四川省達州市達州鐵路中學2024-2025學年高二上學期11月期中檢測數(shù)學試卷含答案

達州鐵路中學2024年秋季學期高2023級11月期中數(shù)學（試題卷）一.單選題（一個5分）1.已知空間向量，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的加法運算求解.因為空間向量，，所以，故選：A2.已知{}為空間的一組基底，對下列向量也能作為空間的一組基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】由基底概念逐項判斷即可對于A：，不能構成基底，故錯誤；對于C：，不能構成基底，故錯誤；對于D：，不能構成基底，故錯誤；對于B：令，可得，因為{}為空間的一組基底，所以不存在使得等式成立，B正確故選：B3.若圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設圓錐的底面半徑為r，根據軸截面面積求出r，結合圓錐側面積公式，即可求得答案.設圓錐的底面半徑為r，由于圓錐的軸截面是等邊三角形，則該圓錐的高為，母線長為2r，又軸截面面積為，故，則該圓錐的表面積為，故選：B4.已知，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，下列說法正確的是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】根據空間中直線與平面，以及平面與平面的關系，即可結合選項逐一求解.對于A，若，，，則或者異面，故A錯誤，對于B，若，，且與，的交線垂直，才有，否則與不一定垂直，故B錯誤，對于C，若，，則或者，故C錯誤，對于D，若，，則，D正確，故選：D5.在空間中，設，為兩條不同直線，，為兩個不同平面，則下列命題正確的是（

）A.若且，則B.若是異面直線，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】B【解析】【分析】A中或；B中結合線面平行的性質定理與面面平行的判定定理即可；C中，可能平行、相交或異面；D中或.對于A，若且，則或，故A錯誤；對于B，若是異面直線，，，則在直線上任取一點，過直線與點確定平面，設，又，則，，，所以，又，，，，所以，故B正確；對于C，若，，，則，可能平行、相交或異面，故C錯誤；對于D，若，，，則或，故D錯誤.故選：B.6.如圖，在正四棱臺中，，則該正四棱臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出截面，過點作，結合等腰梯形的性質得到高，再計算體積即可.過作出截面如圖所示，過點作，垂足為，易知為正四棱臺的高，

