《工程力學(xué)》課件第1章

第1章靜力學(xué)基本概念與

物體的受力圖1.1基本概念1.2力矩與力偶1.3約束與約束反力1.4物體的受力圖1.1基本概念

1.1.1力的概念

力是一個(gè)既有大小又有方向的量，為矢量。矢量可用一具有方向的線段來表示，如圖1.1所示。線段AB的起點(diǎn)（或終點(diǎn)）表示力的作用點(diǎn)，線段AB的方位和箭頭指向表示力的方向，沿力的方向畫出的直線稱為力的作用線，而線段AB的長度則按一定的比例表示力的大小。本書中用黑體字母表示矢量，如F，用普通字母表示力的大小，如F。圖1.1如圖1.2所示，由力F的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B分別作x軸的垂線，垂足分別為a、b，線段ab冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號稱為力F在x軸上的投影，用Fx表示，即

Fx=±ab

（1.1）

圖1.2投影的正負(fù)號規(guī)定如下:若從a到b的方向與x軸的正向一致，則取正號；反之，則取負(fù)號。同樣，力F在y軸上的投影為

Fy=±a′b′（1.2）

如圖1.2所示，力F在x軸和y軸的投影分別為Fx=Fcosα

Fy=-Fsinα

（1.3）由此可見，力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量。若已知力F在平面直角坐標(biāo)軸上的投影Fx和Fy，則該力的大小和方向?yàn)椋?.4）式中，α表示力F與x軸所夾的銳角，F(xiàn)的指向由Fx和Fy的正負(fù)來確定。作用于一個(gè)物體上的若干個(gè)力稱為力系。若兩個(gè)力系對物體的作用效應(yīng)完全相同，則這兩個(gè)力系稱為等效力系。如果一個(gè)力與一個(gè)力系等效，則稱此力為該力系的合力，而該力系中的各力稱為合力的分力。把各分力等效代換成合力的過程稱為力系的合成，把合力等效代換成各分力的過程稱為力的分解。1.1.2力的基本性質(zhì)人們在長期的生活和生產(chǎn)活動中，經(jīng)過實(shí)踐-認(rèn)識-再實(shí)踐-再認(rèn)識的過程，總結(jié)出了許多力所遵循的規(guī)律，其中最基本的性質(zhì)有以下幾條。這些性質(zhì)的正確性已被實(shí)踐所驗(yàn)證，為大家所公認(rèn)，所以也稱為靜力學(xué)公理。性質(zhì)一二力平衡公理作用于剛體上的兩個(gè)力使剛體處于平衡狀態(tài)的充要條件是:這兩個(gè)力大小相等，方向相反，且作用在同一條直線上，如圖1.3所示,用矢量表示，即為

FA=-FB(1.5)對于變形體，這個(gè)條件是必要的，但不是充分的。圖1.3工程上常遇到只受兩個(gè)力作用而平衡的構(gòu)件，這種構(gòu)件稱為二力構(gòu)件或二力桿。根據(jù)性質(zhì)一，二力構(gòu)件上的兩個(gè)力必沿兩力作用點(diǎn)的連線，且等值、反向，如圖1.4所示。圖1.4性質(zhì)二加減平衡力系公理在作用于剛體的任意力系上，加上或者減去一個(gè)平衡力系，都不會改變原力系對剛體的作用效應(yīng)。由此可得如下推論:推論1

力的可傳性剛體上的力可沿其作用線移到該剛體上的任意位置，這樣做并不改變該力對該剛體的作用效應(yīng)。如圖1.5所示，作用于小車A點(diǎn)的推力F沿其作用線移到B點(diǎn)，得拉力F′，雖然推力變?yōu)槔Γ珜π≤嚨淖饔眯?yīng)是相同的。由此可見，力的作用點(diǎn)對剛體來說已不是決定力的作用效應(yīng)的要素。因此，作用于剛體上的力的三要素是力的大小、方向和作用線。圖1.5性質(zhì)三力的平行四邊形法則作用于物體上同一點(diǎn)的兩個(gè)力可以合成為一個(gè)合力，合力的作用點(diǎn)仍在該點(diǎn)，合力的大小和方向由以這兩個(gè)力為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的對角線來確定，如圖1.6(a)所示，其矢量表達(dá)式為

