2024·遼寧大連）（多選）一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是（）

A．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等B．圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為C．圓柱的表面積為D．圓柱的體積等于球與圓錐的體積之和4．（2024·陜西咸陽）已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，若圓錐的體積為，則該圓錐的表面積為．考法五組合體的體積與表面積【例5-1】（2023下·山東濱州·高一統(tǒng)考期中）攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?六角攢尖等，多見于亭悶式建筑.如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，設正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為，則該正四棱錐的底面積與側(cè)面積的比為（

）

A． B． C． D．【例5-2】（2023下·湖南長沙）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環(huán)境，某學校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長的比為，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1（2023上·江蘇鹽城）如圖所示的糧倉可以看成圓柱體與圓錐體的組合體，設圓錐部分的高為0.5米，圓柱部分的高為2米，底面圓的半徑為1米，則該組合體體積為（

）A．立方米 B．立方米C．立方米 D．立方米2．（2023下·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知底面圓的直徑，圓柱體的高，圓錐體的高，則這個陀螺的表面積是（

）A． B． C． D．3．（2023上·河南周口）中國是瓷器的故鄉(xiāng)，“瓷器”一詞最早見之于許慎的《說文解字》中．某瓷器如圖1所示，該瓷器可以近似看作由上半部分圓柱和下半部分兩個圓臺組合而成，其直觀圖如圖2所示，已知圓柱的高為，底面直徑，，，中間圓臺的高為，下面圓臺的高為，若忽略該瓷器的厚度，則該瓷器的側(cè)面積約為（

）A． B． C． D．4．（2023·河南）如圖1所示，宮燈又稱宮廷花燈，是中國彩燈中富有特色的漢民族傳統(tǒng)手工藝品之一．圖2是小明為自家設計的一個花燈的直觀圖，該花燈由上面的正六棱臺與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺的上、下兩個底面的邊長分別為和，正六棱臺與正六棱柱的高分別為和，則該花燈的表面積為（

）

A．B． C． D．考法六外接球與內(nèi)切球【例6-1】（2024上·重慶）正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑比為（

）A． B． C． D．【例6-2】（2024·四川德陽）一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為，則這個球的體積為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1（2023湖北）長方體的三個相鄰面的面積分別是2，3，6，這個長方體的頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積為（）A． B．56πC．14π D．16π2．（2024·遼寧·校聯(lián)考一模）已知正四棱錐各頂點都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長為4，體積為，則該球表面積為（

）A． B． C． D．3．（2024下·重慶）已知球的直徑為是球面上兩點，且，則三棱錐的體積（

）A． B． C． D．4．（2024江西）已知三棱錐中，，，三點均在球心為的球表面上，且，，三棱錐的體積為，則球的表面積是（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·模擬預測）已知正四面體的內(nèi)切球半徑為1，則外接球半徑為（

）A． B． C．2 D．3考法七最值問題【例7-1】（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┤鐖D，正四面體的棱長為2，在上有一動點，過作平行于底面的截面，以該截面為底面向下挖去一個正三棱柱，則該正三棱柱側(cè)面積的最大值為（

）

A． B． C． D．【一隅三反】1．（2024·陜西咸陽習）在直三棱柱中，，，，，則該三棱柱內(nèi)能放置的最大球的表面積是（）A． B． C． D．2．（2024上·貴州黔東南）現(xiàn)準備給一半徑為的實心球體玩具制作一個圓臺型帶蓋的紙質(zhì)包裝盒，要使制成的包裝盒能裝下該球體玩具，且該包裝盒的下底面是半徑為的圓，則制成的包裝盒的容積最小為（

）

A． B． C． D．3．（2024下·四川）已知正三棱柱的側(cè)面積為．當這個正三棱柱的所有棱長之和最小時，它的外接球的表面積為．4．（2024上·江蘇）某興趣小組準備將一棱長為a的正方體木塊打磨成圓錐，則圓錐的最大體積為．單選題1（2023·陜西西安）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，8，該梭臺的表面積為148，則側(cè)棱長為（

）A．3 B．4 C．5 D．62（2024上·四川南充）若圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐的側(cè)面展開圖面積是（

