廣東省廣州市華僑中學(xué)等三校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市華僑中學(xué)三校聯(lián)考高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）直線的傾斜角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°2．（5分）已知空間向量＝（m+1，m，﹣2），＝（﹣2，1，4），且⊥，則m的值為（）A．﹣ B．﹣10 C．10 D．3．（5分）圓x2+y2﹣2x+6y＝0的圓心到x﹣y+2＝0的距離為（）A． B．2 C．3 D．34．（5分）有3位男生和2位女生在周日去參加社區(qū)志愿活動，從該5位同學(xué)中任取3人，至少有1名女生的概率為（）A． B． C． D．5．（5分）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，A表示事件“第一次拋擲，骰子正面向上的點數(shù)是3”，B表示事件“兩次拋擲，骰子正面向上的點數(shù)之和是4”，C表示事件“兩次拋擲，骰子正面向上的點數(shù)之和是7”，則（）A．A與B互斥 B．B與C互為對立 C．A與B相互獨立 D．A與C相互獨立6．（5分）已知O空間任意一點，A，B，C，D四點共面，且任意三點不共線，若，則2xy的最大值為（）A． B． C． D．7．（5分）已知點A（1，2）在圓C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0外，則實數(shù)m的取值范圍為（）A．（﹣3，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣3，﹣2）∪（3，+∞） C．（﹣2，+∞） D．（﹣3，+∞）8．（5分）互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標系，但如果平面坐標系中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．如圖，在斜坐標系中，過點P作兩坐標軸的平行線，其在x軸和y軸上的截距a，b分別作為點P的x坐標和y坐標，記P（a，b）．若斜坐標系中，x軸正方向和y軸正方向的夾角為θ，則該坐標系中M（x1，y1）和N（x2，y2）兩點間的距離為（）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部份分。（多選）9．（6分）下列命題正確的有（）A．兩平行線間的3x+4y+5＝0，3x+4y﹣5＝0距離為2 B．過點（1，1）且在兩坐標軸上截距相等的直線有兩條 C．直線3x+4y+5＝0的方向向量可以是＝（3，4） D．直線ax+2y+4＝0與直線x+（a﹣1）y+2＝0平行，則a＝﹣1或1（多選）10．（6分）已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，則（）A． B． C．若A與B相互獨立，則 D．一定有B?A（多選）11．（6分）如圖，點P是棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一個動點，則（）A．當P在平面BCC1B1上運動時，三棱錐P﹣AA1D的體積為定值4 B．當P在線段AC上運動時，D1P與A1C1所成角的取值范圍是 C．若F是A1B1的中點，當P在底面ABCD上運動，且滿足PF∥平面B1CD1時，PF長度的最小值是 D．使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點P的軌跡長度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知點A（1，0），B（3，0），C（1，2）在圓上，則該圓的標準方程為．13．（5分）在棱長為4的正四面體ABCD中，E是BC的中點，則＝．14．（5分）甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為．假定每局之間相互獨立且無平局，第二局由上一局負者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲、乙執(zhí)黑子先下是等可能的，則甲、乙各勝一局的概率為．四、解答題：本題共5小題，共62分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）直線l經(jīng)過兩直線l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝0的交點．（1）若直線l與直線3x+y﹣1＝0垂直，求直線l的方程；（2）若點A（3，1）到直線l的距離為5，求直線l的方程．16．（15分）已知圓心為C的圓經(jīng)過點A（﹣3，0）和點B（1，0）兩點，且圓心C在直線y＝x+1上．（1）求圓C的標準方程；（2）已知線段MN的端點M的坐標（3，4），另一端點N在圓C上運動，求線段MN的中點G的軌跡方程．17．（15分）質(zhì)量監(jiān)督局檢測某種產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標x，y，z，用綜合指標Q＝x+y+z核定該產(chǎn)品的等級．若Q≤5，則核定該產(chǎn)品為一等品．