2024-2025學年浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)蛟川書院八年級（上）期中數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學年浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)蛟川書院八年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）第33屆夏季奧運會在法國巴黎舉行，如圖所示巴黎奧運會項目圖標中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）點P（3，﹣4）到原點的距離為（）A．5 B．4 C．3 D．﹣33．（3分）將不等式組的解集表示在數(shù)軸上，下列正確的是（）A． B． C． D．4．（3分）對于命題“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能說明它是假命題的反例是（）A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝40°，∠2＝50° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1＝40°，∠2＝40°5．（3分）如圖，△ABC與△A'B'C′關(guān)于直線l對稱，∠B＝35°，則∠A＝（）A．90° B．85° C．95° D．105°6．（3分）將一副三角板按如圖所示的方式疊放在一起，直角頂點B落在EF上，則∠CBF的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°7．（3分）如圖放置的五塊拼圖中，①②③為正方形，④⑤為等腰直角三角形．若正方形③的面積為2（）A．4 B．6 C．8 D．128．（3分）若P（﹣2a+1，a+1）關(guān)于y軸的對稱點在第一象限，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．9．（3分）如圖1，長方形地磚ABCD中有兩個全等的正方形①和②，點E，BC上，且E，M，H分別在CD，AB上，BC＝14．將兩塊完全相同的地磚如圖2的方式拼接在一起，則陰影部分的面積為（）A．62 B．52 C．97 D．8710．（3分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，點F在邊AC上運動，作FG⊥AE，交AE于點H，連結(jié)HD，DF⊥AC．有以下結(jié)論：①∠AGH＝∠CAE+∠C；②HF＝HE；④S△AHF＝S△AHD+S△FHD.其中正確的有（）個A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（每題4分，共24分）11．（4分）“x減去1大于3”用不等式可表示為．12．（4分）寫出命題“兩個全等三角形的面積相等”的逆命題．13．（4分）若關(guān)于x的不等式組的解集為x≥﹣4，則a的取值范圍是．14．（4分）若點A（m﹣1，2m+1）到x軸和y軸的距離相等，則m＝．15．（4分）如圖1，正方形ABCD被分割成五部分，其中①②③④為四個全等的四邊形，且①②③④恰好可以拼成圖2的正方形EFGH．若在正方形EFGH中，恰有MG＝2HM，則．16．（4分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點E和F分別在線段AD和線段BD上，連結(jié)BE，且滿足BF＝CE．若BC＝5，EF＝3．三、解答題（共66分）17．（6分）解下列不等式．（1）；（2）．18．（6分）解下列不等式組．（1）；（2）．19．（9分）如圖，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形成為格點圖形，請按要求在給定網(wǎng)格中完成以下作圖：（1）在圖1中，畫出△ABC的中線CE；（2）在圖2中，找到格點D，使得△ABD與△ABC全等（標出一個即可）；（3）在圖3中，僅用無刻度的直尺作出△ABC的高BH（保留作圖痕跡）．