《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)（第7版）》課件 孫靖民 第7章多目標(biāo)及離散變量優(yōu)化；第8章機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)第七章

多目標(biāo)和離散變量優(yōu)化方法第一節(jié)多目標(biāo)優(yōu)化問題第二節(jié)多目標(biāo)優(yōu)化方法第三節(jié)離散變量優(yōu)化問題第四節(jié)

離散變量優(yōu)化方法機(jī)械設(shè)計(jì)中，同時(shí)要求幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的問題

——多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題多目標(biāo)優(yōu)化問題的類型：

(1)整體多目標(biāo)優(yōu)化

(2)分層(步)多目標(biāo)優(yōu)化多目標(biāo)優(yōu)化問題與單目標(biāo)優(yōu)化問題有根本性區(qū)別:①單目標(biāo)問題可以得到最優(yōu)解，而多目標(biāo)問題往往得不到最優(yōu)解，而只能得到非劣解（有效解）②多目標(biāo)優(yōu)化問題的任意兩個(gè)設(shè)計(jì)方案，往往不易于比較其優(yōu)劣。第一節(jié)多目標(biāo)優(yōu)化問題TlRxRxxfxfxfxFnn)]()(),([)(21minmin..??=判別方案的優(yōu)劣：單目標(biāo)：只要用f(x)去比較即可絕對最優(yōu)解：多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，幾個(gè)分目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)的解。絕對最優(yōu)解幾乎不可能找到，因?yàn)楦鞣帜繕?biāo)函數(shù)有時(shí)會相互矛盾。非劣解(有效解)：指有m個(gè)目標(biāo)函數(shù)，找不到一個(gè)x，使得其中一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值fi(x)比fi(x*)更好，而其余(m-1)個(gè)目標(biāo)函數(shù)值不變壞，則稱x*為非劣解（有效解）;多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，各分目標(biāo)往往互相矛盾，甚至對立，這就需在各分目標(biāo)函數(shù)之間協(xié)調(diào)，互相作些讓步，以便取得較好的方案。

多目標(biāo)：（j=1,2,…l）例1在最優(yōu)解為：但兩者無共同的最優(yōu)解內(nèi)兩單目標(biāo)函數(shù)]2,0[?x①內(nèi)，(若，對任意都有，則x*是多目標(biāo)優(yōu)化的絕對最優(yōu)解)③若，且不存在使，則x*為非劣解。的所有點(diǎn)均為非劣解。是絕對最優(yōu)解。內(nèi)，a’，a點(diǎn)都是劣解（若，存在，有②則x*成為劣解。）Dxx*?例如b點(diǎn)。一、主要目標(biāo)法基本思想：多個(gè)目標(biāo)中選擇一個(gè)目標(biāo)作為主要目標(biāo)，而其它目標(biāo)則只需滿足一定的要求即可，即將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為約束條件目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為：二、統(tǒng)一目標(biāo)法基本思想：將多目標(biāo)優(yōu)化問題，通過一定方法轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)或綜合目標(biāo)函數(shù)作為多目標(biāo)優(yōu)化問題的評價(jià)函數(shù)。第二節(jié)多目標(biāo)優(yōu)化方法式中，fimin和f