）．A． B． C． D．3．（2024上·河北張家口）已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線與下底面所成的角為，則該圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2023上·湖南岳陽）正方體的八個頂點中，有四個恰好為正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比為（

）．A． B． C． D．5．（2023下·江蘇南京·高一南京師大附中校考階段練習）如圖，已知正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為（

）

A． B． C． D．6．（2023下·貴州黔西·高一統(tǒng)考期末）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗.地區(qū)不同，制作的粽子形狀也不同，黔西南州最出名的就是鮮肉的灰色粽子，其形狀接近于正三棱錐（如圖）.若正三棱錐的底面邊長為2，高為1，則該三棱錐的側(cè)面積為（

）

A． B． C． D．7．（2023·河北）柷（zhù），是一種古代打擊樂器，迄今已有四千多年的歷史，柷的上方形狀猶如四方形木斗，上寬下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞擊其內(nèi)壁發(fā)聲，表示樂曲將開始.如圖，某柷（含底座）高，上口正方形邊長，下口正方形邊長，底座可近似地看作是底面邊長比下口邊長長，高為的正四棱柱，則該柷（含底座）的側(cè)面積約為（）（

）

A． B． C． D．

8（2024·陜西渭南）如圖，一個直四棱柱型容器中盛有水，底面為梯形，，側(cè)棱長.當側(cè)面ABCD水平放置時，液面與棱的交點恰為的中點.當?shù)酌嫠椒胖脮r，液面高為（

）A．3 B．4 C．5 D．6多選題9．（2023下·新疆昌吉·高一統(tǒng)考期末）正六棱臺的上、下底面邊長分別是和，側(cè)棱長是，則下列說法正確的是（

）A．該正六棱臺的上底面積是B．該正六棱臺的側(cè)面面積是C．該正六棱臺的表面積是D．該正六棱臺的高是10．（2024下·重慶）已知一圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，為底面圓的一條直徑上的兩個端點，則（

）A．該圓錐的母線長為2B．該圓錐的體積為C．從點經(jīng)過圓錐的表面到達點的最短距離為D．過該圓錐的頂點作圓錐的截面，則截面面積的最大值為11．（2023下·全國·高一隨堂練習）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，則（

）

A．該圓臺的高為1cm B．該圓臺軸截面面積為C．該圓臺的側(cè)面積為 D．該圓臺的體積為12．（2023下·浙江溫州·高一校聯(lián)考期中）陽馬和鱉臑［biēnào］是我國古代對一些特殊錐體的稱謂，取一長方體按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱（圖2，圖3），稱為塹堵．再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開（圖4），得四棱錐和三棱錐各一個．以矩形為底，有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬（圖5）．余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑（圖6）．若圖1中的長方體是棱長為4的正方體，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．鱉臑中只有一個面不是直角三角形 B．鱉臑的外接球半徑為C．鱉臑的體積為正方體的 D．鱉臑內(nèi)切球半徑為填空題13．（2023上·山東）如圖，在正四棱臺中，已知，，且棱臺的側(cè)面積為6，則該棱臺的高為．

14．（2024上·遼寧撫順）降雨量是指降落在水平地面上單位面積的水層深度（單位：mm）.氣象學中，把24小時內(nèi)的降雨量叫作日降雨量.等級劃分如下表：日降雨量/mm等級小雨中雨大雨暴雨某數(shù)學建模小組為了測量當?shù)啬橙盏慕涤炅浚谱髁艘粋€圓臺形水桶，如圖所示，若在一次降雨過程中用此桶接了24小時的雨水恰好是桶深的，則當日的降雨量等級為.

