北師大版高中數(shù)學(xué)必修第二冊全冊教學(xué)課件

北師大版高中數(shù)學(xué)必修第二冊全冊教學(xué)課件周期變化1.理解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義.（重點）2.會分析周期函數(shù)的圖象和性質(zhì).（難點）學(xué)習(xí)目標(biāo)如圖是水車的示意圖.水車上點P到水面的距離為y，假設(shè)水車勻速，則每經(jīng)過時間t，點P又回到原來的位置，那么y每經(jīng)過時間t就會取相同的值，因此，y隨時間t的變化是周期變化.實例分析例1：討論函數(shù)f(x)=(-1)[x]的圖象和性質(zhì).解：在“函數(shù)”一章，已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)y=[x].對于每一個實數(shù)x，其函數(shù)值y=[x]是不超過x的最大整數(shù)，它不是偶數(shù)就是奇數(shù).根據(jù)初中學(xué)習(xí)的冪運(yùn)算，可以推出：當(dāng)[x]為偶數(shù)時，函數(shù)f(x)=(-1)[x]=1；當(dāng)[x]為奇數(shù)時，函數(shù)f(x)=(-1)[x]=-1.在平面直角坐標(biāo)系中，該函數(shù)的圖象如圖.-1能從圖中得到函數(shù)f(x)=(-1)[x]的哪些性質(zhì)?顯然，對任意一個實數(shù)x，每增加2的整數(shù)倍，其函數(shù)值保持不變.這種變化是重復(fù)進(jìn)行的，函數(shù)f(x)=(-1)[x]的變化是周期性的.-1例2：討論函數(shù)f(x)=x-[x]，畫出它的圖象，并觀察其性質(zhì).解：函數(shù)f(x)=x-[x]是指一個數(shù)減去不超過這個數(shù)的最大整數(shù).它的圖象如圖.觀察下圖，可以得到，對任意一個實數(shù)x，每增加1的整數(shù)倍，其函數(shù)值保持不變.這種變化是重復(fù)進(jìn)行的，所以該函數(shù)變化也是一種周期變化.這個函數(shù)是物理中很有用的鋸齒波函數(shù).請列舉身邊一些呈周期變化的函數(shù)，畫出其圖象，并指明其具體的變化特征。思考交流一般地，對于函數(shù)y=f(x)，x∈D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對任意的x∈D，都有x+T∈D且滿足

f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)y=f(x)稱作周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱作這個函數(shù)的周期.抽象概括周期函數(shù)的周期不止一個.例如，對于例2中的函數(shù)f(x)=x-[x]來說，任何一個非零整數(shù)都是它的周期.如果在周期函數(shù)y=f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就稱作函數(shù)y=f(x)的最小正周期.若不加特別說明，本書所指周期均為函數(shù)的最小正周期.例3：討論函數(shù)y=7＋(一1)n,n∈N是否為周期函數(shù),如果是,請指出它的周期.解：當(dāng)n∈N時,該函數(shù)的取值為8,6,8,6,8,…可見它是周期函數(shù),且周期T=2.周期變化周期函數(shù)周期最小正周期本課小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。任意角周期變化周期函數(shù)周期最小正周期溫故知新1.將0°~360°的角的概念推廣到任意角.（重點）2.認(rèn)識象限角及其表示.

（難點）學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)入在初中，我們研究了0°~360°的角，特別學(xué)習(xí)了銳角、直角、鈍角、平角和周角等.角的概念推廣

圓周運(yùn)動是一種常見的周期性變化現(xiàn)象.如圖，圓O上的點P以A為起點做逆時針方向的旋轉(zhuǎn).如何刻畫點P的位置變化呢?·PAa我們知道，角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形.在圖中，射線的端點是圓心O，它從起始位置OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OP，形成一個角α，射線OA，OP分別是角α的始邊和終邊.當(dāng)角α確定時，終邊OP的位置就確定了.·PAa這時，射線OP與圓O的交點P也就確定了.由此想到，可以借助角a的大小變化刻畫點P的位置變化.·PAa在生活中，擰緊螺絲時，需要將扳手順時針方向旋轉(zhuǎn)；擰松螺絲時，需要將扳手逆時針方向旋轉(zhuǎn).可以旋轉(zhuǎn)一圈，也可以旋轉(zhuǎn)多圈.為了描述這種現(xiàn)象，需要對角的概念進(jìn)行推廣.實例分析如圖，平面內(nèi)一條射線OA繞著它的端點O按箭頭所示方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，形成角α.其中點O是角α的頂點，射線OA是角α的始邊，射線OB是角α的終邊.OABα抽象概括在數(shù)學(xué)上規(guī)定，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫作正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫作負(fù)角.如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角.這樣，零角的始邊與終邊重合，如果α是零角，那么α=0°.“角α”或“∠α”可以簡記成“α”.OABα這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角.任意角正角負(fù)角零角OABα如果一個角的終邊沿逆時針或順時針方向旋轉(zhuǎn)360°的整數(shù)倍，那么所得新角的終邊與原角的終邊重合.OABα圖①中的角是750°的正角；圖②中，正角α=210°，負(fù)角β=-150°，負(fù)角γ=-660°在跳水運(yùn)動中，“轉(zhuǎn)體2周”即“轉(zhuǎn)720°”，“翻騰3周”即“翻騰1080°”，這些都是跳水動作的名稱.圖①圖②對于一個鐘表，分針按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中與起始位置所形成的角總是負(fù)角.設(shè)角α由射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)而成，角β由射線O'A'繞端點O'旋轉(zhuǎn)而成.如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱α=β.

