2024-2025學年北京十三中高三（上）期中數學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京十三中高三（上）期中數學試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={?1,0,1}，集合B={x∈Z|x2?2x≤0}，那么A∪B等于A.{?1} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{?1,0,1,2}2.設i是虛數單位，若復數z滿足z(3?i)=10，則在復平面內復數z對應的點的坐標為(

)A.(1,3) B.(3,1) C.(?1,?3) D.(?3,?1)3.已知向量a,b滿足a+b=(2,x),a?A.?3 B.3 C.?1 D.14.設函數f(x)=ln(e+x)+ln(e?x)，則f(x)A.奇函數，且在(0,e)上是增函數 B.奇函數，且在(0,e)上是減函數

C.偶函數，且在(0,e)上是增函數 D.偶函數，且在(0,e)上是減函數5.已知(x3?ax2)5A.16 B.32 C.64 D.806.直線y=kx+2與圓(x?2)2+(y?3)2=4相交于M，N兩點，若|MN|≥2A.[?34,34] B.[?7.已知雙曲線C的一個焦點是F1(0,2)，漸近線為y=±3x，則A.x2?y23=1 B.x8.已知α，β均為第一象限角，則“α<β”是“sinα<sinβ”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件9.隨著北京中軸線申遺工作的進行，古建筑備受關注.故宮不僅是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質結構古建筑之一，更是北京中軸線的“中心”.圖1是古建筑之首的太和殿，它的重檐廡(w?)殿頂可近似看作圖2所示的幾何體，其中底面ABCD是矩形，BCAB=59，EF/?/AB，四邊形ABFE、CDEF是兩個全等的等腰梯形，△EAD、△FBC是兩個全等的等腰三角形.若BC=5，EF=6，AE=132A.90 B.3015 C.7510.已知點E、F分別是正方體ABCD?A1B1C1D1的棱AB、AA1的中點，點M、N分別是線段D1A.0條

B.1條

C.2條

D.無數條二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.直線x+3y+1=012.在等差數列{an}中，若a1+a2=16，a5=1，則a1=

13.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=52lgE1E14.已知函數f(x)=2log2x?log2(x?4)，則15.已知函數f(x)=x3?x，給出下列四個結論：

①函數f(x)是奇函數；

②?k∈R，且k≠0，關于x的方程f(x)?kx=0恰有兩個不相等的實數根；

③已知P是曲線y=f(x)上任意一點，A(?12,0)，則|AP|≥12；

④設M(x1,y1)為曲線y=f(x)三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題10分)

已知函數f(x)=2asinxcosx?2cos2x的一個零點為π6．

(Ⅰ)求a的值及f(x)的最小正周期；

(Ⅱ)若m≤f(x)≤M對x∈[0,π217.(本小題15分)

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知bsinA=3acosB．

(Ⅰ)求角B的大小；

(Ⅱ)若c?a=1，b=18.(本小題15分)

已知四棱錐P?ABCD，AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，E是AD上一點，PE⊥AD．

(1)若F是PE中點，證明：BF//平面PCD．

(2)若AB⊥平面PED，求面PAB與面PCD夾角的余弦值．19.(本小題15分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，且經過點C(2,1)．

(Ⅰ)求E的方程；

(Ⅱ)過點N(0,1)的直線交E于點A，B(點A，B與點C不重合).設AB的中點為M，連接CM并延長交20.(本小題15分)

已知函數f(x)=xlnx．

(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)求證：f(x)<x；

(3)若函數g(x)=f(x)+a(x2?x)在區(qū)間21.(本小題15分)

已知數列A：a1，a2，a3，…，an(n≥3)的各項均為正整數，設集合T={x|x=aj?ai,1≤i<j≤n}，記T的元素個數為P(T)．

(Ⅰ)若數列A：1，3，5，6，直接寫出集合T和P(T)的值；

(Ⅱ)若A是遞減數列，求證：“A為等差數列”的充要條件是“P(T)=n?1”；

(Ⅲ)已知數列A：2，22，參考答案1.D

2.B

3.B

4.D

5.D

6.C

7.D

8.D

9.B

10.D

11.5π612.9；5

13.1010.114.(4,+∞)

