專題35 數(shù)列求和原卷版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測

Page專題35數(shù)列求和（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測】 3【考點(diǎn)突破】 4【考點(diǎn)1】分組轉(zhuǎn)化求和 4【考點(diǎn)2】裂項(xiàng)相消法求和 5【考點(diǎn)3】錯(cuò)位相減法求和 6【分層檢測】 7【基礎(chǔ)篇】 7【能力篇】 9【培優(yōu)篇】 10考試要求：1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握非等差數(shù)列，非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.特殊數(shù)列的求和公式(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))2.數(shù)列求和的幾種常用方法(1)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.(2)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.(3)錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解.(4)倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2).2.12＋22＋…＋n2＝eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,6).3.裂項(xiàng)求和常用的三種變形(1)eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).(2)eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).(3)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).4.在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.真題自測真題自測一、解答題1．（2024·全國·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.2．（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．(1)求數(shù)列前項(xiàng)和；(2)設(shè)，．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；（ⅱ）求．3．（2024·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．4．（2023·全國·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．5．（2023·全國·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．6．（2022·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．7．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．8．（2021·全國·高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】分組轉(zhuǎn)化求和一、解答題1．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對任意，有(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前100項(xiàng)的和.2．（23-24高二下·河南·期中）已知數(shù)列的首項(xiàng)且(1)證明:是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2024·廣西·模擬預(yù)測）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對任意正整數(shù)n，有．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對所有正整數(shù)m，若，則在和兩項(xiàng)中插入，由此得到一個(gè)新數(shù)列，求的前91項(xiàng)和．4．（2024·陜西·三模）數(shù)列的前項(xiàng)的最大值記為，即；前項(xiàng)的最小值記為，即，令，并將數(shù)列稱為的“生成數(shù)列”．(1)設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；(2)若，求其生成數(shù)列的前項(xiàng)和．反思提升：1.若數(shù)列{cn}滿足cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.2.若數(shù)列{cn}滿足cn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an，n為奇數(shù)，,bn，n為偶數(shù)，))其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求{cn}的前n項(xiàng)和.【考點(diǎn)2】裂項(xiàng)相消法求和一、解答題1．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（2024·江蘇鹽城·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)，證明：.3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列（）中，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.4．（2024·福建泉州·二模）己知數(shù)列和的各項(xiàng)均為正，且，是公比3的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿足．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．反思提升：1.用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要對通項(xiàng)進(jìn)行變換，如：eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq\f(1,k)(eq\r(n＋k)－eq\r(n))，eq\f(1,n（n＋k）)＝eq\f(1,k)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋k))，裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng).2.消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).【考點(diǎn)3】錯(cuò)位相減法求和一、解答題1．（2024高三下·四川成都·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且其前項(xiàng)和.(1)證明：是等差數(shù)列，并求；(2)如果，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2024·山西太原·三模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且也是等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.反思提升：(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，常采用錯(cuò)位相減法.(2)錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：①要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形.②在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.③應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.分層分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2020·內(nèi)蒙古包頭·二模）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為（

）A．100 B．105 C．110 D．1152．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》中，后人稱為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，…，設(shè)從上往下各層的球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則（

）

A． B． C． D．3．（2024·浙江杭州·二模）設(shè)數(shù)列滿足．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，則（

）A．110 B．120 C．288 D．3064．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2021=（

）A．3 B．2 C．1 D．0二、多選題5．（21-22高二下·全國·單元測試）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)正確的為（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為 D．6．（2023·遼寧·二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，且，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則正確的選項(xiàng)是（

）．A． B．C． D．7．（2021·湖南衡陽·一模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若為常數(shù)，則稱數(shù)列為“吉祥數(shù)列”.則下列數(shù)列為“吉祥數(shù)列”的有（

）A． B． C． D．三、填空題8．（2024·山東濟(jì)南·三模）數(shù)列滿足，若，，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為．9．（2023·上海黃浦·三模）南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個(gè)，第二層放3個(gè)，第三層放6個(gè)，第四層放10個(gè)第n層放個(gè)物體堆成的堆垛，則．

10．（2022·上?！つM預(yù)測）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個(gè)正整數(shù)n，圓都與圓相互外切，以表示圓的半徑，已知為遞增數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為．四、解答題11．（2024·陜西渭南·三模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．12．（2024·黑龍江·三模）已知等差數(shù)列的公差，與的等差中項(xiàng)為5，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【能力篇】一、單選題1．（2022·安徽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，，現(xiàn)從數(shù)列中剔除與的公共項(xiàng)后，將余下的項(xiàng)按照從小到大的順序進(jìn)行排列，得到新的數(shù)列，則數(shù)列的前150項(xiàng)之和為（

）A．23804 B．23946 C．24100 D．24612二、多選題2．（2024·江西·三模）已知數(shù)列滿足，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為 D．能被3整除三、填空題3．（2024·云南昆明·一模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知?jiǎng)t．四、解答題4．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿足.①求數(shù)列的前n項(xiàng)和；②若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【培優(yōu)篇】一、解答題1．（2024·天津·二模）設(shè)是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和，是等比數(shù)列，且，，.(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若對于任意的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（2024·湖南衡陽·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng).(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若函數(shù)，正項(xiàng)數(shù)列滿足：.（i）證明：；（ii）證明：.3．（2024·河北秦皇島·三模）將保護(hù)區(qū)分為面積大小相近的多個(gè)區(qū)域，用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取其中15