設(shè)α，β是任意兩個角.我們規(guī)定，把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時終邊所對應(yīng)的角是α+β.于是，像實數(shù)減法的“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”一樣，我們有a-β=a+（-β）這樣，角的減法就轉(zhuǎn)化為角的加法.象限角及其表示為了方便研究問題，本節(jié)及以后經(jīng)常將角放在一個平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊在x軸的非負(fù)半軸.以角的終邊(除端點外)在平面直角坐標(biāo)系的位置對角分類：角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，這個角就不屬于任何象限.例如，圖①中，30°，390°和-690°角都是第一象限角；圖②中，300°和-60°角都是第四象限角；圖③中，585°角是第三象限角.圖①圖②圖③從圖①中可以看出，390°和-690°角的終邊都與30°角的終邊相同，并且這兩個角都可以表示成0°~360°的角與k個周角的和，其中k為整數(shù)，即390°=30°+360°(k=1)，-690°=30°+(-2)×360°(k=-2).圖①設(shè)集合S={β|β=30°+k·360°，k∈Z}，則390°，-690°角都是S的元素，30°角也是S的元素(k=0).容易看出：所有與30°角終邊相同的角，連同30°角在內(nèi)，都是集合S的元素；反之，集合S的任一元素的終邊顯然與30°角終邊相同.一般地，給定一個角α，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任何一個與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角的整數(shù)倍的和.抽象概括各象限角的集合表示象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°，k∈Z}角α終邊的位置象限角α的集合表示在x軸的非負(fù)半軸上{α|α=k·360°，k∈Z}在x軸的非正半軸上{α|α=k·360°+180°，k∈Z}在y軸的非負(fù)半軸上{α|α=k·360°+90°，k∈Z}在y軸的非正半軸上{α|α=k·360°+270°，k∈Z}軸線角的集合表示角α終邊的位置象限角α的集合表示在x軸上{α|α=k·180°，k∈Z}在y軸上{α|α=k·180°+90°，k∈Z}在坐標(biāo)軸上{α|α=k·90°，k∈Z}軸線角的集合表示例1：判定下列各角是第幾象限角：(1)-60°；(2)945°；(3)-950°12'.解：(1)因為-60°角的終邊在第四象限，所以它是第四象限角；解：(2)因為945°=225°+2×360°，所以945°與225°角的終邊相同，而225°角的終邊在第三象限，所以945°角是第三象限角；(3)因為-950°12'=129°48'+(-3)×360°，而129°48'角的終邊在第二象限，所以-950°12'角是第二象限角.解：在0°~360°范圍內(nèi)，終邊在y軸上的角有兩個，即90°和270°角(如圖).因此，所有與90°角終邊相同的角構(gòu)成集合S1={β|β=90°+k·360°，k∈Z}；而所有與270°角終邊相同的角構(gòu)成集合S2={β|β=270°+k·360°，k∈Z}.例2：寫出終邊在平面直角坐標(biāo)系y軸上的角的集合.于是，終邊在y軸上的角的集合

S=S1∪S2={β|β=90°+k·360°，k∈Z}

∪{β|β=270°+k·360°，k∈Z}

={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=90°+k·180°，k∈Z}.例3：寫出與60°角終邊相同的角的集合S，并把S中適合-360°≤β≤720°的元素β寫出來.解：S={β|β=60°+k·360°，k∈Z}.S中適合-360°≤β＜720°的元素應(yīng)滿足-360°≤60°+k·360°＜720°.

思考交流

已知角α為銳角，那么角α的終邊與角α+180°,α-180°,180°-α終邊的幾何關(guān)系分別是什么?如果角α是任意角呢?請畫圖說明.任意角角的概念推廣象限角及其表示象限角終邊相同的角本課小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心?；《戎茰毓手氯我饨墙堑母拍钔茝V象限角及其表示象限角終邊相同的角1.了解弧度制，掌握角度與弧度的換算.（重點）2.能夠理解弧度的概念.

（難點）學(xué)習(xí)目標(biāo)弧度概念在幾何的度量中，首先研究了線段長度的度量，其做法是:引入一個單位線段，以它為單位來度量其他線段或曲線(如圓周)的長度.在單位線段的基礎(chǔ)上，又引進(jìn)了以單位線段為邊長的單位正方形作為面積的度量單位，以單位線段為棱長的單位立方體作為體積的度量單位，并用這些度量單位度量圖形的面積和體積.對角的度量，選取一個周角，把它360等分而得到角的度量單位，用這個度量單位去度量其他角的大小.顯然，此時角的度量單位的確定與單位線段無關(guān).

由此可見，在幾何圖形的各種度量中.除了角度之外.其他的度量(長度、面積、體積等)都是以單位線段為基礎(chǔ)的.能否用線段的單位長度來建立角的度量單位，從而把幾何度量都建立在一個共同的基礎(chǔ)(長度的度量)上呢?以角的頂點為圓心畫單位圓(半徑為單位長度1的圓)，用這個角在此圓上所對應(yīng)的弧的長度來度量這個角.問題提出在單位圓中，把長度等于1的弧所對的圓心角稱為1弧度的角.其單位用符號rad表示，讀作弧度(通?！盎《取被颉皉ad”省略不寫).在單位圓中，每一段弧的長度就是它所對圓心角的弧度數(shù).這種以弧度作為單位來度量角的方法，稱作弧度制.抽象概括

角度制與弧度制的區(qū)別角度制用度作為單位來度量角的制度角的大小與半徑無關(guān)單位“°”不能省略弧度制用弧度作為單位來度量角的制度角的大小與半徑無關(guān)單位“rad”可以省略如圖①，在單位圓中，AB的長等于1，∠AOB就是1rad的角；如圖②，在單位圓中，CD的長等于2，∠COD就是-2rad的角.角的正負(fù)由角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定.·OBA11radOCD22rad一般地，弧度與實數(shù)一一對應(yīng).正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù).零角的弧度數(shù)是0.角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數(shù)集R之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系:每一個角都有唯一的一個實數(shù)(等于這個角的弧度數(shù))與它對應(yīng)；反過來，每一個實數(shù)也都有唯一的一個角(即弧度數(shù)等于這個實數(shù)的角）與它對應(yīng).正角零角負(fù)角正實數(shù)0負(fù)實數(shù)

角可以分別用角度和弧度度量，角度和弧度之間有什么關(guān)系呢?弧度概念是由英國數(shù)學(xué)家科茲(RogerCotes，1682-1716)在1714年提出的.作為一種對角的度量方法，弧度制使三角函數(shù)的研究大為簡化.弧度與角度的換算問題提出根據(jù)弧度的定義，可知根據(jù)需要，可以用(1.1)式和(1.2)式進(jìn)行弧度與角度的換算.

分析理解對于任意角，每一個角β都可以表示成

β=α+k·360°(0°≤α≤360°，k∈Z).而360°角對應(yīng)2π弧度角，因此只需把角α用弧度角α′表示，就可以得到角β的弧度角β′，即

β′=α+2kα(0≤α′＜2π,k∈Z).例1:(1)把45°化成弧度；(2)把-600°化成弧度.