15．（2024上·山東濟南）在正四棱錐中，，則該棱錐的體積為．16．（2023上·上?！ぃ┰诘酌媸橇庑蔚闹彼睦庵?，直四棱柱的對角線長分別為9，15，高是5，則該直四棱柱的表面積是解答題17．（2023下·福建廈門）如圖所示，正六棱錐的底面邊長為4，H是的中點，O為底面中心，．

(1)求出正六棱錐的高，斜高，側(cè)棱長；(2)求六棱錐的表面積和體積．18．（2023上·上海浦東新）某種“籠具”由內(nèi)、外兩層組成，無下底面，內(nèi)層和外層分別是一個圓錐和一個圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，已知圓柱的底面周長為，高為，圓錐的母線長為．

(1)求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到）；(2)現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少元？（結(jié)果精確到1元）19．（2023下·廣東東莞）已知圓錐的軸截面面積為，側(cè)面展開圖為半圓．(1)求其母線長；(2)在此圓錐內(nèi)部挖去一個正四棱柱，形成幾何體，其中正四棱柱的底面邊長為，上底面的四個頂點在圓錐側(cè)面上，下底面落在圓錐底面內(nèi)，求幾何體E的體積．20．（2023上·江西景德鎮(zhèn)）已知圓錐的頂點為P，母線所成角的余弦值為，軸截面等腰三角形的頂角為，若的面積為．(1)求該圓錐的側(cè)面積；(2)求圓錐的內(nèi)切球體積．21．（2023·湖北）已知正四面體的內(nèi)切球的表面積為．(1)求該內(nèi)切球的半徑；(2)過該四面體的一條棱以及球心的平面截正四面體，求所得截面的面積．22（2023下·山西運城·高一統(tǒng)考期中）如圖，直三棱柱中，，，，為線段上的動點．

(1)當為線段的中點時，求三棱錐的體積；(2)當在線段上移動時，求的最小值．

8.3簡單幾何體的表面積與體積考法一多面積的表面積【例3-1】（2023下·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）如圖，已知一個直四棱柱的側(cè)棱長為6，底面是對角線長分別是9和13的菱形，則這個四棱柱的側(cè)面積是（

）．

A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，連接交點為O，

則對角線，，所以，因為直四棱柱的底面是菱形，所以，所以，∴直四棱柱的側(cè)面積.故選：D.【例1-2】（2023下·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）如圖，在正方體的八個頂點中，有四個頂點A，，C，恰好是正四面體的頂點，則此正四面體的表面積與正方體的表面積之比為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】設正方體的棱長為，則正方體的表面積是，正四面體，則棱長為，它的表面積是，正四面體的表面積與正方體的表面積之比為．故選：D．【例1-3】（2024上·北京昌平）《九章算術》中的方亭指的是正四面形棱臺體建筑物，正四面形棱臺即今天的正四棱臺.如圖，某方亭的上底面與下底面的邊長分別為4和8，每個側(cè)面與下底面夾角的正切值均為，則方亭的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設上底面為，下底面為，取的中點，的中點，連接，設上底面的中心為，下底面的中心為，連接，過點作于點，如圖所示，因為，所以即為側(cè)面與下底面夾角的平面角，即，又因為，所以，所以，所以，所以方亭的側(cè)面積為.故選：B.【一隅三反】1．（2023吉林長春）以邊長為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，所得幾何體為高和底面半徑均為2的圓柱體，所以幾何體表面積為.故選：D2．（2023下·甘肅酒泉）如果一個正四棱錐的底面邊長為6，高為3，那么它的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，連接交于點，取的中點，分別連接，因為四棱錐為正四棱錐，所以底面，且，在等腰中，為的中點，所以，即為正四棱錐的斜高，在直角中，，可得，所以正四棱錐的側(cè)面積為.故選：B.

3．（2023下·廣東佛山·高一羅定邦中學校聯(lián)考階段練習）已知正四棱臺的上、下底面的邊長分別是，高為2，則該四棱臺的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可知：該四棱臺的側(cè)面都是上底邊長為2，下底邊長為4的等腰梯形，所以側(cè)面的斜高為，則，上下底底面面積分別為，所以該四棱臺的表面積為，故選：C.考法二多面積的體積【例2-1】（2024下·云南昆明）正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為和的矩形，則它的體積為（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】如圖，正三棱柱，其側(cè)面展開圖為一個矩形，當矩形長、寬分別為和時，正三棱柱的高為4，底面的邊長為2，此時；當矩形長、寬分別為4和6時，正三棱柱的高為6，底面的邊長為，此時.所以正三棱柱的體積為或.故選：D【例2-2】（2024上·北京）如圖，在正方體中，為的中點.若，則三棱錐的體積為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】因為面所以.故選：D.【例2-3】（2024上·江蘇泰州）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為（

