《工程力學 》課件第16章

第16章動能定理16.1功

16.2動能16.3動能定理

16.4功率和效率

思考題

習題

16.1功

的概念

16.1.1常力的功設有一大小和方向都不變的常力F作用于質點上，使其沿直線由M1運動到M2，如圖16-1所示。若力與位移方向夾角為α，力的作用點移動的距離為s，則定義常力在這一段路程上所做的功為此力在運動方向的投影與該力作用點移動的路程的乘積，

用W表示，

即

（16-1）由上式可見，力的功無方向意義，是代數(shù)量。當α<90°時，功為正值，質點的運動效果增強；當α>90°時，功為負值，質點的運動效果減弱；當α=90°時，力與質點的位移方向垂直，力不做功。在國際單位制中，功的單位是?！っ祝∟·m），也稱焦［耳］（J），即1J=1N·m。圖16-116.1.2變力的功所謂變力,就是作用于質點上的力的大小和方向均隨作用點位置的移動而變化的力。設質點M在變力F作用下沿曲線運動，如圖16-2所示。在曲線上取一微小弧段ds，在微小弧段上的力F可視為常力，同時微小弧段ds也可視為直線段，力F在ds上所做的功稱為元功，

即

式中，α是力F與曲線上點M處切線方向的夾角，F(xiàn)τ是力F在切線方向的投影。這樣，當質點M從M1運動到M2時，力F所做的總功為（16-2）

圖16-2即變力在某一曲線路程上所做的功，等于這個力的切向分量沿這段曲線路程的積分。式（16-2）可用直角坐標系的解析式來表達，

即

（16-3）

16.1.3幾種常見力的功

1.重力的功重為G的質點，沿任意軌跡曲線由M1點運動到M2點（圖16-3），重力G在其路程上所做的功為（16-4）

式中h=z1-z2，即為質點在運動過程中重心位置的高度差。上式表明，重力所做的功等于質點的重量與其重心始末位置高度差的乘積，而與質點運動的路徑無關。若質點下降，重力做正功；

若質點上升，

重力做負功。

圖16-3

2.彈性力的功設彈簧一端固定，另一端與質點M相連，彈簧原長為l0，如圖16-4所示。取彈簧原長位置O為坐標原點，彈簧中心線為軸x，其正方向指向彈簧伸長方向。彈簧的剛度系數(shù)為k（其單位是N/m），在彈性極限范圍內，彈性力與彈簧的變形成正比，即

F=-kx式中負號說明彈性力F的方向與變形的方向相反。當質點M有一微小位移dx時，彈性力的元功為

因此，質點M由M1點運動到M2點的過程中，彈性力所做的功為

（16-5）

式中δ1和δ2分別為彈簧在位置M1和M2的變形量。上式表明，彈性力的功等于彈簧的剛度系數(shù)與其始末位置變形的平方之差乘積的一半，與質點運動所經過的路徑無關。當初變形δ1大于末變形δ2時，

彈性力的功為正;反之為負。

圖16-4

3.定軸轉動剛體上作用力的功設有一力F

作用于繞軸Oz轉動的剛體的點M上，如圖16-5所示。現(xiàn)將力F分解為Fτ、Fr、Fz，可見軸向力Fz和徑向力Fr不做功，只有切向力Fτ做功。設力F的作用點到轉軸的距離為r，當剛體轉過微轉角dφ時，力F的作用點走過的微弧長ds=rdφ，力F的元功為由力對軸之矩知Fτr=Mz，當剛體從轉角φ1到φ2時，力F所做的功為（16-6）

若力矩Mz為常量，則

（16-7）

上式表明，作用于定軸轉動剛體上常力矩的功，等于力矩與轉角大小的乘積。當力矩與轉角轉向一致時，功取正值；反之取負值。

圖16-5

4.合力的功設質點M受n個力F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n作用，其合力為FR。質點M沿曲線從點M1運動到點M2，由合力投影定理，各力在自然軸系的軸Mτ上的投影有將上式兩端同乘以路程微段ds，再進行積分可得

即

例16-1

原長為，剛度系數(shù)為k的彈簧，與長為l，質量為m的均質體OA連接，直立于鉛垂面內，如圖16-6所示。當OA桿受到常力矩M作用，求桿由鉛直位置繞軸O轉到水平位置時，各力所做的功及合力的功。