imax為第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)的上、下限。一般只有單邊限制1．線性加權(quán)法基本思想：將各個(gè)分目標(biāo)函數(shù)依其數(shù)量級和在整體設(shè)計(jì)中的重要程度相應(yīng)地給出一組構(gòu)成一新的統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)F(x)wi——加權(quán)因子(wi≥0，i=1,2,…，l)加權(quán)因子取值對計(jì)算結(jié)果的正確性影響較大。常用的方法有：線性加權(quán)法、理想點(diǎn)法（目標(biāo)規(guī)劃法）、功效系數(shù)法和極大極小法等。加權(quán)因子，,取fi(x)和wi(i=1,2,…，l)的線性組合，為消除各分目標(biāo)在量級上的差別，先將分目標(biāo)函數(shù)fi(x)轉(zhuǎn)化為無量綱等量級目標(biāo)函數(shù)再組成統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)。wi——按各分目標(biāo)的重要程度來決定如各分目標(biāo)有相同的重要性，則取wi=1(i=1,2,…,l)—稱為均勻計(jì)權(quán)，否則取各分目標(biāo)不同的加權(quán)因子，取將fi(x)轉(zhuǎn)換為無量綱的等量級目標(biāo)函數(shù)的方法①將各分目標(biāo)轉(zhuǎn)化后加權(quán)加權(quán)因子wi確定的方法:設(shè)各分目標(biāo)函數(shù)值的變動范圍為：②即將各單目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值的倒數(shù)作為權(quán)系數(shù)，它反映了各單目標(biāo)函數(shù)離開各自最優(yōu)值的程度。另外相當(dāng)于各分目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了無量綱的處理，而消除了各分目標(biāo)在數(shù)量級上的差別。其中，w1i——本征權(quán)因子，反映各分目標(biāo)的重要程度w2i——校正權(quán)因子，調(diào)整各分目標(biāo)間量級差別的影響加權(quán)因子w2i愈小，反之，亦然。這樣可調(diào)整不同的目標(biāo)函數(shù)值同步下降。③直接加權(quán)法一個(gè)分目標(biāo)函數(shù)fi(x)變化越快，的值越大，將加權(quán)因子分成兩部分一般?。簑i=w1i·w2i

(i=1,2,…,l)基本思想：先定出各分目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，根據(jù)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的總體要求對這些最優(yōu)值進(jìn)行調(diào)整，定出各分目標(biāo)的最合理值（也可以是最優(yōu)值），再構(gòu)造新的統(tǒng)一的式中，除如引入加權(quán)系數(shù)wi，則目標(biāo)函數(shù)為：2．理想點(diǎn)法（目標(biāo)規(guī)化法）是為使目標(biāo)函數(shù)無量綱化。目標(biāo)函數(shù)：V——其中，則統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)為即要求位于分子的各分目標(biāo)函數(shù)應(yīng)盡量小，而位于分母的各分目標(biāo)函數(shù)應(yīng)盡量大。一般要求各分目標(biāo)函數(shù)fi(x)在D上均取正值。3．分目標(biāo)乘除法多目標(biāo)混合優(yōu)化問題：基本思想：對應(yīng)每一目標(biāo)函數(shù)都用功效系數(shù)來表示該項(xiàng)指標(biāo)的好壞總功效系數(shù)（評價(jià)函數(shù)）C值越大越好，C=1---方案最滿意C=0---表示此方案不能被接受。只要有一個(gè)方案，Ci=0，此方案都不能被接受功效系數(shù)類型：1）Ci與fi成正比，即要求目標(biāo)函數(shù)越大越好2）Ci與fi成反比，即要求目標(biāo)函數(shù)越小越好3）fi取某適當(dāng)值時(shí)，Ci就越大；否則Ci就越小。4．功效系數(shù)法功效系數(shù)的確定方法：①直線法②折線法③指數(shù)法功效系數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)：

1、各分目標(biāo)函數(shù)的值數(shù)量級大小對優(yōu)化無影響

2、評價(jià)函數(shù)比較直觀、易于調(diào)整

3、適于要求目標(biāo)函數(shù)取值適中的情況基本思想：多目標(biāo)優(yōu)化問題中，存在目標(biāo)函數(shù)間相互矛盾的情況，一個(gè)（些）目標(biāo)函數(shù)值的減小，將導(dǎo)致另一個(gè)（些）目標(biāo)函數(shù)值的增大。因此，各分目標(biāo)函數(shù)值之間需要進(jìn)行協(xié)調(diào)，以便取得合理的方案。如圖所示，兩維雙目標(biāo)函數(shù)f1(x)、f2(x)的等值線和兩個(gè)不等式約束曲面.三、協(xié)調(diào)曲線法f1(x)最優(yōu)點(diǎn)T點(diǎn)，f2(x)最優(yōu)點(diǎn)P點(diǎn)可行域中任意一點(diǎn)R.

