2024-2025學(xué)年天津市河西區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市河西區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（7，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，﹣7） B．（﹣7，2） C．（﹣7，﹣2） D．（7，﹣2）2．（3分）下列數(shù)學(xué)經(jīng)典圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）解方程4x2＝16的結(jié)果為（）A．x1＝x2＝4 B．x1＝x2＝﹣4 C．x1＝2，x＝﹣2 D．該方程無(wú)實(shí)數(shù)根4．（3分）拋物線y＝x2﹣4x的對(duì)稱軸是（）A．直線x＝2 B．直線x＝﹣4 C．直線x＝﹣2 D．直線x＝45．（3分）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)（1，1），點(diǎn)（4，1）和點(diǎn)（2，0），則（）A．a(chǎn)＞0，b＞0，c＜0 B．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0 C．a(chǎn)＜0，b＜0，c＝0 D．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞06．（3分）如圖，過(guò)平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)O的一條直線，交邊AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)（E，F(xiàn)不與四邊形ABCD的頂點(diǎn)重合），下列敘述不正確的是（）A．OE與OF一定相等 B．EF與AC一定相等 C．四邊形ABFO與四邊形CDEO一定全等 D．平行四邊形ABCD被直線EF分成了兩個(gè)全等的梯形7．（3分）下列兩個(gè)兩位數(shù)相乘的運(yùn)算中，請(qǐng)你利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷“積”最大的是（）A．72×78 B．74×76 C．75×75 D．77×738．（3分）已知函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣1，下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大 B．當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大 C．當(dāng)﹣2＜x＜2時(shí)，y隨x的增大而減小 D．當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小9．（3分）某種商品的價(jià)格是200元，準(zhǔn)備進(jìn)行兩次降價(jià)，若每次降價(jià)的百分率都是x，兩次降價(jià)后的價(jià)格y（元）隨每次降價(jià)的百分率的變化而變化，則y與x之間的關(guān)系式為（）A．y＝（1﹣x）2 B．y＝200（1﹣x）2 C．y＝﹣200x+200 D．y＝200（1+x）210．（3分）拋物線y＝（x﹣2）2可以看作是將拋物線y＝x2（）A．向左平移2個(gè)單位得到的 B．向右平移2個(gè)單位得到的 C．向上平移2個(gè)單位得到的 D．向下平移2個(gè)單位得到的11．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），得到△ADE，這時(shí)點(diǎn)B，C，D恰好在同一直線上，下列結(jié)論一定正確的是（）A．AB＝ED B．EA⊥BC C．∠B＝90°﹣ D．∠EAC＝90°+12．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝20cm動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以1cm/s的速度沿AB邊向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始以2cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．如果P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①當(dāng)t＝3時(shí)，△BPQ的面積為21cm2；②t有兩個(gè)不同的值，都使△BPQ的面積為16cm2；③△BPQ面積的最大值為50cm2．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）13．（3分）拋物線y＝x2﹣x﹣2與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為．14．（3分）把圖中的等邊三角形繞著它的兩條中線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，要使旋轉(zhuǎn)后的三角形能與自身重合，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)至少為．15．（3分）一個(gè)矩形的面積為50cm2，且長(zhǎng)是寬的2倍，則這個(gè)矩形的周長(zhǎng)為cm．16．