現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標列表如表：產(chǎn)品編號A1A2A3A4A5質(zhì)量指標（x，y，z）（1，1，2）（2，1，2）（2，2，2）（1，3，1）（1，2，3）產(chǎn)品編號A6A7A8A9A10質(zhì)量指標（x，y，z）（1，2，2）（2，3，1）（3，2，1）（1，1，1）（2，1，1）（1）利用表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率；（2）在該樣品的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品，設(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標均滿足Q≤4”，求事件B的概率．18．（17分）如圖，在四棱錐A﹣BCDE中，△BCE為等邊三角形，平面ACD⊥平面CDE，AC⊥CD，二面角D﹣AC﹣E的大小為60°．（1）求證：CD∥平面ABE；（2）若AC＝BC＝2，點G為線段AB上的點，若直線CB與平面CEG所成角的正弦值為，求線段AG的長度．19．（17分）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ADEF的邊長都是1，且它們所在平面互相垂直，活動彈子M，N分別在正方形對角線AE和BD上移動，且EM和DN的長度保持相等，記，活動彈子Q在EF上移動．（1）求證：直線MN∥平面CDE；（2）Q為線段EF上的點，求EB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市華僑中學(xué)三校聯(lián)考高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）直線的傾斜角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【分析】根據(jù)方程可得斜率，進而可得傾斜角．【解答】解：由直線，可得，即其斜率，設(shè)直線的傾斜角為0°≤α＜180°，則，α＝150°．故選：D．2．（5分）已知空間向量＝（m+1，m，﹣2），＝（﹣2，1，4），且⊥，則m的值為（）A．﹣ B．﹣10 C．10 D．【答案】B【分析】直接利用向量垂直的充要條件和向量的坐標運算的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：空間向量＝（m+1，m，﹣2），＝（﹣2，1，4），且⊥，所以﹣2（m+1）+m﹣8＝0，解得m＝﹣10．故選：B．3．（5分）圓x2+y2﹣2x+6y＝0的圓心到x﹣y+2＝0的距離為（）A． B．2 C．3 D．3【答案】D【分析】求解圓的圓心坐標，利用點到直線的距離公式求解即可．【解答】解：圓x2+y2﹣2x+6y＝0的圓心（1，﹣3），圓x2+y2﹣2x+6y＝0的圓心到x﹣y+2＝0的距離：d＝＝3．故選：D．4．（5分）有3位男生和2位女生在周日去參加社區(qū)志愿活動，從該5位同學(xué)中任取3人，至少有1名女生的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】基本事件總數(shù)n＝＝10，至少有1名女生包含的基本事件個數(shù)m＝＝9．由此能求出至少有1名女生的概率．【解答】解：有3位男生和2位女生在周日去參加社區(qū)志愿活動，從該5位同學(xué)中任取3人，基本事件總數(shù)n＝＝10，至少有1名女生包含的基本事件個數(shù)m＝＝9．∴至少有1名女生的概率為P＝＝．故選：D．5．（5分）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，A表示事件“第一次拋擲，骰子正面向上的點數(shù)是3”，B表示事件“兩次拋擲，骰子正面向上的點數(shù)之和是4”，C表示事件“兩次拋擲，骰子正面向上的點數(shù)之和是7”，則（）A．A與B互斥 B．B與C互為對立 C．A與B相互獨立 D．A與C相互獨立【答案】D【分析】根據(jù)題意，由互斥事件的定義分析A，由對立事件的定義分析B，由相互獨立事件的性質(zhì)分析C、D，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，其中第一次在前，第二次在后，樣本空間Ω如下：{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共36個樣本點；依次分析選項：對于A，AB＝{（3，1）}，事件A、B可以同時發(fā)生，即事件A、B不互斥，A錯誤；對于B，事件B、B互斥但不對立，B錯誤；對于C，A＝{（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）}B＝{（1，3），（2，2），（3，1）}；P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝，事件A、B不相互獨立，C錯誤；對于D，C＝{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}，AC＝{（3，4）}，P（A）＝＝，P（C）＝＝，P（AC）＝，則A與C相互獨立，D正確．故選：D．6．（5分）已知O空間任意一點，A，B，C，D四點共面，且任意三點不共線，若，則2xy的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)四點共面得出，再分類結(jié)合基本不等式計算求解．【解答】解：因為A，B，C，D四點共面，且任意三點不共線，得出，x，y都不是0，當x＞0，y＞0時，，計算可得，2xy的最大值為，當且僅當時取最大值；當2xy＜0時，，所以2xy的最大值為．故選：C．7．（5分）已知點A（1，2）在圓C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0外，則實數(shù)m的取值范圍為（）A．（﹣3，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣3，﹣2）∪（3，+∞） C．