從R點(diǎn)起沿f1(x)=5等值線，向約束面移動f2(x)不斷改善，直至邊界上S點(diǎn)。從R點(diǎn)起沿f2(x)=8等值線，向約束面f1(x)移動不斷改善，直至邊界上Q點(diǎn)。f1(x)=5時(shí)，對應(yīng)f2(x)的最佳點(diǎn)為S點(diǎn)由此可得f1(x)（或f2(x)）為定值時(shí)對應(yīng)的最佳f2(x)（或f1(x)）的點(diǎn)關(guān)系曲線T-Q-S-P—協(xié)調(diào)曲線。f2(x)=8時(shí)，對應(yīng)f1(x)的最佳點(diǎn)為Q點(diǎn)。均為約束邊界點(diǎn)S、Q點(diǎn)都比R點(diǎn)優(yōu)該曲線反映了兩個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)全部最佳方案的調(diào)整范圍,再建立一個(gè)衡量設(shè)計(jì)方案滿意程度的準(zhǔn)則，建立一組反映不同滿意程度的曲線u(f1,f2)，使隨著滿意度增加，同時(shí)使目標(biāo)函數(shù)f1(x)和f2(x)都有所下降。滿意度曲線與協(xié)調(diào)曲線的切點(diǎn)，即為最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。如圖所示O點(diǎn)滿意度曲線不同，則最優(yōu)設(shè)計(jì)方案也不同?；舅枷耄簩⒍嗄繕?biāo)優(yōu)化問題的各目標(biāo)函數(shù)按重要程度排列，然后，依次對各個(gè)目標(biāo)函數(shù)求最優(yōu)解，而后一目標(biāo)函數(shù)應(yīng)在其前面目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的集合域內(nèi)尋優(yōu)。1、分層序列法設(shè)分目標(biāo)函數(shù)重要程度次序?yàn)椋篺1(x)、f2(x)，…則首先對f1(x)尋優(yōu)：在的集合內(nèi)對f2(x)尋優(yōu)：四、分層序列法和寬容分層序列法問題：如其中第k個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為唯一時(shí)，再往下求解就失去意義，而后面l-k個(gè)目標(biāo)函數(shù)也沒法得到最優(yōu)化解。以下類推。2、寬容分層序列法基本思想：即先對各目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值取一定的寬容量ε1，ε2，…，εl(>0)，使求后一個(gè)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值時(shí)，對前一些目標(biāo)函數(shù)的約束擴(kuò)大為在其最優(yōu)值附近的某一范圍內(nèi)。②③……④①如圖，兩目標(biāo)優(yōu)化問題，不作寬容時(shí)，為最優(yōu)解，即f1(x)的嚴(yán)格最優(yōu)解，給定寬容值ε1，則最優(yōu)解為x(1)例1用寬容分層序列法求解式中，解：如圖所示，由給定ε1=0.052，解∴V—

等間隔的離散變量非均勻間隔離散變量→特例：整數(shù)變量—整數(shù)規(guī)劃問題最簡單處理辦法：按連續(xù)變量處理，得最優(yōu)解后，再圓整為最近的離散值問題：①圓整后的點(diǎn)在非可行域;②圓整為哪一個(gè)附近的離散值難于確定;③有些情況下設(shè)計(jì)變量不允許最后取整。第三節(jié)離散變量優(yōu)化問題一、概述離散變量式中——離散變量子集合xD為空集時(shí)，為連續(xù)變量型問題xC為空集時(shí)，為全離散變量型問題——連續(xù)變量子集合約束非線性混合離散變量優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型：一、約束非線性離散變量的優(yōu)化方法常用方法：

1)以連續(xù)變量優(yōu)化為基礎(chǔ)的方法：

圓整法、擬離散法、離散型罰函數(shù)法

2)離散變量隨機(jī)優(yōu)化方法：隨機(jī)試驗(yàn)法，隨機(jī)離散搜索法

3)離散變量搜索優(yōu)化方法：

組合優(yōu)化法，整數(shù)梯度法

4)其它離散變量優(yōu)化方法：

非線性隱枚舉法，分支定界法第四節(jié)離散變量優(yōu)化方法(一)以連續(xù)變量優(yōu)化為基礎(chǔ)的方法1、整型化、離散化法（圓整法、湊整法）