）A．26 B．28 C．30 D．32【答案】B【解析】由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.故選：B.【一隅三反】1．（2024上·四川南充）如圖，在正三棱柱中，，則三棱錐的體積為（

）．A． B．3 C． D．6【答案】A【解析】因為正三棱柱，所以，則，故選：A.2．（2023上·海南）若正三棱臺的上?下底面的邊長分別為3和6，側(cè)棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】正三棱臺上下底面的中心為，連接，過作交于點，因為，所以，，因為垂直于上下底面且，所以，所以四邊形為矩形，所以，又因為，所以，所以，又因為，，所以三棱臺的體積為，故選：A.3．（2023下·廣西柳州·高一統(tǒng)考階段練習）《九章算術·商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，不易之率也.”我們可以翻譯為：取一長方體，分成兩個一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵，再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得一個四棱錐和一個三棱錐，這個四棱錐稱為陽馬，這個三棱錐稱為鱉臑.現(xiàn)已知某個陽馬的體積是2，則原長方體的體積是.【答案】6【解析】如圖所示，原長方體，設矩形的面積為，，陽馬的體積為2，即，所以，即原長方體的體積是6.故答案為：6.考法三旋轉(zhuǎn)體的表面積【例3-1】（2023下·新疆喀什）已知某圓柱的高為5，底面半徑為，則該圓柱的表面積為.【答案】【解析】設圓柱的高為，底面半徑為，則，，由題意，圓柱的表面積為.故答案為：.【例3-2】（2024上·遼寧）已知某圓錐的軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得軸截面是等腰直角三角形，設該圓錐的底面圓的半徑為，則其母線長為，從而該圓錐的側(cè)面積.表面積，故.故選：A.

【例3-3】（2023·廣西南寧）已知圓臺軸截面的面積為6，軸截面有一個角為120°，則該圓臺的側(cè)面積為．【答案】【解析】如下圖所示，設圓臺上底面半徑，下底面半徑，設，則，在平面內(nèi)，過點作，則圓臺的高，圓臺軸截面面積為，所以，所以圓臺側(cè)面積為.故答案為：【一隅三反】1（2024上·江蘇南京）（多選）以長為，寬為的矩形的一邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱的表面積可以為（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】當圓柱底面半徑為，高為時，表面積；當圓柱底面半徑為，高為時，表面積.故選：CD2．（2023上·上海浦東新）若圓柱的底面半徑為，側(cè)面積為，則圓柱的母線長為.【答案】8【解析】設圓柱的母線長為，則，，故答案為：8.3．（2023上·上海青浦·）圓錐的側(cè)面展開圖中扇形中心角為，底面周長為，這個圓錐的側(cè)面積是．【答案】【解析】設圓錐母線長為l,扇形圓心角為，則，故，則.故答案為：.4．（2024下·福建莆田）已知圓錐的母線為6，底面半徑為1，把該圓錐截成圓臺，使圓臺的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺的上底面半徑為，則圓臺的側(cè)面積為【答案】【解析】作出圓錐、圓臺的軸截面，如圖所示，圓錐的母線為，底面半徑，圓臺上底面半徑，由三角形相似可得，解得，則圓臺母線長，圓臺的側(cè)面積為.考法四旋轉(zhuǎn)體的體積【例4-1】（2023·湖南岳陽）已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為5，弧長為的扇形，則此圓錐的側(cè)面積和體積分別是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由扇形面積公式得此圓錐的側(cè)面積為，圓錐底面圓的半徑為，又圓錐母線長為5，所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為.故選：C.【例4-2】（2023北京）（多選）圓臺的上、下底面半徑分別是10和20，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為，則圓臺的（

