專題43 直線的方程解析版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測

Page專題43直線的方程（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點(diǎn)突破】 7【考點(diǎn)1】直線的傾斜角與斜率 7【考點(diǎn)2】求直線的方程 12【考點(diǎn)3】直線方程的綜合應(yīng)用 16【分層檢測】 21【基礎(chǔ)篇】 21【能力篇】 29【培優(yōu)篇】 33考試要求：1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計算公式.3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.知識梳理知識梳理1.直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；(2)規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°；(3)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是{α|0°≤α<180°}.2.直線的斜率(1)定義：我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan__α.(2)計算公式①經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).②設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直線l上的兩點(diǎn)，則向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及與它平行的向量都是直線的方向向量.若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標(biāo)為(x，y)，則k＝eq\f(y,x).3.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點(diǎn)斜式過一點(diǎn)、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線1.直線的傾斜角α和斜率k之間的對應(yīng)關(guān)系：α00<α<eq\f(π,2)eq\f(π,2)eq\f(π,2)<α<πk0k>0不存在k<02.截距和距離的不同之處“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個非負(fù)數(shù).真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則AB的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．62．（2024·北京·高考真題）已知是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集.設(shè)是中兩點(diǎn)間距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（

）A．， B．，C．， D．，3．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點(diǎn)，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．5．（2023·全國·高考真題）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．二、填空題6．（2024·天津·高考真題）圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，為兩曲線的交點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線的距離為．參考答案：1．C【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過定點(diǎn)，從而可得當(dāng)時，AB的最小，結(jié)合勾股定理代入計算，即可求解.【詳解】因為直線，即，令，則，所以直線過定點(diǎn)，設(shè)，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為，所以圓心，半徑，當(dāng)時，AB的最小，此時.故選：C2．C【分析】先以t為變量，分析可知所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，結(jié)合圖形分析求解即可.【詳解】對任意給定，則，且，可知，即，再結(jié)合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，其中，可知任意兩點(diǎn)間距離最大值；陰影部分面積.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是“以形助數(shù)”，在解題時要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解．3．D【分析】求出圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可.【詳解】由題意得，即，則其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為.故選：D.4．C【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.【詳解】因為成等差數(shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時，AB最小，，此時.

故選：C5．B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.

6．45/【分析】先求出圓心坐標(biāo)，從而可求焦準(zhǔn)距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求及的方程，從而可求原點(diǎn)到直線的距離.【詳解】圓的圓心為，故即，由可得，故或（舍），故，故直線即或，故原點(diǎn)到直線的距離為，故答案為：考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】直線的傾斜角與斜率一、單選題1．（2022·貴州畢節(jié)·三模）曲線與直線有兩個交點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·山東·二模）已知直線，圓，則下列說法正確的是（