（3分）若拋物線y＝x2+3x+a與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值是．17．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P在BC邊上，連接PA，將PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PA′，連接CA′，若AD＝9，AB＝5，CA′＝2，則BP＝．18．（3分）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A與點(diǎn)O分別為格線上一點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)O為所在小正方形一邊的中點(diǎn)，A為三等分點(diǎn)（距下方格點(diǎn)近）時(shí)，AO的長(zhǎng)度為；（Ⅱ）在如圖所示的網(wǎng)格中，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，先將點(diǎn)A向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B，再以點(diǎn)O為中心，畫出線段AB關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形A'B'（A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'），并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)A'和點(diǎn)B'的位置是如何找到的（不要求證明）．三、解答題（本大題共7小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程）19．（8分）（Ⅰ）解方程（x﹣7）2＝4；（Ⅱ）解方程x2+5x+7＝3x+11．20．（8分）小強(qiáng)用配方法求解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的過(guò)程如下：解：二次項(xiàng)系數(shù)化1，得x2+＝0……第一步移項(xiàng)，得x2+……第二步配方，得x2+???第三步即……第四步直接開平方，得x+……第五步即x1＝，x2＝……第六步請(qǐng)問(wèn)：小強(qiáng)的求解過(guò)程有錯(cuò)誤嗎？如果有錯(cuò)，請(qǐng)你指出在第步開始出錯(cuò)了，并加以改正．21．（10分）如圖，△ABD和△ACE都是等邊三角形，∠BAC＝100°，連接BE，DC．（Ⅰ）求證：△ADC≌△ABE；（Ⅱ）△ADC可以看作是△ABE經(jīng)過(guò)得到的（填：平移，軸對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)）；說(shuō)明得到△ADC的具體過(guò)程；（Ⅲ）若AB＝6，BC＝8，∠ABC＝30°，則BE的長(zhǎng)為．22．（10分）如圖，在足夠大的空地上有一段長(zhǎng)為a米的舊墻，某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD，其中AD≤a，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了20米木欄．（Ⅰ）若a＝5米，所圍成的矩形菜園的面積為32平方米，求利用舊墻AD的長(zhǎng)；（Ⅱ）若a＝12米，求矩形菜園ABCD面積的最大值．23．（10分）某種樹木的主干長(zhǎng)出若干支干，假設(shè)每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，若此時(shí)主干、支干和小分支的總數(shù)是111．求每個(gè)支干長(zhǎng)出多少小分支？設(shè)主干長(zhǎng)出了x個(gè)支干．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：（Ⅰ）填表：x（主干長(zhǎng)出支干的個(gè)數(shù)）234主干、支干和小分支的總數(shù)（Ⅱ）填空（用含x的代數(shù)式表示）：①在小分支沒有長(zhǎng)出之前，主干和支干的總數(shù)是；②在每個(gè)支干又長(zhǎng)出了數(shù)目相同的小分支后，小分支的個(gè)數(shù)為；③在每個(gè)支干又長(zhǎng)出了數(shù)目相同的小分支后，主干、支干和小分支的總數(shù)可以表示為；（Ⅲ）請(qǐng)繼續(xù)完成本題的解答．24．（10分）在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不動(dòng)，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF，AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D，E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合）．（Ⅰ）直接寫出∠BAD+∠CAE的度數(shù)；（Ⅱ）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，試證明BD2+CE2＝DE2始終成立．（提示：由于BD2+CE2＝DE2符合勾股定理的形式，若通過(guò)將△ABD或△AEC進(jìn)行旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱變化，變換邊、角的位置，最終使BD，CE，DE轉(zhuǎn)化為一個(gè)直角三角形的三邊就可以使得問(wèn)題解決了．）