基本思想：先按連續(xù)變量方法求得最優(yōu)解x*，再進(jìn)一步尋找整型量或離散量優(yōu)化解。設(shè)最優(yōu)點(diǎn)的n個(gè)實(shí)型分量為，則最靠近的兩個(gè)離散量（或整型量）由這些離散（整型）分量的不同組合，便構(gòu)成了最鄰近于實(shí)型最優(yōu)點(diǎn)x*的兩個(gè)整型（離散）分量及其相應(yīng)一組離散（整型）點(diǎn)群共2n個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)。去除不在可行域內(nèi)點(diǎn)，其余在可行域內(nèi)的若干點(diǎn)中，選取一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值最小的點(diǎn)作為最優(yōu)解輸出。問題：如中圖:x*點(diǎn)（通常在約束邊界上）附近的離散點(diǎn)（整型點(diǎn)）均不在可行域內(nèi)的情況如右圖:離x*較遠(yuǎn)的點(diǎn)P為離散最優(yōu)點(diǎn)的情況。如左圖，x*點(diǎn)附近整型（離散）點(diǎn)群為ABCD。B點(diǎn)在可行域外，C點(diǎn)為最優(yōu)點(diǎn)。2．?dāng)M離散法

基本思想：在求得連續(xù)變量最優(yōu)解x*后，在x*點(diǎn)附近按一定方法進(jìn)行搜索來求得優(yōu)化離散解。

(1)交替查找法：適于全整數(shù)變量優(yōu)化問題（略）

(2)離散分量取整，連續(xù)分量優(yōu)化法：適用于混合離散變量優(yōu)化問題（略）基本思想：將設(shè)計(jì)變量的離散性視為對該變量的一種約束條件，再用連續(xù)變量的優(yōu)化方法來計(jì)算離散變量問題的優(yōu)化解。

1）構(gòu)造一個(gè)具有下列性質(zhì)的離散懲罰函數(shù)項(xiàng)Qk(xD)3、離散懲罰函數(shù)法RD—設(shè)計(jì)空間離散點(diǎn)的集合其意義為：當(dāng)離散變量趨于離散值時(shí)，懲罰函數(shù)值為零離散懲罰函數(shù)定義方法:其中，xi為相鄰兩離散點(diǎn)xij和xij+1間任一點(diǎn)坐標(biāo)。Qk(xD)為規(guī)范化的對稱函數(shù)，其最大值為1，xi取xij或xij+1時(shí)為0。如圖,對βk≥1情形，在離散值之間范圍內(nèi)，函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。(1)2）將離散懲罰函數(shù)項(xiàng)Qk(xD)加到內(nèi)點(diǎn)法SUMT的懲罰項(xiàng)中，得離散懲罰函數(shù)為：其中，s(k)為離散懲罰因子，

∴時(shí)例1求f(x)=x/2的最小整數(shù)優(yōu)化解，約束函數(shù)

g1(x)=1.3-x≤0如圖所示，分別表示k不同時(shí)，離散優(yōu)化點(diǎn)