下面是一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表（如表）：度0°30°45°60°90°120°弧度0度135°150°180°270°360°弧度

對于0°≤α＜360°之外的特殊角，不難得到它們的弧度數(shù).例如，420°=360°+60°=()rad=rad.

考慮如圖的模型.單位圓M與數(shù)軸相切于原點O，把數(shù)軸看成一個“皮尺”.對于任意一個正數(shù)α，它對應(yīng)正半軸上的點A，把線段OA按逆時針方向纏繞到圓M上，點A對應(yīng)單位圓上點A′，這樣就得到一個以點M為頂點，以MO為始邊，經(jīng)過逆時針旋轉(zhuǎn)以MA′，為終邊的圓心角α，該角的弧度數(shù)為正數(shù)α.對于任意一個負(fù)數(shù)b，如何利用“皮尺”纏繞的方法，在上述的圓M中找到與弧度數(shù)為b相對應(yīng)的圓心角β?思考交流在半徑為r的圓中，若圓心角A為n°，則它對應(yīng)的弧長.又此時角A的弧度數(shù).因此l=|α|r，即即圓心角的弧度數(shù)的絕對值等于該角所對的弧長與半徑之比.

在半徑為r的圓中，若圓心角A為n°，則它對應(yīng)的弧長.又此時角A的弧度數(shù).因此l=|α|r，即

已知扇形的圓心角為120°，面積為，則該扇形所在圓的半徑為______.

解：∵120°=，

∴S扇形=故r=2.2綜合練習(xí)在直徑長為20cm的圓中，圓心角為165°時所對的弧長為______cm.解：∵165°=

弧度制弧度概念弧度與角度的換算本課小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義溫故知新弧度制弧度概念弧度與角度的換算1.能根據(jù)單位圓中正、余弦函數(shù)的定義結(jié)合單位圓說出它們的基本性質(zhì).（重點）2.能利用正、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)解決相關(guān)問題.（難點）學(xué)習(xí)目標(biāo)在初中，我們借助直角三角形學(xué)習(xí)了銳角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù).下面我們在平面直角坐標(biāo)系中，利用單位圓(以后常設(shè)單位圓的圓心在原點)進(jìn)一步研究銳角α的正弦函數(shù)和余弦函數(shù).銳角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)如圖，對于銳角α，角α的終邊與單位圓交于點P(u，v)，故u是由銳角α唯一確定的，v也是由銳角α唯一確定的.過點P向x軸作垂線，垂足為M.在Rt△OMP中，OP=1，OM=u，MP=v，有

由此可知，對于銳角α來說，點P的縱坐標(biāo)v是該角的正弦值，點P的橫坐標(biāo)u是該角的余弦值.

如圖，給定任意角α，作單位圓，角α的終邊與單位圓的交點為P(u，v)，點P的縱坐標(biāo)v、橫坐標(biāo)u都是唯一確定的.仿照上述銳角三角函數(shù)的定義，把點P的縱坐標(biāo)v叫作角α的正弦值，把點P的橫坐標(biāo)u叫作角α的余弦值.任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)于是，在弧度意義下，對于a∈R,稱v=sinα

為任意角α的正弦函數(shù)，u=cosα

為任意角a的余弦函數(shù).如果角α的大小用弧度表示，那么，正弦v=sinα、余弦u=cosα分別是以角α的大小為自變量，以單位圓上的點的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)為函數(shù)值的函數(shù)，其定義域為全體實數(shù)，其值域為實數(shù)的子集合.這樣定義的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就與高中引入的函數(shù)概念一致了.例1：已知任意角α終邊上除原點外的一點Q(x，

y).求角α的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)數(shù)值.解：先考慮角α的終邊不在坐標(biāo)軸上的情形.如圖.設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P，則點P的坐標(biāo)為(cosα，sinα)，且OP=1.

因為點P和點Q在同一象限，所以sinα和y的符號相同，于是得到sinα=

同理，cosα=

當(dāng)角α的終邊在坐標(biāo)軸上時，容易驗證上述等式仍然成立.設(shè)角α終邊上除原點外的一點Q(x，y)，則

其中

抽象概括例2：在單位圓中，(1)畫出角α；(2)求角α的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值.

解：(2)設(shè)點P(u，v)，則

在單位圓中，畫出下列各特珠角，求各角終邊與單位圓的交點坐標(biāo)(u，v)，并將各特殊角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值填入表中:思考交流α0v=sinαu=cosα

0110απ2πv=sinαu=cosα

0-1-1010

觀察此表格中的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)v=sinα和u=cosα的變化有什么特點嗎？

若角α的終邊經(jīng)過點P（5α，-12α）（α＜0），則sinα=_____.解：∵角α的終邊經(jīng)過點P（5α，-12α）（α＜0），則

綜合練習(xí)

6單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)銳角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)任意角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)本課小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。單位圓與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)溫故知新單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)銳角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)任意角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)1.通過單位圓研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì).（重點）2.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)(定義域、最大(小)值，值域、周期性、單調(diào)性).（難點）3.掌握正弦函數(shù)值域余弦函數(shù)值的符號.（重點）學(xué)習(xí)目標(biāo)觀察圖，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點P(u，v)，當(dāng)自變量α變化時，點P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)也在變化.因此.根據(jù)正弦函數(shù)v=sinα和余弦函數(shù)u=cosα的定義，不難看出它們具有以下基本性質(zhì).導(dǎo)入正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域均是R.定義域當(dāng)自變量α∈R時，0≤|sinα|≤1，0≤|cosα|≤1.當(dāng)α=2kπ+，k∈Z時，正弦函數(shù)v=sinα取得最大值1；當(dāng)α=2kπ-，k∈Z時，正弦函數(shù)取得最小值-1.最大(小)值、值域

當(dāng)自變量α∈R時，0≤|sinα|≤1，0≤|cosα|≤1.當(dāng)α=2kπ，k∈Z時，余弦函數(shù)u=cosα取得最大值1；當(dāng)α=(2k+1)π，k∈Z時，余弦函數(shù)取得最小值-1.因為函數(shù)v=sinα，u=cosα均能取到-1和1之間的任意值，所以它們的值域均為[-1，1].根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義(如圖).有終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即對任意k∈Z，sin(α+2kπ)=sinα，α∈R；終邊相同的角的余弦函數(shù)值相等，即對任意k∈Z，cos(α+2kπ)=cosα，α∈R.周期性上述兩個等式說明：對于任意一個角α，每增加2π的整數(shù)倍，其正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均不變，所以正弦函數(shù)v=sinα和余弦函數(shù)u=cosα均是周期函數(shù).對任何k∈Z且k≠0，2kπ均是它們的周期，最小正周期為2π.