20．（8分）已知關(guān)于x，y的方程組．（1）若方程組的解x，y滿足﹣1＜x﹣2y＜0，求k的取值范圍．（2）若x，y是等腰三角形的兩條邊長，且等腰三角形的周長為921．（8分）如圖，在△ABD中，BE⊥AC于點E，∠1＝∠2＝α．（1）求證：△AGE是直角三角形．（2）若∠D＝α，BC＝GF＝2，求α的值和AB的長度．22．（8分）“蛟蛟”、“川川”作為我校的吉祥物，深受廣大同學們的喜愛．校運會籌備過程中，體育組老師計劃以“蛟蛟”、“川川”的形象定制徽章作為紀念品．已知定制1件“蛟蛟”徽章與2件“川川”徽章共需要70元（1）“蛟蛟”徽章和“川川”徽章的單價分別為多少元？（2）體育組老師計劃購買“蛟蛟”徽章和“川川”徽章共200件，總費用不超過5000元，那么最多能購買“蛟蛟”徽章多少件？23．（10分）若點P（x1，y1）、點Q（x2，y2）滿足|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|＝m（m＞0），則稱點P與點Q互為“m系矩點”，如點P（1，2）（2，3）互為“1系矩點”．如圖，已知A（2，1），B（2，﹣3）．（1）下列選項中，是A（2，1）的“2系矩點”的有．①（2，3）②（0，﹣1）③（4，3）④（0，3）（2）若點A為C（﹣1，t）的“m系矩點”，則t＝，m＝．（3）若點M的縱坐標為2，且在線段AB上存在點M的“m系矩點”，求m的取值范圍．24．（11分）等邊△ABC中，點D，E分別在邊AB，以點D為中心將DE逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到DF，設(shè)AD＝kBE．（1）當k＝1時，如圖1，點F在AC上．求證：CF＝BE；（2）當k＝2時，如圖2，連接CF；（3）當時，如圖3，連接AF，當AF+BF取得最小值時，＝．

2024-2025學年浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)蛟川書院八年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）第33屆夏季奧運會在法國巴黎舉行，如圖所示巴黎奧運會項目圖標中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A，C，D選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合，B選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對稱圖形．故選：B．2．（3分）點P（3，﹣4）到原點的距離為（）A．5 B．4 C．3 D．﹣3【解答】解：OP＝＝5，即點P（3，﹣2）到原點的距離為5．故選：A．3．（3分）將不等式組的解集表示在數(shù)軸上，下列正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：不等式組的解集為2＜x≤2，在數(shù)軸上表示為：故選：C．4．（3分）對于命題“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能說明它是假命題的反例是（）A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝40°，∠2＝50° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1＝40°，∠2＝40°【解答】解：A、∠1＝∠2＝45°滿足∠8+∠2＝90°，滿足題意；B、∠1＝40°，那么∠8≠∠2．”；C、∠1＝50°，那么∠4≠∠2．”；D、∠1＝40°，那么∠4≠∠2．”；故選：A．5．（3分）如圖，△ABC與△A'B'C′關(guān)于直線l對稱，∠B＝35°，則∠A＝（）A．90° B．85° C．