）A．直線恒過定點(diǎn) B．直線與圓相交C．當(dāng)直線平分圓時， D．當(dāng)點(diǎn)到直線距離最大值時，4．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．，使得三、填空題5．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）設(shè)，直線，直線，記分別過定點(diǎn)，且與的交點(diǎn)為，則的最大值為.6．（2022高二·全國·專題練習(xí)）已知兩點(diǎn)、，給出下列曲線方程：①；②；③；④．則曲線上存在點(diǎn)P滿足的方程的序號是．參考答案：1．D【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)的求法可求得直線恒過；由曲線方程可確定圖形，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定直線斜率的取值范圍，由此可構(gòu)造不等式求得的取值范圍.【詳解】由得：，令，解得：，直線恒過定點(diǎn)；由得：，由此可得曲線的圖形如下圖所示，由圖形可知：當(dāng)直線過點(diǎn)時，直線斜率為，若直線與曲線有兩個不同交點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為，即，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.2．C【分析】根據(jù)題意可知直線恒過定點(diǎn)，根據(jù)斜率公式結(jié)合圖象分析求解.【詳解】因為直線恒過定點(diǎn)，如圖.又因為，，所以直線的斜率k的范圍為.故選：C.3．ACD【分析】對于A，將直線方程變形即可進(jìn)一步判斷；對于B，舉反例即可判斷；對于C，將圓心坐標(biāo)代入直線方程即可驗算參數(shù)；對于D，當(dāng)點(diǎn)到直線距離最大值時，有，結(jié)合它們的斜率關(guān)系即可判斷.【詳解】對于A，即，令，有，所以直線恒過定點(diǎn)，故A正確；對于B，圓的圓心、半徑為，點(diǎn)到直線的距離為，從而，取，則此時有，故B錯誤；對于C，當(dāng)直線平分圓時，有點(diǎn)在直線上，也就是說有成立，解得，故C正確；對于D，點(diǎn)到直線距離滿足，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，而的斜率為，所以當(dāng)?shù)忍柍闪r有，解得，故D正確.故選：ACD.4．AB【分析】對于A：根據(jù)直線方程分析判斷；對于B：根據(jù)題意求直線交點(diǎn)即可；對于C：根據(jù)空集的定義結(jié)合直線平行運(yùn)算求解；對于D：根據(jù)直線重合分析求解.【詳解】對于選項A：因為表示過定點(diǎn)，且斜率不為0的直線，可知表示直線上所有的點(diǎn)，所以，故A正確；對于選項B：當(dāng)時，則，，聯(lián)立方程，解得，所以，B正確；對于選項C：當(dāng)時，則有：若，則；若，可知直線與直線平行，且，可得，解得；綜上所述：或，故C錯誤；對于選項D：若，由選項C可知，且，無解，故D錯誤．故選：AB．5．4【分析】根據(jù)題意得到直線恒過定點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，以及直線與的斜率，得到，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由直線，可化為，可直線恒過定點(diǎn)，直線，可化為，可得直線恒過定點(diǎn)，又由直線的斜率為，直線的斜率為，因為，所以，因為與的交點(diǎn)為，所以，又由，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最大值為.故答案為：.6．②③/【分析】首先可根據(jù)得出點(diǎn)P在線段的中垂線上，然后求出線段的中垂線方程為，最后依次判斷四個曲線是否與有交點(diǎn)即可得出結(jié)果.【詳解】因為點(diǎn)P滿足，所以點(diǎn)P在線段的中垂線上，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，，中垂線的斜率，故線段的中垂線方程為，即，因為曲線上存在點(diǎn)P滿足，所以曲線與有交點(diǎn)，對于①：與，平行，故不滿足題意；對于②：圓的圓心為，半徑為，圓心到的距離，故圓與相交，滿足題意；對于③：聯(lián)立，整理得，方程有解，滿足題意；對于④：聯(lián)立，整理得0=1，不成立，故不滿足題意.故答案為：②③.反思提升：(1)斜率的兩種求法：定義法、斜率公式法.(2)傾斜角和斜率范圍求法：①圖形觀察(數(shù)形結(jié)合)；②充分利用函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性.【考點(diǎn)2】求直線的方程一、單選題1．（2023·江蘇淮安·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，直線通過原點(diǎn)，是的一個法向量，則直線傾斜角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知曲線在點(diǎn)處的切線為，則在軸上的截距為（

）A． B． C．1 D．2二、多選題3．（2023·浙江寧波·一模）已知直線：與圓：相交于兩點(diǎn)，與兩坐標(biāo)軸分別交于兩點(diǎn)，記的面積為，的面積為，則（

）A． B．存在，使 C． D．存在，使4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知圓C：，直線l：（），則（