周期性是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最重要的性質(zhì).根據(jù)正弦函數(shù)的定義，在單位圓中，如圖①，當(dāng)角α由

增加到時，sinα的值由-1增加到1；單調(diào)性

圖①如圖②，當(dāng)角α由增加到時，sinα的值由1減小到-1.因此正弦函數(shù)在區(qū)間[，]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減.

由正弦函數(shù)的周期性可知，對任意的k∈Z，正弦函數(shù)在區(qū)間[2kπ-，2kπ+]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[2kπ+，2kπ+]上單調(diào)遞減.

請借助單位圓，討論余弦函數(shù)的單調(diào)性.由余弦函數(shù)的周期性可知，對任意的k∈Z，余弦函數(shù)在區(qū)間[2kπ-π，2kπ]上單調(diào)遞增，其值從-1增大到1；在區(qū)間[2kπ，2kπ+π]上單調(diào)遞減，其值從1減到-1.思考交流正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的符號根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點P(u，v)在上半平面時，正弦函數(shù)(v=sinα)值為正，即點P在第一、第二象限或y軸的正半軸時，正弦函數(shù)值為正；

當(dāng)點P在x軸上時，正弦函數(shù)值為零；當(dāng)點P在平面直角坐標(biāo)系的下半平面時，正弦函數(shù)值為負(fù)，即點P在第三、第四象限或y軸的負(fù)半軸時，正弦函數(shù)值為負(fù).同理，當(dāng)點P在平面直角坐標(biāo)系的右半平面時，余弦函數(shù)值為正，即點P在第一、第四象限或x軸的正半軸時，余弦函數(shù)值為正；當(dāng)點P在y軸上時，余弦函數(shù)值為零；當(dāng)點P在左半平面時，余弦函數(shù)值為負(fù)，即點P在第二、第三象限或x軸的負(fù)半軸時，余弦函數(shù)值為負(fù).xyO(-)(-)(+)(+)sinαxyO(+)(-)(-)(+)cosα正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值在各象限的符號如圖所示：例3：借助單位圓，討論函數(shù)v=sinα在給定區(qū)間上的單調(diào)性.(1)(，]；(2)[，].解：畫出圖，可知：(1)函數(shù)v=sinα在區(qū)間(，]上單調(diào)遞增；

(2)函數(shù)v=sinα在區(qū)間)[，]上單調(diào)遞增，

在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減.

例4：求函數(shù)v=cosα在區(qū)間[，]上的最大值和最小值，并寫出取得最大值和最小值時自變量α的值.解：畫出圖，可知：當(dāng)α=時，函數(shù)v=cosα取得最大值，最大值為；

當(dāng)α=π時，函數(shù)v=cosα取得最小值，最小值為cosπ=-1.

B綜合練習(xí)

不等式sinx＜0，x∈[，]的解集為_______________________.

單位圓與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)定義域最大(小)值、值域周期性單調(diào)性正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的符號本課小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。誘導(dǎo)公式與對稱溫故知新單位圓與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)定義域最大(小)值、值域周期性單調(diào)性正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的符號1.利用單位圓的對稱性推導(dǎo)誘導(dǎo)公式.2.掌握三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.（難點）3.能運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡簡單的三角函數(shù)式及證明簡單的三角恒等式.（重點）學(xué)習(xí)目標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)任意角α和-α的終邊與單位圓的交點分別為點P和P′，如圖，不難看出，這兩個角的終邊OP，OP′關(guān)于x軸對稱.因此，點P和P′的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)的絕對值相等且符號相反.sina,cosa與sin(-a),cos(-a)的關(guān)系課文精講即sin(-α)=-sinα，所以正弦函數(shù)v=sinα是奇函數(shù)；cos(-α)=cosα，所以余弦函數(shù)u=cosα是偶函數(shù).在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)任意角α的終邊與單位圓的交點為P，當(dāng)點P沿逆(順)時針方向旋轉(zhuǎn)π弧度至點P′時，點P′就是α±π的終邊與單位圓的交點(如圖).

sina,cosa與sin(a±π),cos(a±π)的關(guān)系不難看出，點P'與點P關(guān)于原點對稱.因此，它們的橫坐標(biāo)的絕對值相等且符號相反，縱坐標(biāo)的絕對值也相等且符號相反.即sin(α+π)=-sinα，cos(α-π)=-sinα.cos(α+π)=-cosα，cos(α-π)=-cosα.在平面直角坐標(biāo)系中.如圖，任意角α與π-α的終邊關(guān)于y軸對稱.因此，點P和點P′的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)的絕對值相等且符號相反.即sina,cosa與sin(π-a),cos(π-a)的關(guān)系sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα.sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα.這兩個公式也可以由前兩組公式推出:sin(π-α)=-sin(α-π)=-(-sinα)=sinα，cos(π-α)=cos(α-π)=-cosα.思考交流在學(xué)習(xí)上述公式時，如何體會軸對稱、中心對稱的作用？記憶口訣：“函數(shù)名不變，符號看象限”.“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名；“符號看象限”是指把原角看成銳角時新角在原函數(shù)下的符號，由新角所在象限確定符號，如sin(α+π)，若把α看成銳角，則α+π在第三象限，所以取負(fù)值，故sin(α+π)=-sinα.你能歸納一下把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟嗎？利用誘導(dǎo)公式可把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，口訣是“負(fù)化正，大化小，化到銳角再查表”.例5：畫出下列各組中兩個角的終邊與單位圓的交點，說出它們的對稱關(guān)系.(1)與；

解：

(1)如圖，與的終邊與單位圓的交點關(guān)于原點對稱；

(2)與

；

解：

(2)如圖，與的終邊與單位圓的交點關(guān)于y軸對稱；

(3)與

；解：

(3)如圖，與的終邊與單位圓的交點關(guān)于x軸對稱；

(4)與.解：

(4)如圖，與的終邊與單位圓的交點關(guān)于y軸對稱.

