河北省保定市部分高中2024-2025學(xué)年高一（1+3）上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

高一1+3期中考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊第五章至必修第二冊第六章前三節(jié).一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由平面向量共線的坐標(biāo)表示，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，且，由可得，解得.故選：B2.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到正弦和正切值.【詳解】，故，則，故.故選：A3.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)3,?4，將角的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到角，則（）A. B.7 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義及兩角差的正切公式計(jì)算即可.【詳解】角的終邊經(jīng)過點(diǎn)3,?4，則將角的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到角，則.故選：B.4.水滴是劉慈欣的科幻小說《三體Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三體文明使用強(qiáng)互作用力（）材料所制成的宇宙探測器，因?yàn)槠渫庑闻c水滴相似，所以被人類稱為水滴．如圖所示，水滴是由線段，和圓的優(yōu)弧圍成，其中，恰好與圓弧相切.若圓弧所在圓的半徑為2，點(diǎn)A到圓弧所在圓圓心的距離為4，則該封閉圖形的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出輔助線，得到，，利用扇形面積公式和三角形面積公式得到答案.【詳解】取優(yōu)弧所在圓的圓心，連接，，則⊥，⊥，則，所以，則，，故優(yōu)弧對應(yīng)圓心角為，對應(yīng)的扇形面積為，而，所以該封閉圖形的面積為.故選：C5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡再結(jié)合所給條件求解出代數(shù)式值即可.【詳解】，再由，可知，即，則.故選：D.6.若直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，則（）A.函數(shù)的周期為B.函數(shù)在的值域?yàn)镃.函數(shù)在單調(diào)遞增D.將函數(shù)圖象上的每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，再將所得到的圖象向左平移個(gè)單位長度，可以得到的圖象【答案】C【解析】【分析】由已知，得，求出周期，判斷A；求出在的值域，判斷B；求出的單調(diào)遞增區(qū)間，判斷C；由三角函數(shù)圖象的伸縮變換得到變換后的函數(shù)解析式，即可判斷D.【詳解】因?yàn)橹本€是函數(shù)圖象的一條對稱軸，所以，即，解得，所以，則其周期為，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，所以，即函數(shù)在值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；由，則，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，因?yàn)?，所以函?shù)在單調(diào)遞增，故C正確；將函數(shù)圖象上的每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，再將所得到的圖象向左平移個(gè)單位長度，則得到的圖象，故D錯(cuò)誤.故選：C.7.已知外接圓圓心為，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且．若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出輔助線，得到，，所以四點(diǎn)共線，由三線合一知，⊥，所以，不妨設(shè)，求出各邊長，所以，由同角三角函數(shù)關(guān)系得到答案.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，，故，，則，而，所以，所以四點(diǎn)共線，又為外接圓圓心，連接，則，由三線合一知，⊥，所以，不妨設(shè)，則，所以，故故選：C8.已知，，函數(shù)的圖象如圖所示，，，是的圖象與相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，與軸交于相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)，，若在區(qū)間上，有2027個(gè)零點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得到和，得到函數(shù)解析式，得到相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離有兩種，可能為，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)為個(gè)和1014個(gè)時(shí)，取得最大值，得到答案.【詳解】將原點(diǎn)坐標(biāo)代入得，又，所以，故，的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，故，又對應(yīng)的點(diǎn)為軸左側(cè)第一個(gè)最低點(diǎn)，所以，解得，解得，所以，令得，則或，解得或，所以相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離有兩種，可能為，在上，有2027個(gè)零點(diǎn)，要求的最大值，則當(dāng)為個(gè)和1014個(gè)時(shí)，取得最大值，故最大值為.故選：A二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.有下列四個(gè)命題，其中說法正確的是（）A.點(diǎn)，，與向量方向相反的單位向量為B.若且，則角為第二或第四象限角C.若向量，，則向量在向量上投影向量為D.，則與的夾角為60°【答案】BC【解析】【分析】對于A選項(xiàng)，考單位向量，向量方向相反的單位向量為；對于B選項(xiàng)，先找出為第四象限角，從而得到角為第二或第四象限角；對于C選項(xiàng)，向量在向量上的投影向量為；對于D選項(xiàng)，由平行四邊法則，作圖求解即可.【詳解】對于A，，與向量方向相反的單位向量為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對于B，，故為第四象限角，，故角為第二或第四象限角，故B選項(xiàng)正確；對于C,向量在向量上的投影向量為，故C選項(xiàng)正確；對于D，如圖，由平行四邊形法則，，故且，,作,,故即為與的夾角，且為等腰三角形，故，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：BC.10.已知，且，，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式以及商數(shù)關(guān)系求解出的值，可判斷AB選項(xiàng)；根據(jù)二倍角的正弦公式可求解出的值，由此可判斷C選項(xiàng)；逆用兩角和的正弦公式求解出的值，結(jié)合角的范圍可求的值，由此可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解得，故A錯(cuò)誤，B正確；又因?yàn)?，故C正確；因?yàn)?，且，所以，所以，故D正確；故選：BCD.11.已知點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，則以下說法正確的有（）A.若，，分別表示，的面積，則B.若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的重心C.