解

桿受重力、彈性力及力矩作用，各力所做的功分別為

圖16-6解桿受重力、

彈性力及力矩作用，

各力所做的功分別為

合力的功為

例16-2

帶輪兩側的拉力分別為FT1=1.6kN和FT2=0.8kN，如圖16-7所示。已知帶輪的直徑D=0.5m，試求帶輪兩側的拉力在輪子轉過兩圈所做的功。解：作用于帶輪上的轉矩為

當帶輪轉過兩圈時，其轉角為

因此帶輪兩側的拉力所做的功為

圖16-716.2動

能

16.2.1質點的動能設質量為m的質點，某瞬時的速度為v，則質點質量與其速度平方乘積的一半，稱為質點在該瞬時的動能，以T表示，即

（16-8）

動能是標量，恒為正值，且與質點運動的方向無關。在國際單位制中，其單位與功的單位相同，

也為焦［耳］（J）。

16.2.2質點系的動能質點系內各質點的動能的總和稱為質點系的動能。設質點系中任意一質點的質量為mi，某瞬時速度為vi，則質點系的動能為（16-9）

16.2.3剛體的動能

1.平動剛體的動能剛體在平動時，同一瞬時各點的速度相同并等于質心速度vC，故平動剛體的動能為（16-10）

式中，M=∑mi,是剛體的質量。上式表明，剛體平動的動能等于剛體的質量與其質心速度平方乘積的一半。圖16-8

2.定軸轉動剛體的動能

設剛體繞固定軸z轉動，某瞬時角速度為ω，如圖16-8所示。剛體內任一質點的質量為mi，離z軸的距離為ri，速度為vi=riω，則剛體的動能為（16-11）

式中，Jz=∑miri2,是剛體對轉軸z的轉動慣量。上式表明，定軸轉動剛體的動能等于剛體對轉軸的轉動慣量與角速度平方乘積的一半。16.3動能定理

16.3.1質點的動能定理設一質量為m的質點M，在力F的作用下沿曲線由點M1運動到點M2，它的速度由v1變?yōu)関2（圖16-9）。質點沿切線方向的微分方程為在上式兩邊分別乘以路程的微段ds，得

圖16-9因Fτds為力F在ds上的元功，所以上式可寫成

（16-12）

這就是質點動能的微分形式。它表明質點動能的微分等于作用在質點上力的元功。將式（16-12）沿路徑M1M2積分，

得

（16-13）

16.3.2質點系的動能定理質點動能定理可以推廣到質點系，設質點系由n個質點組成，任取質點系中一個質點，其質量為mi，速度為vi，應用質點動能定理，有式中，W(e)i和W(i)i分別表示作用在所取質點上所有外力和內力的功，因為對于質點來說，作用在每個質點上的力有外力和內力之分。對質點系中每個質點都寫出上式并相加，得由式（16-9）知，上式等號左邊兩項分別為質點系在某一段路程中末了和起始位置的動能E2和E1，于是上式又可寫為

（16-14）

上式表明，質點系在某一段路程上起始位置和末了位置的動能的改變量，等于作用于質點系上的全部力在同一路程上所做的功。

必須注意，一般情況下，質點系內各質點之間的距離是可變的，故內力所做的功的總和不一定等于零。例如,內燃機中燃氣膨脹對活塞的推力是內力，該內力做正功，使汽車的動能增加；機器中軸與軸承之間的相互摩擦力也是內力，但其所做的功是負功。

但是，對于剛體來說，剛體內任意兩質點間的距離始終保持不變，所以剛體內力所做的功總和等于零，即

（16-15）

另外，在工程上的許多約束，如光滑接觸面、光滑圓柱鉸鏈、鏈桿、不可伸長的繩索等約束，它們的約束力均不做功。約束力做功為零的約束稱為理想約束。所以，在理想約束條件下應用動能定理時，

只需計算作用在剛體上的主動力所做的功。

圖16-10例16-3平臺的質量m=30kg，固連在剛度系數(shù)k=18kN/m的彈簧上。現(xiàn)從靜平衡位置給平臺向下的初速度v=5m/s，如圖16-10(a)所示。設平臺作平動，求平臺由此位置下沉的最大距離δ以及彈簧的最大受力。

