單調(diào)性與最大(小)值（1）教案- 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

單調(diào)性與最大(小)值（1）一、課時內(nèi)容：函數(shù)的單調(diào)性二、課時目標(biāo)1.借助函數(shù)圖象，會用符號語言表述函數(shù)單調(diào)性的定義.2.會根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,證明一些簡單函數(shù)的單調(diào)性,能歸納出證明單調(diào)性的-般步驟.3.能根據(jù)圖象的升降特征，劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，達到直觀想象核心素養(yǎng)。4.在抽象函數(shù)單調(diào)性的過程中感悟數(shù)學(xué)概念的抽象過程及符號表示的作用。三、重點與難點1.重點:函數(shù)單調(diào)性的定義.2.難點:用符號語言描述函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性定義證明具體函數(shù)的單調(diào)性.四、教學(xué)過程1.明確學(xué)習(xí)目標(biāo),引出課題前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義和表示方法,知道函數(shù)y=f(x)(x∈A)描述了客觀世界中變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系.這樣,我們就可以通過研究函數(shù)的變化規(guī)律來把握客觀世界中變化的規(guī)律了,這就是學(xué)習(xí)函數(shù)的基本性質(zhì)的目的.那么,什么是函數(shù)的基本性質(zhì)呢?課本中給了我們這樣的解釋:變化中的不變形就是性質(zhì),變化中的規(guī)律性也是性質(zhì).我們知道,函數(shù)由定義域、值域和對應(yīng)法則三個要素構(gòu)成,因變量y隨自變量x的變化而變化,因此，當(dāng)x按某種規(guī)律變化時,y所呈現(xiàn)的規(guī)律性和不變性就是函數(shù)的性質(zhì).實際上,有些性質(zhì)我們在初中階段已經(jīng)接觸過.設(shè)計意圖:明確本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo),自然過渡到本節(jié)課學(xué)習(xí)的主題.幫助學(xué)生從一般觀念上了解什么是“函數(shù)的性質(zhì)”,便于開展研究.[問題1]通過觀察函數(shù)圖像,往往能給我們以函數(shù)變化規(guī)律的啟發(fā).觀察下面三個函數(shù)的圖象,你能說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些性質(zhì)嗎?師生活動:(1)學(xué)生結(jié)合初中學(xué)過的知識,用自然語言表述三個函數(shù)的單調(diào)性、第三個函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱等;(2)教師引導(dǎo)學(xué)生體會構(gòu)成圖象的基本元素是點,因此從圖象整體上看,函數(shù)在某個區(qū)間上隨的增大而增大,在這個區(qū)間內(nèi)的圖象呈，上升趨勢,實際上是圖象上點的橫坐標(biāo)增大時,對應(yīng)的縱坐標(biāo)隨之增大;(3)教師指出,在初中,我們利用函數(shù)圖象研究過函數(shù)值隨自變量的增大而增大(或減小)的性質(zhì),這一性質(zhì)就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的函數(shù)的單調(diào)性.設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生通過觀察一般情況的函數(shù)圖象，用圖形語言和自然語言刻畫函數(shù)的單調(diào)性.2.觀察具體函數(shù)的圖象,實現(xiàn)從自然語言到符號語言刻畫單調(diào)性的過渡教師講授:初中階段我們對單調(diào)性的認識是通過對具體函數(shù)圖象的觀察,從直觀的角度,用自然語言進行定性的描述.接下來我們要考慮如何用符號語言,對單調(diào)性進行定量的刻畫.實際上,這樣做很有必要.設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生體會用符號語言刻畫函數(shù)單調(diào)性的必要性.[問題2]如何用符號語言刻畫函數(shù)的單調(diào)性?師生活動:指導(dǎo)學(xué)生先用自然語言從直觀角度刻畫:當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>0時,y隨x的增大而增大。(2)先鎖定x<0時的情況，引導(dǎo)學(xué)生體會“x<0”可以用符號語言“x∈(,0)”表示。(3)指導(dǎo)學(xué)生體會“增大、減小”描述的是不等關(guān)系,需要結(jié)合不等式的符號語言進行表述,“x的增大”通過“任取”來表示,“y減小”通過“”來表示.給出函數(shù)在x<0時單調(diào)遞減的符號語言。對任意的，得到,當(dāng)x>x時,有，我們就說函數(shù)在區(qū)間(,0)上是單調(diào)遞減的.設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生先用符號語言描述具體函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性.在借助具體函數(shù)給出準(zhǔn)確描述的過程中,通過設(shè)計問題串,加深學(xué)生對借助不等式語言和邏輯用語描述函數(shù)性質(zhì)的體會,突破難點.追問:如何用符號語言描述“函數(shù)在x>0時單調(diào)遞增”?.師生活動:1.學(xué)生通過類比上面的過程,自主完成.2.教師通過巡視，指導(dǎo)學(xué)生用準(zhǔn)確的符號語言進行刻畫.設(shè)計意圖:通過前面的講解和引導(dǎo),學(xué)生有了使用符號語言刻畫具體函數(shù)的單調(diào)性的經(jīng)驗,對x>0的情況,學(xué)生可以通過模仿自主完成.教師可以借此機會,落實學(xué)生的理解情況.[問題3]你能用符號語言描述函數(shù)f(x)=|x|和函數(shù)的單調(diào)性嗎?