最終離散最優(yōu)解為[x]2

變化情況隨著k不斷變化，r減小，s增加

方法缺點(diǎn)：離散懲罰函數(shù)易出現(xiàn)病態(tài)，使優(yōu)化搜索帶來困難。(二)離散變量搜索型方法——離散復(fù)合形法特點(diǎn)：在離散空間直接搜索，每次得到的復(fù)合形頂點(diǎn)都是離散點(diǎn)，通過不同的搜索方法來改變其形狀，使復(fù)合形逐步向離散最優(yōu)點(diǎn)趨近。算法步驟：1)在n維空間產(chǎn)生由2n+1個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的初始復(fù)合形，并將各頂點(diǎn)移到各自附近的離散點(diǎn)上。2)將各項(xiàng)點(diǎn)按目標(biāo)函數(shù)值由大到小排列，找出最壞點(diǎn)AH3)找出除最壞點(diǎn)外復(fù)合形的幾何中心，并求出最壞點(diǎn)AH相對于中心點(diǎn)的反射點(diǎn)Ap并移到附近離散點(diǎn)上。4)如Ap點(diǎn)可行，且目標(biāo)函數(shù)值比AH點(diǎn)好，則用Ap替代AH點(diǎn)，組成新復(fù)合形→轉(zhuǎn)步驟2。否則，沿反射的反方向搜索定新點(diǎn)。5)如用上述方法失敗，則依次用次壞點(diǎn)…代替最壞點(diǎn)作為映射點(diǎn)，轉(zhuǎn)步驟3）6)如用最好點(diǎn)代替AH作為映射點(diǎn)，仍找不到好點(diǎn)，或復(fù)合形退化到n-1維空間時(shí)，表示算法收斂。此時(shí)，取復(fù)合形頂點(diǎn)中最好的點(diǎn)作為離散優(yōu)化解。(三)分支定界法離散變量的分支定界法是一種解線性整數(shù)規(guī)劃問題的有效方法。此法與線性整數(shù)規(guī)劃的分支定界法相似，步驟如下：1）設(shè)所討論問題為求極小化的問題，先求出元問題不考慮整數(shù)或離散約束的非線性問題的連續(xù)變量解。2）對非整數(shù)變量，可將分解為整數(shù)部分和小數(shù)部分。3）構(gòu)造兩個(gè)子問題：上界約束，下界約束4）將上述兩個(gè)子問題按連續(xù)變量非線性問題求優(yōu)化解。5）重復(fù)上述過程，不斷分支，并求得分支產(chǎn)生的子問題的優(yōu)化解，直到求得一個(gè)離散解為止。6）在上述求解過程中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多能分出兩個(gè)新的節(jié)點(diǎn)。7）當(dāng)下列情況出現(xiàn)時(shí)，則認(rèn)為相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)以及它以后的節(jié)點(diǎn)已考察清楚8）當(dāng)所有節(jié)點(diǎn)都考察清楚后，尋求工作結(jié)束，此時(shí)最好的整數(shù)解或離散解就是該問題的離散優(yōu)化解。(四)離散變量型網(wǎng)格法

1.離散變量型普通網(wǎng)格法基本思想：以一定的變量增量為間隔，把設(shè)計(jì)空間劃分為若干個(gè)網(wǎng)格，計(jì)算在可行域內(nèi)每個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的目標(biāo)函數(shù)值，比較其大小，再以目標(biāo)函數(shù)值最小的節(jié)點(diǎn)為中心，在其附近空間劃分更小的網(wǎng)格，并計(jì)算各節(jié)點(diǎn)上的目標(biāo)函數(shù)值，直至網(wǎng)格小到滿足精度——網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)密度與離散點(diǎn)密度相等。開始時(shí)→網(wǎng)格比較稀疏→網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)密度逐漸增加→直至按一個(gè)離散增量劃分網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)為止。2．離散變量型正交網(wǎng)格法普通網(wǎng)格法的缺點(diǎn)：變量維數(shù)增加時(shí)，計(jì)算工作量大大增加正交網(wǎng)格法基本思想：根據(jù)正交試驗(yàn)法的原理，利用正交表均勻地選取網(wǎng)格法中一部分有代表性的網(wǎng)格點(diǎn)作為計(jì)算點(diǎn)，又稱隨機(jī)正交網(wǎng)格法。正交網(wǎng)格法的特點(diǎn)：只計(jì)算部分網(wǎng)格點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，計(jì)算工作量少。(五)離散變量的組合型法（MDCP法）