）A．母線長是20 B．表面積是C．高是 D．體積是【答案】ABD【解析】如圖所示，設圓臺的上底面周長為，因為扇環(huán)的圓心角為，所以，又，所以，同理，故圓臺的母線，高，體積，表面積.故選：ABD．【一隅三反】1．（2024上·河南·）已知某圓臺的體積為，其上、下底面圓的面積之比為且周長之和為，則該圓臺的高為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】設上、下底面圓的半徑分別為r，R，圓臺的高為h，則由題意可得，解得，則，解得．故選：D．2．（2023上·湖南）如圖，將一個圓柱等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體，越大，重新組合成的幾何體就越接近一個“長方體”，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了20，若新幾何體的高為5，則圓柱的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】顯然新幾何體的表面積比原幾何體的表面積多了原幾何體的軸截面面積，設圓柱的底面半徑為，高為，則，則，因為新幾何體的高為5，所以圓柱的高為5，即，解得，所以圓柱的體積為.故選：C.3．（2024·遼寧大連）（多選）一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是（）

A．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等B．圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為C．圓柱的表面積為D．圓柱的體積等于球與圓錐的體積之和【答案】AD【解析】對于A，圓柱的側(cè)面積，球的表面積，A正確；對于B，圓錐底面周長為，則圓錐的側(cè)面展開圖扇形弧長為，而圓錐母線長，因此圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，B錯誤；對于C，圓柱的表面積，C錯誤；對于D，圓柱的體積，圓錐的體積，球的體積，因此，D正確.故選：AD4．（2024·陜西咸陽）已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，若圓錐的體積為，則該圓錐的表面積為．【答案】【解析】設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，由題意，由扇形弧長得，①又圓錐的高為，則，②由①②可得，所以圓錐的表面積.故答案為：.考法五組合體的體積與表面積【例5-1】（2023下·山東濱州·高一統(tǒng)考期中）攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?六角攢尖等，多見于亭悶式建筑.如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，設正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為，則該正四棱錐的底面積與側(cè)面積的比為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】設底面棱長為，因為正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為60°，所以側(cè)面為等邊三角形，則該正四棱錐的底面積與側(cè)面積的比為.故選：B【例5-2】（2023下·湖南長沙）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環(huán)境，某學校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長的比為，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設正六邊形的邊長為，由題意正六棱柱的高為，因為正六棱錐的高與底面邊長的比為，所以正六棱錐的高為，正六棱錐的母線長為，正六棱錐的側(cè)面積；正六棱柱的側(cè)面積，所以.故選：B.【一隅三反】1（2023上·江蘇鹽城）如圖所示的糧倉可以看成圓柱體與圓錐體的組合體，設圓錐部分的高為0.5米，圓柱部分的高為2米，底面圓的半徑為1米，則該組合體體積為（

）A．立方米 B．立方米C．立方米 D．立方米【答案】D【解析】圓柱體積為，圓錐體積為，所以，該組合體的體積為.故選：D2．（2023下·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知底面圓的直徑，圓柱體的高，圓錐體的高，則這個陀螺的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】圓柱、圓錐的底面半徑為，圓錐的母線長為，所以陀螺的表面積是.故選：B.3．（2023上·河南周口）中國是瓷器的故鄉(xiāng)，“瓷器”一詞最早見之于許慎的《說文解字》中．某瓷器如圖1所示，該瓷器可以近似看作由上半部分圓柱和下半部分兩個圓臺組合而成，其直觀圖如圖2所示，已知圓柱的高為，底面直徑，，，中間圓臺的高為，下面圓臺的高為，若忽略該瓷器的厚度，則該瓷器的側(cè)面積約為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，可得該瓷器的側(cè)面積為．故選：D4．（2023·河南）如圖1所示，宮燈又稱宮廷花燈，是中國彩燈中富有特色的漢民族傳統(tǒng)手工藝品之一．圖2是小明為自家設計的一個花燈的直觀圖，該花燈由上面的正六棱臺與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺的上、下兩個底面的邊長分別為和，正六棱臺與正六棱柱的高分別為和，則該花燈的表面積為（

）

A．B． C． D．【答案】A【解析】正六棱柱的六個側(cè)面面積之和為，正六棱柱的底面面積為，如圖所示，正六棱臺中，，過點分別作垂直于底面于點，連接相交于點，則分別為的中點，過點作⊥于點，連接，則為正六棱臺的斜高，其中，，，由勾股定理得，故，

