專題46 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系原卷版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測

Page專題46直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點(diǎn)突破】 4【考點(diǎn)1】直線與圓的位置關(guān)系 4【考點(diǎn)2】圓的切線、弦長問題 5【考點(diǎn)3】圓與圓的位置關(guān)系 7【分層檢測】 8【基礎(chǔ)篇】 8【能力篇】 10【培優(yōu)篇】 10考試要求：1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題.知識梳理知識梳理1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為Δ.位置關(guān)系相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ<0Δ＝0Δ>0幾何觀點(diǎn)d>rd＝rd<r2.圓與圓的位置關(guān)系已知兩圓C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，則圓心距d＝|C1C2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).則兩圓C1，C2有以下位置關(guān)系：位置關(guān)系外離內(nèi)含相交內(nèi)切外切圓心距與半徑的關(guān)系d>r1＋r2d<|r1－r2||r1－2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2圖示公切線條數(shù)402131.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2.直線被圓截得的弦長的求法(1)幾何法：運(yùn)用弦心距d、半徑r和弦長的一半構(gòu)成的直角三角形，計算弦長|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，將直線方程代入圓的方程中，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（xM＋xN）2－4xM·xN).真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則AB的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．62．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點(diǎn)，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．3．（2023·全國·高考真題）已知實數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B．4 C． D．74．（2023·全國·高考真題）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．二、多選題5．（2024·全國·高考真題）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動點(diǎn)，過P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時，C．當(dāng)時，D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個三、填空題6．（2023·全國·高考真題）已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的m的一個值．7．（2022·全國·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．8．（2022·全國·高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】直線與圓的位置關(guān)系一、單選題1．（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知直線，圓，則該動直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定2．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，由點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)分別為且，若滿足以上條件的點(diǎn)有且只有一個，則（

）A． B． C．2 D．二、多選題3．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知，動點(diǎn)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡圍成的圖形面積為B．的最小值為C．是的任意兩個位置點(diǎn)，則D．過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)，則的最小值為4．（23-24高三上·河北廊坊·期中）如圖，有一組圓都內(nèi)切于點(diǎn)，圓，設(shè)直線與圓在第二象限的交點(diǎn)為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓的圓心都在直線上B．圓的方程為C．若圓與軸有交點(diǎn)，則D．設(shè)直線與圓在第二象限的交點(diǎn)為，則三、填空題5．（2022·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)的直線l與圓相交于M，N兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為.6．（19-20高一下·江蘇無錫·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直角△中，直角頂點(diǎn)A在直線上，頂點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍是．反思提升：判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系.(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.【考點(diǎn)2】圓的切線、弦長問題一、單選題1．（23-24高二下·廣東茂名·階段練習(xí)）已知圓，直線.則直線被圓截得的弦長的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）過點(diǎn)作圓的切線，A為切點(diǎn)，，則的最大值是（

）A． B． C．4 D．3二、多選題3．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在圓上，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)到的最大距離為B．若被圓所截得的弦長最大，則C．若為圓的切線，則的取值范圍為D．若點(diǎn)也在圓上，則到的距離的最大值為4．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知圓，直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，直線，分別與圓切于點(diǎn)，.則下列說法正確的是（

）A．最短為B．最短時，弦所在直線方程為C．存在點(diǎn)，使得D．直線過定點(diǎn)為三、填空題5．（2022·四川成都·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，若鈍角的面積為，則實數(shù)a的值是．6．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，的坐標(biāo)滿足，，已知圓，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)最大時，圓關(guān)于點(diǎn)對稱的圓的方程為．反思提升：弦長的兩種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個一元二次方程.在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長公式求弦長.(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2eq\r(r2－d2).求過某點(diǎn)的圓的切線問題時，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求切線方程.若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn))，則過該點(diǎn)的切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，則過該點(diǎn)的切線有兩條，此時注意斜率不存在的切線.【考點(diǎn)3】圓與圓的位置關(guān)系一、單選題1．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知，，若圓上存在點(diǎn)P滿足，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）兩圓與的公共弦長為（

）A． B． C． D．1二、多選題3．（22-23高二上·浙江紹興·階段練習(xí)）以下四個命題表述正確的是（

）A．橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為B．已知圓C：，點(diǎn)P為直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA、PB，AB為切點(diǎn)，直線AB經(jīng)過定點(diǎn)C．曲線：與曲線：恰有三條公切線，則m＝4D．圓上存在4個點(diǎn)到直線l：的距離都等于14．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知圓，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若圓和圓外離，則B．若圓和圓外切，則C．當(dāng)時，圓和圓有且僅有一條公切線D．當(dāng)時，圓和圓相交三、填空題5．（2024·浙江麗水·二模）已知圓，若對于任意的，存在一條直線被圓所截得的弦長為定值，則.6．（2023·全國·模擬預(yù)測）圓與圓的公切線長為.反思提升：1.判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.2.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到.分層分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）若直線與圓有交點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知P為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的一條切線，切點(diǎn)為A，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．23．（2024·貴州六盤水·三模）已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，則（）A． B．1 C． D．﹣24．（2021·江西·模擬預(yù)測）已知圓，過點(diǎn)向這個圓作兩條切線，則兩切線的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2024·遼寧沈陽·三模）設(shè)橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為是上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為8B．橢圓的離心率C．面積的最大值等于12D．以線段為直徑的圓與圓相切6．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知圓和圓，則（

）A．圓的半徑為4B．軸為圓與的公切線C．圓與公共弦所在的直線方程為D．圓與上共有6個點(diǎn)到直線的距離為17．（2023·河北·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓與圓，分別為圓和圓上的動點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．過點(diǎn)作圓M的切線有且只有一條B．若圓和圓恰有3條公切線，則C．若PQ的最小值為1，則D．若，則直線的斜率的最大值為三、填空題8．（2024·天津·二模）設(shè)直線和圓相交于兩點(diǎn).若，則實數(shù).9．（2023·天津武清·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)作圓的切線與軸交于點(diǎn)，則．10．（23-24高三下·天津南開·階段練習(xí)）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則實數(shù)四、解答題11．（2020·云南保山·模擬預(yù)測）已知圓經(jīng)過，，三點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求經(jīng)過點(diǎn)且和圓相切的直線的方程．12．（22-23高二上·天津和平·期中）已知圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在直線上，求：(1)求圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，求的最小值；(3)若過點(diǎn)的直線被圓所截得弦長為，求該直線的方程．【能力篇】一、單選題1．（2024·山東聊城·二模）若圓與圓恰有一條公切線，則下列直線一定不經(jīng)過點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2024·山東青島·三模）已知動點(diǎn)分別在圓和上，動點(diǎn)在軸上，則（

）A．圓的半徑為3B．圓和圓相離C．的最小值為D．過點(diǎn)做圓的切線，則切線長最短為三、填空題3．（2024·天津武清·模擬預(yù)測）已知直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，且，則實數(shù).四、解答題4．（2025·安徽·一模）橢圓的上頂點(diǎn)為，圓在橢圓內(nèi)．(1)求的取值范圍；(2)過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，切線與橢圓的另一個交點(diǎn)為，切線與橢圓的另一個交點(diǎn)為．是否存在圓，使得直線與之相切，若存在求出圓的方程，若不存在，說明理由．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·四