若，則點(diǎn)是的垂心D.若，，分別為，，中點(diǎn)，且，，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，得到，從而得到所以，即可判斷；B選項(xiàng)，作出輔助線，得到，故點(diǎn)在中線上，故向量一定經(jīng)過的重心；C選項(xiàng)，作出輔助線，得到，故⊥，并得到在的平分線上，同理可得，在的平分線上.D根據(jù)得到點(diǎn)的軌跡，將轉(zhuǎn)化為，然后求數(shù)量積，根據(jù)點(diǎn)的軌跡求最值.【詳解】對于A：如圖，分別為的中點(diǎn)，，則，故，所以，故，A正確；對于B：過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則，，則，故點(diǎn)在中線上，故向量一定經(jīng)過的重心，B正確；對于C：分別表示方向上的單位向量，故，，故⊥，由三線合一可得，在的平分線上，同理可得，在的平分線上，則點(diǎn)是的內(nèi)心，C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，結(jié)合上圖，，當(dāng)為直徑時(shí)最大，最大為，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的重心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的垂心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的外心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的內(nèi)心，三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．）12.已知，都為銳角，，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系分別得到，，再由，結(jié)合和差角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋紴殇J角，所以，由可得，由可得，所以.故答案為：13.在中，，，，，，若，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】【解析】【分析】用、作為一組基地表示出、，再由數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，則，又，，，所以，所以，又，即，解得.故答案為：14.如圖，圓與軸的正半軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)，在圓上，且點(diǎn)位于第一象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．若，則的值為______．【答案】##0.8【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，進(jìn)而由圖可得，利用二倍角公式即可化簡求解【詳解】由于的坐標(biāo)為，故，故在單位圓上，設(shè)終邊所對角為，由于，故,，所以，故，，故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知向量，，其中．（1）若，求角的大?。唬?）若，求的值．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由，得，利用向量垂直坐標(biāo)運(yùn)算列式，進(jìn)而解出的值即可；（2）由題意解出，進(jìn)而弦化切得出，再根據(jù)角的范圍解出即可.【小問1詳解】由，得，所以，即，因?yàn)椋?，所以或，解得?【小問2詳解】由題得，，化簡得即，整理得，因?yàn)?，所以，齊次化后得，即，即，解得因?yàn)?，所?16.如圖，在中，，．設(shè)，．（1）用，表示，；（2）若為內(nèi)部一點(diǎn)，且．求證：，，三點(diǎn)共線．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用平面向量線性運(yùn)算法則，計(jì)算出，進(jìn)而得到；（2）計(jì)算出，結(jié)合（1）可得，證明出結(jié)論.【小問1詳解】由題可知，，【小問2詳解】，且有公共點(diǎn)M，，三點(diǎn)共線.17.已知以下四個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)；；；.（1）試從上述四個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù).（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）選第四個(gè)式子，；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)選第四個(gè)式子，由即可求三角函數(shù)式的值；(2)由題意，設(shè)一個(gè)角為，另一個(gè)角為，應(yīng)用兩角差的余弦公式展開三角函數(shù)，由同角正余弦的平方和關(guān)系化簡求值【詳解】（1）由第四個(gè)式子：（2）證明：【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)，利用特殊角的函數(shù)值求三角函數(shù)式的值，應(yīng)用兩角差余弦公式展開三角函數(shù)式及同角的正余弦平方和關(guān)系化簡求值，屬于簡單題18.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：00300（1）求出實(shí)數(shù)，，和函數(shù)的解析式；（2）將圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，并把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象.已知圖象的一個(gè)對稱中心為，求的最小值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)取最小值時(shí)，若對，關(guān)于的方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)表中的最值可得，根據(jù)，可解得的值，從而得出解析式；（2）根據(jù)伸縮平移變換可得，結(jié)合為對稱中心，從而求得實(shí)數(shù)的最小值；（3）在（2）的條件下結(jié)合，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合即可得解.【小問1詳解】由題意得，所以，所以，故，根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，，所以，，所以，.【小問2詳解】的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象，則，得，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小值為.【小問3詳解】當(dāng)取最小值時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，即，.19.已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Aa,0，點(diǎn)（其中，為常數(shù)，且），點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）設(shè)點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，，求的值；（2）如圖所示，設(shè)點(diǎn)，，，…，是線段的等分點(diǎn)，其中，，①當(dāng)時(shí)，求的值（用含，的式子表示）；②當(dāng)，時(shí)，求的最小值．（說明：可能用到的計(jì)算公式：，）．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算化簡即可得解；（2）①由特殊到一般，可得對滿足條件的，，即可化簡求向量的模；②根據(jù)條件用表示出