所以正六棱臺的斜高為，故正六棱臺的側(cè)面積為，又正六棱臺的下底面面積為，所以該花燈的表面積為．故選：A．考法六外接球與內(nèi)切球【例6-1】（2024上·重慶）正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑比為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，設正四面體的外接球球心為，為的中心，則平面，外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，設棱長為，在中，由正弦定理得，所以，所以，由，即解得（負值舍去）；由等體積法得到，所以，所以.故選：C.【例6-2】（2024·四川德陽）一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為，則這個球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，正四面體在正方體中，一個球與正四面體的六條棱都相切，則該球與正方體內(nèi)切，正四面體的棱長為，則正方體的邊長為，也即是球的直徑，半徑，所以體積為.故選：B【一隅三反】1（2023湖北）長方體的三個相鄰面的面積分別是2，3，6，這個長方體的頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積為（）A． B．56πC．14π D．16π【答案】C【解析】設長方體的三條棱長分別為a，b，c，由題意得，得∴長方體的體對角線長為，∴其外接球的半徑為∴．故選：C2．（2024·遼寧·校聯(lián)考一模）已知正四棱錐各頂點都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長為4，體積為，則該球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設在底面的射影為，則平面，且為的交點.因為正四棱錐底面邊長為4，故底面正方形的面積可為，且，故，故.由正四棱錐的對稱性可知在直線上，設外接球的半徑為，則，故，故，故正四棱錐的外接球的表面積為，故選：B.3．（2024下·重慶）已知球的直徑為是球面上兩點，且，則三棱錐的體積（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知為正三角形，設其外接圓圓心為M，半徑為r，則，且平面，所以，故C到平面的距離為，所以三棱錐的體積為.故選：C4．（2024江西）已知三棱錐中，，，三點均在球心為的球表面上，且，，三棱錐的體積為，則球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，由正弦定理得，，，

∵三棱錐的體積為，設的外接圓的圓心為，則平面，∴的外接圓的半徑為，∵即，解得，而，∴球的半徑為，∴球的表面積為.故選：C5．（2022·全國·模擬預測）已知正四面體的內(nèi)切球半徑為1，則外接球半徑為（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】如圖，為中點，，設在底面的投影為，為的中心，，設正四面體棱長為，則，，，正四面體的體積為，正四面體的表面積為，體積為，設正四面體的內(nèi)切球半徑為，設為內(nèi)切球的球心，所以，即，則有，即，解可得，因為正四面體的內(nèi)切球半徑為1，所以，解得：，若四面體的外接球的球心為，則外接球半徑，解得.故選：D.考法七最值問題【例7-1】（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┤鐖D，正四面體的棱長為2，在上有一動點，過作平行于底面的截面，以該截面為底面向下挖去一個正三棱柱，則該正三棱柱側(cè)面積的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，設正三棱柱為，其上下底面的中心為,由于為正三角形,故也為其中心,

設正三棱柱底面正三角形邊長為，由題意可知為正三角形，故，又，故，所以正三棱柱為的高為，故該正三棱柱側(cè)面積為，當時，取到最大值為1，故的最大值為，故選：A【一隅三反】1．（2024·陜西咸陽習）在直三棱柱中，，，，，則該三棱柱內(nèi)能放置的最大球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以，所以三角形是直角三角形，設的內(nèi)切圓半徑為，則，，所以三棱柱內(nèi)能放置的最大球的半徑為，則最大球的表面積是.故選：A2．（2024上·貴州黔東南）現(xiàn)準備給一半徑為的實心球體玩具制作一個圓臺型帶蓋的紙質(zhì)包裝盒，要使制成的包裝盒能裝下該球體玩具，且該包裝盒的下底面是半徑為的圓，則制成的包裝盒的容積最小為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】要使制成的包裝盒的容積最小，則該球體玩具與包裝盒的上下底面及側(cè)面都相切，作該圓臺型包裝盒的軸截面得等腰梯形，截內(nèi)切球得該梯形的內(nèi)切圓，如圖，