解彈簧由靜平衡位置（圖16-10(b)）運動到最大下沉位置（圖16-10(c)），其初動能為 ，末動能為E2=0。彈簧的初變形為靜變形δ1=mg/k，末變形δ2=δ1+δ。作用在平臺上的力有重力W和彈性力F，平臺由靜平衡位置運動到最大下沉位置,兩力所做的功為由動能定理，

有

所以

彈簧的最大變形為δmax=δ2=δ1+δ，其最大受力為

例16-4如圖16-11所示，絞車的鼓輪可視為均質圓柱體，已知其質量為m1，半徑為r1，繞中心O軸轉動。繩索的一端卷繞在鼓輪上，另一端系有一質量為m2的重物。鼓輪在不變力偶矩M的作用下，通過繩索牽引重物沿傾角為θ的光滑斜面上升。設開始時物體系統(tǒng)靜止，不計各處摩擦，試求當鼓輪轉過轉角φ后的角速度ω和角加速度α。

解當鼓輪從靜止開始轉過轉角φ時，角速度為ω；重物沿斜面移動距離s=rφ，速度為v=rω。該物體系統(tǒng)的初動能為圖16-11末動能為

系統(tǒng)的約束均為理想約束，其約束力均不做功；系統(tǒng)主動力有主動力偶矩和重物的重力，它們所做的功總和為

由質點系動能定理即式（16-16），有

（a）

由此式解得

欲求角加速度α，將式（a）中的ω和φ視為時間t的函數(shù)，并兩端對t求一階導數(shù)，得于是，

解得

16.4功

率

和

效

率

16.4.1功率在工程中不僅要計算力的功，而且要知道在一定時間內力所做功的多少。力在單位時間內做的功稱為功率。它是衡量機器工作能力的一個重要指標，功率越大，說明它在給定時間內能做的功越多。設作用于質點上的力F在時間dt內所做的元功為δW，則此力的功率為由于力的元功

因此

（16-16）

式中，v是力F作用點的速度。由此可見，作用于質點上的力的功率等于力在速度方向上的投影與速度的乘積。對于作定軸轉動的剛體，功是用力矩或力偶矩計算的，其功率可表示為（16-17）

上式表明，轉矩的功率等于轉矩與物體轉動角速度的乘積。在國際單位制中，功的單位是焦［耳］（J），功率的單位定義為瓦［特］（W），即

1J/s=1W若轉速用n(r/min)表示，功率用P(kW)表示，力對轉軸的矩用M(N·m)表示，則式（16-18）可改寫為或

（16-18a）

（16-18b）

16.4.2機械效率任何一部機器都要從外界輸入能量。工作時，從外界輸入的一定功率稱為輸入功率P0。輸入功率用于能量轉化而消耗的一部分，稱為有用功率P1；而另一部分用于克服機器在傳動中的摩擦等阻力，稱為無用功率P2。機器在穩(wěn)定運轉時，它們之間必然存在工程中為了比較輸入功率被利用的程度，常用機械效率來進行度量。機械效率就是機器的有用功率與輸入功率的比值，用η表示，

即

（16-19）

例16-5

一起重機，其最大起吊重量F1=180kN，懸掛部分重量F2=4kN，提升速度為v=20cm/s，起重機采用一般圓柱齒輪傳動，機械效率η=92%。試確定電機的功率。

解由式（16-15）得起重機的有用功率為

由式（16-20）得電機的輸入功率為

例16-6單級齒輪減速器如圖16-12所示。已知電動機的功率P=7.5kW，輸入軸Ⅰ的轉速n1=1450r/min，齒輪的齒數(shù)z1=20，z2=50，減速器的機械效率η=0.9。試求輸出軸Ⅱ所傳遞的轉矩與功率。