95° D．105°【解答】解：∵△ABC與△A'B'C′關(guān)于直線l對稱，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝50°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣50°＝95°．故選：C．6．（3分）將一副三角板按如圖所示的方式疊放在一起，直角頂點B落在EF上，則∠CBF的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°【解答】解：∵∠DFE＝45°，∠A＝30°，∴∠ABF＝∠DFE﹣∠A＝15°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝90°﹣15°＝75°．故選：D．7．（3分）如圖放置的五塊拼圖中，①②③為正方形，④⑤為等腰直角三角形．若正方形③的面積為2（）A．4 B．6 C．8 D．12【解答】解：如圖所示： ∵正方形③的面積為2，∴AC2＝8，∵⑤是等腰直角三角形，∴AC＝BC，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC8＝4，∴正方形②的面積為4．故選：A．8．（3分）若P（﹣2a+1，a+1）關(guān)于y軸的對稱點在第一象限，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【解答】解：∵點（﹣2a+1，a+5）關(guān)于y軸的對稱點在第一象限，∴點P在第二象限，∴，解得a＞．故選：D．9．（3分）如圖1，長方形地磚ABCD中有兩個全等的正方形①和②，點E，BC上，且E，M，H分別在CD，AB上，BC＝14．將兩塊完全相同的地磚如圖2的方式拼接在一起，則陰影部分的面積為（）A．62 B．52 C．97 D．87【解答】解：如圖所示，過點G作HL∥AB交AD、L，過點M作KJ⊥HL于點J，過點F作FI∥AB交AD于點I，如下圖所示：由題可知AD＝14，AB＝8＝IF，KC＝JL＝1．易證明△DEN≌△HGE≌△JMG≌△KNM，∴DN＝HE＝GJ＝MK，DE＝HG＝MJ＝KN，∴DK＝DH＝HJ＝KJ＝8，∵EG＝GF，HG∥IF，則由三角形中位線逆定理知HG為△EFI的中位線，∴HG＝＝6，∴①號正方形周圍的四個全等的小直角三角形面積之和為＝24，記S＝S①號正方形周圍的四個全等的小直角三角形+S矩形KJLC＝24+7×7＝31，則將兩塊完全相同的地磚如圖2的方式拼接在一起后陰影部分的面積為8S＝62．故選：A．10．（3分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，點F在邊AC上運動，作FG⊥AE，交AE于點H，連結(jié)HD，DF⊥AC．有以下結(jié)論：①∠AGH＝∠CAE+∠C；②HF＝HE；④S△AHF＝S△AHD+S△FHD.其中正確的有（）個A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵FG⊥AE，∴∠AHG＝90°，∴∠GAH+∠AGE＝90°，∴∠AGH＝∠AED，∵∠AED＝∠CAE+∠C，∴∠AGH＝∠CAE+∠C，故①正確；若HF＝HE，∵HD＝HF，∴HD＝HE，∴∠HDE＝∠HED，∵AD⊥BC，∴90°﹣∠HDE＝90°﹣∠HED，即∠HDA＝∠HAD，∴HA＝HD，∴HF＝HA，∴∠EAC＝45°，則∠BAC＝90°，∴僅當∠BAC＝90°時，有HF＝HE；設(shè)∠HFD＝α，∵HD＝HF，∴∠HFD＝∠HDF＝α，∴∠DHG＝2a，∵DF⊥AC，∴∠AFH＝90°﹣α，又∵AE⊥FG，∠HAF＝90°﹣∠HFA＝α，∴∠DHG＝2∠HAF，故③正確；如圖所示，延長FG交AB于點M，∵AE平分∠BAC，AE⊥FG，∴∠MAH＝∠FAH，∠AHM＝∠AHF＝90°，又∵AH＝AH，∴△AHM≌△AHF（ASA），∴MH＝HF，∴S△AMH＝S△AFH，HF＝HD，∴MH＝HD，∴∠HMD＝∠HDM，∵∠MHD＝∠GHD＝2α，∴，∴MD∥AC，∴S△MDF＝S△MDA，∴S△MDF﹣S△MDG＝S△MDA﹣S△MDG，即S△AMG＝S△GDF，∴S△AHF＝S△AHM＝S△AMG+S△AGH＝S△GDF+S△AGH＝S△AHD+S△FHD，即S△AHF＝S△AHD+S△FHD，故④正確，故正確的有①③④，故選：C．