專題1.1 集合的概念（7類必考點(diǎn)）（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

專題1.1集合的概念TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考點(diǎn)1：集合的含義】 1【考點(diǎn)2：元素與集合的關(guān)系】 2【考點(diǎn)3：集合中元素的個(gè)數(shù)】 3【考點(diǎn)4：集合中元素的確定性、互異性、無序性】 5【考點(diǎn)5：有限集與無限集】 7【考點(diǎn)6：常用數(shù)集與點(diǎn)集】 9【考點(diǎn)7：集合的表示方法】 10【考點(diǎn)1：集合的含義】【知識(shí)點(diǎn)：集合】把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．1．（2022春?廣南縣期中）下列各對(duì)象可以組成集合的是（）A．與1非常接近的全體實(shí)數(shù) B．北附廣南實(shí)驗(yàn)學(xué)校2020～2021學(xué)年度第二學(xué)期全體高一學(xué)生 C．高一年級(jí)視力比較好的同學(xué) D．中國著名的數(shù)學(xué)家【分析】根據(jù)集合的元素必須具有確定性，逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A：其中元素不具有確定性，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B：對(duì)于任何一個(gè)學(xué)生可以判斷其是否屬于{北附廣南實(shí)驗(yàn)學(xué)校2020～2021學(xué)年度笫二學(xué)期全體高一學(xué)生}，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C：其中元素不具有確定性，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D：其中元素不具有確定性，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：B．2．（2021秋?湖北月考）判斷下列元素的全體可以組成集合的是（）①湖北省所有的好學(xué)校；②直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)；③n的近似值；④不大于5的自然數(shù)．A．①② B．②③ C．②④ D．③④【分析】由集合元素的特征可知：集合的元素具有確定性、互異性、無序性，據(jù)此即可選出．【解答】解：“好學(xué)?！辈痪哂写_定性，n的近似值不具有確定性，因此①③不能組成集合；直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)，不大于5的自然數(shù)，滿足集合的元素的特征，因此②④能組成集合．故選：C．3．（2021秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)月考）下列給出的對(duì)象中，能組成集合的是（）A．一切很大的數(shù) B．好心人 C．漂亮的小女孩 D．方程x2﹣1＝0的實(shí)數(shù)根【分析】從集合的定義入手，由集合中的元素是確定性、互異性、無序性判定選項(xiàng)的正誤即可．【解答】解：對(duì)于A：一切很大的數(shù)，B：好心人，C：漂亮的小女孩，描述不夠準(zhǔn)確具體，元素不能確定，所以都不正確；選項(xiàng)D：方程x2﹣1＝0的實(shí)數(shù)根為±1，元素是確定的，具體的，是正確的．故選：D．4．（2021秋?威寧縣校級(jí)月考）下列語言敘述中，能表示集合的是（）A．?dāng)?shù)軸上離原點(diǎn)距離很近的所有點(diǎn) B．太陽系內(nèi)的所有行星 C．某高一年級(jí)全體視力差的學(xué)生 D．與△ABC大小相仿的所有三角形【分析】從集合的定義入手，由集合中的元素是確定性、互異性、無序性判定選項(xiàng)的正誤即可．【解答】解：對(duì)于A：數(shù)軸上離原點(diǎn)距離很近的所有點(diǎn)，元素不能確定，故A不能表示集合；對(duì)于B：太陽系內(nèi)的所有行星，元素是確定的，能表示集合，故B正確；對(duì)于C：某高一年級(jí)全體視力差的學(xué)生，元素不能確定，故C不能表示集合；對(duì)于D：與△ABC大小相仿的所有三角形，元素不能確定，故D不能表示集合．