FR=F1+F2

（1.6）為方便起見，在利用矢量加法求合力時(shí)，可不必畫出整個(gè)平行四邊形，而是從A點(diǎn)作矢量F1，再由F1的末端B作矢量F2，則矢量即為合力FR，如圖1.6(b)所示。這種求合力的方法稱為力的三角形法則。顯然，若改變F1、F2的順序，其結(jié)果不變，如圖1.6(c)所示。力的平行四邊形法則既是力系合成的法則，也是力系分解的法則。該法則表明了共點(diǎn)力系簡化的規(guī)律，它也是復(fù)雜力系簡化的基礎(chǔ)。圖1.6由此可推出n個(gè)力作用的情況。設(shè)一剛體上有F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n共n個(gè)力作用，力系中各力的作用線共面且匯交于同一點(diǎn)（稱為平面匯交力系），根據(jù)性質(zhì)三和式（1.6）將此力系合成為一個(gè)合力FR，此合力應(yīng)為可見，平面匯交力系的合力矢量等于力系各分力的矢量和（1.7）將式（1.7）分別向x、y軸投影可得式（1.8）表明，力系的合力在某一直角坐標(biāo)軸上的投影等于力系中各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，此即為合力投影定理。(1.8)合力的大小和方向?yàn)椋?.9）式中，α表示力FR與x軸所夾的銳角，F(xiàn)R的指向由∑Fx和∑Fy的正負(fù)來確定。

推論2

三力平衡匯交定理剛體受三個(gè)共面但互不平行的力作用而平衡時(shí)，此三力必匯交于一點(diǎn)。此定理說明了不平行的三力平衡的必要條件，而且當(dāng)兩個(gè)力的作用線相交時(shí)，可用來確定第三個(gè)力的作用線方位。證明剛體上A、B、C三點(diǎn)分別作用著使該剛體平衡的三個(gè)力F1、F2、F3，它們的作用線都在一個(gè)平面內(nèi)但不平行，F(xiàn)1、F2的作用線交于O點(diǎn)。根據(jù)力的可傳性推論，將這兩個(gè)力分別移至O點(diǎn)，則這兩個(gè)力的合力FR必定在此平面內(nèi)且通過O點(diǎn)，而FR必和F3平衡，由二力平衡的條件可知，F(xiàn)3與FR必共線，所以F3的作用線亦必過F1、F2的交點(diǎn)O，即三個(gè)力的作用線匯交于一點(diǎn)，如圖1.7所示。圖1.7性質(zhì)四作用與反作用定律兩物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，沿同一條直線，分別作用在這兩個(gè)物體上。此定律概括了自然界中物體間的相互作用關(guān)系，表明一切力總是成對出現(xiàn)的，揭示了力的存在形式和力在物體間的傳遞方式。特別要注意的是，必須把作用與反作用定律、二力平衡公理嚴(yán)格地區(qū)分開來。作用與反作用定律表明兩個(gè)物體相互作用的力學(xué)性質(zhì)，而二力平衡公理則說明一個(gè)剛體在兩個(gè)力的作用下處于平衡時(shí)兩力滿足的條件。1.2力矩與力偶