二、填空題（每題4分，共24分）11．（4分）“x減去1大于3”用不等式可表示為x﹣1＞3．【解答】解：用不等式表示“x減去1大于3”是x﹣5＞3，故答案為：x﹣1＞6．12．（4分）寫出命題“兩個全等三角形的面積相等”的逆命題“面積相等的兩個三角形全等”．【解答】解：命題“兩個全等三角形的面積相等”的逆命題“面積相等的兩個三角形全等”，故答案為：“面積相等的兩個三角形全等”．13．（4分）若關(guān)于x的不等式組的解集為x≥﹣4，則a的取值范圍是a＜﹣4．【解答】解：，解不等式①得：x≥﹣5，解不等式②得：x＞a，∵不等式組的解集為x≥﹣4，∴a＜﹣4，故答案為：a＜﹣5．14．（4分）若點A（m﹣1，2m+1）到x軸和y軸的距離相等，則m＝﹣2或0．【解答】解：∵點M到兩坐標軸的距離相等，∴|m﹣1|＝|2m+3|，即m﹣1＝2m+4或1﹣m＝2m+4，解得m＝﹣2或m＝0．故答案為：﹣3或0．15．（4分）如圖1，正方形ABCD被分割成五部分，其中①②③④為四個全等的四邊形，且①②③④恰好可以拼成圖2的正方形EFGH．若在正方形EFGH中，恰有MG＝2HM，則．【解答】解：設(shè)HM＝m，則MG＝2HM＝2m，如圖5，GH＝MG﹣HM＝2m﹣m＝m，∴S正方形PQGH＝m2，如圖5，∵GH＝HM+MG＝m+2m＝3m，∴S正方形EFGH＝（3m）2＝9m8，∴S正方形ABCD＝9m2+m7＝10m2，∴＝＝，故答案為：．16．（4分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點E和F分別在線段AD和線段BD上，連結(jié)BE，且滿足BF＝CE．若BC＝5，EF＝36．【解答】解：如圖，AH⊥BC，過點E作EI∥BC交AB于點I．∵EI∥BC，∴，∠EBC＝∠IEB，又∵AB＝AC，∴EC＝IB＝BF，AE＝AI．在△BFE和△BIE中，BF＝BI，BE＝BE．∴△BFE≌△BIE（SAS）．∴∠FEB＝∠IEB，∴∠FEB＝∠EBC，∴EG＝BG．∵∠DFE＝∠FBE+∠FEB＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠DEF＝90°﹣∠DFE＝90°﹣∠ABC＝∠BAH＝∠CAH，∴EG∥AH，∴EG⊥BC．易得四邊形EGHJ為矩形，AJ為等腰△AEI的中線．∴GH＝EJ＝＝＝．∴BG＝BC﹣CG＝BC﹣（HC﹣GH）＝BC﹣（﹣GH）＝2﹣1＝4．∴S△EFB＝EF?BG＝．故答案為：6．三、解答題（共66分）17．（6分）解下列不等式．（1）；（2）．【解答】解：（1），x+x≥5，x≥5，x≥6；（2），3﹣（4x﹣5）≤3（x﹣4），3﹣2x+6≤3x﹣6，﹣7x﹣3x≤﹣6﹣6﹣5，﹣5x≤﹣14，x≥．18．（6分）解下列不等式組．（1）；（2）．【解答】解：（1），解不等式①得：x≤5，解不等式②得：x＞﹣2，∴原不等式組的解集為：﹣1＜x≤5；（2），解不等式①得：x≥6，解不等式②得：x＞，∴原不等式組的解集為：x＞．19．（9分）如圖，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形成為格點圖形，請按要求在給定網(wǎng)格中完成以下作圖：（1）在圖1中，畫出△ABC的中線CE；（2）在圖2中，找到格點D，使得△ABD與△ABC全等（標出一個即可）；（3）在圖3中，僅用無刻度的直尺作出△ABC的高BH（保留作圖痕跡）．【解答】解：（1）如圖1中，線段CE即為所求；（2）如圖2中，△ABD即為所求（答案不唯一）；（3）如圖6中，線段BH即為所求．20．（8分）已知關(guān)于x，y的方程組．（1）若方程組的解x，y滿足﹣1＜x﹣2y＜0，求k的取值范圍．