因為，所以由勾股定理得，又，則在等腰梯形中，，所以，所以所求體積為.故選：.7.已知三棱柱中，側面底面，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由面面垂直的性質定理可證明“”是“”的必要條件，由底面為正三角形的直三棱柱模型，可知“”不是“”的充分條件.①已知側面底面，且側面底面，又平面，若，則由面面垂直的性質定理可得平面，平面，則，所以則“”是“”的必要條件；②若三棱柱是直三棱柱，底面是正三角形，則底面，平面，則滿足條件側面底面.又平面，則，但與不垂直.所以“”不是“”的充分條件.綜上所述，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.8.已知三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，，，，，平面，則球O的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據給定條件，求出外接圓半徑，球心到平面的距離，再利用球的截面圓性質計算即可.在三棱錐中，球心在棱的中垂面上，由平面，得平面，則球心到平面的距離為，在中，由余弦定理得：，因此外接圓半徑，球的半徑，所以球O的表面積.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若向量，，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據空間向量夾角公式判斷A，根據空間向量垂直的坐標表示判斷B，根據空間向量平行的坐標關系判斷C，根據空間向量的模的公式判斷D．詳解】由已知，，D正確；，與不垂直．B錯誤；，A正確；設，則，，，滿足條件的不存在，因此與不共線，C錯誤；故選：AD．10.已知是空間內兩條不同的直線，是空間內兩個不同的平面，則下列命題為假命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據空間線線，線面，面面的位置關系判斷.對于A，因為是兩個不同平面，是兩個不同的直線，，則，故A為真命題；對于B，若，則與可能平行，相交，異面，故B為假命題；對于C，若，則，故C為真命題；對于D，若，則與可能平行，相交，故D為假命題.故選：BD.11.在三棱錐中，兩兩垂直，平面于點，設的面積分別為，下列命題中正確的是（）A.可能為直角三角形 B.點為的垂心C. D.【答案】BCD【解析】【分析】假設，，，求出，，，根據長度和三角形形狀的關系判斷A選項，根據垂心的定義判斷B選項，根據海倫公式求出判斷C選項，求出和、、的關系判斷D選項.假設，，，所以，，，因為任何兩邊的平方和大于第三邊的平方，所以是銳角三角形，故A選項錯誤；由兩兩垂直易證平面，所以，因為，所以易證平面，所以，同理可得，，所以點為的垂心，故B選項正確；設的面積為，因為四面體體積為，所以，等式兩邊平方可得，由海倫公式可得，其中，所以，所以代回可得，故C選項正確；，，，，因為，所以，所以，因為，，，所以，故D選項正確.故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據海倫公式求出判斷C選項，求出和、、的關系判斷D選項.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知向量，，若，則______.【答案】2【解析】【分析】由題意可得，由向量的數(shù)量積公式求解即可.因，所以，即，所以，解得.故答案為：13.已知點關于坐標平面的對稱點為，點關于坐標平面的對稱點為，點關于軸的對稱點為，則______．【答案】【解析】【分析】依次寫出，，，利用空間兩點間距離公式求出答案.由題意得，，，故.故答案為：14.把正方形ABCD沿對角線AC折成的二面角，E、F分別是BC、AD的中點，O是原正方形ABCD的中心，則的余弦值為_________．【答案】##【解析】【分析】根據空間向量的夾角公式，結合數(shù)量積的運算即可求解.由于,所以,不妨設正方形的邊長為2，則,,,所以,故,所以,故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，側棱的長度為，且．設，求：（1）用基底表示向量，并求向量的長度；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據題意可得，結合數(shù)量積運算求模長；（2）根據題意可得，根據數(shù)量積運算結合夾角公式求異面直線夾角.【小問1詳解】由題意可知：，因為，則，即，所以的長度為.【小問2詳解】因為，可得，且，，設直線與所成角為可得，所以直線與所成角的余弦值為．16.棱長為2的正方體中，分別是的中點，在棱上，且是的中點.建立適當?shù)目臻g直角坐標系，解決下列問題：（1）求證：；（2）求直線與所成的角的余弦值；（3）求的長.【答案】（1）證明見詳解；（2）（3）【解析】【分析】（1）以為坐標原點建立空間直角坐標系，首先求出相應點的坐標，再證明即可;（2）求出的坐標，再根據cos<EF→（3）轉化為求即可.【小問1詳解】如圖，以為原點，分別為軸,建立空間直角坐標系則因為,所以所以,故;【小問2詳解】原卷是求所成的角，但是算出來不是特殊值，所以麻煩審核老師看到后核對一下，麻煩把這句話刪了，謝謝.因為，所以,因為,且,所以cos<所以直線與所成角的余弦值為.【小問3詳解】因為是的中點，所以,又因為,所以即.17.三棱柱中，底面，且各棱長均相等，為的中點．F為AB的中點.（1）證明：平面平面；（2）證明：平面平面．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）根據面面平行的判斷定理，轉化為證明兩組線面平行；（2）根據面面垂直的判斷定理轉化為證明線面垂直，即可證明平面.【小問1詳解】如圖，連結，因為點分別是和的中點，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面，因為，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面，且，平面所以平面平面【小問2詳解】因為平面，且平面，所以平面平面，平面平面，因為是等邊三角形，且點是的中點，所以，且平面，所以平面，且平面，所以平面平面.18.如圖，正方體的棱長為，為的中點，點在上.再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使點唯一確定，并解答問題.條件①：；條件②：；條件③：平面.（1）求證：為的中點；（2）求點到平面的距離.（3）求直線與平面所成角的大??；【答案】（1）選擇條件②或③，證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）分別選條件①②③，結合線面平行位置關系的判定定理和性質定理，即可得證.（2）以為原點，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量為，再利用點到平面距離的向量求法求解.（3）求出向量，再利用向量的夾角公式求解.【小問1詳解】選條件①，，由正方體的對稱性，知點可為上的任意一點，不唯一.選條件②，，連接，在正方體中，由平面，平面，得，又，，則，而平面，于是，又為的中點，所以為的中點.選擇條件③：平面，連接，平面，平面平面，則，而為的中點，所以為的中點．【小問2詳解】在正方體中，直線兩兩互相垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，設平面的法向量為，則，令，得，所以點到平面的距離.【小問3詳解】由（2）知，平面的法向量，，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的大小為.19.如圖所示，直角梯形中，，四邊形為矩形，，平面平面．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求出線段的長度，若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在；2【解析】【分析】（1）根據條件先判定垂直關系再建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量判定線面關系即可；（2）利用空