1.2.1力矩人們從生產(chǎn)實(shí)踐活動中得知，力不僅能夠使物體沿某方向移動，還能夠使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動。例如，人用扳手?jǐn)Q緊螺母時(shí)，施于扳手的力F使扳手與螺母一起繞轉(zhuǎn)動中心O轉(zhuǎn)動。由經(jīng)驗(yàn)可知，轉(zhuǎn)動效應(yīng)的大小不僅與F大小和方向有關(guān)，而且與轉(zhuǎn)動中心點(diǎn)O到F作用線的垂直距離有關(guān)。因此，在F作用線和轉(zhuǎn)動中心點(diǎn)O所在的同一平面內(nèi)(如圖1.8所示)，我們將點(diǎn)O稱為矩心，將點(diǎn)O到F作用線的垂直距離d稱為力臂，力使物體繞轉(zhuǎn)動中心的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，就用力F的大小與力臂d的乘積并冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號來度量,該量稱為力對O點(diǎn)之矩，簡稱力矩，記為MO(F)，即MO(F)=±Fd（1.10）

平面內(nèi)的力矩是一個(gè)代數(shù)量，其正負(fù)號規(guī)定為:若力使物體繞矩心逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動，則力矩為正；反之，力矩為負(fù)。力矩的常用單位為N·m或kN·m。圖1.8由力矩的定義可知，力矩有以下性質(zhì):

(1)力矩的大小不僅取決于力的大小,還與矩心的位置有關(guān)。

(2)力對任意點(diǎn)之矩的大小，不因該力的作用點(diǎn)沿其作用線移動而改變。

(3)力的大小為零或力的作用線通過矩心時(shí)，力矩為零。

(4)互成平衡的二力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和為零。設(shè)物體上作用有一個(gè)平面匯交力系F1,F2,…,Fn,其合力為FR。由于合力與力系等效，因此合力對平面內(nèi)任意點(diǎn)之矩等于力系中所有分力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和，即

MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)=∑MO(F)(1.11)這就是合力矩定理。對于有合力的其他力系，合力矩定理同樣成立。當(dāng)力矩的力臂不易求出時(shí)，常將力正交分解為兩個(gè)易確定力臂的分力，然后應(yīng)用合力矩定理計(jì)算力矩。

【例1.1】如圖1.9所示，力F=150N,作用在錘柄上，柄長l=320mm，試求圖(a)、(b)所示的兩種情況下力F對支點(diǎn)O的力矩。圖1.9解在圖(a)所示的情況下，支點(diǎn)O到力F作用線的垂直距離h=l，力F使錘柄繞O點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動，則力F對O點(diǎn)的力矩為

MＯ(F)=Fh=150×320=48000N·mm=48N·m在圖(b)所示的情況下，支點(diǎn)O到力F作用線的垂直距離h=lcos30°，力F使錘柄繞O點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動，則力F對O點(diǎn)的力矩為

MＯ(F)=-Fh=-150×320×cos30°=-41569N·mm=-41.569N·m

【例1.2】一齒輪受到與它相嚙合的另一齒輪的法向壓力Fn=1400N的作用，如圖1.10所示，已知壓力角(作用在嚙合點(diǎn)的力與嚙合點(diǎn)的絕對速度之間所夾的銳角）α=20°,節(jié)圓直徑D=0.12m，求法向壓力Fn對齒輪軸心O之矩。

解用兩種方法計(jì)算。

(1)用力矩定義求解，如圖1.10(a)所示，則

(2)用合力矩定理求解，如圖1.10(b)所示。將力Fn在嚙合點(diǎn)處分解為圓周力Ft=Fncosα和徑向力Fr=Fnsinα，由合力矩定理，得圖1.101.2.2力偶在日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常會遇到物體受大小相等、方向相反、作用線互相平行的兩個(gè)力作用的情形。例如，人用手?jǐn)Q水龍頭開關(guān)，如圖1.11(a)所示；司機(jī)用雙手轉(zhuǎn)動方向盤，如圖1.11(b)所示；鉗工用絲錐攻螺紋，如圖1.11(c)所示。實(shí)踐證明，這樣的兩個(gè)力(F,F′)對物體只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)，而不產(chǎn)生移動效應(yīng)。圖1.11我們把這一對等值、反向、不共線的平行力組成的特殊力系稱為力偶，用(F,F′)表示。力偶兩力作用線之間的垂直距離d稱為力偶臂，如圖1.11(d)所示，力偶中的兩力所在的平面稱為力偶作用面，力偶使物體轉(zhuǎn)動的方向稱為力偶的轉(zhuǎn)向。力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，可用力偶中的力與力偶臂的乘積再冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號來確定，稱為力偶矩，記為M(F,F′)或簡寫為M，即