——工程離散優(yōu)化通用方法基本思想：以離散復(fù)合形法為基礎(chǔ)，采用多種離散搜索策略，形成的具有多種功能的組合型算法。適于求解非線性混合離散變量優(yōu)化問題1．初始離散復(fù)合形頂點(diǎn)的形成復(fù)合形頂點(diǎn)數(shù)k=2n+1給定初始離散點(diǎn)x(0)，x(0)須滿足變量值的邊界條件，但不必滿足約束條件，即式中，ximin，ximax分別為第i個(gè)變量的下、上限點(diǎn)號數(shù)分量號數(shù)復(fù)合形的2n+1個(gè)頂點(diǎn)按下面方法產(chǎn)生第1個(gè)頂點(diǎn)：第2至n+1個(gè)頂點(diǎn)：第n+2至2n+1個(gè)頂點(diǎn)：如此產(chǎn)生的復(fù)合形頂點(diǎn)，不要求全是可行點(diǎn)，如圖，5個(gè)初始復(fù)合形頂點(diǎn)中，C、D兩點(diǎn)為不可行點(diǎn)。例如二維：2、離散一維搜索產(chǎn)生新點(diǎn)將復(fù)合形頂點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)值排隊(duì)，找出目標(biāo)函數(shù)值最大的點(diǎn)為最壞點(diǎn)，x(b)以x(b)為基點(diǎn)，向其余各頂點(diǎn)的幾何中心x(e)方向作一維搜索，采用映射、延伸或收縮等步驟搜索搜索方向S的各分量Si計(jì)算式為：離散一維搜索得到的新點(diǎn)為x(t)其各分量為：取離散一維搜索得到的新點(diǎn)為x(t)其各分量為：取其中表示取最靠近離散一維搜索方法可采用離散一維搜索進(jìn)退對分法，步長為單位離散步長的整倍數(shù)。的離散值。T-步長因子在產(chǎn)生初始復(fù)合形頂點(diǎn)及一維離散搜索時(shí)，均未考慮約束條件，為保證復(fù)合形迭代限制在可行域內(nèi)，定義一個(gè)有效目標(biāo)函數(shù)EF(x)3．約束條件的處理式中，M——數(shù)量級比f(x)大得多的常數(shù)SUM——為一特殊函數(shù)，其值與所有違反約束量的總和成正比。常數(shù)如圖所示為一維變量EF(x)的幾何圖形。若新點(diǎn)在可行域外，沿EF(x)的下降方向進(jìn)行一維離散搜索時(shí)，搜索點(diǎn)會自動滑入深井內(nèi)；當(dāng)在可行域內(nèi)搜索時(shí)，可行域的邊界M猶如一堵高墻，一到邊界就會被擋住。從而保證離散一維搜索始終在可行域內(nèi)進(jìn)行。4．離散變量組合形的調(diào)整（重新啟動技術(shù)）當(dāng)沿組合形的調(diào)優(yōu)方向S得不到新點(diǎn)時(shí)，則需要調(diào)整組合形的形狀。調(diào)整方法：

1）用次壞點(diǎn)（也可以是第2、3…壞的頂點(diǎn)）與其余頂點(diǎn)幾何中心的連線方向取代原搜索方向繼續(xù)進(jìn)行調(diào)優(yōu)迭代；

2）上述方法失敗，則將每個(gè)頂點(diǎn)都向好點(diǎn)方向收縮1/3，構(gòu)成新組合形繼續(xù)進(jìn)行迭代。5．組合型算法的終止準(zhǔn)則在連續(xù)變量的復(fù)合形法中的收斂準(zhǔn)則：復(fù)合形各頂點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)值與幾何中心點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)值的均方根差小于某個(gè)很小的正數(shù)，或者復(fù)合形“邊長”很小時(shí)。但在離散變量的組合形算法中，由于各個(gè)設(shè)計(jì)分量的離散增量差距較大，所以這兩個(gè)準(zhǔn)則均無效。

令第i個(gè)坐標(biāo)方向上的長度為：取連續(xù)變量的精度值（或稱擬增量）為εi，各離散變量的增量值為Δi。預(yù)先給定的一個(gè)期望個(gè)數(shù)EN(n/2≤EN≤n)。將di與Δi或εi進(jìn)行比較，如滿足di≤Δi