）A．直線l恒過定點(diǎn)B．存在實數(shù)m，使得直線l與圓C沒有公共點(diǎn)C．當(dāng)時，圓C上恰有兩個點(diǎn)到直線l的距離等于1D．圓C與圓恰有兩條公切線三、填空題5．（2024·天津河?xùn)|·一模）已知過點(diǎn)的直線（不過原點(diǎn)）與圓相切，且在軸、軸上的截距相等，則的值為.6．（2023·江西南昌·一模）函數(shù)在x＝1處的切線平行于直線x－y－1＝0，則切線在y軸上的截距為．參考答案：1．A【分析】設(shè)直線的傾斜角為，依題意可得，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得.【詳解】因為直線通過原點(diǎn)，是的一個法向量，所以直線的方程為，設(shè)直線的傾斜角為，則，又且，解得.故選：A2．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，代入點(diǎn)斜式得直線方程，令即可求解.【詳解】由得，所以直線的斜率，又f1=0，所以直線的方程為，令，得，即在軸上的截距為.故選：B3．ABC【分析】運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合面積公式和點(diǎn)到直線距離，兩點(diǎn)間距離，直線與圓弦長公式即可.【詳解】A.直線：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，因為圓心為，所以圓心到直線的距離，所以根據(jù)直線被圓截得的弦長公式有，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，即，解得時取得等號.所以，故A正確.B.直線：，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，故B正確.C.直線：過定點(diǎn)在圓內(nèi)，因為圓：，圓心為，所以圓心到直線的距離因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，,所以被截得的弦長最短，所以.故C正確.D.要使，則與重合，此時的直線方程為不過定點(diǎn)，故D錯.故選:ABC.4．ACD【分析】求出直線過的定點(diǎn)判斷A；判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷B；求出圓心到直線距離判斷C；判斷圓與圓的位置關(guān)系判斷D.【詳解】對于A，直線的方程為，由，得，直線過定點(diǎn)，A正確；對于B，又，即定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓相交，有兩個交點(diǎn)，B錯誤；對于C，當(dāng)時，直線：，圓心到直線的距離為，而圓半徑為2，且，因此恰有2個點(diǎn)到直線的距離等于1，C正確；對于D，圓化為，圓的圓心為，半徑為4，兩圓圓心距為，兩圓相交，因此它們有兩條公切線，D正確.故選：ACD.5．18【分析】確定直線的方程，根據(jù)直線和圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，列式求解，即得答案.【詳解】由題意知過點(diǎn)的直線（不過原點(diǎn)）在軸、軸上的截距相等，設(shè)該直線方程為，將代入得，即直線方程為，由于該直線與相切，圓心為，半徑為，故，故答案為：186．【分析】由題意，求得，所以，則，進(jìn)而求出函數(shù)在x＝1處的切線方程，從而得解.【詳解】，由題意，即，所以，則，故函數(shù)在x＝1處的切線方程為，即，則切線在y軸上的截距為．故答案為：．反思提升：(1)求直線方程一般有以下兩種方法：①直接法：由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式，然后直接寫出其方程.②待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù)，即得所求直線方程.(2)在求直線方程時，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件，特別是對于點(diǎn)斜式、截距式方程，使用時要注意分類討論思想的運(yùn)用.【考點(diǎn)3】直線方程的綜合應(yīng)用一、單選題1．（2022·安徽黃山·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西商洛·三模）已知是圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知圓C：，直線l：（），則（