M(F,F′)=M=±Fd(1.12)力偶矩與平面內(nèi)的力矩一樣，是一個(gè)代數(shù)量。式(1.12)中的正負(fù)號由力偶的轉(zhuǎn)向決定。通常規(guī)定，力偶的轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針時(shí)取正，反之取負(fù)。力偶矩的單位是N·m或kN·m。力偶矩的大小、力偶轉(zhuǎn)向和力偶作用面稱為力偶的三要素。凡三要素相同的力偶彼此等效。根據(jù)力偶的定義，力偶具有以下性質(zhì)。

性質(zhì)一力偶在任意軸上投影的代數(shù)和為零，故不能合成為一個(gè)力，也不能與一個(gè)力等效。力偶的這一性質(zhì)說明力偶不能與一個(gè)力相互平衡，只能與一個(gè)力偶相互平衡?？梢?，力與力偶是靜力學(xué)的兩個(gè)基本要素。

性質(zhì)二力偶對其作用面內(nèi)任意點(diǎn)之矩恒等于其力偶矩，而與矩心的位置無關(guān)。如圖1.12所示，已知力偶(F,F′)的力偶矩M(F,F′)=Fd，在力偶作用平面內(nèi)任取一點(diǎn)O為矩心，設(shè)O點(diǎn)到力F的垂直距離為x，則(F,F′)對O之矩的代數(shù)和為MO(F)+MO(F′)=-Fx+F′(x+d)=Fd=M(F,F′)(1.13)顯然,力偶矩M(F,F)與x無關(guān),即與矩心無關(guān)。

圖1.12性質(zhì)三只要保持力偶的轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小不變，力偶可以在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)動和移動，而不改變它對剛體的作用效應(yīng)。這一性質(zhì)說明力偶對物體的作用與力偶在作用面內(nèi)的位置無關(guān)。性質(zhì)四只要保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變，就可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不會改變力偶對剛體的作用效應(yīng)。這一性質(zhì)說明力偶中的力或力偶臂都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的度量參數(shù)。因此，力偶常用一帶箭頭的折線或弧線來表示(其中折線或弧線所在的平面代表力偶的作用面，箭頭的指向表示力偶的轉(zhuǎn)向)，再標(biāo)注力偶矩的大小，如圖1.13所示。圖1.13作用在同一平面內(nèi)的一群力偶稱為平面力偶系。由上面的力偶性質(zhì)可知，力偶對剛體只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)，且轉(zhuǎn)動效應(yīng)的大小完全取決于力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向，那么，平面力偶系可以簡化，簡化所得到的結(jié)果稱為平面力偶系的合力偶?？梢宰C明，合力偶矩的大小等于各個(gè)分力偶矩的代數(shù)和，即

M合=M1+M2+…+Mn=∑M(1.14)1.3約束與約束反力

1.3.1柔索約束

由繩索、鏈條、膠帶等柔性物體所構(gòu)成的約束稱為柔索約束。柔索約束只能限制物體沿柔索伸長的方向運(yùn)動，而不能限制其他方向的運(yùn)動，所以柔索約束反力的方向總是沿柔索中心線且背離被約束物體，即為拉力，通常用符號FT表示，如圖1.14所示。圖1.141.3.2光滑接觸面約束當(dāng)兩物體接觸面之間的摩擦很小，可以忽略不計(jì)時(shí)，構(gòu)成光滑接觸面約束。光滑接觸面對被約束物體在過接觸點(diǎn)處的公切面內(nèi)任意方向的運(yùn)動不加限制，同時(shí)也不限制物體沿接觸面處的公法線脫離接觸面，但阻礙物體沿該公法線方向進(jìn)入約束內(nèi)部，因此，光滑接觸面約束的約束反力必沿接觸面處的公法線指向被約束物體，即為壓力，用符號FN表示，如圖1.15所示。圖1.151.3.3

