1-4-無窮小與無窮大

1一、無窮小二、無窮大無窮小與無窮大三、無窮小的比較2

例1無窮小的定義一、無窮小

注:3定理1(無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)提示:f(x)=A+[f(x)-A],a=f(x)-A.

注:定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小

例如,4

如果當(dāng)x

x0時

|f(x)|無限增大

那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x

x0時的無窮大

記為無窮大的定義二、無窮大(形式記法,實際上極限不存在)

無窮大的精確定義

M

0

d

0

當(dāng)0

|x

x0|

d時

有|f(x)|

M

正無窮大與負(fù)無窮大

M

0

d

0

當(dāng)0

|x

x0|

d時

有f(x)

M

M

0

d

0

當(dāng)0

|x

x0|

d時

有f(x)<M

51鉛直漸近線無窮大的等價定義例2

M

0

d

0

當(dāng)0

|x

x0|

d時

|f(x)|

M

提示:6鉛直漸近線的鉛直漸近線

1鉛直漸近線水平漸近線

水平漸近線

如果￥?xlimf(x)=A,

則直線y=A稱為函數(shù)y=f(x)的圖形的

水平漸近線7注:條件中的極限可改為單側(cè)極限.水平漸近線

的鉛直漸近線

鉛直漸近線

水平漸近線

如果￥?xlimf(x)=A,

則直線y=A稱為函數(shù)y=f(x)的圖形的

曲線

y

ln

x

有鉛直漸近線x0:

曲線

y

arctan

x

有水平漸近線y=arctan

x8討論設(shè)

P(x)為多項式,問提示其中k為非零常數(shù).討論設(shè)

R(x)為有理函數(shù),問

解

先用x3去除分子及分母

然后取極限

例3

9

解:

討論設(shè)

R(x)為有理函數(shù),問

例4

討論設(shè)

P(x)為多項式,問提示其中k

為非零常數(shù).10討論設(shè)

R(x)為有理函數(shù),問討論設(shè)

P(x)為多項式,問提示其中k

為非零常數(shù).11

解

例5計算

解

例6計算12無窮大與無界之間的關(guān)系

例如,函數(shù)f(x)=x

sinx在[0,+∞)上是無界的,

但當(dāng)x時,f(x)不是無窮大.理由如下:如果當(dāng)x時,f(x)是無窮大,那么對任意趨于正無窮大的數(shù)列{xn},都有f(xn).但實際上并不如此:當(dāng)xa時如果f(x)為無窮大,則當(dāng)xa時,f(x)無界.反之不然.13三、無窮小的比較

在x

0的過程中

x3比x2

趨于零的“速度”快些

x4

比x3

趨于零的“速度”快些,……

設(shè)a為某一極限過程中的無窮小

對于任一正數(shù)k,顯然ak

是同一極限過程中的無窮小

當(dāng)h>k

時,ah

比ak

趨于零的“速度”快些.無窮小的階

設(shè)a及b為同一極限過程中的無窮小

如果就說b是關(guān)于a的k階無窮小.

自變量的變化過程x

x0(x0

,,),n

統(tǒng)稱極限過程.

階數(shù)越大,趨于零的“速度”越快.14所以當(dāng)x

3時

x2-9是關(guān)于x-3的一階無窮小

例7

例8

所以當(dāng)x

0時

1-cosx

是關(guān)于x

的二階無窮小

無窮小的階

設(shè)a及b為同一極限過程中的無窮小

如果就說b是關(guān)于a的k階無窮小.

階數(shù)越大,趨于零的“速度”越快.15當(dāng)x

a

時

a

|x

a|k(k>0)是關(guān)于|xa|的k

階無窮小,bc|xa|h(c0,h>0)是關(guān)于|xa|的h階無窮小.無窮小階的比較設(shè)a及b為同一極限過程中的無窮小.16等價無窮小

設(shè)a及b為同一極限過程中的無窮小

如果就說b與a等價,記為b~a.

例9

當(dāng)x0時,17

證明

等價無窮小代換定理

求兩個無窮小比值的極限時

分子及分母都可用等價無窮小來代替

因此

如果用來代替的無窮小選取得適當(dāng)

則可使計算簡化

定理的意義:18

解

當(dāng)x

0時

tan2x~2x

sin5x~5x

所以

解

當(dāng)x

0時sinx~x

無窮小x3+3x與它本身顯然是等價的

所以

例10

例11

19常用等價無窮小設(shè)

(x)0,則有(4)的推導(dǎo):令

u

(x)則(5)的推導(dǎo):令

uexp[

(x)]1則

(x