2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算學(xué)案含解析新人教A版選修1-2

PAGE3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義和平面對量在坐標(biāo)表示下的加(減)法運算，我們很簡潔規(guī)定了復(fù)數(shù)的加(減)法規(guī)則，因為實數(shù)是復(fù)數(shù)的一部分，且實數(shù)有其乘法運算，因此我們有理由且應(yīng)當(dāng)規(guī)定復(fù)數(shù)集內(nèi)的乘法運算，使實數(shù)的乘法作為復(fù)數(shù)乘法的一種特別狀況，考慮到復(fù)數(shù)的代數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式及i2＝－1，并聯(lián)系多項式的乘法法則，就可建立復(fù)數(shù)的代數(shù)乘法規(guī)則．新知導(dǎo)學(xué)1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__．2．復(fù)數(shù)乘法的運算律對隨意復(fù)數(shù)z1，z2，z3∈C，有交換律z1·z2＝__z2·z1__結(jié)合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)安排律z1(z2＋z3)＝__z1z2＋z1z3__3．共軛復(fù)數(shù)已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，則(1)z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)的充要條件是__a＝c且b＝－d__．(2)z1，z2互為共軛虛數(shù)的充要條件是__a＝c且b＝－d≠0__．4．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝__eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i__(c＋di≠0)．預(yù)習(xí)自測1．(2024·全國Ⅱ卷理，2)設(shè)z＝－3＋2i，則在復(fù)平面內(nèi)eq\x\to(z)對應(yīng)的點位于(C)A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[解析]eq\x\to(z)＝－3－2i，故eq\x\to(z)對應(yīng)的點(－3，－2)位于第三象限．故選C．2．(2024·全國Ⅲ卷理，2)若z(1＋i)＝2i，則z＝(D)A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i[解析]由z(1＋i)＝2i，得z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(2i1－i,2)＝i(1－i)＝1＋i.故選D．3．(2024·北京卷理，1)已知復(fù)數(shù)z＝2＋i，則z·eq\x\to(z)＝(D)A.eq\r(3) B．eq\r(5)C．3 D．5[解析]解法一：∵z＝2＋i，∴eq\x\to(z)＝2－i，∴z·eq\x\to(z)＝(2＋i)(2－i)＝5.故選D．解法二：∵z＝2＋i，∴z·eq\x\to(z)＝|z|2＝5.故選D．4．(2024·天津，10)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(8－i,2＋i)＝__3－2i__．[解析]eq\f(8－i,2＋i)＝eq\f(8－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(15－10i,5)＝3－2i．5．計算：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)；(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)；(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)；(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2)．[解析](1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)＝eq\f(－2－i＋2i－1,－i)＝eq\f(－3＋i,－i)＝eq\f(－3＋ii,－i·i)＝－1－3i．(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(1＋4i－4＋3－3i,2＋i)＝eq\f(i,2＋i)＝eq\f(i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(1＋2i,5)．(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)＝eq\f(1－i,2i)－eq\f(1＋i,2i)＝eq\f(1－i－1－i,2i)＝eq\f(－2i,2i)＝－1．(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2)＝eq\f(1－\r(3)i,3＋2\r(3)i－1)＝eq\f(1－\r(3)i,2＋2\r(3)i)＝eq\f(1－\r(3)i2,21＋\r(3)i1－\r(3)i)＝eq\f(1－2\r(3)i－3,8)＝－eq\f(1＋\r(3)i,4)．互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?復(fù)數(shù)的乘法與乘方典例1計算：(1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i；(2)(1－i)2(1＋i)2＋4．[思路分析]應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘法法則及運算律求解．[解析](1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i＝(4－i2)(1＋2i)－5i＝5(1＋2i)－5i＝5＋10i－5i＝5＋5i．(2)(1－i)2(1＋i)2＋4＝[(1－i)(1＋i)]2＋4＝(1－i2)2＋4＝22＋4＝8．『規(guī)律方法』1.復(fù)數(shù)的乘法運算可將i看作字母按多項式乘法的運算法則進(jìn)行，最終將i2＝－1代入合并“同類項”即可．2．復(fù)數(shù)的乘法運算可以推廣，因此，復(fù)數(shù)可進(jìn)行乘方運算，常見的有：(a±bi)2＝(a2－b2)±2abi(a、b∈R)，(1±i)2＝±2i等，即實數(shù)的乘方公式對復(fù)數(shù)也成立．