（﹣2，+∞） D．（﹣3，+∞）【答案】A【分析】由x2+y2+mx﹣2y+2＝0表示圓可得，由點A在圓C外得，求交集即可求出m的取值范圍．【解答】解：圓C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0，方程可化為（x+）2+（y﹣1）2＝，∴，∴m＜﹣2或m＞2，∵點A（1，2）在圓C外，∴，解得m＞﹣3，∴﹣3＜m＜﹣2或m＞2，∴m的取值范圍為（﹣3，﹣2）∪（2，+∞）．故選：A．8．（5分）互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標系，但如果平面坐標系中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．如圖，在斜坐標系中，過點P作兩坐標軸的平行線，其在x軸和y軸上的截距a，b分別作為點P的x坐標和y坐標，記P（a，b）．若斜坐標系中，x軸正方向和y軸正方向的夾角為θ，則該坐標系中M（x1，y1）和N（x2，y2）兩點間的距離為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)與x軸方向相同的單位向量為，與y軸方向相同的單位向量為，則＝x1+y1，＝x2+y2，利用向量的線性運算求出＝（x1﹣x2）+（y1﹣y2），再利用模的運算及數(shù)量積的運算即可求解|MN|，從而可得結(jié)論．【解答】解：設(shè)與x軸方向相同的單位向量為，與y軸方向相同的單位向量為，則＝x1+y1，＝x2+y2，則＝﹣＝（x1﹣x2）+（y1﹣y2），所以||2＝[（x1﹣x2）+（y1﹣y2）]2＝（x1﹣x2）22+（y1﹣y2）22+2（x1﹣x2）（y1﹣y2）?＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2+2（x1﹣x2）（y1﹣y2）cosθ，所以|MN|＝．故選：A．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部份分。（多選）9．（6分）下列命題正確的有（）A．兩平行線間的3x+4y+5＝0，3x+4y﹣5＝0距離為2 B．過點（1，1）且在兩坐標軸上截距相等的直線有兩條 C．直線3x+4y+5＝0的方向向量可以是＝（3，4） D．直線ax+2y+4＝0與直線x+（a﹣1）y+2＝0平行，則a＝﹣1或1【答案】AB【分析】計算平行直線的距離得到A正確；截距相等的直線有y＝x和y＝﹣x+2，B正確；直線的一個方向向量是，C錯誤；當a＝2時，兩直線重合，D錯誤．【解答】解：兩平行線3x+4y+5＝0，3x+4y﹣5＝0間的距離為，A正確；過點（1，1）且在兩坐標軸上截距相等的直線有y＝x和y＝﹣x+2，B正確；直線3x+4y+5＝0的一個方向向量是，C錯誤；當a＝1時，兩直線不平行，D錯誤．故選：AB．（多選）10．（6分）已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，則（）A． B． C．若A與B相互獨立，則 D．一定有B?A【答案】ABC【分析】對于A，利用對立事件的概率公式即可判斷；對于BC，利用和事件與交事件的概率公式，結(jié)合相互獨立事件的定義計算判斷即可；對于D，舉反例即可判斷．【解答】解：對于A，因為，所以，故A正確；對于B，因為，又0≤P（AB）≤P（A），且0≤P（AB）≤P（B），則，所以，即，故B正確；對于C，因為A與B相互獨立，則，則，故C正確；對于D，記事件A＝“拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)小于3”，事件B＝“拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)為4”，則滿足，，但B?A不成立，故D錯誤．故選：ABC．（多選）11．（6分）如圖，點P是棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一個動點，則（）A．當P在平面BCC1B1上運動時，三棱錐P﹣AA1D的體積為定值4 B．當P在線段AC上運動時，D1P與A1C1所成角的取值范圍是 C．若F是A1B1的中點，當P在底面ABCD上運動，且滿足PF∥平面B1CD1時，PF長度的最小值是 D．使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點P的軌跡長度為【答案】BD【分析】對A：由△AA1D的面積不變，點P到平面AA1D1D的距離不變，求出體積即可；對B：以D為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)P（x，2﹣x，0），則，，結(jié)合向量的夾角公式，可判定B正確；對C：設(shè)P（m，n，0），求得平面CB1D1的一個法向量為＝（1，﹣1，﹣1），得到，可判定C錯誤；對D：由直線AP與平面ABCD所成的角為45°，作PM⊥平面ABCD，得到點P的軌跡，可判定D正確．