其中點分別是上下底面圓圓心，作于，連接，則，，顯然，而，則，解得，所以該包裝盒的容積最小為.故選：D3．（2024下·四川）已知正三棱柱的側(cè)面積為．當這個正三棱柱的所有棱長之和最小時，它的外接球的表面積為．【答案】/【解析】如圖，正三棱柱中，設底面邊長為，高為，依題意知，即，而正三棱柱的所有棱長之和為，由基本不等式可得：，當且僅當時取等號.由解得：.設上下底面的中心分別為,則由正三棱柱的對稱性知它的外接球的球心為的中點，設外接球半徑為R，連接,則易得,在中，,故外接球的表面積為.故答案為：.4．（2024上·江蘇）某興趣小組準備將一棱長為a的正方體木塊打磨成圓錐，則圓錐的最大體積為．【答案】【解析】如圖，在正方體中取各邊棱長中點得正六邊形，則正六邊形的邊長為，其最大內(nèi)切圓的半徑為，正方體的體對角線的一半為圓錐的高，所以圓錐的最大體積為.單選題1（2023·陜西西安）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，8，該梭臺的表面積為148，則側(cè)棱長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】設正四棱臺側(cè)面的高為，則，所以側(cè)棱長為.故選：C2（2024上·四川南充）若圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐的側(cè)面展開圖面積是（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】設該圓錐的側(cè)面展開圖面積為,底面半徑為，母線長為，則，故選：B.3．（2024上·河北張家口）已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線與下底面所成的角為，則該圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，得上底面面積為，下底面面積為，由圖形可得，，母線與下底面所成的角為，故，故圓臺的母線長為2，所以側(cè)面積為，所以該圓臺的表面積為．故選：C．4．（2023上·湖南岳陽）正方體的八個頂點中，有四個恰好為正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】正方體的棱長為，此時正四面體的棱長為，則正方體的表面積為，正四面體的表面積為，兩者之比為，故選：B.5．（2023下·江蘇南京·高一南京師大附中?？茧A段練習）如圖，已知正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】正方體的棱長為2，根據(jù)圖形，取正方體一條棱的中點，連接，則，且，所以，因為側(cè)面為等邊三角形，所以.所以該八面體的表面積.故選：B.6．（2023下·貴州黔西·高一統(tǒng)考期末）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗.地區(qū)不同，制作的粽子形狀也不同，黔西南州最出名的就是鮮肉的灰色粽子，其形狀接近于正三棱錐（如圖）.若正三棱錐的底面邊長為2，高為1，則該三棱錐的側(cè)面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，

正三棱錐中，底面，則為正三角形的中心，連接并延長交于，則為的中點，且，依題意，，正三角形的邊長為2，所以，，，，所以該三棱錐的側(cè)面積為.故選：B7．（2023·河北）柷（zhù），是一種古代打擊樂器，迄今已有四千多年的歷史，柷的上方形狀猶如四方形木斗，上寬下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞擊其內(nèi)壁發(fā)聲，表示樂曲將開始.如圖，某柷（含底座）高，上口正方形邊長，下口正方形邊長，底座可近似地看作是底面邊長比下口邊長長，高為的正四棱柱，則該柷（含底座）的側(cè)面積約為（）（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖正四棱臺中，連接，，過點、分別作、，交于點、，依題意，，，則，所以，所以正四棱臺的斜高為，所以正四棱臺的側(cè)面積，又正四棱柱的側(cè)面積，所以該柷（含底座）的側(cè)面積約為；故選：B

8（2024·陜西渭南）如圖，一個直四棱柱型容器中盛有水，底面為梯形，，側(cè)棱長.當側(cè)面ABCD水平放置時，液面與棱的交點恰為的中點.當?shù)酌嫠椒胖脮r，液面高為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】取底面梯形兩腰的中點為，如下圖所示：由可得，所以四邊形與四邊形的面積之比為，即可知容器中水的體積占整個容器體積的；當?shù)酌嫠椒胖脮r，可知液面高為直四棱柱側(cè)棱長的,即可得液面高為.故選：C多選題9．（2023下·新疆昌吉·高一統(tǒng)考期末）正六棱臺的上、下底面邊長分別是和，側(cè)棱長是，則下列說法正確的是（