25．（10分）拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）與x軸交于點(diǎn)（x，0）和（x2，0），與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)E為拋物線頂點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)x1＝﹣1，x2＝3時(shí)，求點(diǎn)E和點(diǎn)A的坐標(biāo)；（Ⅱ）①若頂點(diǎn)E在直線y＝x上時(shí)，用含有b的代數(shù)式表示c；②在①的前提下，當(dāng)點(diǎn)A的位置最高時(shí)，求拋物線的解析式；（Ⅲ）若x1＝﹣1，b＞0，當(dāng)P（1，0）時(shí)，是否存在PA+PE的最小值，若不存在，說(shuō)明理由，若存在，求b的值．

2024-2025學(xué)年天津市河西區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．【解答】解：點(diǎn)（7，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣7，2）．故選：B．2．【解答】解：A、圖形是中心對(duì)稱圖形，符合題意；B、圖形不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；C、圖形不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；D、圖形不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意．故選：A．3．【解答】解：4x2＝16，x2＝4，∴x＝±2，∴x1＝2，x＝﹣2．故選：C．4．【解答】解：∵二次函數(shù)可化為y＝（x﹣2）2﹣4，∴對(duì)稱軸是直線x＝2，故選：A．5．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)（1，1），點(diǎn)（4，1）和點(diǎn)（2，0），∴對(duì)稱軸為直線x＝＝，∴當(dāng)x＞時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜時(shí)，y隨x的增大而減小，∴a＞0，c＞0，∵﹣＝，∴b＝﹣5a＜0，故選：D．6．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，OE＝OF，∴DE＝BF，∴OE與OF一定相等、四邊形ABFO與四邊形CDEO一定全等、平行四邊形ABCD被直線EF分成了兩個(gè)全等的梯形，故A、C、D敘述正確，不符合題意，EF與AC不一定相等，故B選項(xiàng)敘述不正確，符合題意，故選：B．7．【解答】解：設(shè)兩個(gè)乘數(shù)的積為y，其中一個(gè)乘數(shù)的個(gè)位上的數(shù)為x，則另一個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)為（10﹣x），根據(jù)題意得：y＝（70+x）[70+（10﹣x）]＝﹣x2+10x+5600＝﹣（x﹣5）2+5625，∴當(dāng)x＝5時(shí)，y取得最大值，∴75×75的積最大．故選：C．8．【解答】解：∵函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，∴對(duì)稱軸為直線x＝1，開口向下，∴當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減?。蔬x：A．9．【解答】解：根據(jù)題意得：y＝200（1﹣x）2．故選：B．10．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），y＝x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），∴將拋物線y＝x2向右平移2個(gè)單位，可得到拋物線y＝（x﹣2）2．故選：B．11．【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，∴AB＝AD，∠BAD＝α，∴∠B＝＝90°﹣，故選：C．12．【解答】解：由題意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，∴S△PBQ＝BP?BQ＝×（10﹣t）?2t＝（﹣t2+10t）（cm2），∵S△PBQ＝﹣t2+10t＝﹣（t﹣5）2+25，∵﹣2＜0，∴當(dāng)t＝5時(shí)，△PBQ的面積有最大值為25，故③錯(cuò)誤；當(dāng)t＝3時(shí)，△PBQ的面積為：﹣（3﹣5）2+25＝21，故①正確；令S△PBQ＝16，則﹣t2+10t＝16，即t2﹣10t+16＝0，解得t＝2或8，∵t＝8時(shí)，BQ＜BC，故t＝8符合題意，故②正確；故選：C．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）13．【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝02﹣1×0﹣2＝﹣2，∴拋物線y＝x2﹣x﹣2與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣2）．故答案為：（0，﹣2）．14．【解答】解：∵360°÷3＝120°，∴該圖形繞中心至少旋轉(zhuǎn)120度后能和原來(lái)的圖案互相重合．故答案為：120°．15．