解減速器的傳動比為則輸出軸Ⅱ的轉速為

由式（16-19）得減速器的有用功率，即輸出軸Ⅱ所傳遞的功率為

由式（16-19）得減速器的有用功率，

即輸出軸Ⅱ所傳遞的功率為

圖16-12思

考

題

16-1如圖所示，在同一高度，以不同仰角拋出初速度均為v0、質量都相等的質點。不計空氣阻力，當它們落到同一水平面時，其速度的大小是否相等？思考題16-1

16-2如圖所示的同一根細長桿，繞端點A以角速度ω轉動時（圖(a)）與繞中點C以角速度2ω反向轉動時（圖(b)），問兩者動能是否相同？

16-3重物由A點自斜面下滑到B點，或由A點自弧面下滑到B點，如圖所示。當不考慮摩擦時，到達B點時兩者速度大小是否相等？當考慮摩擦時，兩者速度大小是否相等？思考題16-2圖

思考題16-3圖

16-4“質量大的物體一定比質量小的物體的動能大”和“速度大的物體一定比速度小的物體的動能大”這兩種說法是否正確？為什么？

16-5機器運轉時，凡摩擦力的功是否一定是無用功？研磨機工作時，作用在工件上的摩擦力的功是否為無用功？

16-6汽車上坡時，為什么常掛低速擋？在減速器中，為什么高速軸的直徑一般比低速軸的直徑?。?/p>

16-7應用動能定理求速度時，能否確定速度的方向？

16-8彈簧由其自然位置拉長10mm或縮短10mm，彈性力的功是否相等？將彈簧拉長10mm然后再拉長10mm，即這兩個過程中的位移相等，問這兩個過程中彈性力的功是否相等？

習

題

16-1如圖所示，手搖起重裝置的手柄長度為360mm，工人在手柄端施加作用力F=15kN，而使起重機作勻速轉動，其轉速n=4r/min。試求工人在10min內所做的功。題16-1圖

16-2子彈打入木板的時候，如速度為150m/s，可進入3cm深。經改進，同樣質量的子彈打入了27cm深，問此時子彈的速度是多少？假定木板的阻力是常量。

16-3如圖所示，一個與彈簧相連的滑塊M可沿固定的光滑圓環(huán)滑動，圓環(huán)和彈簧都在同一鉛直平面內。已知滑塊的重量G=100N，彈簧原長l=150mm，彈簧的剛度系數(shù)k=400N/m。試求滑塊M從位置A運動到位置B的過程中，其上各力所做的功及合力的功。題16-3圖

16-4計算圖所示各均質物體的動能：

(1)重為G、長為l的均質直桿以角速度ω繞軸O轉動；(2)重為G、半徑為r的均質圓盤以角速度ω繞軸O轉動，偏心距為e；

(3)重為G、半徑為r的均質圓輪在直線軌道上作純滾動，質心C的速度為v。

16-5如題所示，汽車質量為1500kg，通過A至B為900m的路程，運行阻力為280N，阻力方向與速度方向相反，B點比A點高h=20m。求汽車克服重量和阻力所做的功。題16-4圖

題16-5圖

16-6斜面與水平面成30°角，重物沿斜面下滑，其初速度為零。若滑動摩擦系數(shù)f′=0.1，試求重物滑行2m后的速度。

16-7圖示鼓輪質量m=150kg，半徑r=0.34m，慣性半徑ρ=0.3m，以角速度ω=31.4rad/s轉動，制動時制動塊與輪緣的摩擦系數(shù)f′=0.2。求作用于制動塊上的壓力FN應為多大才能使鼓輪經10轉后停止。題16-7圖

16-8帶式輸送機如圖所示，物體A的重量為W1，帶輪B和C的重量為W2，半徑為R，視為均質圓盤。輪B由電機驅動，其上受不變轉矩M作用。系統(tǒng)由靜止開始運動，不計傳送帶的質量，求重物A沿斜面上升距離為s時的速度和加速度。

16-9如圖所示的礦井提升設備，兩個鼓輪固連在一起，總質量為m，對轉軸O的慣性半徑為ρ。在半徑為r1的鼓輪上用鋼繩懸掛質量為m1的平衡錘A，而在半徑為r2的鼓輪上用鋼繩牽引小車B沿斜面運動，小車的質量為m2，斜面與水平面的傾角為α。已知在鼓輪上作用有不變轉矩M，試求小車向上運動的加速度。鋼繩的質量和所有的摩擦均忽略不計。題