【解答】解：對于A：△AA1D的面積不變，點P到平面AAD1D1的距離為正方體棱長，所以三棱錐P﹣AA1D的體積不變，且，所以A錯誤；對于B：以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標系，可得A1（2，0，2），D1（0，0，2），C1（0，2，2），設(shè)P（x，2﹣x，0），0≤x≤2，則，，設(shè)直線D1P與A1C1所成角為θ，＝＝，因為0≤|x﹣1|≤1，當|x﹣1|＝0時，可得cosθ＝0，所以，當0＜|x﹣1|≤1時，＝，由，所以，所以異面直線D1P與A1C1所成角的取值范圍是，所以B正確；對于C，由B1（2，2，2），D1（0，0，2），C（0，2，0），F(xiàn)（2，1，2），設(shè)P（m，n，0），0≤m≤2，0≤n≤2，則，，，設(shè)平面CB1D1的一個法向量為，則，取a＝1，可得b＝﹣1，c＝﹣1，所以＝（1，﹣1，﹣1），因為PF∥平面B1CD，所以＝（m﹣2）﹣（n﹣1）+2＝0，可得n＝m+1，所以＝＝，當m＝1時，等號成立，所以C錯誤；對于D：因為直線AP與平面ABCD所成的角為45°，由AA1⊥平面ABCD，得直線AP與AA1所成的角為45°，若點P在平面DCC1D1和平面BCC1B1內(nèi)，因為∠B1AB＝45°，∠D1AD＝45°，故不成立；在平面ADD1A1內(nèi)，點P的軌跡是；在平面ABB1A1內(nèi)，點P的軌跡是；在平面A1B1C1D1內(nèi)，作PM⊥平面ABCD，如圖所示，因為∠PAM＝45°，所以PM＝AM，又因為PM＝AB，所以AM＝AB，所以A1P＝AB，所以點P的軌跡是以A1點為圓心，以2為半徑的四分之一圓，所以點P的軌跡的長度為，綜上，點P的軌跡的總長度為，所以D正確．故選：BD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知點A（1，0），B（3，0），C（1，2）在圓上，則該圓的標準方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2．【答案】（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2．【分析】根據(jù)題意，由?＝0得到∠BAC＝90°，可知△ABC的外接圓是以BC為直徑的圓，然后求出圓的半徑與圓心坐標，可得所求圓的標準方程．【解答】解：根據(jù)題意，經(jīng)過A、B、C三點的圓是△ABC中的外接圓，由＝（2，0），＝（0，2），?＝0，可知⊥，因為∠BAC＝90°，所以△ABC的外接圓是以BC為直徑的圓，由|BC|＝＝，可知圓半徑R＝|BC|＝，結(jié)合圓心為BC的中點M（2，1），可得圓的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2．故答案為：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2．13．（5分）在棱長為4的正四面體ABCD中，E是BC的中點，則＝8．【答案】8．【分析】直接利用向量的線性運算和數(shù)量積運算求出結(jié)果．【解答】解：如所示：所以：＝＝8．故答案為：8．14．（5分）甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為．假定每局之間相互獨立且無平局，第二局由上一局負者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲、乙執(zhí)黑子先下是等可能的，則甲、乙各勝一局的概率為．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】分兩種情況討論：（1）第一局甲勝，第二局乙勝：（2）第一局乙勝，第二局甲勝．分析出每局輸贏的情況，結(jié)合獨立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率．【解答】解：分兩種情況討論：（1）第一局甲勝，第二局乙勝：若第一局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝第一局的概率為，第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為，若第一局乙執(zhí)黑子先下，則甲勝第一局的概率為，第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為，所以第一局甲勝，第二局乙勝的概率為；（2）第一局乙勝，第二局甲勝：若第一局甲執(zhí)黑子先下，則乙勝第一局的概率為，第二局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為，若第一局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝第一局的概率為，第二局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為，所以，第一局乙勝，第二局甲勝的概率為．綜上所述，甲、乙各勝一局的概率為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共62分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）直線l經(jīng)過兩直線l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝0的交點．（1）若直線l與直線3x+y﹣1＝0垂直，求直線l的方程；（2）若點A（3，1）到直線l的距離為5，求直線l的方程．【答案】（1）x﹣3y+8＝0；（2）x＝﹣2或12x﹣5y+34＝0．【分析】（1）聯(lián)立方程組，求得兩直線的交點坐標，利用垂直關(guān)系求得斜率，結(jié)合點斜式方程，即可求解；（2）分直線的斜率存在與不存在，結(jié)合點到直線的距離公式求得斜率，利用點斜式方程，即可求解．【解答】解：（1）聯(lián)立方程組，解得，所以交點坐標為（﹣2，2），又因為直線l與直線3x+y﹣1＝0垂直，所以直線l的斜率為，則直線l的方程為，即x﹣3y+8＝0；（2）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝﹣2，滿足點A（3，1）到直線l的距離為5；當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y﹣2＝k（x+2），即kx﹣y+2k+2＝0，則點A到直線l的距離為，解得，故直線l的方程為＝0，即12x﹣5y+34＝0，綜上可得，直線l的方程為x＝﹣2或12x﹣5y+34＝0．