(或εi)的分量個(gè)數(shù)RN大于EN。

RN≥EN，則認(rèn)為已經(jīng)收斂。這時(shí)表明離散復(fù)合形各頂點(diǎn)坐標(biāo)值不再產(chǎn)生有意義的變化，將最好頂點(diǎn)作為離散變量的優(yōu)化解輸出。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)第八章機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例×前面我們較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的理論和方法。本章將首先介紹機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的注意事項(xiàng)和應(yīng)用技巧；接著通過幾個(gè)典型機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例，來說明在解決一個(gè)工程實(shí)際優(yōu)化問題時(shí)，建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型、選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法、編程、最終得出復(fù)合要求的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果等問題第一節(jié)應(yīng)用技巧一、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般過程1）建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型2）選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法3）編寫計(jì)算機(jī)程序4）準(zhǔn)備必要的初始數(shù)據(jù)進(jìn)行上機(jī)計(jì)算5）對計(jì)算機(jī)求得結(jié)果進(jìn)行必要的分析優(yōu)化方法的選擇數(shù)學(xué)模型問題規(guī)模目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的性態(tài)計(jì)算精度問題種類第一節(jié)應(yīng)用技巧優(yōu)化方法總的選用原則有以下幾點(diǎn)：1、算法的通用性，即在一定精度要求下，是否對各種不同特性的優(yōu)化問題都能獲得成功。優(yōu)化問題的特性一般表現(xiàn)在目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)上，例如：變量的數(shù)目、非線性的程度、各變量間的交互作用程度、是單峰還是多峰、是否利用梯度信息、初始點(diǎn)是否可以任選等。2、其次看計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的次數(shù)。在同樣精度下，希望計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的次數(shù)越少越好。3、第三要看在同樣精度的情況下，算法收斂所需的計(jì)算機(jī)時(shí)間，即：計(jì)算效率，當(dāng)然越快越好。二、建立數(shù)學(xué)模型的基本原則在能夠確切反映工程實(shí)際問題的基礎(chǔ)上力求簡潔1、設(shè)計(jì)變量的選擇①設(shè)計(jì)參數(shù)的取舍——盡量減少設(shè)計(jì)變量的數(shù)目一個(gè)機(jī)械設(shè)計(jì)方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示。為了進(jìn)行機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)，都要尋找并確定最佳的設(shè)計(jì)參數(shù)。這些參數(shù)中，有的可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)、規(guī)定等選定，在設(shè)計(jì)過程中始終保持不變，在優(yōu)化設(shè)計(jì)中可認(rèn)為是設(shè)計(jì)常量.例如：材料的機(jī)械性能參數(shù)狀態(tài)參數(shù)：如功率、溫度、應(yīng)力、應(yīng)變、撓度、壓力、速度等可由設(shè)計(jì)對象的尺寸、載荷以及構(gòu)件間的運(yùn)動關(guān)系等計(jì)算得出②設(shè)計(jì)變量間應(yīng)相互獨(dú)立，否則會使目標(biāo)函數(shù)出現(xiàn)“病態(tài)”——“山脊”，“溝谷”第一節(jié)應(yīng)用技巧2、目標(biāo)函數(shù)的確定目標(biāo)函數(shù)——一項(xiàng)設(shè)計(jì)所追求的指標(biāo)的數(shù)學(xué)反映要求：能夠用來評價(jià)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣必須是設(shè)計(jì)變量的可計(jì)算函數(shù)第一節(jié)應(yīng)用技巧1）、優(yōu)化目標(biāo)的選擇：應(yīng)當(dāng)對所追求的各項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行細(xì)致分析，從中選擇最重要、最具代表性的指標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)2）、優(yōu)化指標(biāo)矛盾的處理第一節(jié)應(yīng)用技巧在機(jī)械設(shè)計(jì)中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有：一般機(jī)械：體積最小、重量最輕應(yīng)力集中現(xiàn)象突出的構(gòu)件：應(yīng)力集中系數(shù)最小精密儀器：精度最高或誤差最小若對機(jī)構(gòu)的動態(tài)特性有專門要求，則應(yīng)針對其動力學(xué)參數(shù)建立目標(biāo)函數(shù)；對于要求再現(xiàn)運(yùn)動軌跡的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)，則應(yīng)根據(jù)機(jī)構(gòu)的軌跡誤差最小建立目標(biāo)函數(shù)。

