2025屆云南省高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

2025屆云南省高考數(shù)學(xué)三模試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的四個(gè)面中，最大面積為（）A． B． C． D．2．設(shè)點(diǎn)，P為曲線上動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A，P間距離的最小值為，則實(shí)數(shù)t的值為（）A． B． C． D．3．中，角的對邊分別為，若，，，則的面積為（）A． B． C． D．4．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（）A． B． C． D．6．設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（）A．1 B．-1 C．0 D．27．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)利用暑假游玩某風(fēng)景名勝大峽谷，四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠(yuǎn)古村寨四大景點(diǎn)中的一個(gè)，每個(gè)景點(diǎn)去一人．已知：①甲不在遠(yuǎn)古村寨，也不在百里絕壁；②乙不在原始森林，也不在遠(yuǎn)古村寨；③“丙在遠(yuǎn)古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件；④丁不在百里絕壁，也不在遠(yuǎn)古村寨．若以上語句都正確，則游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．已知，若則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．用1，2，3，4，5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位，數(shù)字1，3，5中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰，則滿足條件的不同五位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．60 C．72 D．12010．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，其中，，其圖象關(guān)于直線對稱，對滿足的，，有，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B．C． D．12．關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)的值：先請全校名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于的正實(shí)數(shù)對；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個(gè)數(shù)；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)的值，那么可以估計(jì)的值約為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．棱長為的正四面體與正三棱錐的底面重合，若由它們構(gòu)成的多面體的頂點(diǎn)均在一球的球面上，則正三棱錐的內(nèi)切球半徑為______.14．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_______________，漸近線方程是_______________.15．已知集合，.若，則實(shí)數(shù)a的值是______.16．在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，，則____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在一次電視節(jié)目的答題游戲中，題型為選擇題，只有“A”和“B”兩種結(jié)果，其中某選手選擇正確的概率為p，選擇錯(cuò)誤的概率為q，若選擇正確則加1分，選擇錯(cuò)誤則減1分，現(xiàn)記“該選手答完n道題后總得分為”.（1）當(dāng)時(shí)，記，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）當(dāng)，時(shí)，求且的概率.18．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù).).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線與直線其中的一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)極徑.極角（1）求曲線的極坐標(biāo)方程與點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）已知直線的直角坐標(biāo)方程為，直線與曲線相交于點(diǎn)(異于原點(diǎn))，求的面積.19．（12分）已知函數(shù)，(其中，).（1）求函數(shù)的最小值.（2）若，求證：.20．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，求的面積的最大值．21．（12分）在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中，運(yùn)城市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次)，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：.組別頻數(shù)（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)，利用該正態(tài)分布，求；（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：①得分不低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi)；②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為：贈(zèng)送話費(fèi)的金額(單位：元)概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記(單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：參考數(shù)據(jù)與公式：，若，則，，22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線與和分別交于點(diǎn)，求．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由三視圖可知，該三棱錐如圖,其中底面是等腰直角三角形，平面,結(jié)合三視圖求出每個(gè)面的面積即可.【詳解】由三視圖可知，該三棱錐如圖所示：其中底面是等腰直角三角形，平面,由三視圖知，因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)闉榈冗吶切危?所以該三棱錐的四個(gè)面中，最大面積為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體并求其面積;考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.2、C【解析】

設(shè)，求，作為的函數(shù)，其最小值是6，利用導(dǎo)數(shù)知識求的最小值．【詳解】設(shè)，則，記，，易知是增函數(shù)，且的值域是，∴的唯一解，且時(shí)，，時(shí)，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查用導(dǎo)數(shù)求最值．解題時(shí)對和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵．3、A【解析】

先求出，由正弦定理求得，然后由面積公式計(jì)算．【詳解】由題意，．由得，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求三角形面積，考查正弦定理，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式，解題時(shí)要根據(jù)已知求值要求確定解題思路，確定選用公式順序，以便正確快速求解．4、C【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可寫出漸近線方程.【詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題.5、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡z,復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為利用模長公式即得解.【詳解】由題意知復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，模長公式和幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡，由復(fù)數(shù)的意義即可求得的值.【詳解】復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡可得，所以由復(fù)數(shù)定義可知，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

根據(jù)演繹推理進(jìn)行判斷．【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠(yuǎn)古村寨，必有丙同學(xué)去了遠(yuǎn)古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是?。蔬x：D．【點(diǎn)睛】本題考查演繹推理，掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ)．8、C【解析】

根據(jù)，得到有解，則，得，，得到，再根據(jù)，有，即，可化為，根據(jù)，則的解集包含求解，【詳解】因?yàn)椋杂薪?，即有解，所以，得，，所以，又因?yàn)椋?，即，可化為，因?yàn)椋缘慕饧?，所以或，解得，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關(guān)系的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題，9、A【解析】