【解答】解：設(shè)寬為xcm，長(zhǎng)為2xcm，則2x×x＝50，解得x＝5或x＝﹣5（舍去），則寬為5cm，長(zhǎng)為10cm，則矩形的周長(zhǎng)為2×（5+10）＝30（cm）．故答案為：30．16．【解答】解：∵拋物線y＝x2+3x+a與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＝0，即9﹣4a＝0．解得：a＝．故答案為：．17．【解答】解：過(guò)A′點(diǎn)作A′H⊥BC于H點(diǎn)，如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴BC＝AD＝9，∠B＝90°，∵將PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PA′，∴PA＝PA′，∵∠PAB+∠APB＝90°，∠APB+∠A′PH＝90°，∴∠PAB＝∠A′PH，在△ABP和△PHA′中，，∴△ABP≌△PHA′（AAS），∴PB＝A′H，PH＝AB＝5，設(shè)PB＝x，則A′H＝x，CH＝9﹣x﹣5＝4﹣x，在Rt△A′CH中，x2+（4﹣x）2＝（2）2，解得x1＝x2＝2，即BP的長(zhǎng)為2．故答案為：2．18．【解答】解：（1）AO＝＝．故答案為：．（2）如圖，線段A′B′即為所求．方法：取格點(diǎn)M，N連接MN交網(wǎng)格線于點(diǎn)B，B′，連接AO，延長(zhǎng)AO交網(wǎng)格線于點(diǎn)A′，線段A′B′即為所求．故答案為：取格點(diǎn)M，N連接MN交網(wǎng)格線于點(diǎn)B，B′，連接AO，延長(zhǎng)AO交網(wǎng)格線于點(diǎn)A′，線段A′B′即為所求．三、解答題（本大題共7小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程）19．【解答】解：（1）（x﹣7）2＝4，∴x﹣7＝±2，∴x1＝9，x2＝5；（2）x2+5x+7＝3x+11，x2+2x＝4，x2+2x+1＝4+1，即（x+1）2＝5，∴x+1＝或x+1＝﹣，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．20．【解答】解：有錯(cuò)誤，在第五步．錯(cuò)誤的原因是在開方時(shí)對(duì)b2﹣4ac的值是否是非負(fù)數(shù)沒有進(jìn)行討論．正確步驟為：，①當(dāng)b2﹣4ac≥0時(shí)，x+，即x1＝，x2＝；②當(dāng)b2﹣4ac＜0時(shí)，原方程實(shí)數(shù)根．故答案為：五．21．【解答】（Ⅰ）證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，\在△ADC和△BAE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS）；（Ⅱ）解：將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC．故答案為：旋轉(zhuǎn)；（Ⅲ）解：∵△ABD是等邊三角形，∴BD＝AB＝6，∠ABD＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠DBC＝∠ABD+∠ABC＝90°，∴CD＝＝＝10，∵△ADC≌△ABE，∴CD＝BE＝10．故答案為：10．22．【解答】解：（1）設(shè)AB＝x米，則BC＝（20﹣2x）米，由題意得：x（20﹣2x）＝32，解得：x1＝2，x2＝8，當(dāng)x＝2時(shí)，20﹣2x＝16＞5，不合題意舍去；當(dāng)x＝8時(shí)，20﹣2x＝4＜5，答：AD的長(zhǎng)為8米；（2）設(shè)BC＝x米，則S＝x（20﹣x）＝﹣（x﹣10）2+50，（0＜x≤12）∴x＝10時(shí)，S的最大值是50．答：當(dāng)x＝10時(shí)，矩形菜園ABCD面積的最大值為50平方米．23．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)主干長(zhǎng)出了x個(gè)支干，則每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支，∴主干、支干和小分支的總數(shù)為1+x+x2，當(dāng)x＝2時(shí)，1+x+x2＝1+2+22＝7；當(dāng)x＝3時(shí)，1+x+x2＝1+3+32＝13；當(dāng)x＝2時(shí)，1+x+x2＝1+4+42＝21；故答案為：7，13，21；（Ⅱ）設(shè)主干長(zhǎng)出了x個(gè)支干，則每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支，①在小分支沒有長(zhǎng)出之前，主干和支干的總數(shù)是1+x，故答案為：1+x；②在每個(gè)支干又長(zhǎng)出了數(shù)目相同的小分支后，小分支的個(gè)數(shù)為x2，故答案為：x2；③在每個(gè)支干又長(zhǎng)出了數(shù)目相同的小分支后，主干、支干和小分支的總數(shù)可以表示為1+x+x2，故答案為：1+x+x2；（Ⅲ）依題意得：1+x+x2＝111，整理得：x2+x﹣110＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣11（不符合題意，舍去），答：每個(gè)支干長(zhǎng)出10個(gè)小分支．24．【解答】（Ⅰ）解：45°，理由：∵△ABC和△AFG都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠AGF＝