福建省漳州市五中、龍海市五中等四校2025屆高三下學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題含解析

福建省漳州市五中、龍海市五中等四校2025屆高三下學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若時，恒成立，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．2．已知滿足，則（）A． B． C． D．3．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)（）A．伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度B．伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖像向左平移個單位長度C．縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個單位長度D．縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度4．設(shè)是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項(xiàng)和為．則“，”是“為遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．6．在等差數(shù)列中，若為前項(xiàng)和，，則的值是（）A．156 B．124 C．136 D．1807．下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運(yùn)算“正整數(shù)除以正整數(shù)所得的余數(shù)是”記為“”，例如.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（）A．16 B．17 C．18 D．198．已知集合，，則()A． B． C． D．9．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）．A． B．C． D．10．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何?”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高2丈，問：它的體積是多少?”已知l丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1，則該楔體的體積為（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺11．在一個數(shù)列中，如果，都有（為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，叫做這個數(shù)列的公積.已知數(shù)列是等積數(shù)列，且，，公積為，則（）A． B． C． D．12．把函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象．給出下列四個命題①的值域?yàn)棰诘囊粋€對稱軸是③的一個對稱中心是④存在兩條互相垂直的切線其中正確的命題個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，邊長為1的正三角形中，點(diǎn)，分別在線段，上，將沿線段進(jìn)行翻折，得到右圖所示的圖形，翻折后的點(diǎn)在線段上，則線段的最小值為_______．14．若函數(shù)在和上均單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．15．已知角的終邊過點(diǎn)，則______.16．用數(shù)字、、、、、組成無重復(fù)數(shù)字的位自然數(shù)，其中相鄰兩個數(shù)字奇偶性不同的有_____個.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)已知直線與曲線交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，求.18．（12分）已知函數(shù)，記不等式的解集為.（1）求；（2）設(shè)，證明：.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，為定點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，且，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，為曲線上異于，的任意一點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn).問是否為定值？若是，求的值；若不是，請說明理由.20．（12分）如圖，已知四棱錐的底面是等腰梯形，，，，，為等邊三角形，且點(diǎn)P在底面上的射影為的中點(diǎn)G，點(diǎn)E在線段上，且.（1）求證：平面.（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，若同時滿足下列四個條件中的三個：①；②；③；④.（1）滿足有解三角形的序號組合有哪些？（2）在（1）所有組合中任選一組，并求對應(yīng)的面積.（若所選條件出現(xiàn)多種可能，則按計(jì)算的第一種可能計(jì)分）22．（10分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

通過分析函數(shù)與的圖象，得到兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)，解方程組即得解.【詳解】如圖所示，函數(shù)與的圖象，因?yàn)闀r，恒成立，于是兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)，所以，解得．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.2、A【解析】

利用兩角和與差的余弦公式展開計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角求值，涉及兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可．詳解：將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），

得到再將得到的圖象向左平移個單位長度得到故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，結(jié)合和的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．4、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項(xiàng)和為，充分性：，則對任意的恒成立，則，，若，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則必存在，使得當(dāng)時，，則，不合乎題意；若，由且數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則對任意的，，合乎題意.所以，“，”“為遞增數(shù)列”；必要性：設(shè)，當(dāng)時，，此時，，但數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“，”“為遞增數(shù)列”.因此，“，”是“為遞增數(shù)列”的充分而不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中等題．5、B【解析】

可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.【詳解】在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比大小等知識，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.6、A【解析】

因?yàn)?，可得，根?jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.【詳解】，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差中項(xiàng)定義和等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過程，代入四個選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】解：由程序框圖可知，輸出的數(shù)應(yīng)為被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整數(shù).若輸出，則不符合題意，排除；若輸出，則，符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖.當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用循環(huán)模擬或代入選項(xiàng)驗(yàn)證的方法進(jìn)行解答.8、D【解析】

先求出集合B，再與集合A求交集即可.【詳解】由已知，，故，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道容易題.9、B【解析】

由奇偶性定義可判斷出為偶函數(shù)，由單調(diào)性的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，由此知在上單調(diào)遞減，從而將所求不等式化為，解絕對值不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意知：定義域?yàn)椋?，為偶函?shù)，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，由得：，解得：或，的取值范圍為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題；奇偶性的作用是能夠確定對稱區(qū)間的單調(diào)性，單調(diào)性的作用是能夠?qū)⒑瘮?shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，進(jìn)而化簡不等式.10、A【解析】由題意，將楔體分割為三棱柱與兩個四棱錐的組合體，作出幾何體的直觀圖如圖所示：

