湖南省常德市漢壽縣2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page18考試時間：120分鐘考試分值：150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項符合題目要求.1．已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．2．經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．直線恒過定點（

）A． B． C． D．4．圓與圓的位置關(guān)系為A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離5．點到直線的距離是（

）A． B． C．1 D．6．已知雙曲線的離心率為，若點與點都在雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．7．設(shè)拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，焦點的坐標(biāo)為，若該拋物線上兩點、的橫坐標(biāo)之和為，則弦的長的最大值為（

）A． B． C． D．8．如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則以下不正確的是（

）

A．當(dāng)在平面上運動時，四棱錐的體積不變B．當(dāng)在線段上運動時，與所成角的取值范圍是C．使直線與平面所成的角為的點的軌跡長度為D．若是的中點，當(dāng)在底面上運動，且滿足平面時，長度的最小值是二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知向量，則（

）A．向量的夾角為 B．C． D．10．下列四個命題中錯誤的有（

）A．直線的傾斜角越大，其斜率越大B．直線傾斜角的取值范圍是C．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為D．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為11．以下四個命題表述正確的是(

)A．橢圓上的點到直線的最大距離為B．已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與C交于A，B兩點，則的周長為16C．曲線與曲線恰有三條公切線，則D．圓上存在4個點到直線的距離都等于112．已知雙曲線的左、右焦點分別為是右支上一點，下列結(jié)論正確的有（

）A．若的離心率為，則過點且與的漸近線相同的雙曲線的方程是B．若點，則的最小值為C．過作的角平分線的垂線，垂足為，則點到直線的距離的最大值為D．若直線與其中一條漸近線平行，與另一條漸近線交于點，且，則的離心率為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知圓M的圓心在直線上，且過，，則圓M的方程為.14．如圖，已知正方體，設(shè)，，，則.

15．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，向量，平面，則點到平面的距離為.16．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過的直線交拋物線于兩點，交于點，其中在第一象限，且，則直線的斜率為.，若的面積為，則.四?解答題：本題共6小題，共70分.17．已知直線，.（1）求直線和直線交點P的坐標(biāo)；（2）若直線l經(jīng)過點P且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，求直線l的一般式方程．18．已知雙曲線的離心率為，左?右焦點分別為，點坐標(biāo)為，且.(1)求雙曲線的方程；(2)過點的動直線與的左?右兩支分別交于兩點，若點在線段上，滿足，證明：在定直線上.19．已知，，P為平面上的一個動點．設(shè)直線AP，BP的斜率分別為，，且滿足．記動點P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過點的動直線l與曲線C交于E，F(xiàn)兩點．曲線C上是否存在定點N，使得恒成立（直線不經(jīng)過點）？若存在，求出點N的坐標(biāo)，并求的最小值；若不存在，請說明理由．20．設(shè)分別是橢圓的左?右焦點，過作傾斜角為的直線交橢圓于兩點，到直線的距離為3，連接橢圓的四個頂點得到的菱形面積為4.(1)求橢圓的方程；(2)已知點，設(shè)是橢圓上的一點，過兩點的直線交軸于點，若，求的取值范圍；(3)作直線與橢圓交于不同的兩點，其中點的坐標(biāo)為，若點是線段垂直平分線上一點，且滿足，求實數(shù)的值.21．在銳角三角形中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若，求面積的取值范圍.22．如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面底面為中點，.

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.數(shù)學(xué)參考答案：1．B【分析】根據(jù)已知求出，進(jìn)而即可根據(jù)投影向量求出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，向量在向量上的投影向量是.故選：B.2．A【分析】根據(jù)直線上任意兩點可求出斜率，從而求出傾斜角.【詳解】由題意得，所以直線的傾斜角為；故選：A3．B【分析】將直線變?yōu)辄c斜式，求出定點坐標(biāo).【詳解】變形為，故恒過點.故選：B4．B【詳解】試題分析：兩圓的圓心分別為、，半徑分別為2、3，∴兩圓心的距離為：，即，因此選B.考點：兩圓的位置關(guān)系.5．A【解析】直接利用點到直線的距離公式求解即可【詳解】解：點到直線的距離為，故選：A6．B【分析】根據(jù)給定條件，列出方程組，結(jié)合離心率的意義求出作答.【詳解】由點在雙曲線上，得，則，即，整理得，解得或，當(dāng)時，，此時方程無解，當(dāng)時，，而，解得，所以該雙曲線的漸近線方程為.故選：B7．A【分析】利用三角不等式可求得弦的長的最大值.【詳解】設(shè)點、，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，等號成立，故弦的長的最大值為.故選：A.8．D【分析】由底面正方形的面積不變，點到平面的距離不變，可判定A正確；以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，結(jié)合向量的夾角公式，可判定B正確；由直線與平面所成的角為，作平面，得到點的軌跡，可判定C正確；設(shè)，求得平面的一個法向量為，得到，可判定D錯誤.【詳解】對于A中：底面正方形的面積不變，點到平面的距離為正方體棱長，所以四棱錐的體積不變，所以A選項正確；對于B中：以為原點，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，則，設(shè)直線與所成角為，則，因為，當(dāng)時，可得，所以；當(dāng)時，，所以，所以異面直線與所成角的取值范圍是，所以B正確；