16．（15分）已知圓心為C的圓經(jīng)過點A（﹣3，0）和點B（1，0）兩點，且圓心C在直線y＝x+1上．（1）求圓C的標準方程；（2）已知線段MN的端點M的坐標（3，4），另一端點N在圓C上運動，求線段MN的中點G的軌跡方程．【答案】（1）（x+1）2+y2＝4．（2）（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1．【分析】（1）設(shè)圓心坐標為C（a，a+1），根據(jù)A、B兩點在圓上利用兩點的距離公式建立關(guān)于a的方程，解出a值．從而算出圓C的圓心和半徑，可得圓C的方程．（2）設(shè)出點G、N的坐標，再由中點坐標公式用G點的坐標表示N點的坐標，再代入圓的方程，整理后得到點G軌跡方程．【解答】解：（1）由圓心C在直線y＝x+1上，可設(shè)圓心的坐標為C（a，a+1），再根據(jù)圓C經(jīng)過點A（﹣3，0）和點B（1，0），可得|CA|＝|CB|，即（a+3）2+（a+1）2＝（a﹣1）2+（a+1）2＝r2，解得a＝﹣1，r2＝4，可得圓心C的坐標是（﹣1，﹣1），r＝2，∴圓C的標準方程為（x+1）2+y2＝4；（2）設(shè)N（x1，y1），G（x，y），∵線段MN的中點是G，∴由中點公式得x1＝2x﹣3，y1＝2y﹣4，∵N在圓C上，∴（2x﹣2）2+（2y﹣4）2＝4，即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1．17．（15分）質(zhì)量監(jiān)督局檢測某種產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標x，y，z，用綜合指標Q＝x+y+z核定該產(chǎn)品的等級．若Q≤5，則核定該產(chǎn)品為一等品．現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標列表如表：產(chǎn)品編號A1A2A3A4A5質(zhì)量指標（x，y，z）（1，1，2）（2，1，2）（2，2，2）（1，3，1）（1，2，3）產(chǎn)品編號A6A7A8A9A10質(zhì)量指標（x，y，z）（1，2，2）（2，3，1）（3，2，1）（1，1，1）（2，1，1）（1）利用表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率；（2）在該樣品的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品，設(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標均滿足Q≤4”，求事件B的概率．【答案】（1）0.6；（2）．【分析】（1）根據(jù)題意，用綜合指標Q＝x+y+z計算出10件產(chǎn)品的綜合指標并列表表示，則樣本的一等品率可求；（2）根據(jù)題意，用列舉法分析“隨機抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果”和“事件B發(fā)生的所有可能結(jié)果”，由古典概型公式計算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，計算10件產(chǎn)品的綜合指標S，如下表：產(chǎn)品編號A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4565656634其中Q≤5的有A1，A2，A4，A6，A9，A10共6件，故該樣本的一等品率為，從而估計該批產(chǎn)品的一等品率為0.6．（2）在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為：{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A6}，{A1，A9}，{A1，A10}，{A2，A4}，{A2，A6}，{A2，A9}，{A2，A10}，{A4，A6}，{A4，A9}，{A4，A10}，{A6，A9}，{A6，A10}，{A9，A10}共15種．在該樣本的一等品中，綜合指標均滿足Q≤4的產(chǎn)品編號分別為A1，A9，A10，則事件B發(fā)生的所有可能結(jié)果為A1，A9}，{A1，A10}，{A9，A10}共3種，所以．18．（17分）如圖，在四棱錐A﹣BCDE中，△BCE為等邊三角形，平面ACD⊥平面CDE，AC⊥CD，二面角D﹣AC﹣E的大小為60°．（1）求證：CD∥平面ABE；（2）若AC＝BC＝2，點G為線段AB上的點，若直線CB與平面CEG所成角的正弦值為，求線段AG的長度．【答案】（1）證明見解答．（2）AG的長為．【分析】（1）證明AC⊥CD，推出AC⊥平面CDE．說明∠ECD為二面角D﹣AC﹣E的平面角，推出CD∥BE．然后證明CD∥平面ABE．（2）取BE的中點F，連結(jié)CF．說明AC，CF，CD兩兩垂直．以C為坐標原點，的方向為x軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系C﹣xyz，求出平面CEG的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解直線CB與平面CEG所成的角為，解得，然后求解AG的長．【解答】（1）證明：在四棱錐A﹣BCDE中，因為平面ACD⊥平面CDE，平面ACD∩平面CDE＝CD，AC⊥CD，AC?平面ACD，所以AC⊥平面CDE．又CE，CD?平面CDE，所以AC⊥CE，AC⊥CD．所以∠ECD為二面角D﹣AC﹣E的平面角，所以∠ECD＝60°，又∠BEC＝60°，所以C