┃┃跟蹤練習(xí)1__■(1)(2024·全國Ⅱ卷文，2)i(2＋3i)＝(D)A．3－2i B．3＋2iC．－3－2i D．－3＋2i(2)(2024·全國Ⅲ卷理，2)(1＋i)(2－i)＝(D)A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i[解析](1)i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i．故選D．(2)(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i．故選D．命題方向?復(fù)數(shù)的除法典例2計算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；(2)eq\f(1＋i3－1－i3,1＋i2－1－i2)；(3)(eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)4＋eq\f(1－\r(3)i2,2＋2i2)．[思路分析](1)先寫成分式的形式，再分母實數(shù)化．(2)分子、分母按復(fù)數(shù)的乘法先分別綻開化簡，或分解因式，再做除法．(3)先綻開，后化簡．[解析](1)(1＋2i)÷(3－4i)＝eq\f(1＋2i,3－4i)＝eq\f(1＋2i3＋4i,3－4i3＋4i)＝eq\f(－5＋10i,25)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i．(2)解法一：原式＝eq\f(1＋3i1＋i＋i3－[1－3i1－i－i3],2i＋2i)＝eq\f(4i,4i)＝1．解法二：原式＝eq\f([1＋i－1－i][1＋i2＋1＋i1－i＋1－i2],[1＋i＋1－i][1＋i－1－i])＝1．(3)原式＝[(eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)2]2＋eq\f(－2－2\r(3)i,41＋i2)＝(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)2－eq\f(1＋\r(3)i,4i)＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i＋eq\f(1,4)i－eq\f(\r(3),4)＝(－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),4))＋(eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),2))i．『規(guī)律方法』除數(shù)是虛數(shù)的復(fù)數(shù)的除法是將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再按復(fù)數(shù)的乘法進(jìn)行運算，最終化簡．┃┃跟蹤練習(xí)2__■(1)(2024·新高考全國卷Ⅰ，2)eq\f(2－i,1＋2i)＝(D)A．1 B．－1C．i D．－i(2)(2024·全國卷Ⅲ理，2)復(fù)數(shù)eq\f(1,1－3i)的虛部是(D)A．－eq\f(3,10) B．－eq\f(1,10)C.eq\f(1,10) D．eq\f(3,10)[解析](1)eq\f(2－i,1＋2i)＝eq\f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(－5i,5)＝－i，故選D．(2)∵z＝eq\f(1,1－3i)＝eq\f(1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq\f(1＋3i,10)＝eq\f(1,10)＋eq\f(3,10)i，∴復(fù)數(shù)eq\f(1,1－3i)的虛部為eq\f(3,10)．命題方向?共軛復(fù)數(shù)典例3復(fù)數(shù)eq\f(2＋i,1－2i)的共軛復(fù)數(shù)是(C)A．－eq\f(3,5)i B．eq\f(3,5)iC．－i D．i[思路分析]通過運算把復(fù)數(shù)寫成a＋bi(a、b∈R的形式)，則其共軛復(fù)數(shù)為a－bi．[解析]依題意：eq\f(2＋i,1－2i)＝eq\f(2i－1,1－2i·i)＝－eq\f(1,i)＝i，∴其共軛復(fù)數(shù)為－i，選C．『規(guī)律方法』1.由比較困難的復(fù)數(shù)運算給出的復(fù)數(shù)，求其共軛復(fù)數(shù)，可先按復(fù)數(shù)的四則運算法則進(jìn)行運算，將復(fù)數(shù)寫成代數(shù)形式，再寫出其共軛復(fù)數(shù)．2．留意共軛復(fù)數(shù)的簡潔性質(zhì)的運用．┃┃跟蹤練習(xí)3__■(2024·全國卷Ⅲ文，2)若eq\x\to(z)(1＋i)＝1－i，則z＝(D)A．1－i B．1＋iC．－i D．i[解析]∵eq\x\to(z)(1＋i)＝1－i，∴eq\x\to(z)＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝eq\f(－2i,2)＝－i，∴z＝i，故選D．易混易錯警示計算要細(xì)致精確典例4復(fù)數(shù)eq\f(\r(2)－i3,1－\r(2)i)等于(A)A．i B．－iC．2eq\r(2)－i D．－2eq\r(2)－i[錯解]Deq\f(\r(2)－i3,1－\r(2)i)＝eq\f(\r(2)－i,1－\r(2)i)＝eq\f(\r(2)－i1＋\r(2)i,－1)＝－2eq\r(2)－i．[辨析]錯解中有兩處錯的地方：因為i3＝－i，所以eq\r(2)－i3＝eq\r(2)＋i，(1－eq\r(2)i)(1＋eq\r(2)i)＝1－(eq\r(2)i)2＝1－2·i2＝1＋2＝3．[正解]eq\f(\r(2)－i3,1－\r(2)i)＝eq\f(\r(2)＋i,1－\r(2)i)＝eq\f(\r(2)＋i1＋\r(2)i,1－\r(2)i1＋\r(2)i)＝eq\f(\r(2)＋2i＋i＋\r(2)i2,1－\r(2)i2)＝eq\f(3i,1＋2)＝i.故選A．學(xué)科核心素養(yǎng)復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)in(n∈N*)的性質(zhì)計算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，in有如下性質(zhì)：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，從而對于任何n∈N*，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可證i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．這就是說，假如n∈N*，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n