例6：求下列三角函數(shù)值：(1)；(2)；(3)；(4)

解：

(1)

(2)

解：

(3)

(4)

A綜合練習(xí)

＞誘導(dǎo)公式與對稱角α與-α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系角α與α±π的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系角α與

π-α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系本課小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)溫故知新誘導(dǎo)公式與對稱角α與-α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系角α與α±π的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系角α與

π-α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系1.根據(jù)角的終邊的旋轉(zhuǎn)關(guān)系，推導(dǎo)并掌握對應(yīng)的誘導(dǎo)公式.（重點）2.對所有誘導(dǎo)公式進(jìn)行綜合應(yīng)用.（難點）學(xué)習(xí)目標(biāo)觀察圖，設(shè)銳角α的終邊與單位圓交于點P(u，v)，將終邊繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到點P′，即α+的終邊與單位圓交于點P′.

sin(α+)=cosα；

以上結(jié)論對任意角α都成立，即對任意角α，有

可以實現(xiàn)正余弦的相互轉(zhuǎn)換記憶口訣“函數(shù)名改變，符號看象限”例7：證明：

可以實現(xiàn)正余弦的相互轉(zhuǎn)換記憶口訣“函數(shù)名改變，符號看象限”sin(α+2kπ)=sinαcos(α+2kπ)=cosαsin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαsin(α+π)=sin(π+α)=-sinαcos(α+π)=cos(π+α)=-cosα抽象概括對任意角α,下列關(guān)系式均成立(其中k∈Z).

通常稱上述公式為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式.六組誘導(dǎo)公式2kπ+a（k∈Z）a-π-aπ-a正弦sina-sina-sinasinacosacosa余弦cosa-cosacosa-cosasina-sina角函數(shù)

六組誘導(dǎo)公式

六組誘導(dǎo)公式各有什么作用？sin(α+2kπ)=sinαcos(α+2kπ)=cosαsin(α+π)=-sinαcos(α+π)=-cosα將角化為0~2π內(nèi)的角求值將0~2π內(nèi)的角轉(zhuǎn)化為0~π內(nèi)的角求值sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosα

實現(xiàn)正弦與余弦的相互轉(zhuǎn)化

(2)π-α也就是-(α-π).

用這樣的觀點看誘導(dǎo)公式，得到如下結(jié)論:當(dāng)n取奇數(shù)1或3時，公式的等號兩邊一個是正弦函數(shù)，另一個是余弦函數(shù)；當(dāng)n取偶數(shù)2或4k(k∈Z)時，公式的等號兩邊都是正弦函數(shù)或都是余弦函數(shù)，其符號由角所在的象限決定.由于我們比較熟悉銳角三角函數(shù)，誘導(dǎo)公式的一個重要作用是將不是銳角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為銳角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)問題.例8：求下列函數(shù)值：

(3)

例9：化簡：

解：原式=

==1.

綜合練習(xí)

=

誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)

本課小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)

溫故知新1.理解正弦函數(shù)圖象的畫法.（重點）2.認(rèn)識圖象理解正弦函數(shù)的性質(zhì).（重點、難點）3.通過三角函數(shù)的三種畫法，體會用“五點法”作圖的好處，并學(xué)會熟練地畫出一些較簡單的正弦函數(shù)的圖象.（重點）學(xué)習(xí)目標(biāo)在§3中引入了弧度制，在§4中我們借助單位圓學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念、性質(zhì)和誘導(dǎo)公式.從現(xiàn)在起，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)分別表示為y=sinx和y=cosx，并在平面直角坐標(biāo)系中討論它們的圖象和性質(zhì).應(yīng)該注意到，由于自變量x是用弧度表示的，這里討論的函數(shù)y=sinx和y=cosx都是R的兩個子集中元素之間的對應(yīng)，它們都是周期函數(shù)，自變量x可以與角度無關(guān).因此，自然界大量的周期現(xiàn)象(如簡諧振動、潮汐現(xiàn)象等)都可以用這類函數(shù)來描述.正弦函數(shù)的圖象先畫出正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間[0，2π]上的圖象.

列表(如表).x0sinx01xsinx0-10利用表中的數(shù)據(jù)，先在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描點，結(jié)合對函數(shù)y=sinx性質(zhì)的了解，用光滑曲線順次連接，就可以得到函數(shù)y=sinx在區(qū)間[0，2π]上的圖象(如圖).思考根據(jù)函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象，你能想象函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象嗎？將函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象向左、右平移(每次平移2π個單位長度)，就可以得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象(如圖).正弦函數(shù)的圖象稱作正弦曲線.這就是正弦函數(shù)圖象的幾何畫法正弦函數(shù)性質(zhì)的再認(rèn)識請觀察正弦函數(shù)的圖象(如圖)，進(jìn)一步理解正弦函數(shù)的性質(zhì).1.定義域正弦函數(shù)的定義域是R.分析理解2.周期性從正弦函數(shù)的圖象(如圖)可以看到，當(dāng)自變量x的值增加2π的整數(shù)倍時，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn).即正弦函數(shù)是周期函數(shù)，它的最小正周期為2π.同樣，也可以從誘導(dǎo)公式sin(x+2kπ)=sinx，k∈Z中得到正弦函數(shù)的最小正周期為2π.因此，為了研究問題方便，可以任意選取一個2π長度的區(qū)間，討論y=sinx的性質(zhì)，然后延拓到定義域R上.

3.單調(diào)性

4.最大(小)值和值域

從正弦函數(shù)的圖象(如圖)可以看出，正弦曲線夾在兩條平行線y=1和y=-1之間，所以正弦函數(shù)的值域是[-1，1].5.奇偶性正弦曲線關(guān)于原點對稱，如圖.由誘導(dǎo)公式sin(-x)=-sinx可知，正弦函數(shù)是奇函數(shù).思考交流探索正弦函數(shù)圖象的對稱性.它有對稱軸嗎?有對稱中心嗎?

例1：比較下列各組三角函數(shù)值的大?。?1)與；(2)與.

解：(1)如圖.

解：(2)

五點(畫圖)法思考

在確定正弦函數(shù)的圖象形狀時，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點？在一個周期內(nèi)，例如[0，2π]，從正弦函數(shù)的圖象(如圖)可以看出:x=0，π，2π是y=sinx的零點；，分別是y=sinx的最大值點、最小值點.它們在正弦曲線中起著關(guān)鍵作用.

根據(jù)正弦曲線的基本性質(zhì)，描出(0，0)(，1)，(π，0)，(，-1)，(2π，0)這五個關(guān)鍵點后，函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象就基本確定了(如圖).