故選：B．【考點(diǎn)2：元素與集合的關(guān)系】【知識(shí)點(diǎn)：元素與集合的關(guān)系】(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．1．（2022?長沙模擬）已知集合A＝{{?}，?}，下列選項(xiàng)中均為A的元素的是（）（1）{?}；（2）{{?}}；（3）?；（4）{{?}，?}．A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）【分析】由元素與集合的關(guān)系逐一判斷即可．【解答】解：集合A＝{{?}，?}，則{?}∈A，?∈A，{{?}}?A，{{?}，?}＝A，故選：B．2．（2021秋?河北區(qū)期末）下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)是（）①12∈Q；②2?R；③0∈N*；④π∈ZA．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系進(jìn)行判斷．【解答】解：①12∈Q正確，②2?R不正確，③0∈N*不正確，④π∈Z不正確．故選：A．3．（2021秋?桂林期末）下列關(guān)系中，正確的是（）A．﹣2∈{0，1} B．32∈Z C．π∈R D．5∈?【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，用∈?符號(hào)，可得結(jié)論．【解答】解：根據(jù)元素與集合的關(guān)系，用∈?符號(hào)，﹣2?{0，1}，32?Z，π∈R，5??，可知C正確．故選：C．【考點(diǎn)3：集合中元素的個(gè)數(shù)】1．（2022?全國一模）已知集合A＝{2，3，4，5，6}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，y﹣x∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由集合B中的元素所滿足的條件，用列舉法寫出集合B中的所有元素，則答案可求．【解答】解：由A＝{2，3，4，5，6}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，y﹣x∈A}，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4，5，6，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝5，6，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝6，所以B＝{（2，4），（2，5），（2，6），（3，5）（3，6），（4，6）}，所以B中所含元素個(gè)數(shù)為6個(gè)．故選：D．2．（2021秋?長壽區(qū)期末）設(shè)集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定義P?Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，則P?Q中元素的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由集合的定義代入寫出所有元素即可．【解答】解：由題意知，P?Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}＝{（3，6），（3，7），（4，6），（4，7），（5，6），（5，7）}，共有6個(gè)元素，故選：D．3．（2021秋?蕪湖期末）集合A＝{x∈N*|x﹣5＜0}中的元素個(gè)數(shù)是（）A．0 B．4 C．5 D．6【分析】列舉法求集合A，從而確定元素個(gè)數(shù)．【解答】解：A＝{x∈N*|x﹣5＜0}＝{1，2，3，4}，故集合A中有4個(gè)元素，故選：B．4．（2021秋?三元區(qū)校級(jí)月考）如果集合M＝{x|mx2﹣4x+2＝0}中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)m的所有可能值的和為（）A．4 B．2 C．1 D．0【分析】當(dāng)m＝0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件；當(dāng)m≠0時(shí)，由判別式Δ＝16﹣8m＝0，解得m的值，由此得出結(jié)論【解答】解：當(dāng)m＝0時(shí)，顯然滿足集合{x|mx2﹣4x+2＝0}有且只有一個(gè)元素，當(dāng)m≠0時(shí)，由集合{x|mx2﹣4x+2＝0}有且只有一個(gè)元素，可得判別式Δ＝16﹣8m＝0，解得m＝2，∴實(shí)數(shù)m的所有可能值的和為0+2＝2，故選：B．【考點(diǎn)4：集合中元素的確定性、互異性、無序性】【知識(shí)點(diǎn)：集合中元素的確定性、互異性、無序性】