對數(shù)字分類討論，結(jié)合數(shù)字中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰，利用分類計(jì)數(shù)原理，即可得到結(jié)論【詳解】數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí)，數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位，共有個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí)，同理也有個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí)，數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位，共有個(gè)故滿足條件的不同的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是個(gè)故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列，組合及簡單計(jì)數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是對數(shù)字分類討論，屬于基礎(chǔ)題。10、C【解析】

由三視圖可知，幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是底邊為，高為的等腰三角形，側(cè)棱長為，利用正弦定理求出底面三角形外接圓的半徑，根據(jù)三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半徑，即可求解球的表面積.【詳解】由三視圖可知，幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是底邊為，高為的等腰三角形，側(cè)棱長為，如圖：由底面邊長可知，底面三角形的頂角為，由正弦定理可得，解得，三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心，所以，該幾何體外接球的表面積為：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了多面體的內(nèi)切球與外接球問題，由三視圖求幾何體的表面積，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)已知得到函數(shù)兩個(gè)對稱軸的距離也即是半周期，由此求得的值，結(jié)合其對稱軸，求得的值，進(jìn)而求得解析式.根據(jù)圖像變換的知識求得的解析式，再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法，求得的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：已知函數(shù)，其中，，其圖像關(guān)于直線對稱，對滿足的，，有，∴.再根據(jù)其圖像關(guān)于直線對稱，可得，.∴，∴.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖像.令，求得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于中檔題.12、D【解析】

由試驗(yàn)結(jié)果知對0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，滿足，面積為1，再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對，滿足條件的面積，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計(jì)的值．【詳解】解：根據(jù)題意知，名同學(xué)取對都小于的正實(shí)數(shù)對，即，對應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L為的正方形，其面積為，若兩個(gè)正實(shí)數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有，其面積；則有，解得故選：．【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個(gè)封閉的圖形，可以直接解出可行域的面積；求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由棱長為的正四面體求出外接球的半徑，進(jìn)而求出正三棱錐的高及側(cè)棱長，可得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，進(jìn)而求出體積與表面積，設(shè)內(nèi)切圓的半徑，由等體積，求出內(nèi)切圓的半徑．【詳解】由題意可知：多面體的外接球即正四面體的外接球作面交于，連接，如圖則，且為外接球的直徑，可得，設(shè)三角形的外接圓的半徑為，則，解得，設(shè)外接球的半徑為，則可得，即，解得，設(shè)正三棱錐的高為，因?yàn)?，所以，所以，而，所以正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，，即解得：．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查多面體與球的內(nèi)切和外接問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意借助幾何體的直觀圖進(jìn)行分析.14、【解析】

通過雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求解，，即可得到所求的結(jié)果．【詳解】由雙曲線，可得，，則，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，漸近線方程為：．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬于容易題．15、9【解析】

根據(jù)集合交集的定義即得.【詳解】集合，，，，則a的值是9.故答案為：9【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集，是基礎(chǔ)題.16、【解析】

由，根據(jù)正弦定理“邊化角”，可得，根據(jù)余弦定理，結(jié)合已知聯(lián)立方程組，即可求得角.【詳解】根據(jù)正弦定理：可得根據(jù)余弦定理：由已知可得：故可聯(lián)立方程：解得：.由故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求三角形的一個(gè)內(nèi)角，解題關(guān)鍵是掌握由正弦定理“邊化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析，0（2）【解析】

（1）即該選手答完3道題后總得分,可能出現(xiàn)的情況為3道題都答對,答對2道答錯(cuò)1道,答對1道答錯(cuò)2道,3道題都答錯(cuò),進(jìn)而求解即可；（2）當(dāng)時(shí),即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯(cuò)誤的題數(shù)是3題,又,則第一題答對,第二題第三題至少有一道答對,進(jìn)而求解.【詳解】解:（1）的取值可能為,,1,3,又因?yàn)?故,,,,所以的分布列為：13所以（2）當(dāng)時(shí),即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯(cuò)誤的題數(shù)是3題,又已知,第一題答對,若第二題回答正確,則其余6題可任意答對3題；若第二題回答錯(cuò)誤,第三題回答正確,則后5題可任意答對題，此時(shí)的概率為（或）.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的分布列及期望,考查數(shù)據(jù)處理能力,考查分類討論思想.18、（1）極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2）【解析】

（1）利用極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化公式即可；（2）只需算出A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，利用計(jì)算即可.【詳解】（1）曲線C：(為參數(shù)，)，將代入，解得，即曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.（2)由（1），得點(diǎn)的極坐標(biāo)為，由直線過原點(diǎn)且傾斜角為，知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化以及利用極徑求三角形面積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.19、（1）.（2）答案見解析【解析】

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