因此，在精確度要求不太高時，常常先描出這五個關(guān)鍵點，然后用光滑曲線將它們順次連接起來，就得到正弦函數(shù)的簡圖.這種作正弦曲線的方法稱為“五點(畫圖)法”.用“五點法”作正弦曲線的一般步驟：

三種作圖方法的比較作圖方法主要步驟優(yōu)劣描點法列表

描點連線只能取近似值，誤差較大幾何法利用單位圓，使x0在[0，2π]上取足夠多的值，畫出足夠多的點T(x0，sinx0)較精確，但步驟繁瑣作圖方法主要步驟優(yōu)劣五點法描最高點、最低點、圖象與x軸的三個交點實用、高效

x0π2πy=sinx010-10y=-sinx0-1010

x0π2πy=sinx010-10y=-sinx0-1010

例3：畫出函數(shù)y=sinx-1的圖象，并討論它的性質(zhì).解：函數(shù)y=sinx的周期是2π，按五個關(guān)鍵點列表(如表).x0π2πy=sinx010-10y=sinx-1-10-1-2-1于是得到函數(shù)y=sinx-1在[0，2π]上的五個關(guān)鍵點為(0，-1)，(，0)，(π，-1)，(，-2)，(2π，-1).

x0π2πy=sinx010-10y=sinx-1-10-1-2-1描點，并用光滑曲線將它們順次連接起來，就畫出函數(shù)y=sinx-1在區(qū)間[0，2π]上的圖象.將其按周期延拓到R上得到y(tǒng)=sinx-1在實數(shù)集上的圖象，如圖.觀察圖象得出y=sinx-1的性質(zhì)(如表).函數(shù)y=sinx-1定義域R值域[-2，0]奇偶性既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)周期性周期函數(shù)，周期是2π函數(shù)y=sinx-1單調(diào)性在每一個閉區(qū)間[2kπ-，2kπ+]都單調(diào)遞增；在每一個閉區(qū)間[2kπ+，2kπ+]都單調(diào)遞減

函數(shù)y=sinx-1最大值與最小值當(dāng)x=2kπ+，k∈Z時，最大值為0；當(dāng)x=2kπ+，k∈Z時，最小值為-2

函數(shù)y=2sinx-1的最小值是______.解：由y=sinα的性質(zhì)可得，其最小值為-1．

那么，函數(shù)y=2sinα-1的最小值：ymin=-2-1=-3．

故答案為：-3．-3綜合練習(xí)下列說法錯誤的有（）A.作正弦函數(shù)的圖象時，單位圓的半徑長與y軸的單位長度

要一致B.y=sinx，x∈[0，2π]的圖象關(guān)于點P（π，0）對稱C.y=sinx，x∈[，]的圖象關(guān)于直線x=π成軸對稱D.正弦函數(shù)y=sinx的圖象不超出直線y=-1和y=1所夾的區(qū)域

C解：對于A，作正弦函數(shù)的圖象時，單位圓的半徑長與y軸的單位長度要一致，故A正確；對于B，y=sinx，x∈[0，2π]的圖象關(guān)于點P（π，0）對稱，故B正確；對于C，y=sinx，x∈[，]的圖象關(guān)于直線

成軸對稱圖形，故C錯誤；對于D，正弦函數(shù)y=sinx的最大值為1，最小值為-1，故它的圖象不超出直線y=-1和y=1所夾的區(qū)域，故D正確，故選：C．

正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)認(rèn)識正弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)性質(zhì)的再認(rèn)識五點(畫圖)法本課小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)認(rèn)識正弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)性質(zhì)的再認(rèn)識五點(畫圖)法溫故知新1.理解余弦函數(shù)圖象的畫法.（重點）2.借助圖象理解余弦函數(shù)的性質(zhì).（重點、難點）3.學(xué)會熟練地畫出一些較簡單的余弦函數(shù)的圖象.（重點）學(xué)習(xí)目標(biāo)余弦函數(shù)的圖象

x0πy=cosx10-1x2πy=cosx01利用表中的數(shù)據(jù)，先在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描點，結(jié)合對函數(shù)y=cosx性質(zhì)的了解，用光滑曲線將它們順次連接起來，就可以得到區(qū)間[[0，2π]上y=cosx的圖象(如圖).由周期性可知，函數(shù)y=cosx在區(qū)間[2kπ，2(k+1)π]，k∈Z，k≠0上與在區(qū)間[0，2π]上的函數(shù)圖象形狀完全相同，只是位置不同，將函數(shù)y=cosx，x∈[0，2π]的圖象向左、右平移(每次平移2π個單位長度)，就可以得到余弦函數(shù)y=cosx，x∈R的圖象(如下圖).余弦函數(shù)y=cosx，x∈R的圖象稱作余弦曲線.圖中給出了余弦曲線的基本形狀.在一個周期內(nèi)，例如區(qū)間[0，2π]，以下五個點(0，1)(，0)，(π，-1)，(，0)，(2π，1)起著關(guān)鍵的作用，它們分別表示了余弦曲線與x軸的交點(，0)，(，0)，余弦函數(shù)取得最大值時的點為(0，1)，(2π，1)，取得最小值時的點為(π，-1).

根據(jù)余弦曲線的基本性質(zhì)，描出這五個點后，函數(shù)y=cosx在區(qū)間x∈[0，2π]的圖象就基本確定了(如圖).因此，在精確度要求不太高時，常常先描出這五個關(guān)鍵點，然后用光滑曲線將它們順次連接起來，就得到余弦函數(shù)的簡圖.這種作余弦曲線的方法也稱為“五點(畫圖)法”.

能，以函數(shù)y=sinx，x∈[0,2π]的圖象為基礎(chǔ)，將圖象上的每一個點都向上平移一個單位長度，所得圖象即函數(shù)y=1+sinx，x∈[0,2π]的圖象.

圖象的平移變換（a＞0，b＞0）向上平移b個單位長度向下平移b個單位長度f（x）向左平移a個單位長度向右平移a個單位長度f（x）-bf（x）+bf（x+a）f（x-a）圖象的對稱變換f（x）關(guān)于x軸對稱-f（x）f（-x）關(guān)于y軸對稱例4：畫出函數(shù)y=cos(x-π)在一個周期上的圖象.解：

按五個關(guān)鍵點列表(如表).x-π0π2πxπ2π3πy=cos(x-π)10-101

x-π0π2πxπ2π3πy=cos(x-π)10-101描點，并用光滑曲線將它們順次連接起來，就畫出函數(shù)y=cos(x-π)在一個周期上的圖象(如圖).