）A．該正六棱臺的上底面積是B．該正六棱臺的側(cè)面面積是C．該正六棱臺的表面積是D．該正六棱臺的高是【答案】ACD【解析】如圖在正六棱臺中，

因為，所以側(cè)面的梯形的高即正六棱臺斜高為：，所以梯形的面積為：，故正六棱臺的側(cè)面積為:，故B選項錯誤；由圖可知該正六棱臺的上底面積為6個邊長為2的等邊三角形組成，所以該正六棱臺的上底面積為：，故A正確；同理下底面積為：，所以該正六棱臺的表面積是,故C正確；正六棱臺的高為，D正確.故選：ACD.10．（2024下·重慶）已知一圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，為底面圓的一條直徑上的兩個端點，則（

）A．該圓錐的母線長為2B．該圓錐的體積為C．從點經(jīng)過圓錐的表面到達點的最短距離為D．過該圓錐的頂點作圓錐的截面，則截面面積的最大值為【答案】AB【解析】對于A中，由圓錐的底面半徑，可得底面圓周長為，又由其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，設圓錐的母線長為，則，解得，所以A正確；對于B中，因為，且母線長為，所以該圓錐的高為，所以其體積為，所以B正確；對于C中，假設該圓錐的軸截面將該圓錐分成兩部分，將其中的一部分展開，則其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，所以從點經(jīng)過圓錐的表面到達點的最短距離為，所以C不正確；對于D中，過該圓錐的頂點作圓錐的截面，則截面為腰長為2的等腰三角形，設其頂角為，則該三角形的面積為，當截面為軸截面時，，則，所以，當時，，所以D不正確.故選：AB.11．（2023下·全國·高一隨堂練習）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，則（

）

A．該圓臺的高為1cm B．該圓臺軸截面面積為C．該圓臺的側(cè)面積為 D．該圓臺的體積為【答案】BCD【解析】

如圖，作交于，易得，則，則圓臺的高為，A錯誤；圓臺的軸截面面積為，B正確；圓臺的側(cè)面積為，故C正確；圓臺的體積為，D正確.故選：BCD12．（2023下·浙江溫州·高一校聯(lián)考期中）陽馬和鱉臑［biēnào］是我國古代對一些特殊錐體的稱謂，取一長方體按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱（圖2，圖3），稱為塹堵．再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開（圖4），得四棱錐和三棱錐各一個．以矩形為底，有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬（圖5）．余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑（圖6）．若圖1中的長方體是棱長為4的正方體，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．鱉臑中只有一個面不是直角三角形 B．鱉臑的外接球半徑為C．鱉臑的體積為正方體的 D．鱉臑內(nèi)切球半徑為【答案】BD【解析】對于選項A，由題知，鱉臑是由四個直角三角形組成的四面體，所以選項A錯誤；對于選項B，由題知鱉臑的外接球即長方體的外接球，而長方體是棱長為4的正方體，又易知，正方體外接球的半徑為體對角線的一半，所以鱉臑外接球的半徑為，所以選項B正確；對于選項C，鱉臑是由四個直角三角形組成的四面體，且易知面,所以，又正方體的體積為，故鱉臑的體積為正方體的，所以選項C錯誤；對于選項D，設鱉臑內(nèi)切球半徑為，由選項C知，鱉臑的體積，則，又，所以，所以選項D正確.故選：BD填空題13．（2023上·山東）如圖，在正四棱臺中，已知，，且棱臺的側(cè)面積為6，則該棱臺的高為．

【答案】【解析】如圖所示：

設正四棱臺的側(cè)高為，高為，棱臺的側(cè)面積，所以.所以.故答案為：14．（2024上·遼寧撫順）降雨量是指降落在水平地面上單位面積的水層深度（單位：mm）.氣象學中，把24小時內(nèi)的降雨量叫作日降雨量.等級劃分如下表：日降雨量/mm等級小雨中雨大雨暴雨某數(shù)學建模小組為了測量當?shù)啬橙盏慕涤炅浚谱髁艘粋€圓臺形水桶，如圖所示，若在一次降雨過程中用此桶接了24小時的雨水恰好是桶深的，則當日的降雨量等