2025屆四川省德陽市重點中學高三最后一模數(shù)學試題含解析

2025屆四川省德陽市重點中學高三最后一模數(shù)學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知整數(shù)滿足，記點的坐標為，則點滿足的概率為（）A． B． C． D．2．定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調遞減，已知是銳角三角形的兩個內角，則的大小關系是（）A． B．C． D．以上情況均有可能3．集合的真子集的個數(shù)是（）A． B． C． D．4．已知在中，角的對邊分別為，若函數(shù)存在極值，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．5．如圖，將兩個全等等腰直角三角形拼成一個平行四邊形，將平行四邊形沿對角線折起，使平面平面，則直線與所成角余弦值為（）A． B． C． D．6．設m，n為直線，、為平面，則的一個充分條件可以是()A．，， B．，C．， D．，7．下列函數(shù)中，圖象關于軸對稱的為（）A． B．，C． D．8．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，分別交兩條漸近線于點、，過點作軸的垂線，垂足恰為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．已知、分別為雙曲線：（，）的左、右焦點，過的直線交于、兩點，為坐標原點，若，，則的離心率為（）A．2 B． C． D．10．若向量，，則與共線的向量可以是（）A． B． C． D．11．陀螺是中國民間最早的娛樂工具，也稱陀羅.如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某個陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為（）A． B．C． D．12．已知數(shù)列滿足：)若正整數(shù)使得成立，則（）A．16 B．17 C．18 D．19二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，且，則______.14．直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是________________．15．已知是拋物線的焦點，過作直線與相交于兩點，且在第一象限，若，則直線的斜率是_________．16．已知函數(shù)在處的切線與直線平行，則為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M為PC的中點．（1）求異面直線AP，BM所成角的余弦值；（2）點N在線段AD上，且AN＝λ，若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，求λ的值．18．（12分）已知集合，集合，.（1）求集合B；（2）記，且集合M中有且僅有一個整數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.19．（12分）的內角，，的對邊分別為，，，已知的面積為.（1）求；（2）若，，求的周長.20．（12分）設函數(shù)，（）.（1）若曲線在點處的切線方程為，求實數(shù)a、m的值；（2）若對任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）關于x的方程能否有三個不同的實根？證明你的結論.21．（12分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）求；（2）若，求.22．（10分）如圖，四邊形是邊長為3的菱形，平面.（1）求證：平面；（2）若與平面所成角為，求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

列出所有圓內的整數(shù)點共有37個，滿足條件的有7個，相除得到概率.【詳解】因為是整數(shù)，所以所有滿足條件的點是位于圓（含邊界）內的整數(shù)點，滿足條件的整數(shù)點有共37個，滿足的整數(shù)點有7個，則所求概率為.故選：.【點睛】本題考查了古典概率的計算，意在考查學生的應用能力.2、B【解析】

由已知可求得函數(shù)的周期，根據(jù)周期及偶函數(shù)的對稱性可求在上的單調性，結合三角函數(shù)的性質即可比較．【詳解】由可得，即函數(shù)的周期，因為在區(qū)間上單調遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，在上單調遞增，因為，是銳角三角形的兩個內角，所以且即，所以即，．故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系是解決本題的關鍵．3、C【解析】

根據(jù)含有個元素的集合，有個子集，有個真子集，計算可得；【詳解】解：集合含有個元素，則集合的真子集有（個），故選：C【點睛】考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對于含有個元素的集合，有個子集，有個真子集，屬于基礎題．4、C【解析】

求出導函數(shù)，由有不等的兩實根，即可得不等關系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質可得結論．【詳解】，.若存在極值，則，又.又．故選：C．【點睛】本題考查導數(shù)與極值，考查余弦定理．掌握極值存在的條件是解題關鍵．5、C【解析】

利用建系，假設長度，表示向量與，利用向量的夾角公式，可得結果.【詳解】由平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面所以，又所以作軸//,建立空間直角坐標系如圖設，所以則所以所以故選：C【點睛】本題考查異面直線所成成角的余弦值，一般采用這兩種方法：（1）將兩條異面直線作輔助線放到同一個平面，然后利用解三角形知識求解；（2）建系，利用空間向量，屬基礎題.6、B【解析】

根據(jù)線面垂直的判斷方法對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，當，，時，由于不在平面內，故無法得出.對于B選項，由于，，所以.故B選項正確.對于C選項，當，時，可能含于平面，故無法得出.對于D選項，當，時，無法得出.綜上所述，的一個充分條件是“，”故選：B【點睛】本小題主要考查線面垂直的判斷，考查充分必要條件的理解，屬于基礎題.7、D【解析】

圖象關于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質對選項進行判斷可解.【詳解】圖象關于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù)；A中，，，故為奇函數(shù)；B中，的定義域為，不關于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù)；C中，由正弦函數(shù)性質可知，為奇函數(shù)；D中，且，，故為偶函數(shù).故選：D.【點睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法：對于函數(shù)的定義域內任意一個都有，則函數(shù)是奇函數(shù)；都有，則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關于原點(軸)對稱．8、B【解析】

設點位于第二象限，可求得點的坐標，再由直線與直線垂直，轉化為兩直線斜率之積為可得出的值，進而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設點位于第二象限，由于軸，則點的橫坐標為，縱坐標為，即點，由題意可知，直線與直線垂直，，，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算，解答的關鍵就是得出、、的等量關系，考查計算能力，屬于中等題.9、D【解析】