）A．直線l恒過定點(diǎn)B．存在實數(shù)m，使得直線l與圓C沒有公共點(diǎn)C．當(dāng)時，圓C上恰有兩個點(diǎn)到直線l的距離等于1D．圓C與圓恰有兩條公切線4．（2021·江蘇常州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增B．的最小值為，沒有最大值C．存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．方程的實根個數(shù)為2三、填空題5．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知直線，若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實數(shù)k的值為；若直線l不經(jīng)過第三象限，則k的取值范圍是.6．（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）已知?分別在直線與直線上，且，點(diǎn)，，則的最小值為.參考答案：1．B【分析】設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用拋物線定義結(jié)合已知求出p，再借助斜率坐標(biāo)公式計算作答.【詳解】設(shè)，拋物線的準(zhǔn)線為：，因為線段的中點(diǎn)，則，又，解得，則拋物線C的方程為：，有，，顯然直線l的斜率存在，所以直線的斜率.故選：B2．D【分析】的幾何意義為直線的斜率，再根據(jù)直線與圓得交點(diǎn)即可得出答案.【詳解】設(shè)，變形可得，則的幾何意義為直線的斜率，圓化為，所以圓的圓心為，半徑為.因為Px0,所以圓與直線有公共點(diǎn)，即圓的圓心到直線的距離不大于圓的半徑，所以，解得，即的最大為.故選:D.3．ACD【分析】求出直線過的定點(diǎn)判斷A；判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷B；求出圓心到直線距離判斷C；判斷圓與圓的位置關(guān)系判斷D.【詳解】對于A，直線的方程為，由，得，直線過定點(diǎn)，A正確；對于B，又，即定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓相交，有兩個交點(diǎn)，B錯誤；對于C，當(dāng)時，直線：，圓心到直線的距離為，而圓半徑為2，且，因此恰有2個點(diǎn)到直線的距離等于1，C正確；對于D，圓化為，圓的圓心為，半徑為4，兩圓圓心距為，兩圓相交，因此它們有兩條公切線，D正確.故選：ACD.4．ABD【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和的變化可判定A正確；求出最小值，分析無最大值，可判定B正確；由對稱性的定義，可判定C不正確；由單調(diào)性和函數(shù)值的關(guān)系，可判定D正確.【詳解】由題意，函數(shù)，可理解為動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離之和，如圖所示，當(dāng)時，隨著的增大，越靠近原點(diǎn)時，越小，則越小，即越小，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，隨著的增大，越靠近原點(diǎn)時，越大，則越大，即越大，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以A正確；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，取得最小值，點(diǎn)越向左遠(yuǎn)離或向右遠(yuǎn)離時，越大，無最大值，，即函數(shù)有最小值，無最大值，所以B正確；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，取得最小值，若函數(shù)有對稱軸，則對稱軸的方程為，而，可得，則不是對稱軸，所以存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱是錯誤的，所以C不正確；因為與點(diǎn)重合時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，由在上單調(diào)遞增，所以存在，使得的實根個數(shù)為2，所以D正確.故選：ABD.5．或；.【分析】分別令和求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，利用截距相等解方程求出的值；先分析過定點(diǎn)，然后根據(jù)條件結(jié)合圖示判斷出直線斜率滿足的不等式，由此求解出的取值范圍.【詳解】因為直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以，在中，令，得，令，得，依題意可得，即，解得或；直線的方程可化為，所以，所以，所以直線過定點(diǎn)，所以，由直線可得：，若不經(jīng)過第三象限，則，故答案為：或；.6．/【分析】利用線段的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找到最小值即為所求.【詳解】由直線與間的距離為得，過作直線垂直于，如圖，

則直線的方程為：，將沿著直線往上平移個單位到點(diǎn)，有，連接交直線于點(diǎn)P，過P作于Q，連接BQ，有，即四邊形為平行四邊形，則，即有，顯然是直線上的點(diǎn)與點(diǎn)距離和的最小值，因此的最小值，即的最小值，而，所以的最小值為=故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：（1）合理的利用假設(shè)可以探究取值的范圍，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S是驗證的必要過程.（2）轉(zhuǎn)化與劃歸思想是解決距離最值問題中一種有效的途徑.（3）數(shù)形結(jié)合使得問題更加具體和形象，從而使得方法清晰與明朗.反思提升：1.含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點(diǎn)的直線系，能夠看出“動中有定”.若直線的方程為y＝k(x－1)＋2，則直線過定點(diǎn)(1，2).2.求解與直線方程有關(guān)的面積問題，應(yīng)根據(jù)直線方程求解相應(yīng)坐標(biāo)或者相關(guān)長度，進(jìn)而求得多邊形面積.3.求參數(shù)值或范圍.注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.分層分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·河南信陽·三模）動點(diǎn)P在函數(shù)的圖像上，以P為切點(diǎn)的切線的傾斜角取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·重慶·三模）當(dāng)點(diǎn)到直線l：的距離最大時，實數(shù)的值為（）A． B．1 C． D．23．（2024·山東青島·二模）拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為（

）A． B． C． D．4．（2020高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy(O為坐標(biāo)原點(diǎn))中，不過原點(diǎn)的兩直線，的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)O分別向直線，引垂線，垂足分別為M，N，則四邊形OMPN面積的最大值為（

）A．3 B． C．5 D．二、多選題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線與圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．直線與圓相交C．若，直線被圓截得的弦長為D．若直線與直線垂直，則6．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知圓，直線．則以下幾個結(jié)論正確的有（

）A．直線l與圓C相交B．圓C被y軸截得的弦長為C．點(diǎn)C到直線l的距離的最大值是D．直線l被圓C截得的弦長最短時，直線l的方程為7．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流m，n，其方程分別為，，將軍的出發(fā)點(diǎn)是點(diǎn)，軍營所在位置為，則下列說法錯誤的是（

）A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營的最短路程是C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營的最短路程是D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營的最短路程是三、填空題8．（2024·天津南開·二模）過圓C：上的點(diǎn)作圓C切線l，則l的傾斜角為.9．（2024·北京·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)B在C上.若，則直線AB的方程為.10．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測）已知A，B分別為曲線和直線上的點(diǎn)，則的最小值為.四、解答題11．（23-24高二上·山東德州·期中）已知直線：和直線：，其中m為實數(shù)．(1)若，求m的值；(2)若點(diǎn)在直線上，直線l過P點(diǎn)，且在x軸上的截距與在y軸上的截距互為相反數(shù)，求直線l的方程．12．（2024·陜西西安·二模）解答下列問題.(1)已知直線與直線相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值；(2)已知直線過點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程.參考答案：1．C【分析】求出定義域，求導(dǎo)，結(jié)合基本不等式得到，求出以P為切點(diǎn)的切線的傾斜角取值范圍.【詳解】令，解得，故的定義域為，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故，故以P為切點(diǎn)的切線的傾斜角取值范圍是.故選：C2．B【分析】先求得直線過的定點(diǎn)，再由點(diǎn)P與定點(diǎn)的連線與直線垂直求解.【詳解】直線l：，整理得，由，可得，故直線恒過點(diǎn)，點(diǎn)到的距離，故；直線l：的斜率，故，解得故選：B.3．A【分析】由已知可得，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，再由點(diǎn)到直線的距離公式即可求得距離.【詳解】由，得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又雙曲線漸近線方程為，即，則由點(diǎn)到直線的距離公式得.故選：A.4．D【分析】由、的方程可得它們都過定點(diǎn)，，然后可得四邊形OMPN為矩形，且，然后可求出答案.【詳解】將直線的方程變形得，由，得，則直線過定點(diǎn)，同理可知，直線過定點(diǎn)，

所以，直線和直線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為，易知，直線，如圖所示，易知，四邊形OMPN為矩形，且，設(shè)，，則，四邊形OMPN的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時，等號成立，因此，四邊形OMPN面積的最大值為，故選：D5．BC【分析】利用點(diǎn)斜式可判定A，利用直線過定點(diǎn)結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可判定B，利用弦長公式可判定C，利用直線的位置關(guān)系可判定D.【詳解】對于A，直線，即，則直線恒過定點(diǎn)，故A錯誤；對于B，因為，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線l與圓O相交，故B正確；對于C，當(dāng)時，直線，圓心O到直線的距離，直線l被圓O截得的弦長為，故C正確；對于D，若直線與直線垂直，則或，故D不正確；故選：BC.6．ACD【分析】對于A，，聯(lián)立求定點(diǎn),根據(jù)定點(diǎn)在圓內(nèi)即可求解；對于B，令求軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)即可得弦長；對于C，根據(jù)定點(diǎn)到圓心距離即可求解最值，對于D，根據(jù)直線被圓截得弦長最短，只需與圓心連線垂直于直線，求直線斜率，進(jìn)而求出參數(shù)，即可得方程．【詳解】由，則，得，即恒過定點(diǎn)，由到圓心的距離，故定點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓恒相交，故A正確；令，則，可得，故圓被軸截得的弦長為，故B錯誤；點(diǎn)C到直線l的距離的最大值為圓心到定點(diǎn)的距離，故最大值為，C正確，要使直線被圓截得弦長最短，只需與圓心連線垂直于直線，則，所以，可得，故直線為，故D正確．故選：ACD．7．ABD【分析】確定關(guān)于直線對稱點(diǎn)，確定關(guān)于直線對稱點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間距離最小來判斷.【詳解】對于A，如圖①所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，由解得，所以將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為，故A錯誤；對于B，如圖②所示，因為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，將軍先去河流飲馬，再返回軍營的最短路程是，故B錯誤；對于C，如圖③所示，因為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)分別為，；點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，所以將軍先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回軍營的最短路程，故C正確；對于D，如圖④所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)分別為，由解得；點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，將軍先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回軍營的最短路程是，故D錯誤.故選：ABD.

8．150°【分析】根據(jù)兩直線垂直和得到直線l的斜率，從而得到l的傾斜角.【詳解】由題意得，直線與直線l垂直，因為，故l的斜率為，故l的傾斜角為150°故答案為：150°9．或【分析】先根據(jù)焦半徑公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線方程.【詳解】設(shè)Bx,y，則，則，此時，所以或，又由已知，直線AB的方程為或，整理得或.故答案為：或.10．/【分析】利用數(shù)形結(jié)合思想可知切點(diǎn)到直線的距離是最小值，從而利用導(dǎo)數(shù)來求出切點(diǎn)，再用點(diǎn)到直線的距離公式求出最小值即可.【詳解】由題意AB的最小值為曲線上點(diǎn)A到直線距離的最小值，而點(diǎn)A就是曲線與直線相切的切點(diǎn)，因為曲線上其它點(diǎn)到直線的距離都大于AB，對求導(dǎo)有，由可得，即，故.故答案為：.11．(1)或0(2)或．【分析】（1）根據(jù)垂直得到方程，求出m的值；（2）將代入中，解得，設(shè)直線l的方程，根據(jù)兩截距相等得到方程，求出或，得到直線l的方程.【詳解】（1）由題意得，解得或0；（2）由在直線上，得，解得，可得，顯然直線l的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線l的方程為，令，可得，再令，可得，所以，解得或，所以直線l的方程為或，即或．12．(1)；(2)和【分析】（1）利用直線的交點(diǎn)坐標(biāo)同時在兩直線上解方程組即可得到結(jié)果；（2）分直線的斜率存在與否，不存在時，直接驗證即可；存在時利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，再由點(diǎn)到直線的距離解出斜率，得到直線方程即可.【詳解】（1）由題意得，即解得；（2）顯然直線：滿足條件.此時，直線的斜率不存在.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，即.點(diǎn)到直線的距離為，，即，得，得直線綜上所述，直線的方程為和【能力篇】一、單選題1．（2022·四川南充·三模）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，動點(diǎn)P在拋物線上，且位于第二象限，M是線段PA的中點(diǎn)，則直線OM的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，是上的一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)到的距離比到軸的距離大2B．點(diǎn)到直線的最小距離為C．以為直徑的圓與軸相切D．記點(diǎn)在的準(zhǔn)線上的射影為，則不可能是正三角形三、填空題3．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知圓，直線，為直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則直線過定點(diǎn).四、解答題4．（2024·河南·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為C上一點(diǎn)．(1)求直線的斜率；(2)經(jīng)過焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線的距離為，求以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．參考答案：1．D【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出直線OM的斜率，借助均值不等式求解作答.【詳解】依題意，設(shè)點(diǎn)，于是有，直線OM的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，直線OM的斜率的取值范圍為.故選：D2．BC【分析】由拋物線，可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，.利用拋物線的定義可得，即可判斷出正誤；.，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而判斷出正誤；.設(shè)的中點(diǎn)為，可得，即可判斷出正誤；.，令，可得，，解得，即可判斷出正誤.【詳解】由拋物線，可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，因為，因此不正確；因為，則點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時取等號，可得點(diǎn)到直線的最小距離為，因此正確；設(shè)的中點(diǎn)為，則，于是以為直徑的圓與軸相切，因此正確；，令，則，，解得，此時，是正三角形，因此不正確．故選：BC．3．【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，可得以為直徑的圓的方程，與圓方程作差即可得公共弦方程，即可得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】根據(jù)題意，為直線：上的動點(diǎn)，設(shè)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則，，則點(diǎn)、在以為直徑的圓上，又由，，則以為直徑的圓的方程為，變形可得：，則有，可得：，變形可得：，即直線的方程為，則有，解可得，故直線過定點(diǎn).故答案為：.4．(1)(2)或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的方程，確定焦點(diǎn)F1,0（2）對斜率進(jìn)行分類討論，設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，設(shè)Ax1,y1，B【詳解】（1）將代入拋物線方程可得，解得，故F1,0．所以．（2）由題意，直線的斜率存在且不為0（若直線斜率不存在，則原點(diǎn)O到直線l的距離為1，矛盾），所以設(shè)直線的方程為．聯(lián)立，化簡得，顯然，設(shè)Ax1,y1，B，所以以線段為直徑的圓的圓心、半徑分別為，．因為原點(diǎn)O到直線l的距離為，所以，解得，所以圓心、半徑分別為，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·全國·