高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題含絕對(duì)值的不等式解法

創(chuàng)作人： 熒多莘 日期： 二O二二年1月17日創(chuàng)作人： 熒多莘 日期： 二O二二年1月17日2021屆高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題含絕對(duì)值的不等式解法理創(chuàng)作人：熒多莘日期：二O二二年1月17日例1不等式|8－3x|＞0的解集是[]答選C．例2絕對(duì)值大于2且不大于5的最小整數(shù)是[]A．3 B．2C．－2 D．－5分析列出不等式．解根據(jù)題意得2＜|x|≤5．從而－5≤x＜－2或者2＜x≤5，其中最小整數(shù)為－5，答選D．例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集為_(kāi)_______．分析利用所學(xué)知識(shí)對(duì)不等式施行同解變形．解原不等式可化為4＜|3x－1|≤7，即4＜3x－1≤7或者－7例4集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A．分析轉(zhuǎn)化為解絕對(duì)值不等式．解∵2＜|6－2x|＜5可化為2＜|2x－6|＜5因?yàn)閤∈N，所以A＝{0，1，5}．說(shuō)明：注意元素的限制條件．例5實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足ab＜0，那么[]A．|a－b|＜|a|＋|b|B．|a＋b|＞|a－b|C．|a＋b|＜|a－b|D．|a－b|＜||a|＋|b||分析根據(jù)符號(hào)法那么及絕對(duì)值的意義．解∵a、b異號(hào)，∴|a＋b|＜|a－b|．答選C．例6設(shè)不等式|x－a|＜b的解集為{x|－1＜x＜2}，那么a，b的值是[]A．a(chǎn)＝1，b＝3B．a(chǎn)＝－1，b＝3C．a(chǎn)＝－1，b＝－3分析解不等式后比擬區(qū)間的端點(diǎn)．解由題意知，b＞0，原不等式的解集為{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又為{x|－1＜x＜2}所以比擬可得．答選D．說(shuō)明：此題實(shí)際上是利用端點(diǎn)的位置關(guān)系構(gòu)造新不等式組．例7解關(guān)于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R)分析分類(lèi)討論．x＜m．{x|1－m＜x＜m}．說(shuō)明：分類(lèi)討論時(shí)要預(yù)先確定分類(lèi)的HY．分析一般地說(shuō)，可以移項(xiàng)后變形求解，但注意到分母是正數(shù)，所以能直接去分母．解注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式轉(zhuǎn)化為2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得說(shuō)明：分式不等式常常可以先斷定一下分子或者者分母的符號(hào)，使過(guò)程簡(jiǎn)便．例9解不等式|6－|2x＋1||＞1．分析以通過(guò)變形化簡(jiǎn)，把該不等式化歸為|ax＋b|＜c或者|ax＋b|＞c型的不等式來(lái)解．解事實(shí)上原不等式可化為6－|2x＋1|＞1①或者6－|2x＋1|＜－1②由①得|2x＋1|＜5，解之得－3＜x＜2；由②得|2x＋1|＞7，解之得x＞3或者x＜－4．從而得到原不等式的解集為{x|x＜－4或者－3＜x＜2或者x＞3}．說(shuō)明：此題需要屢次使用絕對(duì)值不等式的解題理論．例10關(guān)于x的不等式|x＋2|＋|x－3|＜a的解集是非空集合，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．分析可以根據(jù)對(duì)|x＋2|＋|x－3|的意義的不同理解，獲得多種方法．解法一當(dāng)x≤－2時(shí)，不等式化為－x－2－x＋3＜a即－2x＋1＜a有解，而－2x＋1≥5，∴a＞5．當(dāng)－2＜x≤3時(shí)，不等式化為x＋2－x＋3＜a即a＞5．當(dāng)x＞3是，不等式化為x＋2＋x－3＜a即2x－1＜a有解，而2x－1＞5，∴a＞5．綜上所述：a＞5時(shí)不等式有解，從而解集非空．解法二|x＋2|＋|x－3|表示數(shù)軸上的點(diǎn)到表示－2和3的兩點(diǎn)的間隔之和，顯然最小值為3－(－2)＝5．故可求a的取值范圍為a＞5．解法三利用|m|＋|n|＞|m±n|得|x＋2|＋|x－3|≥|(x＋2)－(x－3)|＝5．所以a＞5時(shí)不等式有解．說(shuō)明：通過(guò)多種解法鍛煉思維的發(fā)散性．例11解不等式|x＋1|＞2－x．分析一對(duì)2－x的取值分類(lèi)討論解之．解法一原不等式等價(jià)于：由②得x＞2．分析二利用絕對(duì)值的定義對(duì)|x＋1|進(jìn)展分類(lèi)討論解之．解法二因?yàn)樵坏仁降葍r(jià)于：例12解不等式|x－5|－|2x＋3|＜1．分析設(shè)法去掉絕對(duì)值是主要解題策略，可以根據(jù)絕對(duì)值的意義分－(x－5)＋(2x＋3)＜1，得x＜－7，所以x＜－7；－(x－5)－(2x＋3)＜1，當(dāng)x＞5時(shí)，原不等式可化為x－5－(2x＋3)＜1，解之得x＞－9，所以x＞5．說(shuō)明：在含有絕對(duì)值的不等式中，“去絕對(duì)值〞是根本策略．例13解不等式|2x－1|＞|2x－3|．分析此題也可采取前一題的方法：采取用零點(diǎn)分區(qū)間討論去掉絕之，那么更顯得流暢，簡(jiǎn)捷．解原不等式同解于(2x－1)2＞(2x－3)2，即4x2－4x＋1＞4x2－12x＋9，即8x＞8，得x