畫出下列函數(shù)在區(qū)間[0，2π]上的圖象：(1)y=2+cosx；解：按五個關(guān)鍵點列表(如表).x0π2πy=2+cosx32123思考交流

描點，并用光滑曲線將它們順次連接起來，就畫出函數(shù)y=2+cosx在一個周期上的圖象(如圖).3(2)y=3cosx.解：按五個關(guān)鍵點列表(如表).x0π2πy=3cosx30-303

描點，并用光滑曲線將它們順次連接起來，就畫出函數(shù)y=2+cosx在一個周期上的圖象.y=3cosx的圖象如圖所示.3余弦函數(shù)性質(zhì)的再認(rèn)識類比對正弦函數(shù)性質(zhì)再認(rèn)識的學(xué)習(xí)方式，通過觀察圖得到余弦函數(shù)y=cosx在x∈R上的主要性質(zhì).1.定義域余弦函數(shù)的定義域是R.2.周期性

3.單調(diào)性

由圖看到，當(dāng)x由-π增大到0時，cosx的值由-1增大到1；當(dāng)x由0增大到π時，cosx的值由1減小到-1.

因此，余弦函數(shù)在區(qū)間[-π，0]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[0，π]上單調(diào)遞減.由余弦函數(shù)的周期性可知，余弦函數(shù)在區(qū)間[(2k-1)π，2kπ]，k∈Z上都單調(diào)遞增，在每一個區(qū)間[2kπ，(2k+1)π]，k∈Z上都單調(diào)遞減.當(dāng)x=2kπ，k∈Z時，余弦函數(shù)取得最大值1；當(dāng)x=(2k+1)π，k∈Z時，余弦函數(shù)取得最小值-1.余弦函數(shù)的值域是[-1，1].4.最大(小)值和值域5.奇偶性余弦曲線關(guān)于y軸對稱(如圖).由誘導(dǎo)公式cos(-x)=cosx可知，余弦函數(shù)是偶函數(shù).例5：畫出函數(shù)y=cosx-1在一個周期上的圖象，并根據(jù)圖象討論函數(shù)的性質(zhì).x0π2πy=cosx10-101y=cosx-10-1-2-10解：函數(shù)y=cosx-1的最小正周期是2π，按五個關(guān)鍵點列表(如表).x0π2πy=cosx10-101y=cosx-10-1-2-10

描點，并用光滑曲線將它們順次連接起來，就畫出函數(shù)y=cosx-1在區(qū)間[0，2π]上的圖象，如圖.由函數(shù)y=cosx-1的圖象得到它的主要性質(zhì)(如表).函數(shù)y=cosx-1定義域R值域[-2，0]奇偶性偶函數(shù)周期性周期函數(shù)，周期是2π函數(shù)y=cosx-1單調(diào)性在每一個閉區(qū)間[(2k-1)π，2kπ]都單調(diào)遞增；在每一個閉區(qū)間[2kπ，(2k+1)π]都單調(diào)遞減函數(shù)y=cosx-1最大值與最小值當(dāng)x=2kπ，k∈Z時，最大值為0；當(dāng)x=(2k+1)π，k∈Z時，最小值為-2

思考交流

3綜合練習(xí)

______________________________________.

余弦函數(shù)的圖象與再認(rèn)識余弦函數(shù)的圖象余弦函數(shù)性質(zhì)的再認(rèn)識本課小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。函數(shù)y=Asin(??x+φ)的性質(zhì)與圖象余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識余弦函數(shù)的圖象余弦函數(shù)性質(zhì)的再認(rèn)識溫故知新

學(xué)習(xí)目標(biāo)問題提出“南昌之星”摩天輪于2006年竣工，總高度160m，直徑153m勻速旋轉(zhuǎn)一圈需時30min.課文精講以摩天輪的中心為原點建立平面直角坐標(biāo)系，畫示意圖，如圖.

因為直徑為153m，總高度為160m，所以O(shè)A的長為76.5m，輪子的最低點與地面距離為160-153=7(m)，原點O距離地面的距離為7+76.5=83.5(m).從而點A′到地面的距離y與時間x的關(guān)系為

實例分析考慮這類函數(shù)的一個特例：y=sin2x，x∈R.1.周期由sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)，根據(jù)周期函數(shù)的定義，y=sin2x是周期函數(shù)，π是y=sin2x的最小正周期.

2.圖象在函數(shù)y=sinx五個關(guān)鍵點的基礎(chǔ)上，列表(如表).2x0π2πx0πy=sin2x010-10

2x0π2πx0πy=sin2x010-10畫出該函數(shù)在一個周期[0，π]上的圖象.由函數(shù)y=sin2x的周期性，把圖象向左、右延拓，得到y(tǒng)=sin2x在R上的圖象(如圖).

典型例題在函數(shù)y=sinx五個關(guān)鍵點的基礎(chǔ)上，列表(如表).0π2πx06π010-10

0π2πx06π010-10

sin(x+φ)的圖象

2.圖象通過表確定五個關(guān)鍵點.0π2πx

010-10

4.最大(小)值和值域

概括

①φ的變化引起圖象位置的變化.②y=sin(x+φ)的圖象與y=sinx的圖象形狀完全一樣，且由y=sinx的圖象向左(右)平移得到；y=sinx的圖象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|個單位長度y=sin(x+φ)的圖象

如圖.概括

如何更好的理解呢？

②A的作用：引起值域的改變，這種變換叫縱向伸縮.

思考

第4步，借助圖象討論性質(zhì).實際上，這也是討論周期函數(shù)的一般方法和步驟.

步驟1畫出y=sinx的圖象

向左（右）平移|φ|個單位長度步驟2步驟3步驟4

步驟1畫出y=sinx的圖象

步驟2步驟3步驟4

典型例題

函數(shù)y=cosu，u∈R取得最大值的u的集合是{u|u=2kπ，k∈Z}.

綜合練習(xí)

(2)關(guān)于x的不等式f(x)＜1的解集.