光滑圓柱鉸鏈約束光滑圓柱鉸鏈由兩個(gè)帶有圓孔的構(gòu)件用光滑圓柱銷釘連接而成。如果銷釘和圓孔是光滑的，那么銷釘只限制兩構(gòu)件在垂直于銷釘軸線的平面內(nèi)相對移動，而不限制兩構(gòu)件繞銷釘軸線的相對轉(zhuǎn)動。這樣的約束稱為光滑圓柱鉸鏈約束。這種約束在工程實(shí)際中有以下幾種應(yīng)用形式。

1.中間鉸約束如圖1.16(a)、(b)所示，用圓柱銷釘穿入兩個(gè)帶有圓孔的構(gòu)件1和2的圓孔中，即構(gòu)成中間鉸，通常用簡圖1.16(c)表示。中間鉸所連接的兩構(gòu)件互為其中一個(gè)的約束。當(dāng)兩個(gè)構(gòu)件有沿銷釘徑向相對移動的趨勢時(shí)，銷釘與構(gòu)件以光滑圓柱面接觸，本質(zhì)上相當(dāng)于光滑面接觸，但接觸點(diǎn)不能確定，所以中間鉸約束反力的特點(diǎn)是:在垂直于銷釘軸線的平面內(nèi)，通過鉸鏈中心，方向待定，通常用兩個(gè)正交分力Fx和Fy來表示，兩分力的指向是假定的，如圖1.16(d)所示。

圖1.16

2.固定鉸鏈支座約束若構(gòu)成圓柱鉸鏈約束的一個(gè)構(gòu)件固定在地面或機(jī)架上作為支座，則稱此約束為固定鉸鏈支座約束，如圖1.17(a)所示，通常用簡圖1.17(b)表示，其約束反力的特點(diǎn)與中間鉸相同，如圖1.17(c)所示。圖1.17

3.活動鉸鏈支座約束

在固定鉸鏈支座的底部裝有幾個(gè)可滾動的輥軸，并與光滑支承面相接觸，這樣即構(gòu)成活動鉸鏈支座，如圖1.18(a)所示，通常用簡圖1.18(b)、(c)、(d)表示。這種約束只限制所支承的物體沿垂直于支承面方向的移動，而不限制物體沿支承面方向的移動和繞鉸鏈銷釘?shù)霓D(zhuǎn)動。因此，其約束反力過鉸鏈中心，垂直于光滑支承面，指向待定，用符號FN表示，如圖1.18(e)所示。圖1.181.3.4固定端約束固定端約束又稱為插入端約束，是工程實(shí)際中常見的一種約束類型，如插入墻體的外伸涼臺、固定在車床刀架上的車刀、立于路邊的電線桿等，如圖1.19(a)、(b)、(c)所示。它們有一個(gè)共同的特點(diǎn)：構(gòu)件一端被固定，既不允許構(gòu)件任意移動，也不允許構(gòu)件隨意轉(zhuǎn)動，這種約束就是固定端約束。平面問題中，固定端約束通常用圖1.19(d)、(e)所示的簡圖表示，其約束反力在外力作用面內(nèi)可用簡化了的兩個(gè)正交分力Fx、Fy和力偶矩M來表示，如圖1.19(f)所示。圖1.191.4物體的受力圖