作出圖象，取AB中點E，連接EF2，設F1A＝x，根據(jù)雙曲線定義可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，進而得到e的值【詳解】解：取AB中點E，連接EF2，則由已知可得BF1⊥EF2，F(xiàn)1A＝AE＝EB，設F1A＝x，則由雙曲線定義可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，所以x＝2a，則EF2＝2a，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，所以c2＝7a2，則e故選：D．【點睛】本題考查雙曲線定義的應用，考查離心率的求法，數(shù)形結合思想，屬于中檔題．對于圓錐曲線中求離心率的問題，關鍵是列出含有中兩個量的方程，有時還要結合橢圓、雙曲線的定義對方程進行整理，從而求出離心率.10、B【解析】

先利用向量坐標運算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點睛】本題考查向量的坐標運算和向量平行的判定,屬于基礎題,在解題中要注意橫坐標與橫坐標對應,縱坐標與縱坐標對應,切不可錯位.11、C【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可，【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖：上部是底面半徑為1，高為3的圓柱，下部是底面半徑為2，高為2的圓錐,幾何體的表面積為：，故選：C【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關鍵.12、B【解析】

計算，故，解得答案.【詳解】當時，，即，且.故，，故.故選：.【點睛】本題考查了數(shù)列的相關計算，意在考查學生的計算能力和對于數(shù)列公式方法的綜合應用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、18【解析】

先由，可得，再結合等差數(shù)列的前項和公式求解即可.【詳解】解：因為，所以，.故答案為：18.【點睛】本題考查了等差數(shù)列基本量的運算，重點考查了等差數(shù)列的前項和公式，屬基礎題.14、【解析】因為sinα∈[－1，1]，所以－sinα∈[－1，1]，所以已知直線的斜率范圍為[－1，1]，由傾斜角與斜率關系得傾斜角范圍是．答案：15、【解析】

作出準線，過作準線的垂線，利用拋物線的定義把拋物線點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，利用平面幾何知識計算出直線的斜率．【詳解】設是準線，過作于，過作于，過作于，如圖，則，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴直線斜率為．故答案為：．【點睛】本題考查拋物線的焦點弦問題，解題關鍵是利用拋物線的定義，把拋物線上點到焦點距離轉化為該點到準線的距離，用平面幾何方法求解．16、【解析】

根據(jù)題意得出，由此可得出實數(shù)的值.【詳解】，，直線的斜率為，由于函數(shù)在處的切線與直線平行，則.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線與直線平行求參數(shù)，解題時要結合兩直線的位置關系得出兩直線斜率之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）1【解析】

（1）先根據(jù)題意建立空間直角坐標系，求得向量和向量的坐標，再利用線線角的向量方法求解.（2，由AN＝λ，設N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，則＝(－1，λ－1，－2)，再求得平面PBC的一個法向量，利用直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，由|cos〈，〉|＝＝＝求解.【詳解】（1）因為PA⊥平面ABCD，且AB，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又因為∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD兩兩互相垂直．分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．又因為M為PC的中點，所以M(1，1，2)．所以＝(－1，1，2)，＝(0，0，4)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以異面直線AP，BM所成角的余弦值為.（2）因為AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，則＝(－1，λ－1，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－4)．設平面PBC的法向量為＝(x,y,z)，則即令x＝2，解得y＝0，z＝1，所以＝(2，0，1)是平面PBC的一個法向量．因為直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，所以|cos〈，〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0，4]，所以λ的值為1.【點睛】本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角，線面角的求法及應用，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）由不等式可得,討論與的關系,即可得到結果；（2）先解得不等式,由集合M中有且僅有一個整數(shù),當時,則M中僅有的整數(shù)為；當時,則M中僅有的整數(shù)為,進而求解即可.【詳解】解:（1）因為,所以,當,即時,；當,即時,；當,即時,.（2）由得,當,即時,M中僅有的整數(shù)為,所以,即；當,即時,M中僅有的整數(shù)為,所以,即；綜上,滿足題意的k的范圍為【點睛】本題考查解一元二次不等式,考查由交集的結果求參數(shù)范圍,考查分類討論思想與運算能力.19、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案；（2）根據(jù)兩角余弦公式可得，即可求出，再根據(jù)正弦定理可得，根據(jù)余弦定理即可求出，問題得以解決．【詳解】（1）由三角形的面積公式可得，，由正弦定理可得，，；（2），，，，，則由，可得：，由，可得：，，可得：，經檢驗符合題意，三角形的周長．（實際上可解得，符合三邊關系）．【點睛】本題考查了三角形的面積公式、兩角和的余弦公式、誘導公式，考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了學生的運算能力，考查了轉化思想，屬于中檔題．20、（1），；（2）；（3）不能，證明見解析【解析】

（1）求出，結合導數(shù)的幾何意義即可求解；（2）構造，則原題等價于對任意恒成立，即時，，利用導數(shù)求最值即可，值得注意的是，可以通過代特殊值，由求出的范圍，再研究該范圍下單調性；（3）構造并進行求導，研究單調性，結合函數(shù)零點存在性定理證明即可.【詳解】（1），，曲線在點處的切線方程為，，解得.（2）記，整理得，由題知，對任意恒成立，對任意恒成立，即時，，，解得，當時，對任意，，，，，即在單調遞增，此時，實數(shù)的取值范圍為.（3）關于的方程不可能有三個不同的實根，以下給出證明：記，，則關于的方程有三個不同的實根，等價于函數(shù)有三個零點，，當時，，記，則，在單調遞增，，即，，在單調遞增，至多有一個零點；當時，記，則，在單調遞增，即在單調遞增，至多有一個零點，則至