師生活動:(1)教師巡視指導(dǎo),有部分學(xué)生可能會忘記函數(shù)f(x)=|x|的圖象,提醒學(xué)生這是上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容;(2)提醒學(xué)生結(jié)合前面的例子,注意體會函數(shù)單調(diào)性的“局部性”,單調(diào)增和單調(diào)減時，f(x)與f(x)的不等號方向.設(shè)計意圖:問題2中,學(xué)生只是通過模仿刻畫了f(x)=x在(0,+∞)上的單調(diào)性.問題3用來引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用符號語言,刻畫具體函數(shù)的單調(diào)性.通過問題3,提高學(xué)生對用符號語言刻畫函數(shù)單調(diào)性的理解,為進一步理解一般函數(shù)單調(diào)性的定義作鋪墊.3.閱讀教材,明確函數(shù)單調(diào)性的概念[問題4]如何利用符號語言刻畫-般函數(shù)的單調(diào)性呢?請同學(xué)們閱讀教材76頁到77頁最后思考部分的內(nèi)容,并回答如下問題:(1)說說你對單調(diào)性定義的理解;(2)你是如何理解定義中的“任意”、“都有”這些詞的?師生活動:學(xué)生閱讀、思考并回答,然后教師結(jié)合前面的具體實例對函數(shù)單調(diào)性的概念做簡要總結(jié),包括畫關(guān)鍵詞(“任意”、“都有”),強調(diào)不等式語言和邏輯用語在數(shù)學(xué)語言表達問題的作用,強調(diào)函數(shù)單調(diào)性描述的可以是“整體單調(diào)”，也可以是“局部區(qū)間單調(diào)”等.設(shè)計意圖:經(jīng)過三個具體實例的描述，學(xué)生可以通過閱讀教材明確函數(shù)單調(diào)性的概念,給學(xué)生獨立思考、內(nèi)化知識的時間.通過老師總結(jié)和點評,加深對概念的理解.4.概念辨析;[問題5]思考教材中的問題:(1)設(shè)A是區(qū)間D上某些自變量組成的集合,而且,當(dāng)時，都有,我們能說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增嗎?你能舉例說明嗎?師生活動:引導(dǎo)學(xué)生通過畫函數(shù)圖象簡圖舉出反例.追問:我們能說函數(shù)是定義域上的減函數(shù)嗎?師生活動:1.通過與學(xué)生交流、互動,了解學(xué)生的看法.2.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)單調(diào)性概念解釋為什么不能說函數(shù)在定義域上是減函數(shù).設(shè)計意圖:進一步理解函數(shù)單調(diào)性的符號語言.(2)函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，你能舉出在整個定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)例子嗎?你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上函數(shù)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎?設(shè)計意圖:通過學(xué)生結(jié)合單調(diào)性概念,梳理學(xué)過的函數(shù),通過舉例說明,檢測學(xué)生對單調(diào)性理解的認識.5.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用[問題6]根據(jù)定義證明函數(shù)在定義域上是增函數(shù).師生活動:(1)由學(xué)生獨立完成證明過程;(2)注意引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系一次函數(shù)兩種情況的圖象簡圖;(3)引導(dǎo)學(xué)生體會根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:①取數(shù):任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差:f(x1)－f(x2)；③變形:通常是因式分解和配方；④定號:判斷差f(x1)－f(x2)的正負；⑤結(jié)論:指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性.(4)實際上,本例的一次函數(shù)不是具體的一個函數(shù),因此也畫不出具體的函數(shù)圖象,但是我們可以借助嚴格的推理和運算判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而體會用符號語言刻畫函數(shù)單調(diào)性的必要性;(5)引導(dǎo)學(xué)生能夠通過代數(shù)運算的角度“看”一次函數(shù)的單調(diào)性,即對于代數(shù)式ax+b,當(dāng)a>0時，隨著x增大,代數(shù)式ax+b的值隨之增大,當(dāng)a<0時,隨著x.增大,代數(shù)式ax+b的值隨之減小.設(shè)計意圖:根據(jù)單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性，并能歸納出證明的一般步驟.[問題7]物理學(xué)中的玻意耳定律告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時，壓強p將增大,試對此用函數(shù)單調(diào)性證明.設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生體會利用函數(shù)單調(diào)性的符號語言解釋生活中的實際問題.[問題8]根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增。(1)通過與題目“若b>a>1,證明:的聯(lián)系和比較,結(jié)合前面不等式性質(zhì)中關(guān)于利用實數(shù)大小關(guān)系的基本事實證明不等式的大小(作差法)的學(xué)習(xí),幫助學(xué)生克服運算上的難點;(2)再次強調(diào)，實際上，我們還不了解函數(shù)的具體圖象,但是我們能夠借助單調(diào)性的定義,通過推理和運算判斷函數(shù)在上的單調(diào)性;(3)注意引導(dǎo)學(xué)生通過代數(shù)運算的角度“看”函數(shù)的單調(diào)性.通過結(jié)合基本不等式內(nèi)容的學(xué)習(xí),指出函數(shù)在[1,+∞)上有最小值2,為下一節(jié)課內(nèi)容作鋪墊.設(shè)計意圖:積累利用函數(shù)單調(diào)性