對于C中：因為直線與平面所成的角為，若點在平面和平面內(nèi)，因為最大，不成立；在平面內(nèi)，點的軌跡是；在平面內(nèi)，點的軌跡是；在平面時，作平面，如圖所示，因為，所以，又因為，所以，所以，所以點的軌跡是以點為圓心，以2為半徑的四分之一圓，所以點的軌跡的長度為，綜上，點的軌跡的總長度為，所以C正確；

對于D中，由，設(shè)，則設(shè)平面的一個法向量為，則，取，可得，所以，因為平面，所以，可得，所以，當(dāng)時，等號成立，所以D錯誤.故選：D.

【點睛】方法點撥：對于立體幾何的綜合問題的解答方法：1、立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；2、解答方法：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運算求出動點的軌跡方程；3、對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；4、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.9．CD【分析】A由向量模長、數(shù)量積的坐標(biāo)運算及夾角公式求向量的夾角；B、C由向量線性關(guān)系、數(shù)量積的坐標(biāo)運算求數(shù)量積、判斷位置關(guān)系判斷；D由向量的坐標(biāo)判斷是否共線.【詳解】A，，，，設(shè)向量的夾角為，則，因為，則，錯.B，，，則，錯.C，，則，故，對.D，，則，故，對.故選：CD10．ACD【分析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的定義逐一判斷即可.【詳解】解：對于A，當(dāng)傾斜角為銳角時，斜率大于0，當(dāng)傾斜角為鈍角時，斜率小于0，故A錯誤；直線傾斜角的取值范圍是，故B正確；若一條直線的斜率為，此時可以為負(fù)角，而直線傾斜角的取值范圍是，故C錯誤；當(dāng)直線的傾斜角時，直線的斜率不存在，故D錯誤.故選：ACD.11．AC【分析】對：求出與平行，且與橢圓相切的直線，根據(jù)兩平行線之間的距離公式即可求解；對B：根據(jù)橢圓的定義即可求解；對C：將兩個圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心和半徑，根據(jù)兩圓外切即可求解；對D：求得圓心到直線l的距離，與圓的半徑進(jìn)行比較即可判斷．【詳解】對A：設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線為，與橢圓方程聯(lián)立得：，由解得或，當(dāng)時，直線與直線之間的距離；當(dāng)時，直線與直線之間的距離，又，故橢圓上一點到直線距離的最大值為，故A正確；對B：根據(jù)橢圓的定義，△的周長為，故錯誤；對C：，即，圓心，半徑，，即，圓心，半徑，，∵兩個圓有三條公切線，故兩圓外切，∴，解得，故C正確；對D：∵圓心到直線的距離，而圓的半徑為2，故到直線距離為1的兩條平行直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上存在3個點到直線l的距離都等于1，故錯誤；故選：AC．12．BD【分析】對于A項，設(shè)出與共漸近線的雙曲線的方程代入求解即可，對于B項，運用雙曲線的定義及兩點之間線段最短即可求解，對于C項，由三角形中位線性質(zhì)可得，即可得點Q的軌跡為圓，轉(zhuǎn)化為求圓上的點到直線的最大距離求解即可，對于D項，設(shè)直線的方程，進(jìn)而求得點M的坐標(biāo)，由求得點P的坐標(biāo)，將點P的坐標(biāo)代入雙曲線的方程即可求得離心率.【詳解】于A項，因為雙曲線的離心率為，即，則.因為雙曲線與的漸近線相同，則設(shè)雙曲線的方程為（），將代入得，解得，所以雙曲線的方程為，故A項不正確；對于B項，如圖所示，

因為是右支上一點，所以由雙曲線定義可知，又因為在雙曲線內(nèi)，所以，故B項正確；對于C項，如圖，延長并與相交于點B，連接.