在求解靜力學(xué)平衡問題時(shí)，首先必須明確研究對象，然后分析其受力情況，再用相應(yīng)的平衡條件進(jìn)行計(jì)算。工程實(shí)際中的結(jié)構(gòu)往往非常復(fù)雜，為了比較清晰地表達(dá)出每個(gè)物體的受力情況，就必須把它從與它有聯(lián)系的周圍物體中分離出來，即解除其所受的約束而代之以相應(yīng)的約束反力，這一過程稱為解除約束。被解除約束的物體稱為分離體。在分離體上畫出所受的全部主動力和全部約束反力，即為物體的受力圖。畫受力圖的步驟一般如下：

(1)明確研究對象，取分離體。根據(jù)題目要求，確定研究對象(它可以是一個(gè)物體，也可以是幾個(gè)物體的組合或整個(gè)物體系統(tǒng))，把它從與之相聯(lián)系的周圍物體中分離出來，單獨(dú)畫出，切記與原圖保持一致。

(2)畫出全部主動力。在分離體上畫出全部主動力。

(3)畫出全部約束反力。在每一個(gè)解除約束的位置，根據(jù)約束的類型，畫出相應(yīng)的約束反力。在畫約束反力時(shí)，應(yīng)特別注意以下幾點(diǎn)：①將每一種約束按照它們的特點(diǎn)歸入典型約束類型，如1.3節(jié)介紹的柔索約束、光滑接觸面約束、光滑圓柱鉸鏈約束(中間鉸、固定鉸鏈支座、活動鉸鏈支座)和固定端約束，再根據(jù)典型約束的約束反力的表示方法畫出約束反力。②在畫每一個(gè)約束反力時(shí)，一定要明確是哪個(gè)物體施加的，不要多畫力、少畫力或隨意移動力。③要熟練使用規(guī)定的字母和符號，標(biāo)記各個(gè)約束反力，對作用力和反作用力一般用相同的字母，反作用力加一個(gè)上標(biāo)“′”,如FAB與FAB′互為作用力與反作用力。

④在畫相鄰兩物體間作用力與反作用力的方向時(shí)，若其中一個(gè)力的方向已經(jīng)明確或假定，則另一個(gè)力的方向應(yīng)隨之而定。⑤運(yùn)用二力平衡條件或三力平衡匯交定理確定某些約束反力。凡是二力構(gòu)件，必須按二力平衡條件來畫約束反力；當(dāng)物體受三個(gè)共面但不平行的力作用而處于平衡時(shí)，已知其中兩力作用線的交點(diǎn)，第三個(gè)力為未知的約束反力，則此約束反力的作用線必通過此交點(diǎn)。⑥當(dāng)所取分離體是由某幾個(gè)物體組成的物體系統(tǒng)時(shí)，通常將物體系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力稱為內(nèi)力，而將物體系統(tǒng)外的周圍物體對系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)物體作用的力稱為外力。在畫物體系統(tǒng)的受力圖時(shí)，約定只畫外力，不畫內(nèi)力。

【例1.3】簡支梁AB兩端用固定鉸鏈支座和活動鉸鏈支座支撐，如圖1.20(a)所示，C處作用一集中載荷P。若梁自重不計(jì)，試對梁AB進(jìn)行受力分析。圖1.20解

(1)選取梁AB為研究對象，畫出其分離體圖。

(2)畫出主動力。在梁的C點(diǎn)處畫主動力P。

(3)畫出約束反力。

A處為固定鉸鏈支座約束，約束反力為通過A點(diǎn)的兩個(gè)正交分力FAx、FAy；B端為活動鉸鏈支座，只有一個(gè)垂直于支撐面的約束反力FB，如圖1.20(b)所示。另外，AB的受力圖可以根據(jù)三力平衡匯交定理畫出，力P和FB相交于D點(diǎn)，則A點(diǎn)的約束反力FA(A點(diǎn)的合力)也交于D點(diǎn)，由此確定約束反力FA的方向?yàn)檠谹、D兩點(diǎn)的連線，如圖1.20(c)所示。圖1.21

解(1)選取梁AB為研究對象，畫出其分離體圖。

(