（1）確定性：集合中的元素是確定的，即任何一個(gè)對(duì)象都說明它是或者不是某個(gè)集合的元素，兩種情況必居其一且僅居其一，不會(huì)模棱兩可，例如“著名科學(xué)家”，“與2接近的數(shù)”等都不能組成一個(gè)集合．

（2）互異性：一個(gè)給定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出現(xiàn)相同的元素．例如不能寫成{1，1，2}，應(yīng)寫成{1，2}．

（3）無序性：集合中的元素，不分先后，沒有如何順序．例如{1，2，3}與{3，2，1}是相同的集合，也是相等的兩個(gè)集合．1．（2021秋?匯川區(qū)校級(jí)月考）已知集合A中含有5和a2+2a+4這兩個(gè)元素，且7∈A，則a3的值為（）A．0 B．1或﹣27 C．1 D．﹣27【分析】根據(jù)條件得“a2+2a+4＝7”，求出a的值，則易求a3的值．【解答】解：依題意得：a2+2a+4＝7，整理，得（a+3）（a﹣1）＝0解得a1＝﹣3，a2＝1．故a3＝﹣27或a3＝1．故選：B．2．（2021?南充模擬）若集合S＝{a，b，c}（a、b、c∈R）中三個(gè)元素為邊可構(gòu)成一個(gè)三角形，那么該三角形一定不可能是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【分析】由集合元素的特點(diǎn)可知a，b及c互不相等，所以a，b及c構(gòu)成三角形的三邊長，得到三角形的三邊長互不相等，此三角形沒有兩邊相等，一定不能為等腰三角形．【解答】解：根據(jù)集合元素的互異性可知：a，b及c三個(gè)元素互不相等，若此三個(gè)元素為邊可構(gòu)成一個(gè)三角形，那么該三角形一定不可能是等腰三角形．故選：D．3．（2021秋?泗縣校級(jí)月考）數(shù)集{1，2，x2﹣3}中的x不能取的數(shù)值的集合是（）A．{2，5} B．{﹣2，?5} C．{±2，±5} D．{2，?5}【分析】利用集合中的元素具有互異性的性質(zhì)可知x2﹣3≠1，且x2﹣3≠2，由此能求出數(shù)集{1，2，x2﹣3}中的x不能取的數(shù)值的集合．【解答】解：由x2﹣3≠1解得x≠±2．由x2﹣3≠2解得x≠±5．∴x不能取得值的集合為{±2，±5}．故選：C．4．（2021?鄆城縣校級(jí)一模）在集合A＝{1，a2﹣a﹣1，a2﹣2a+2}中，a的值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【分析】對(duì)于集合A＝{1，a2﹣a﹣1，a2﹣2a+2}中的三個(gè)元素必須互不相同，由此限定參數(shù)a的取值范圍，即利用集合中元素的互異性即可解決本題．【解答】解：當(dāng)a＝0時(shí)，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝2，當(dāng)a＝1時(shí)，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝1，當(dāng)a＝2時(shí)，a2﹣a﹣1＝1，a2﹣2a+2＝2，由集合中元素的互異性知：選A．故選：A．5．（2022?江西）定義集合運(yùn)算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．設(shè)A＝{1，2}，B＝{0，2}，則集合A*B的所有元素之和為（）A．0 B．2 C．3 D．6【分析】根據(jù)題意，結(jié)合題目的新運(yùn)算法則，可得集合A*B中的元素可能的情況；再由集合元素的互異性，可得集合A*B，進(jìn)而可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)A＝{1，2}，B＝{0，2}，則集合A*B中的元素可能為：0、2、0、4，又有集合元素的互異性，則A*B＝{0，2，4}，其所有元素之和為6；故選：D．6．（2021秋?市中區(qū)校級(jí)期中）含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為{a，ba，1}，也可表示為{a2，a+b，0}，則a2009+b2009A．0 B．﹣1 C．1 D．±1【分析】對(duì)于{a，ba，1}，根據(jù)集合元素的互異性，可得a≠1，a≠0；進(jìn)而由集合相等，可得b＝0；代入兩個(gè)集合中，可得a【解答】解：根據(jù)題意，對(duì)于{a，ba，1}，有a≠1，a又有{a，ba，1}={a2，a+b則有a＝0或ba=0；又由a≠0；故b＝0；代入集合中．可得{a，1，0}＝{a2，a，0}，必有a2＝1，又由a≠1，則a＝﹣1；則a2009+b2009＝﹣1，選B．【考點(diǎn)5：有限集與無限集】1．（2021秋?覃塘區(qū)校級(jí)月考）下列集合中有限集的個(gè)數(shù)是（）①不超過π的正整數(shù)構(gòu)成的集合；②平方后等于自身的數(shù)構(gòu)成的集合；③高一（2）班中體重在55kg以上的同學(xué)構(gòu)成的集合；④所有小于2的整數(shù)構(gòu)成的集合．A．1 B．3 C．2 D．4【分析】分析給定四個(gè)集合中個(gè)數(shù)是否有限，進(jìn)而可得答案．【解答】解：①不超過π的正整數(shù)構(gòu)成的集合為{1，2，3}為有限集；②平方后等于自身的數(shù)構(gòu)成的集合為{0，1}為有限集；③高一（2）班中體重在55kg以上的同學(xué)構(gòu)成的集合為有限集．④所有小于2的整數(shù)構(gòu)成的集合為無限集，故選：B．2．（2021秋?青羊區(qū)校級(jí)期中）以下集合為有限集的是（）A．由大于10的所有自然數(shù)組成的集合 B．平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)O的距離等于定長l（l＞0）的所有點(diǎn)P組成的集合 C．由24與30的所有公約數(shù)組成的集合 D．由24與30的所有公倍數(shù)組成的集合【分析】由集合的定義，對(duì)于一些比較簡單的命題，可用簡單的列舉法進(jìn)行排除，即可得到正確答案【解答】解：對(duì)于A：大于10的所有自然數(shù)：11、12、13…，一直到+∞，有無數(shù)個(gè)滿足條件的自然數(shù)，所以A不合題意對(duì)于B：滿足題意點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)O為圓心，以l為半徑的圓，即滿足條件的點(diǎn)，是圓上的點(diǎn)，而圓上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，所以B不合題意對(duì)于C：24與30的公約數(shù)有：1、2、3、6．有有限個(gè)，所以C滿足題意對(duì)于D：設(shè)m＝240×n（n∈N+），則m都可以是24與30的公倍數(shù)，所以24與30的公倍數(shù)有無數(shù)個(gè)，D不合題意故選：C．3．（2021秋?興寧市校級(jí)月考）設(shè)集合A＝{面積為1的矩形}，B＝{面積為1的正三角形}，則正確的是（）A．A，B都是有限集 B．A，B都是無限集 C．A是無限集，B是有限集 D．A是有限集，B是無限集【分析】由于面積為1的矩形有無數(shù)個(gè)，而面積為1的正三角形只有一個(gè)，易得結(jié)果．【解答】解：由于面積為1的矩形有無數(shù)個(gè)，所以集合A為無限集，而面積為1的正三角形只有一個(gè)，所以集合B為有限集．故選：C．4．（2021?涿鹿縣校級(jí)開學(xué)）設(shè)集合M＝{大于0小于1的有理數(shù)}，N＝{小于1050的正整數(shù)}，P＝{定圓C的內(nèi)接三角形}，Q＝{所有能被7整除的數(shù)}，其中無限集是（）A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q【分析】利用集合中元素的個(gè)數(shù)有限與無限進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：集合M＝{大于0小于1的有理數(shù)}，是無限集，N＝{小于1050的正整數(shù)}，是有限集，P＝{定圓C的內(nèi)接三角形}，是無限集，Q＝{所有能被7整除的數(shù)}，是無限集，故選：B．5．設(shè)集合A＝{周長為4cm的正方形}，B＝{面積為4cm2的長方形}，則正確的是（）A．A，B都是有限集 B．A，B都是無限集 C．A是無限集，B是有限集 D．A是有限集，B是無限集【分析】集合A：周長為4cm的正方形的邊長1cm，這樣的正方形只有1個(gè)，是有限集；集合B：面積為4cm2的長方形，長與寬可以任意變化，這樣的長方形有無數(shù)個(gè)，是無限集．【解答】解：集合A：周長為4cm的正方形，可以解得邊長1cm，這樣的正方形只有1個(gè)．所以為有限集．集合B：面積為4cm2的長方形，長與寬可以任意變化，這樣的長方形有無數(shù)個(gè)，所以為無限集．故選：D．6．（2021秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）若整數(shù)集Z的子集S滿足條件：對(duì)任何a，b∈S，都有a﹣b∈S，就稱S是封閉集．下列命題中錯(cuò)誤的是（）A．若S是封閉集且S≠{0}，則S一定是無限集 B．對(duì)任意整數(shù)a，b，S＝{n|ax+by，x，y∈Z}是封閉集 C．若S是封閉集，則存在整數(shù)k∈S，使得S中任何元素都是k的整數(shù)倍 D．存在非零整數(shù)a，b和封閉集S，使得a，b∈S，但a，b的最大公約數(shù)d?S【分析】由封閉集定義可分析出A，B，C正確．【解答】解：由封閉集定義可得0∈S，若非零整數(shù)k∈S，則0﹣k即﹣k∈S，進(jìn)一步得k﹣（﹣k）＝2k∈S和﹣k﹣k＝﹣2k∈S，從而±3k，±4k，±5k，…都在S中，可知A，C正確，對(duì)于B，由ax1+by1∈S，ax2+by2∈S，可得（ax1+by1）﹣（ax2+by2）＝a（x1﹣x2）+b（y1﹣y2）∈S，可知B正確，故選：D．【考點(diǎn)6：常用數(shù)集與點(diǎn)集】1．集合M＝{（x，y）|xy＞0，x+y＜0，x∈R，y∈R}是（）A．第一象限的點(diǎn)集 B．第二象限的點(diǎn)集 C．第三象限的點(diǎn)集 D．第四象限的點(diǎn)集【分析】利用不等式的性質(zhì)可得：x+y＜0，xy＞0，?x＜0，y＜0．進(jìn)而判斷出集合的意義．【解答】解：由x+y＜0，xy＞0，?x＜0，y＜0．故集合M＝{（x，y）|xy＞0，x+y＜0，x∈R，y∈R}是第三象限的點(diǎn)集．故選：C．2．（2021秋?安康月考）方程組x+y=1x?y=3的解集是（）A．{2，﹣1} B．{x＝2，y＝﹣1} C．{（x，y）|（2，﹣1）} D．{（2，﹣1）}【分析】先求出方程組的解，然后利用列舉法表示集合即可．【解答】解：由x+y=1x?y=3得x=2y=?1，即方程組構(gòu)成的集合為{（2，﹣1）}，故選：D．3．（2021秋?西城區(qū)期末）方程組x+y=0x2+x=2A．{（1，﹣1），（﹣1，1）} B．{（1，1），（﹣2，2）} C．{（1，﹣1），（﹣2，2）} D．{（2，﹣2），（﹣2，2）}【分析】解原方程組得出x，y的值，然后寫出原方程組的解集即可．【解答】解：解x+y=0x2+x=2得，x=?2y=2或∴原方程組的解集為：{（1，﹣1），（﹣2，2）}．故選：C．4．（2021秋?墊江縣校級(jí)月考）若用列舉法表示集合A＝{（x，y）|2y?x=7x+y=2}，則下列表示正確的是（）A．{x＝﹣1，y＝3} B．{（﹣1，3）} C．{3，﹣1} D．{﹣1，3}【分析】先解方程組，然后用列舉法表示所求集合，需要注意集合中的元素．【解答】解：2y?x=7x+y=2，解得x=?1y=3，所以A＝{（x，y）|2y?x=7x+y=2}＝{（﹣1，3）}．故選：B．【考點(diǎn)7：集合的表示方法】【知識(shí)點(diǎn)：集合的表示方法】列舉法根據(jù)題中限定條件把集合元素表示出來，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)法從元素的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)入手，結(jié)合通分、化簡、變形等技巧，從元素結(jié)構(gòu)上找差異進(jìn)行判斷數(shù)軸法在同一個(gè)數(shù)軸上表示出兩個(gè)集合，比較端點(diǎn)之間的大小關(guān)系，從而確定集合與集合之間的關(guān)系1．（2021秋?昌