由題可知，為的中點，則，所以，則是以為圓心，為半徑的圓上一點.又點到直線的距離，所以點到直線的距離的最大值為，故C項不正確.對于D項，如圖所示，

根據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得，設(shè)，則，，由，則，解得，即，將點代入雙曲線的方程得，即，所以雙曲線的離心率，故D項正確.故選：BD.13．【分析】根據(jù)圓M的圓心在直線上，設(shè)圓心為，再根據(jù)圓過點，，由求解.【詳解】解：因為圓M的圓心在直線上，且過，，所以設(shè)圓心為，，解得，則圓心為，，所以圓的方程為：，故答案為：14．【分析】由正方體性質(zhì)，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律得，最后由向量夾角公式求夾角的大小.【詳解】設(shè)正方體的棱長為1，且，由，所以，又，，又，所以.故答案為：15．1【分析】根據(jù)點面距離的向量公式計算即可.【詳解】，為平面的一個法向量，，即點到平面的距離為1.故答案為：116．【分析】過、作、，垂足為、，設(shè)，則，根據(jù)拋物線的定義得到，從而求出，即可求出直線的斜率，設(shè)與軸交于點，即可得到，再根據(jù)面積公式求出，即可得解.【詳解】如圖分別過、作、，垂足為、，設(shè)，則，由拋物線定義得，，所以，則，所以，所以，設(shè)與軸交于點，在中，由得，則，所以，，所以，所以，由，解得（負(fù)值舍去），所以.

故答案為：；17．（1）（2，1）；（2）x-2y=0或x-y-1=0【分析】（1）聯(lián)立，解方程組即得直線l1和直線l2交點P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)直線經(jīng)過原點時，利用直線的斜截式方程求直線l的方程，當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，利用直線的截距式方程求直線l的方程.綜合得到直線l的一般式方程.【詳解】（1）聯(lián)立，解得x=2，y=1．∴直線l1和直線l2交點P的坐標(biāo)為（2，1）．（2）直線經(jīng)過原點時，可得直線l的方程為：y=x，即x-2y=0．直線不經(jīng)過原點時，可設(shè)直線l的方程為：x-y=a，把點P的坐標(biāo)代入可得：2-1=a，即a=1，可得方程為：x-y=1．綜上可得直線l的方程為：x-2y=0或x-y-1=0．【點睛】本題主要考查直線的交點坐標(biāo)，考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率設(shè)，代入得到，得到答案.（2）設(shè)，聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)得到，代入數(shù)據(jù)整理得到，得到答案.【詳解】（1）設(shè)，因為雙曲線的離心率為，設(shè)，所以，所以，解得或（舍），所以雙曲線的方程為，（2）設(shè)，當(dāng)直線斜率不存在時不成立，設(shè)，即，由，可得，由于點在雙曲線內(nèi)部，易得，所以.設(shè)，根據(jù)題意，，又，可得，整理得：，即，化簡得又，消去，得，所以點在定直線上.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了求雙曲線方程，定直線問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵.19．(1)（）；(2)存在，，最小值為.【分析】（1）設(shè)點，然后根據(jù)列方程，整理即可得到曲線的方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，根據(jù)列方程得到或，然后分別驗證或時是否成立，即可得到，然后在三角形中利用等面積和勾股定理得到，，即可得到，然后求最小值即可.【詳解】（1）設(shè)點，則，因為，所以，整理得，所以曲線的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時方程為，代入曲線的方程中得，解得，所以此時，，設(shè)，則①，，，因為，所以②，聯(lián)立①②解得或（舍去），，所以或，當(dāng)時，且當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為，，，因為直線經(jīng)過時，所以，聯(lián)立得，，，，，，所以，即，當(dāng)時，同理可得，所以此時不恒成立，所以存在定點使，，設(shè)點到直線的距離為，因為三角形為直角三角形，所以，，，當(dāng)直線斜率不存在時，，，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，則，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，綜上所述，存在定點使，的最小值為.【點睛】方法點睛：（1）求動點軌跡方法：①直譯法：建系，設(shè)動點坐標(biāo)，根據(jù)條件列方程，整理，檢驗；②代入法：有兩個動點，其中一個動點的軌跡方程已知，且兩動點之間存在關(guān)系，可以根據(jù)兩動點的關(guān)系代入到已知的軌跡方程中，即可得到軌跡方程；③參數(shù)法：動點的橫縱坐標(biāo)不存在直接關(guān)系，但是都跟某個參數(shù)存在關(guān)系，可以通過消參的方法得到軌跡方程；④定義法：動點的軌跡符合已知的曲線的定義，即可根據(jù)已知曲線的定義來求軌跡方程；（2）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．20．(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)點到直線的距離和菱形的面積建立方程組，求解即可；（2）根據(jù)向量坐標(biāo)運算表示出的坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用求出的范圍；（3）求出垂直平分線的方程，把代入，結(jié)合可求答案.【詳解】（1）設(shè)的坐標(biāo)分別為，其中；由題意得的方程為.因為到直線的距離為3，所以解得，所以①因為連接橢圓的四個頂點得到的菱形面積為4，所以，即

②聯(lián)立①②解得:,所求橢圓D的方程為.（2）由（1）知橢圓的方程為，設(shè)，因為，所以所以，代入橢圓