沿上棱兩端向底面作垂面，且使垂面與上棱垂直，

則將幾何體分成兩個四棱錐和1個直三棱柱，

則三棱柱的體積V1四棱錐的體積V2=13×1×3×2=2【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及幾何體體積的計(jì)算，其中正確還原幾何體，利用方格數(shù)據(jù)分割與計(jì)算是解題的關(guān)鍵．11、B【解析】

計(jì)算出的值，推導(dǎo)出，再由，結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】由題意可知，則對任意的，，則，，由，得，，，，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列求和，考查了數(shù)列的新定義，推導(dǎo)出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.12、C【解析】

由圖象變換的原則可得,由可求得值域；利用代入檢驗(yàn)法判斷②③；對求導(dǎo),并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.【詳解】由題,,則向右平移個單位可得,,的值域?yàn)?①錯誤；當(dāng)時,,所以是函數(shù)的一條對稱軸,②正確；當(dāng)時,,所以的一個對稱中心是,③正確；,則,使得,則在和處的切線互相垂直,④正確.即②③④正確,共3個.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像變換,考查代入檢驗(yàn)法判斷余弦型函數(shù)的對稱軸和對稱中心,考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)，，在中利用正弦定理得出關(guān)于的函數(shù)，從而可得的最小值．【詳解】解：設(shè)，，則，，∴，在中，由正弦定理可得，即，∴，∴當(dāng)即時，取得最小值．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形的應(yīng)用，屬中檔題．14、【解析】

化簡函數(shù)，求出在上的單調(diào)遞增區(qū)間，然后根據(jù)在和上均單調(diào)遞增，列出不等式求解即可．【詳解】由知，當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在和上均單調(diào)遞增，，

，

的取值范圍為：．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于m的方程組，屬中檔題．15、【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，求得的值．【詳解】解：∵角的終邊過點(diǎn)，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

對首位數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】①若首位為奇數(shù)，則第一、三、五個數(shù)位上的數(shù)都是奇數(shù)，其余三個數(shù)位上的數(shù)為偶數(shù)，此時，符號條件的位自然數(shù)個數(shù)為個；②若首位數(shù)為偶數(shù)，則首位數(shù)不能為，可排在第三或第五個數(shù)位上，第二、四、六個數(shù)位上的數(shù)為奇數(shù)，此時，符合條件的位自然數(shù)個數(shù)為個.綜上所述，符合條件的位自然數(shù)個數(shù)為個.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的排列問題，要注意首位數(shù)字的分類討論，考查分步乘法計(jì)數(shù)和分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）(x－1)2＋y2＝4,直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0；（2）3.【解析】

(1)消參得到曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化公式求得直線的直角坐標(biāo)方程；(2)先得到直線的參數(shù)方程，將直線的參數(shù)方程代入到圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(α為參數(shù))(α為參數(shù))，兩式平方相加，得曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝4；由直線l的極坐標(biāo)方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2，即直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0.(2)由題意可得P(2，0)，則直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，將(t為參數(shù))代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，則Δ>0，由韋達(dá)定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.18、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段法將表示為分段函數(shù)的形式，由此解不等式求得不等式的解集.（2）將不等式坐標(biāo)因式分解，結(jié)合（1）的結(jié)論證得不等式成立.【詳解】（1）解：，由，解得，故.（2）證明：因?yàn)?，所以，，所以，所?【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查不等式的證明，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）是定值，.【解析】

（1）設(shè)出M的坐標(biāo)為，采用直接法求曲線的方程；（2）設(shè)AB的方程為，，,，求出AT方程，聯(lián)立直線方程得D點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得E點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用向量數(shù)量積算即可.【詳解】（1）設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由知∥，又在直線上，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，又，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，，由得，即；（2）設(shè)直線AB的方程為，代入得，設(shè)，，則，，設(shè)，則，所以AT的直線方程為即，令，則，所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理E點(diǎn)的坐標(biāo)為，于是，，所以，從而，所以是定值.【點(diǎn)睛】本題考查了直接法求拋物線的軌跡方程、直線與拋物線位置關(guān)系中的定值問題，在處理此類問題一般要涉及根與系數(shù)的關(guān)系，本題思路簡單，但計(jì)算量比較大，是一道有一定難度的題.20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由等腰梯形的性質(zhì)可證得,由射影可得平面,進(jìn)而求證；（2）取的中點(diǎn)F,連接,以G為原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面與平面的法向量,再利用數(shù)量積求解即可.【詳解】（1）在等腰梯形中,點(diǎn)E在線段上,且,點(diǎn)E為上靠近C點(diǎn)的四等分點(diǎn),,,,,點(diǎn)P在底面上的射影為的中點(diǎn)G,連接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.（2）取的中點(diǎn)F,連接,以G為原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,由（1）易知,,,又,,,為等邊三角形,,則,,,,,,,,,設(shè)平面的法向量為,則，即,令,則,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則,,,設(shè)平面與平面的夾角為