8

15.②③④

16.解：(Ⅰ)函數f(x)=2asinxcosx?2cos2x，

所以f(π6)=2a?12?32?2×(32)2=0，

解得a=3，

所以f(x)=3sin2x?cos2x?1=2sin(2x?π6)?1，

故函數的最小正周期為T=2π2=π；

(17.解：(Ⅰ)因為bsinA=3acosB，

由正弦定理，得sinBsinA=3sinAcosB，

因為sinA>0，所以sinB=3cosB，即tanB=3，

因為0<B<π，所以B=π3；

(Ⅱ)由c?a=1，可得c2+a2?2ac=1，①

由余弦定理b18.(1)證明：如圖，設M為PD的中點，連接FM，CM，

因為F是PE中點，所以FM//ED，且FM=12ED，

因為AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，

所以四邊形ABCE為平行四邊形，BC/?/ED，且BC=12ED，

所以FM/?/BC，且FM=BC，

即四邊形BCMF為平行四邊形，

所以BF//CM，

因為BF?平面PCD，CM?平面PCD，

所以BF/?/平面PCD．

(2)解：因為AB⊥平面PED，

所以CE⊥平面PED，EP，ED，EC相互垂直，

以E為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則P(0,0,2)，A(0,?1,0)，B(1,?1,0)，C(1,0,0)，D(0,2,0)，

所以AB=(1,0,0)，AP=(0,1,2)，PC=(1,0,?2)，CD=(?1,2,0)，

設平面PAB的一個法向量為m=(x1,y1,z1)，

則m?AB=x1=0m?AP=y1+219.解：(Ⅰ)由題設，ca=32a2+b2=c24a2+1b2+1，……3分

解得a2=8，b2=2，……4分

所以橢圓E的方程為x28+y22=1.……5分

(Ⅱ)若直線AB與y軸重合，則點M與原點重合，符合題意，

此時直線AB的方程為x=0.?………6分

若直線AB與y軸不重合，設其方程為y=kx+1．

由y=kx+1x2+4y2=8，得(4k2+1)x2+8kx?4=0，……8分

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+20.解：(1)f′(x)=(xlnx)′=lnx2x+xx，則f′(1)=1，又f(1)=0，

所以曲線在點(1,f(1))處的切線方程為y=x?1；

(2)證明：因為x>0，所以x>0，

要證明f(x)<x，只需要證明lnx<x，即證lnx?x<0，

令?(x)=lnx?x，則?′(x)=1x?12x=2?x2x，

當0<x<4時，?′(x)>0，此時?(x)在(0,4)上單調遞增；

當x>4時，?′(x)<0，此時?(x)在(4,+∞)上單調遞減，

故?(x)在x=4取極大值也是最大值，故?(x)≤?(4)=ln4?2<0，

所以lnx?x<0恒成立，即原不等式成立；

(3)g(x)=xlnx+a(x2?x)，

當x>1時，xlnx>0,x2?x>0，

故當a≥0時，g(x)>0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立，符合題意；

當a<0時，g′(x)=lnx2x+xx+a(2x?1)，

令t(x)=g′(x)，則t′(x)=?lnx4xx+2a<0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立，

所以t(x)在(1,+∞)單調遞減，且t(1)=g′(1)=1+a，

①當g′(1)=1+a≤0時，此時a≤?1，g′(x)<0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立，

所以g(x)在區(qū)間(1,+∞)單調遞減，所以g(x)<g(1)=0在(1,+∞)上恒成立，符合題意，

21.(Ⅰ)解：∵數列A：1，3，5，6，

∴3?1=2，5?3=2，6?5=1，5?1=4，6?3=3，6?1=5，

∴集合T={1,2,3,4,5}，P(T)=5；

(Ⅱ)證明：必要性，若A為等差數列，且A是遞減數列，設A的公差為d(d<0)，

當1≤i<j≤n時，aj?ai=(j?i)d，∴T={d,2d,3d,…,(n?1)d}，P(T)=n?1，

∴“A為等差數列”能推出“P(T)=n?1”

故必