第一節(jié)應(yīng)用技巧3、約束條件的確定約束條件是就工程設(shè)計(jì)本身而提出的對設(shè)計(jì)變量取值范圍的限制條件，也是設(shè)計(jì)變量的可計(jì)算函數(shù)。約束條件的分類1）性能約束：根據(jù)設(shè)計(jì)性能或指標(biāo)要求而定的一種約束條件，例如：零件的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性等2）邊界約束：是對設(shè)計(jì)變量取值范圍的限制。也稱為側(cè)面約束。例如齒輪的模數(shù)，齒數(shù)的上下限等。在性能約束中，又有復(fù)雜和簡單之分約束函數(shù)有的很簡單，可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計(jì)變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，這類約束叫做顯式約束。例如設(shè)計(jì)曲柄連桿機(jī)構(gòu)時(shí)的曲柄存在約束條件有的只能表示成隱式形式，例如復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過有限元或動力學(xué)計(jì)算求得，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動誤差要用數(shù)值積分來計(jì)算，這類約束叫做隱式約束。第一節(jié)應(yīng)用技巧選擇約束條件時(shí)應(yīng)避免相互矛盾的約束，從而使可行域?yàn)榭占?，使問題無解；還要盡量減少不必要的約束，否則增加計(jì)算量，減小可行域的范圍，影響尋優(yōu)效果。第一節(jié)應(yīng)用技巧三、數(shù)學(xué)模型的尺度變換在工程實(shí)際問題中，不同的設(shè)計(jì)變量，其量綱一般是不同的，數(shù)量集的差別往往也很大；在優(yōu)化迭代中，這種差別對計(jì)算數(shù)值變化的靈敏性、收斂性、穩(wěn)定性，都有不同程度的影響。為了提高優(yōu)化收斂速度，提高計(jì)算穩(wěn)定性，在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中，常采用尺度變換措施。第一節(jié)應(yīng)用技巧尺度變換——通過放大或縮小各坐標(biāo)的比例尺，以達(dá)到改善數(shù)學(xué)模型性態(tài)，使之易于求解的技巧1、目標(biāo)函數(shù)的尺度變換在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，若目標(biāo)函數(shù)嚴(yán)重非線性，致使函數(shù)性態(tài)惡化，此時(shí)，無論采用何種優(yōu)化方法，其計(jì)算效率都不會高，而且計(jì)算穩(wěn)定性差。這時(shí)就需要對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行尺度變換。第一節(jié)應(yīng)用技巧尺度變換前的等值線圖尺度變換后的等值線圖2、設(shè)計(jì)變量的尺度變換——對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行重新標(biāo)度，使它們稱為無量綱和規(guī)格化的設(shè)計(jì)變量。方法：原設(shè)計(jì)變量尺度變換因子新設(shè)計(jì)變量第一節(jié)應(yīng)用技巧尺度變換因子：3、約束函數(shù)的規(guī)格化——約束函數(shù)的尺度變換在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中，約束條件都是根據(jù)工程實(shí)際問題擬定的，因此，約束函數(shù)值的數(shù)量級往往會相差很大。對于設(shè)計(jì)變量的微小變化，它們的靈敏度也完全不同，靈敏度高的約束條件在極小化過程中首先得到滿足，靈敏度低的就很難滿足，因此需要對數(shù)量級相差很大的約束條件進(jìn)行尺度變換第一節(jié)應(yīng)用技巧對于剛度、強(qiáng)度等性能約束，可建立如下約束條件：這樣就使得各約束函數(shù)的取值范圍都限制在[0,1]區(qū)間內(nèi)，從而使搜索過程穩(wěn)定進(jìn)行并加快收斂速度。第二節(jié)機(jī)床主軸結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)一、數(shù)學(xué)模型的建立

在設(shè)計(jì)這根主軸時(shí)，有兩個(gè)重要因素需要考慮。一是主軸的自重；一是主軸伸出端c點(diǎn)的撓度。

對于普通機(jī)床，不要求過高的加工精度，對機(jī)床主軸的優(yōu)化設(shè)計(jì)，以選取主軸的自重最輕為目標(biāo)，外伸端的撓度為約束條件。當(dāng)主軸的材料選定時(shí)，其設(shè)計(jì)方案由四個(gè)設(shè)計(jì)變量決定?？讖絛、外徑D、跨距l(xiāng)及外伸端長度a。由于機(jī)床主軸內(nèi)孔用于通過待加工的棒料，其大小由機(jī)床型號決定。不作為設(shè)計(jì)變量。故設(shè)計(jì)變量取為機(jī)床主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)為再確定約束條件在外力F給定的情況下，y是設(shè)計(jì)變量x的函數(shù),其值按下式計(jì)算

剛度滿足條件，強(qiáng)度尚有富裕，因此應(yīng)力約束條件可不考