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)與圖象探究ω

對y=sinωx

的圖象的影響探究φ

對y=sin(x+φ)的圖象的影響探究A對=Asin(ωx+φ)的圖象的影響本課小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。正切函數(shù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)與圖象探究ω

對y=sinωx

的圖象的影響探究φ

對y=sin(x+φ)的圖象的影響探究A對=Asin(ωx+φ)的圖象的影響溫故知新1.理解正切函數(shù)的定義.（重點）2.掌握正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式，并能夠靈活運(yùn)用其進(jìn)行化簡求值.（重點）學(xué)習(xí)目標(biāo)

正切函數(shù)的定義

課文精講

典型例題

例2：如圖，設(shè)角α的終邊上任取一點Q(x，y)，

(x≠0)，求角α的正切函數(shù)值.

解：設(shè)|OQ|=r，因為x≠0，所以角α的終邊不在y軸上.

通過例2，我們得到一個結(jié)論:若角α的終邊上任取一點Q(x，y)，

(x≠0)，則這個結(jié)論可以用來計算正切函數(shù)值.

由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式，對任意正數(shù)k，有正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式

課文精講

同時還可以得到所以正切函數(shù)是奇函數(shù).

正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式可由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)相應(yīng)的誘導(dǎo)公式得到:

其中角α可以為使等式兩邊都有意義的任意角.利用誘導(dǎo)公式，可將任意角的正切函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為銳角正切函數(shù)的問題.

正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)列表(如表).xy=tanx-10

1

觀察圖，不難得出正切函數(shù)y=tanx的如下主要性質(zhì).1.定義域

2.值域

3.周期性

4.奇偶性由tan(-x)=-tanx可知，正切函數(shù)是奇函數(shù).正切曲線關(guān)于原點對稱，(kπ，0)都是它的對稱中心.5.單調(diào)性

“正切函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)”這種說法是否正確?

由正切函數(shù)是奇函數(shù)，知它的圖象關(guān)于原點對稱.結(jié)合圖象，你還能發(fā)現(xiàn)它的其他對稱中心嗎?有對稱軸嗎?

正切函數(shù)的圖象有無數(shù)個對稱中心包括圖象與x軸的交點和漸近線與x軸的交點.沒有對稱軸.函數(shù)y=tanx定義域值域R周期性周期函數(shù)，最小正周期為π函數(shù)y=tanx奇偶性奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱單調(diào)性對稱性

-2綜合練習(xí)

正切函數(shù)正切函數(shù)的定義正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)本課小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。三角函數(shù)的簡單應(yīng)用溫故知新正切函數(shù)正切函數(shù)的定義正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.能夠用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題.（重點、難點）2.體會可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物的周期變化的數(shù)學(xué)模型.（難點）學(xué)習(xí)目標(biāo)周期現(xiàn)象是自然界中最常見的現(xiàn)象之一，三角函數(shù)是研究周期現(xiàn)象最重要的數(shù)學(xué)模型這一節(jié)將利用三角函數(shù)研究關(guān)于周期現(xiàn)象的簡單的實際問題.

課文精講三角函數(shù)模型的應(yīng)用主要體現(xiàn)在幾個方面?三角函數(shù)模里的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個方面:1.已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；2.把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，抽象出有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題.例：水車問題.

水車是一種利用水流的動力進(jìn)行灌溉的工具，工作示意圖如圖.典型例題

(2)當(dāng)雨季河水上漲或旱季河流水量減少時.所求得的函數(shù)解析式中的參數(shù)將會發(fā)生哪些變化?若水車轉(zhuǎn)速加快或減慢，函數(shù)解析式中的參數(shù)又會受到怎樣的影響?解：設(shè)點P在水面上時高度h為0，當(dāng)點P旋轉(zhuǎn)到水面以下時，點P距水面的高度為負(fù)值.(1)過點P向水面作垂線，交水面于點M，PM的長度為點P的高度h.過水車中心O作PM的垂線，交PM于點N，設(shè)Q為水車與水面交點，∠QON=φ.

t11.831.851.871.891.8h≈1.5sin+1.21.22.71.2-0.31.2描點，畫出函數(shù)在區(qū)間[0，91.8]上的圖象(如圖)解：(2)雨季河水上漲或旱季河流水量減少，將造成水車中心O與水面距離的改變，導(dǎo)致函數(shù)解析式中的參數(shù)b發(fā)生變化.水面上漲時參數(shù)b減??；水面回落時參數(shù)b增大.如果水車轉(zhuǎn)速加快，將使周期T減小，轉(zhuǎn)速減慢則使周期T增大.面對實際問題建立數(shù)學(xué)模型，是一項重要的基本技能.這個過程并不神秘，就像這個例題，把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學(xué)語言”是很自然的.如圖所示，在某海濱城市A附近的海面出現(xiàn)臺風(fēng)活動．據(jù)監(jiān)測，目前臺風(fēng)中心位于城市A的東偏南60°方向、距城市A300km的海面點P處，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移動．綜合練習(xí)如果臺風(fēng)影響的范圍是以臺風(fēng)中心為圓心的圓形區(qū)域，半徑為100km，將問題涉及范圍內(nèi)的地球表面看成平面，判斷城市A是否會受到上述臺風(fēng)的影響．如果會，求出受影響的時間；如果不會，說明理由.

解：如圖所示，設(shè)臺風(fēng)移動的時間為th，則|PM|=20t，依題意可得∠APM=60°-30°=30°.在△APM中，由余弦定理可得AM2=PA2+PM2-2PA·PM·cos30°

=3002+(20t)2-2×300×20t×.依題意該城市受臺風(fēng)侵襲等價于AM≤100，即AM2≤30000，∴90000+400t2-6000t≤30000，化簡得：t2-15t+150≤0，

解：解得5≤t≤10.所以該城市受臺風(fēng)侵襲的時間為10-5=5(h).

在圖中，點O為做簡諧運(yùn)動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運(yùn)動到距離平衡位置最遠(yuǎn)處時開始計時．則物體對平衡位置的位移x（單位：cm）和時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式為__________.

解：設(shè)位移x關(guān)于時間t的函數(shù)為x=f(t)=Asin(ωt+φ)(ω＞0)，

則A=3，周期T==3，故ω=，

解：由題意可知當(dāng)x=0時，f(t)取得最大值3，故3sinφ=3，故3sinφ=3，故φ

=+2kπ.

三角函數(shù)的簡單應(yīng)用三角函數(shù)模型應(yīng)用的體現(xiàn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用本課小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。位移、速度、力與向量的概念三角函數(shù)的簡單應(yīng)用三角函數(shù)模型應(yīng)用的體現(xiàn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用溫故知新1.通過對位移、速度、力的分析，了解平面向量的實際背景；2.理解向量的概念、基本要素及向量的幾何