（2）若x，y是等腰三角形的兩條邊長，且等腰三角形的周長為9【解答】解：（1），②﹣①得：2x﹣4y＝﹣6k﹣10，∴x﹣2y＝﹣k﹣5，∵﹣4＜x﹣2y＜0，∴﹣7＜﹣k﹣5＜0，解得：﹣5＜k＜﹣4；（2），解得：，分兩種情況：當x為腰，y為底邊時，∵等腰三角形的周長為9，∴2x+y＝5，2（k﹣1）+k+5＝9，解得：k＝3，∴x＝5，y＝5，∵2+6＝4＜5，∴不能構(gòu)成三角形；當y為腰，x為底邊時，∵等腰三角形的周長為8，∴2y+x＝9，7（k+2）+k﹣1＝4，解得：k＝2，∴x＝1，y＝3，∵1+4＝8＞4，∴能構(gòu)成三角形；綜上所述：k的值為2．21．（8分）如圖，在△ABD中，BE⊥AC于點E，∠1＝∠2＝α．（1）求證：△AGE是直角三角形．（2）若∠D＝α，BC＝GF＝2，求α的值和AB的長度．【解答】（1）證明：∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△CBE中，EF是斜邊BC上的中線，∴EF＝CF＝BF＝BC，∴∠FEB＝∠8，∵∠CEF+∠FEB＝∠CEB＝90°，∴∠CEF+∠2＝90°，∵∠CEF＝∠AEG，∠1＝∠3，∴∠AEG+∠1＝90°，∴∠AGE＝90°，∴△AGE是直角三角形；（2）解：∵∠1＝∠2＝α，∠D＝α，∴∠ACB＝∠D+∠1＝2α，∵∠CEB＝90°，∴∠ACB+∠8＝90°，∴2α+α＝90°，∴α＝30°，在Rt△BCE中，BC＝2，∴CE＝BC＝1，由勾股定理得：BE＝＝，∵EF＝CF＝BF＝BC＝1，∴GE＝GF﹣EF＝4，在Rt△AGE中，∠1＝α＝30°，∴AE＝2GE＝8，在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB＝＝．22．（8分）“蛟蛟”、“川川”作為我校的吉祥物，深受廣大同學們的喜愛．校運會籌備過程中，體育組老師計劃以“蛟蛟”、“川川”的形象定制徽章作為紀念品．已知定制1件“蛟蛟”徽章與2件“川川”徽章共需要70元（1）“蛟蛟”徽章和“川川”徽章的單價分別為多少元？（2）體育組老師計劃購買“蛟蛟”徽章和“川川”徽章共200件，總費用不超過5000元，那么最多能購買“蛟蛟”徽章多少件？【解答】解：（1）設(shè)“蛟蛟”徽章的單價為x元/件，“川川”徽章的單價為y元/件，根據(jù)題意，得，解得．答：“蛟蛟”徽章的單價為30元/件，“川川”徽章的單價為20元/件；（2）設(shè)“蛟蛟”徽章購買了m件，則“川川”徽章購買了（200﹣m）件，根據(jù)題意，得30m+20（200﹣m）≤5000．解得m≤100．所以m的最大值為100．答：最多能購買“蛟蛟”徽章100件．23．（10分）若點P（x1，y1）、點Q（x2，y2）滿足|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|＝m（m＞0），則稱點P與點Q互為“m系矩點”，如點P（1，2）（2，3）互為“1系矩點”．如圖，已知A（2，1），B（2，﹣3）．（1）下列選項中，是A（2，1）的“2系矩點”的有②③④．①（2，3）②（0，﹣1）③（4，3）④（0，3）（2）若點A為C（﹣1，t）的“m系矩點”，則t＝4或﹣2，m＝3．（3）若點M的縱坐標為2，且在線段AB上存在點M的“m系矩點”，求m的取值范圍．【解答】解：（1）①∵|2﹣2|≠|(zhì)6﹣1|，∴點（2，4）不是點A（2；②∵|2﹣2|＝|﹣1﹣1|＝4，∴點（0，﹣1）是點A（6；③∵|4﹣2|＝|6﹣1|＝2，∴點（8，3）是點A（2；④∵|3﹣0|＝|3﹣5|＝2，∴點（0，5）是點A（2；故答案為：②③④；（2）∵點A為C（﹣1，t）的“m系矩點”，∴|7+1|＝|t﹣1|＝m，∴m＝5，t＝4或﹣2，故答案為：8或﹣2，3；（3）設(shè)點E為線段AB上點M的“m系矩點”，∴設(shè)點E的坐標為（4，t）（﹣3≤t≤1），∴|t﹣8|＝m，當t＝﹣3時，m＝5，當t＝7時，m＝1，∴m的取值范圍為1≤m≤6．24．（11分）等邊△ABC中，點D，E分別